फलनक विश्लेषण: बानाख समष्टियाँ, चार बड़े प्रमेय, हिल्बर्ट समष्टियाँ व स्पेक्ट्रमी प्रमेय

फलनक विश्लेषण GATE गणित (MA) पेपर का खंड 7 है: अनंत विमाओं में रैखिक बीजगणित, जहाँ नया तत्त्व यह है कि रैखिक प्रतिचित्रों का संतत होना आवश्यक नहीं और संवृत परिबद्ध समुच्चयों का संहत होना आवश्यक नहीं। खंड मानकित समष्टियाँ, परिबद्ध व संहत संकारक, बानाख समष्टियाँ, वियोज्यता, द्वैत समष्टियाँ, हान–बानाख प्रमेय, विवृत प्रतिचित्रण व संवृत आलेख प्रमेय, एकसमान परिबद्धता सिद्धांत, और फिर प्रसामान्य-लांबिक आधारों सहित आंतर गुणन व हिल्बर्ट समष्टियाँ, प्रक्षेप प्रमेय, रीस निरूपण प्रमेय तथा संहत स्वसंलग्न संकारकों हेतु स्पेक्ट्रमी प्रमेय नामित करता है। चार बड़े प्रमेयों में से तीन को पूर्णता चाहिए, और पेपर ठीक यही जाँचता है: यहाँ प्रत्येक को उस अपूर्ण समष्टि के साथ रखा गया है जिस पर वह विफल है। आंकिक प्रश्न संकारक व फलनक मानक, प्रक्षेप से निकाली दूरियाँ तथा संहत स्वसंलग्न संकारकों के आइगेन-मान हैं।

1. मानकित समष्टियाँ, बानाख समष्टियाँ व परिबद्ध संकारक

बानाख समष्टि पूर्ण मानकित समष्टि है। रैखिक T: X → Y परिबद्ध है यदि ‖Tx‖ ≤ C‖x‖; परिबद्ध ⇔ संतत ⇔ 0 पर संतत, और न्यूनतम C संकारक मानक ‖T‖ = sup‖x‖≤1 ‖Tx‖ है। इस मानक सहित B(X, Y) बानाख समष्टि है जब भी Y हो। परिमित विमाओं में सभी मानक तुल्य हैं, प्रत्येक रैखिक प्रतिचित्र परिबद्ध है और संवृत इकाई गेंद संहत है; इनमें से प्रत्येक हर अनंत-विमीय मानकित समष्टि में विफल है।

निकालने योग्य संकारक व फलनक मानक
संकारकमानकक्यों
(ℝⁿ, ‖·‖∞) पर आव्यूह Aसबसे बड़ा निरपेक्ष पंक्ति-योगउस पंक्ति के चिह्नों से मेल खाते ±1 सदिश पर प्राप्त
(ℝⁿ, ‖·‖₁) पर आव्यूह Aसबसे बड़ा निरपेक्ष स्तंभ-योगमानक आधार सदिश पर प्राप्त
(ℝⁿ, ‖·‖₂) पर आव्यूह Aसबसे बड़ा विचित्र मान √λmax(AᵀA)सममित A हेतु सबसे बड़ा |आइगेन-मान|
(C[0, 1], sup) पर f ↦ ∫₀¹ f − f(1/2)2, प्राप्त नहीं1 + 1 से परिबद्ध; 1/2 पर −1 तक संकरे गर्त वाले f = 1 से निकट पहुँचा जाता है
L²[0, 1] पर g से गुणन‖g‖∞|gf| ≤ ‖g‖∞|f|; वहाँ समर्थित f पर परखें जहाँ |g| अपने उच्चक के निकट हो
⚠️ एक अपरिबद्ध रैखिक प्रतिचित्र
sup मानक सहित बहुपदों पर, या C¹[0, 1] पर, अवकलन D रैखिक व अपरिबद्ध है: ‖xⁿ‖∞ = 1 जबकि ‖Dxⁿ‖∞ = n। अनंत-विमीय मानकित समष्टि पर अपरिबद्ध रैखिक फलनक सदा होते हैं (हामेल आधार विस्तारित करें), अतः वहाँ “रैखिक” से कभी “संतत” नहीं निकलता।

2. वियोज्यता, द्वैत समष्टियाँ व हान–बानाख प्रमेय

द्वैत X∗ = B(X, 𝕂) सदा बानाख समष्टि है। X वियोज्य है यदि उसका कोई गणनीय सघन उपसमुच्चय हो, तथा प्रतिवर्ती (reflexive) यदि विहित सममितीयता X → X∗∗ आच्छादक हो। यदि X∗ वियोज्य हो तो X भी है, परंतु विलोमतः नहीं: ℓ¹ वियोज्य है जबकि उसका द्वैत ℓ∞ नहीं।

अनुक्रम व फलन समष्टियों के द्वैत व वियोज्यता
समष्टिद्वैतवियोज्य?प्रतिवर्ती?
c₀ℓ¹हाँनहीं
ℓ¹ℓ∞हाँनहीं
ℓᵖ, 1 < p < ∞ℓq, 1/p + 1/q = 1हाँहाँ
ℓ∞ℓ¹ से बड़ानहीं: 0–1 अनुक्रम अगणनीय हैं और परस्पर दूरी 1 परनहीं
C[a, b], sup मानकनियमित बोरेल माप (परिबद्ध विचरण के फलन)हाँ (परिमेय गुणांकों वाले बहुपद)नहीं

हान–बानाख (मानकित रूप)। यदि M मानकित समष्टि X की उपसमष्टि हो और f ∈ M∗, तो f का F ∈ X∗ तक ‖F‖ = ‖f‖ सहित विस्तार होता है। परिणाम: प्रत्येक x ≠ 0 हेतु ‖f‖ = 1 तथा f(x) = ‖x‖ वाला f ∈ X∗ है; X∗ बिंदुओं को अलग करता है; ‖x‖ = max‖f‖≤1 |f(x)|; तथा संवृत उपसमष्टि M ≠ X को बिंदु x ∉ M से M पर शून्य होने वाले फलनक द्वारा अलग किया जा सकता है। प्रमेय को पूर्णता नहीं चाहिए।

3. एकसमान परिबद्धता, विवृत प्रतिचित्रण व संवृत आलेख

बेयर के तीन प्रमेय व उन्हें तोड़ने वाली अपूर्ण समष्टियाँ
प्रमेयकथन (X, Y बानाख)पूर्णता के बिना विफल
एकसमान परिबद्धता (बानाख–स्टाइनहाउस)यदि {Tₐ} ⊆ B(X, Y) तथा प्रत्येक x हेतु supa ‖Tₐx‖ < ∞, तो supa ‖Tₐ‖ < ∞c₀₀ (परिमित आधार वाले अनुक्रम, sup मानक) पर fₙ(x) = n xₙ बिंदुशः परिबद्ध है परंतु ‖fₙ‖ = n
विवृत प्रतिचित्रण; परिबद्ध व्युत्क्रमपरिबद्ध रैखिक आच्छादन विवृत है; परिबद्ध रैखिक एकैकी आच्छादन का व्युत्क्रम परिबद्ध हैतत्समक (C[0, 1], ‖·‖∞) → (C[0, 1], ‖·‖₁) अपरिबद्ध व्युत्क्रम वाला परिबद्ध एकैकी आच्छादन है; लक्ष्य पूर्ण नहीं
संवृत आलेखसंवृत आलेख वाला रैखिक T: X → Y परिबद्ध हैD: (C¹[0, 1], ‖·‖∞) → (C[0, 1], ‖·‖∞) का आलेख संवृत है (fₙ व fₙ′ की एकसमान सीमाएँ) और यह अपरिबद्ध है; प्रांत पूर्ण नहीं
🧠 दो पूर्ण मानक, एक असमिका
यदि कोई समष्टि दो मानकों के अंतर्गत पूर्ण हो और सभी x हेतु ‖x‖₁ ≤ C‖x‖₂, तो दूसरे से पहले तक तत्समक बानाख समष्टियों के बीच परिबद्ध एकैकी आच्छादन है, अतः उसका व्युत्क्रम परिबद्ध है और मानक तुल्य हैं। इसीलिए C[0, 1] पर ‖·‖∞ व ‖·‖₁, जो ‖f‖₁ ≤ ‖f‖∞ संतुष्ट करते हैं और तुल्य नहीं, दोनों पूर्ण नहीं हो सकते।

4. संहत संकारक

T ∈ B(X, Y) संहत है यदि वह इकाई गेंद को सापेक्षतः संहत समुच्चय पर भेजे (समतुल्यतः, परिबद्ध अनुक्रमों को अभिसारी प्रतिबिंब उपानुक्रमों वाले अनुक्रमों पर)। परिमित-कोटि परिबद्ध संकारक संहत हैं; संहत संकारकों की मानक-सीमाएँ संहत हैं (Y बानाख हेतु); संहत संकारक द्विपक्षीय गुणजावली बनाते हैं; तथा अनंत-विमीय समष्टि का तत्समक संहत नहीं। ℓ² पर विकर्ण संकारक (xₙ) ↦ (λₙxₙ) संहत है यदि और केवल यदि λₙ → 0, तथा [0, 1] पर संतत (या वर्ग-समाकलनीय) अष्टि वाला समाकल संकारक संहत है।

  • अनंत-विमीय समष्टि पर संहत T का स्पेक्ट्रम: 0 ∈ σ(T); σ(T) का प्रत्येक अशून्य बिंदु परिमित-विमीय आइगेन-समष्टि वाला आइगेन-मान है; आइगेन-मान गणनीय हैं और केवल 0 पर संचित हो सकते हैं।
  • ℓ² पर विस्थापन संहत नहीं: दायाँ विस्थापन सममितीयता है, अतः वह प्रसामान्य-लांबिक eₙ को प्रसामान्य-लांबिक eₙ₊₁ पर भेजता है, जिसका कोई अभिसारी उपानुक्रम नहीं।

5. हिल्बर्ट समष्टियाँ: प्रसामान्य-लांबिक आधार, प्रक्षेप व रीस निरूपण

हिल्बर्ट समष्टि पूर्ण आंतर गुणन समष्टि है। मानक किसी आंतर गुणन से आता है यदि और केवल यदि वह समांतर चतुर्भुज नियम ‖x + y‖² + ‖x − y‖² = 2‖x‖² + 2‖y‖² संतुष्ट करे; e₁, e₂ सहित ℓᵖ में बायाँ पक्ष 2 · 22/p तथा दायाँ 4 है, अतः ℓᵖ केवल p = 2 हेतु हिल्बर्ट समष्टि है। प्रसामान्य-लांबिक आधार (eₐ), x = Σ⟨x, eₐ⟩eₐ तथा पार्सेवल ‖x‖² = Σ|⟨x, eₐ⟩|² देता है (किसी भी प्रसामान्य-लांबिक समुच्चय हेतु बेसेल असमिका ≤)। हिल्बर्ट समष्टि वियोज्य है यदि और केवल यदि उसका गणनीय प्रसामान्य-लांबिक आधार हो, और प्रत्येक अनंत-विमीय वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि ℓ² के सममितीयतः तुल्याकारी है।

  • प्रक्षेप प्रमेय। हिल्बर्ट समष्टि में अरिक्त संवृत उत्तल समुच्चय C का किसी भी x के निकटतम एक अद्वितीय बिंदु है; संवृत उपसमष्टि M हेतु H = M ⊕ M⊥ तथा x − Px ⊥ M। L²[−1, 1] में x² का span{1, x} का निकटतम अवयव 1/3 है, और वर्ग-दूरी ‖x² − 1/3‖² = 8/45 है।
  • रीस निरूपण। प्रत्येक f ∈ H∗, किसी अद्वितीय y ∈ H हेतु f(x) = ⟨x, y⟩ है, तथा ‖f‖ = ‖y‖। अतः ℓ² पर f(x) = Σ xₙ/2ⁿ⁻¹ का मानक (Σ 41−n)1/2 = √(4/3) है। हिल्बर्ट समष्टियाँ प्रतिवर्ती हैं।
  • संलग्न T∗, ⟨Tx, y⟩ = ⟨x, T∗y⟩ से परिभाषित है, ‖T∗‖ = ‖T‖ सहित; T स्वसंलग्न है यदि T = T∗, और तब ‖T‖ = sup‖x‖=1 |⟨Tx, x⟩|।

6. संहत स्वसंलग्न संकारकों हेतु स्पेक्ट्रमी प्रमेय

यदि T हिल्बर्ट समष्टि H पर संहत व स्वसंलग्न हो, तो उसके अशून्य आइगेन-मान वास्तविक हैं, परिमित समुच्चय या अनुक्रम λₙ → 0 बनाते हैं, उनकी आइगेन-समष्टियाँ परिमित-विमीय हैं, तथा आइगेन-सदिशों का ऐसा प्रसामान्य-लांबिक समुच्चय (eₙ) है कि सभी x हेतु Tx = Σ λₙ⟨x, eₙ⟩eₙ; ker T के प्रसामान्य-लांबिक आधार सहित (eₙ), H का प्रसामान्य-लांबिक आधार है। ±‖T‖ में से कम से कम एक आइगेन-मान है, अतः ‖T‖ = max |λₙ|।

ℹ️ एक हल किया समाकल संकारक
L²[0, 1] पर (Tf)(x) = ∫₀¹ min(x, t) f(t) dt का अष्टि संतत व सममित है, अतः यह संहत व स्वसंलग्न है। u = Tf, u(0) = 0, u′(1) = 0 सहित −u″ = f संतुष्ट करता है, अतः Tf = μf उन्हीं परिसीमा शर्तों सहित f″ + f/μ = 0 देता है: f = sin((n − 1/2)πx) तथा μₙ = 1/((n − 1/2)²π²)। √2 से मापन के बाद आइगेन-फलन प्रसामान्य-लांबिक आधार बनाते हैं, आइगेन-मान 0 तक घटते हैं, तथा ‖T‖ = μ₁ = 4/π² ≈ 0.405।

मुख्य बिंदु

  • रैखिक प्रतिचित्रों हेतु परिबद्ध ⇔ संतत; ‖T‖ = sup‖x‖≤1 ‖Tx‖ — ‖·‖∞ हेतु पंक्ति-योग, ‖·‖₁ हेतु स्तंभ-योग, ‖·‖₂ हेतु विचित्र मान।
  • c₀∗ = ℓ¹, (ℓ¹)∗ = ℓ∞, (ℓᵖ)∗ = ℓq; ℓ∞ वियोज्य नहीं; ℓᵖ केवल 1 < p < ∞ हेतु प्रतिवर्ती है।
  • हान–बानाख को पूर्णता नहीं चाहिए; एकसमान परिबद्धता, विवृत प्रतिचित्रण व संवृत आलेख को चाहिए, और c₀₀, (C[0, 1], ‖·‖₁) तथा (C¹[0, 1], sup) उन्हें तोड़ते हैं।
  • संहत संकारक: परिमित कोटि व उनकी सीमाएँ; λₙ → 0 वाले विकर्ण संकारक; अनंत विमाओं में तत्समक या विस्थापन नहीं।
  • रीस: ‖f‖ = ‖y‖ सहित f = ⟨·, y⟩; प्रक्षेप निकटतम बिंदु देता है; संहत स्वसंलग्न संकारक ‖T‖ = max |λₙ| सहित Σλₙ⟨·, eₙ⟩eₙ है।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. निम्नलिखित में से कौन-सी मानकित समष्टियाँ बानाख समष्टियाँ हैं?

    1. ‖f‖ = sup |f| सहित C[0, 1]
    2. ‖f‖ = ∫₀¹ |f| सहित C[0, 1]
    3. ‖x‖ = Σ|xₙ| सहित ℓ¹
    4. sup मानक सहित [0, 1] पर बहुपद
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ‖f‖ = sup |f| सहित C[0, 1]; C — ‖x‖ = Σ|xₙ| सहित ℓ¹

    (1) संतत फलनों के एकसमानतः कौशी अनुक्रम की एकसमान सीमा संतत है। (3) ℓ¹ पूर्ण है (गणना माप हेतु रीस–फ़िशर)। (2) L¹ में सीढ़ी-फलन की ओर अभिसृत संतत ढलान-फलन कौशी हैं, परंतु संतत सीमा नहीं। (4) eˣ के टेलर बहुपद sup मानक में कौशी हैं और अ-बहुपद की ओर अभिसृत होते हैं; गणनीय विमा की बानाख समष्टि नहीं हो सकती (बेयर)।

  2. मान लें A = [[1, 2], [3, 4]], मानक ‖(x, y)‖∞ = max(|x|, |y|) सहित ℝ² पर कार्य करता है। A का संकारक मानक ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 7

    sup मानक हेतु ‖A‖ सबसे बड़ा निरपेक्ष पंक्ति-योग है: max(1 + 2, 3 + 4) = 7, (1, 1) पर प्राप्त, जिसका प्रतिबिंब (3, 7) sup मानक 7 रखता है। स्तंभ-योग उत्तर 6, ‖·‖₁ मानक का है।

  3. sup मानक सहित C[0, 1] पर φ(f) = ∫₀¹ f(t) dt − f(1/2) लें। मानक ‖φ‖ ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    |φ(f)| ≤ ‖f‖ + ‖f‖ = 2‖f‖। निम्न सीमा हेतु fₙ = 1 लें, 1/2 के परितः लंबाई 1/n के अंतराल पर −1 तक संतत गर्त सहित: ‖fₙ‖ = 1, ∫fₙ ≥ 1 − 2/n तथा fₙ(1/2) = −1, अतः φ(fₙ) ≥ 2 − 2/n → 2। मानक 2 है, प्राप्त नहीं, क्योंकि प्राप्ति हेतु f = 1 a.e. तथा f(1/2) = −1 चाहिए।

  4. वियोज्यता, द्वैतों व प्रतिवर्तिता के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. ℓ∞ वियोज्य है
    2. c₀ का द्वैत ℓ¹ के सममितीयतः तुल्याकारी है
    3. ℓ¹ प्रतिवर्ती है
    4. ℓ² प्रतिवर्ती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — c₀ का द्वैत ℓ¹ के सममितीयतः तुल्याकारी है; D — ℓ² प्रतिवर्ती है

    (1) असत्य: 0–1 अनुक्रम अगणनीय हैं और युग्मशः दूरी 1 पर। (2) प्रत्येक a ∈ ℓ¹, ‖a‖₁ मानक सहित x ↦ Σaₙxₙ देता है, और सभी फलनक इसी प्रकार आते हैं। (3) असत्य: ℓ¹∗∗ = (ℓ∞)∗, ℓ¹ से निश्चित रूप से बड़ा है (वियोज्य समष्टि जिसका द्विद्वैत अवियोज्य है)। (4) रीस से हिल्बर्ट समष्टियाँ प्रतिवर्ती हैं।

  5. मानकित समष्टि X में निम्नलिखित में से कौन हान–बानाख प्रमेय का परिणाम है?

    1. प्रत्येक x ≠ 0 हेतु ‖f‖ = 1 तथा f(x) = ‖x‖ वाला f ∈ X∗ है
    2. मानकित समष्टियों के बीच प्रत्येक परिबद्ध रैखिक एकैकी आच्छादन का व्युत्क्रम परिबद्ध है
    3. X पर प्रत्येक रैखिक फलनक परिबद्ध है
    4. X पूर्ण है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक x ≠ 0 हेतु ‖f‖ = 1 तथा f(x) = ‖x‖ वाला f ∈ X∗ है

    span{x} पर f₀(tx) = t‖x‖ परिभाषित करें, मानक 1, और हान–बानाख से मानक रखते हुए विस्तारित करें। परिबद्ध व्युत्क्रम प्रमेय को दोनों समष्टियों की पूर्णता चाहिए और अन्यथा विफल है; प्रत्येक अनंत-विमीय समष्टि पर अपरिबद्ध फलनक हैं; तथा हान–बानाख X की पूर्णता के विषय में कुछ नहीं कहता (X∗ तो पूर्ण है ही)।

  6. पूर्णता की भूमिका के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. अवकलन प्रतिचित्र D: (C¹[0, 1], ‖·‖∞) → (C[0, 1], ‖·‖∞) का आलेख संवृत है परंतु यह अपरिबद्ध है
    2. (C[0, 1], ‖·‖∞) से (C[0, 1], ‖·‖₁) तक तत्समक प्रतिचित्र परिबद्ध एकैकी आच्छादन है जिसका व्युत्क्रम अपरिबद्ध है
    3. बानाख समष्टियों के बीच परिबद्ध रैखिक एकैकी आच्छादन का व्युत्क्रम परिबद्ध है
    4. अनंत-विमीय मानकित समष्टि पर प्रत्येक रैखिक फलनक परिबद्ध है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अवकलन प्रतिचित्र D: (C¹[0, 1], ‖·‖_{∞}) → (C[0, 1], ‖·‖_{∞}) का आलेख संवृत है परंतु यह अपरिबद्ध है; B — (C[0, 1], ‖·‖_{∞}) से (C[0, 1], ‖·‖₁) तक तत्समक प्रतिचित्र परिबद्ध एकैकी आच्छादन है जिसका व्युत्क्रम अपरिबद्ध है; C — बानाख समष्टियों के बीच परिबद्ध रैखिक एकैकी आच्छादन का व्युत्क्रम परिबद्ध है

    (1) यदि एकसमानतः fₙ → f तथा fₙ′ → g, तो f ∈ C¹ व f′ = g, अतः आलेख संवृत; ‖xⁿ‖ = 1 परंतु ‖Dxⁿ‖ = n। कोई विरोधाभास नहीं: प्रांत पूर्ण नहीं। (2) ‖f‖₁ ≤ ‖f‖∞, परंतु ऊँचे पतले शिखरों हेतु ‖·‖₁ → 0 जबकि sup 1। (3) परिबद्ध व्युत्क्रम प्रमेय है। (4) असत्य: हामेल आधार विस्तारित करें और उसके n-वें (प्रसामान्यीकृत) अवयव eₙ को n पर भेजें।

  7. c₀₀ पर, sup मानक सहित परिमित आधार वाले वास्तविक अनुक्रमों की समष्टि पर, fₙ(x) = n xₙ लें। ये फलनक

    1. प्रत्येक x पर परिबद्ध हैं परंतु ‖fₙ‖ = n, जो दिखाता है कि अपूर्ण मानकित समष्टि पर एकसमान परिबद्धता विफल हो सकती है
    2. एकसमानतः परिबद्ध हैं, जैसा एकसमान परिबद्धता सिद्धांत कहता है
    3. अपरिबद्ध रैखिक फलनक हैं
    4. बिंदुशः परिबद्ध नहीं हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक x पर परिबद्ध हैं परंतु ‖fₙ‖ = n, जो दिखाता है कि अपूर्ण मानकित समष्टि पर एकसमान परिबद्धता विफल हो सकती है

    निश्चित x ∈ c₀₀ हेतु आधार से आगे n पर xₙ = 0, अतः supn |fₙ(x)| परिमित n पर अधिकतम है: बिंदुशः परिबद्ध। प्रत्येक fₙ, ‖fₙ‖ = n सहित परिबद्ध है (eₙ पर परखें)। अतः बानाख–स्टाइनहाउस का निष्कर्ष विफल है, जो केवल इसलिए संभव है क्योंकि c₀₀ पूर्ण नहीं।

  8. ℓ² पर निम्नलिखित में से कौन-से संकारक संहत हैं?

    1. तत्समक संकारक
    2. विकर्ण संकारक (x₁, x₂, x₃, …) ↦ (x₁, x₂/2, x₃/3, …)
    3. दायाँ विस्थापन (x₁, x₂, …) ↦ (0, x₁, x₂, …)
    4. परिमित कोटि का कोई भी परिबद्ध संकारक
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — विकर्ण संकारक (x₁, x₂, x₃, …) ↦ (x₁, x₂/2, x₃/3, …); D — परिमित कोटि का कोई भी परिबद्ध संकारक

    (2) यह अपने परिमित-कोटि कर्तनों की मानक-सीमा है, क्योंकि शेष का मानक 1/(N + 1) → 0 (λₙ → 0 वाला विकर्ण)। (4) इसका परास परिमित-विमीय है, जहाँ परिबद्ध समुच्चय सापेक्षतः संहत हैं। (1) व (3) प्रसामान्य-लांबिक eₙ को प्रसामान्य-लांबिक अनुक्रम पर भेजते हैं, बिना अभिसारी उपानुक्रम के।

  9. रीस निरूपण प्रमेय से हिल्बर्ट समष्टि H पर प्रत्येक परिबद्ध रैखिक फलनक f

    1. किसी अद्वितीय y ∈ H हेतु f(x) = ⟨x, y⟩ है, ‖f‖ = ‖y‖ सहित
    2. किसी y हेतु f(x) = ⟨x, y⟩ है, आवश्यक नहीं कि अद्वितीय
    3. निरूपक सदिश y हेतु ‖f‖ = ‖y‖²
    4. केवल परिमित-विमीय H होने पर निरूपणीय है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — किसी अद्वितीय y ∈ H हेतु f(x) = ⟨x, y⟩ है, ‖f‖ = ‖y‖ सहित

    यदि f ≠ 0, ker f सहविमा 1 की संवृत उपसमष्टि है; ker f पर लंब इकाई z चुनने से y = conj(f(z)) z। अद्वितीयता: सभी x हेतु ⟨x, y − y′⟩ = 0 से y = y′। कौशी–श्वार्ट्ज़ ‖f‖ ≤ ‖y‖ देता है और x = y समता। उपपत्ति पूर्णता का उपयोग करती है, परिमित विमा का नहीं।

  10. ℓ² पर फलनक f(x) = x₁ + x₂/2 + x₃/4 + x₄/8 + … का मानक, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.15

    y = (1, 1/2, 1/4, …) ∈ ℓ² सहित f(x) = ⟨x, y⟩, अतः रीस से ‖f‖ = ‖y‖₂ = (1 + 1/4 + 1/16 + …)1/2 = (4/3)1/2 = 1.1547, अर्थात् 1.15। ℓ¹ पर वही सूत्र sup |yₙ| = 1 देता, तथा ℓ∞ पर Σ|yₙ| = 2।

  11. वास्तविक a, b पर ∫−11 (x² − a − bx)² dx का न्यूनतम, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.18

    यह L²[−1, 1] में x² से span{1, x} तक वर्ग-दूरी है। प्रक्षेप प्रमेय से न्यूनकारी लांबिक प्रक्षेप है: ⟨x², x⟩ = 0 से b = 0, तथा a = ⟨x², 1⟩/⟨1, 1⟩ = (2/3)/2 = 1/3। त्रुटि x² − 1/3 = (2/3)P₂ का वर्ग-मानक (4/9)(2/5) = 8/45 = 0.178, अर्थात् 0.18 है।

  12. हिल्बर्ट समष्टियों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. p ≠ 2 सहित ℓᵖ, अपना मानक देने वाले किसी आंतर गुणन के अंतर्गत हिल्बर्ट समष्टि नहीं
    2. वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि में प्रत्येक प्रसामान्य-लांबिक समुच्चय गणनीय है
    3. प्रत्येक अनंत-विमीय वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि ℓ² के सममितीयतः तुल्याकारी है
    4. H = M ⊕ M⊥ केवल परिमित-विमीय संवृत उपसमष्टियों M हेतु लागू है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — p ≠ 2 सहित ℓᵖ, अपना मानक देने वाले किसी आंतर गुणन के अंतर्गत हिल्बर्ट समष्टि नहीं; B — वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि में प्रत्येक प्रसामान्य-लांबिक समुच्चय गणनीय है; C — प्रत्येक अनंत-विमीय वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि ℓ² के सममितीयतः तुल्याकारी है

    (1) e₁, e₂ सहित: ‖e₁ + e₂‖ₚ² + ‖e₁ − e₂‖ₚ² = 2 · 22/p, जो 2‖e₁‖² + 2‖e₂‖² = 4 के बराबर केवल p = 2 पर है। (2) भिन्न प्रसामान्य-लांबिक सदिश √2 दूरी पर हैं, अतः अगणनीय समुच्चय गणनीय सघन समुच्चय को विफल करता। (3) पार्सेवल से गणनीय प्रसामान्य-लांबिक आधार को (eₙ) पर भेजें। (4) असत्य: प्रक्षेप प्रमेय प्रत्येक संवृत उपसमष्टि हेतु लागू है।

  13. मान लें T अनंत-विमीय हिल्बर्ट समष्टि पर संहत स्वसंलग्न संकारक है। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. T के प्रत्येक अशून्य आइगेन-मान की आइगेन-समष्टि परिमित-विमीय है
    2. T का प्रत्येक आइगेन-मान वास्तविक है
    3. 0, T के स्पेक्ट्रम में है
    4. T के अगणनीय भिन्न आइगेन-मान हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — T के प्रत्येक अशून्य आइगेन-मान की आइगेन-समष्टि परिमित-विमीय है; B — T का प्रत्येक आइगेन-मान वास्तविक है; C — 0, T के स्पेक्ट्रम में है

    (1) λ ≠ 0 हेतु आइगेन-सदिशों का अनंत प्रसामान्य-लांबिक समुच्चय बिना अभिसारी उपानुक्रम वाले प्रतिबिंब λeₙ देता। (2) स्वसंलग्न T हेतु ⟨Tx, x⟩ वास्तविक है। (3) यदि 0 ∉ σ(T), तो T⁻¹ परिबद्ध है और I = T⁻¹T संहत, जो अनंत विमाओं में असंभव है। (4) असत्य: अशून्य आइगेन-मान अधिकतम 0 की ओर जाने वाला अनुक्रम बनाते हैं।

  14. L²[0, 1] पर संकारक (Tf)(x) = ∫₀¹ min(x, t) f(t) dt संहत व स्वसंलग्न है। इसका मानक ‖T‖, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.41

    u = Tf, u′(x) = ∫ₓ¹ f, u″ = −f, u(0) = 0, u′(1) = 0 संतुष्ट करता है। अतः Tf = μf से μf″ + f = 0, f(0) = 0, f′(1) = 0: cos k = 0 सहित f = sin(kx), k = (n − 1/2)π, μ = 1/k²। सबसे बड़ा μ₁ = 4/π² = 0.405 है, और संहत स्वसंलग्न संकारक हेतु ‖T‖ = max |μ| = 0.41।