अनेक चरों का कलन व सदिश कलन

GATE गणित (MA) पेपर का खंड 1 अनेक चरों का कलन और फिर सदिश कलन है, और इसकी परीक्षा अभियांत्रिकी पेपरों के कलन से भिन्न ढंग से होती है: MA पूछता है कि परिभाषाओं से क्या निकलता है और क्या नहीं। दो चरों का फलन किसी बिंदु पर दोनों आंशिक अवकलज रख कर भी वहाँ असंतत हो सकता है; वह हर दिशा में दिक्-अवकलज रख कर भी अवकलनीय न हो, यह संभव है। अतः यह अध्याय पहले निहितार्थों की शृंखला रखता है — संतत आंशिक अवकलज ⇒ अवकलनीय ⇒ संतत, और प्रत्येक विलोम एक नामित प्रति-उदाहरण से टूटता है — और उसके बाद ही उन गणनाओं पर आता है जो पेपर भी देता है: टेलर प्रमेय तथा पल्याण बिंदुओं सहित द्वितीय-अवकलज परीक्षण, लग्रांज गुणक, चर-परिवर्तन के जैकोबियन सहित द्वि- व त्रि-समाकल, क्षेत्रफल, आयतन व पृष्ठ-क्षेत्रफल, और अंत में प्रवणता, अपसरण व कुंडली, रेखा- व पृष्ठ-समाकल तथा ग्रीन, स्टोक्स व गाउस के प्रमेय, प्रत्येक उन परिकल्पनाओं सहित जो उसे सत्य बनाती हैं। क्षेत्र (−y/(x² + y²), x/(x² + y²)) जानबूझकर यहाँ है: इसकी कुंडली शून्य है और इकाई वृत्त पर इसका परिसंचरण 2π है, और वही एक उदाहरण “इनमें से कौन सत्य है” वाले प्रश्नों के पूरे परिवार का उत्तर देता है।

1. सांतत्य, आंशिक, दिक्- व सम्पूर्ण अवकलज

मान लें f: ℝⁿ → ℝ तथा a ∈ ℝⁿ। आंशिक अवकलज ∂f/∂xᵢ(a) एक निर्देशांक अक्ष के अनुदिश अवकलन करता है; दिक्-अवकलज Duf(a) = limt→0 [f(a + tu) − f(a)]/t वही एक इकाई सदिश u के अनुदिश करता है। f बिंदु a पर अवकलनीय है (उसका सम्पूर्ण अवकलज है) यदि कोई रैखिक प्रतिचित्र L हो जिससे f(a + h) = f(a) + L(h) + o(‖h‖)। अस्तित्व होने पर L प्रवणता से मिलता है, L(h) = ∇f(a)·h, और तब प्रत्येक u हेतु Duf(a) = ∇f(a)·u, अतः वृद्धि की अधिकतम दर ‖∇f(a)‖ है, ∇f(a) की दिशा में।

निहितार्थ, तथा प्रत्येक विलोम को तोड़ने वाला प्रति-उदाहरण
निहितार्थविलोम इसके लिए विफल
a के निकट आंशिक अवकलज हों और a पर संतत हों ⇒ f, a पर अवकलनीयf = (x² + y²) sin(1/√(x² + y²)), f(0) = 0: 0 पर अवकलनीय, वहाँ आंशिक अवकलज संतत नहीं
अवकलनीय ⇒ संतत, तथा प्रत्येक Duf का अस्तित्व व ∇f·u के बराबरg = x²y/(x⁴ + y²), g(0) = 0: 0 पर प्रत्येक दिक्-अवकलज है, फिर भी y = x² पर g → 1/2, अतः g संतत भी नहीं
अवकलनीय ⇒ दोनों आंशिक अवकलज हैंf = xy/(x² + y²), f(0) = 0: fₓ(0) = fy(0) = 0, परंतु y = mx पर f = m/(1 + m²), अतः f, 0 पर असंतत
⚠️ प्रवणता सूत्र को अवकलनीयता चाहिए
g = x²y/(x⁴ + y²) हेतु मूलबिंदु पर दोनों आंशिक अवकलज 0 हैं, क्योंकि g दोनों अक्षों पर शून्य है, अतः ∇g(0) = 0। परंतु u₂ ≠ 0 हेतु Dug(0) = u₁²/u₂, जो ∇g(0)·u = 0 नहीं है। सूत्र Duf = ∇f·u अवकलनीयता का परिणाम है, आंशिक अवकलजों के अस्तित्व का नहीं; अनवकलनीय फलन की प्रवणता से दिक्-अवकलज निकालने वाला विकल्प ही जाल है।

मिश्रित आंशिक अवकलज क्रम-निरपेक्ष होते हैं — fxy = fyx — जब दोनों संतत हों (श्वार्ट्ज़/क्लेरो)। सांतत्य के बिना वे भिन्न हो सकते हैं: f = xy(x² − y²)/(x² + y²), f(0) = 0 हेतु fxy(0) = −1 तथा fyx(0) = 1।

2. टेलर प्रमेय, उच्चिष्ठ-निम्निष्ठ, पल्याण बिंदु व लग्रांज गुणक

a के निकट C² वर्ग के f हेतु टेलर प्रमेय देता है f(a + h) = f(a) + ∇f(a)·h + ½ hᵀH(a + θh)h, किसी θ ∈ (0, 1) हेतु, जहाँ H द्वितीय आंशिक अवकलजों का हेसियन आव्यूह है। क्रांतिक बिंदु (∇f(a) = 0) पर द्विघात रूप hᵀH(a)h का चिह्न निर्णय करता है: धनात्मक निश्चित से निश्चित स्थानीय निम्निष्ठ, ऋणात्मक निश्चित से निश्चित स्थानीय उच्चिष्ठ, अनिश्चित से पल्याण बिंदु, और अर्ध-निश्चित पर परीक्षण अनिर्णायक रहता है।

दो-चर परीक्षण, क्रांतिक बिंदु पर D = fxxfyy − fxy² सहित
स्थितिनिष्कर्षमूलबिंदु पर उदाहरण
D > 0, fxx > 0स्थानीय निम्निष्ठx² + y²
D > 0, fxx < 0स्थानीय उच्चिष्ठ−x² − y²
D < 0पल्याण बिंदुx² − y², xy
D = 0कोई निष्कर्ष नहींx⁴ + y⁴ (निम्निष्ठ), x⁴ − y⁴ (पल्याण), x³ (कोई नहीं)

हल किया उदाहरण। f = x³ + y³ − 3xy हेतु ∇f = (3x² − 3y, 3y² − 3x) = 0, बिंदुओं (0, 0) व (1, 1) पर। fxx = 6x, fyy = 6y, fxy = −3 सहित: (0, 0) पर D = −9 < 0, पल्याण; (1, 1) पर D = 36 − 9 = 27 > 0 तथा fxx = 6 > 0, मान −1 सहित स्थानीय निम्निष्ठ। यह वैश्विक निम्निष्ठ नहीं है, क्योंकि ऋणात्मक x-अक्ष पर f → −∞।

🎯 लग्रांज की शर्त ∇f = λ∇g क्यों है
स्तर-समुच्चय g = c पर, जहाँ ∇g ≠ 0, f का चरम खोजने हेतु केवल पृष्ठ के अनुदिश चलें: प्रत्येक स्पर्शी दिशा v संतुष्ट करती है ∇g·v = 0, और चरम पर ऐसी सभी v हेतु Dvf = ∇f·v शून्य होना चाहिए। अतः ∇f पूरी स्पर्शी समष्टि पर लंब है, जो ∇f = λ∇g बाध्य करता है। परिकल्पना ∇g ≠ 0 अनिवार्य है: g = y² − x³ = 0 पर f = x का निम्निष्ठ लें; निम्निष्ठ (0, 0) पर है, जहाँ ∇g = 0 और कोई λ नहीं, क्योंकि ∇f = (1, 0)। दो प्रतिबंधों हेतु शर्त ∇f = λ∇g + μ∇h है।

गोले पर गुणक विधि का एक-पंक्ति संक्षेप है: ‖x‖ = r पर रैखिक फलन c·x के चरम मान ±r‖c‖ हैं, जो x = ±rc/‖c‖ पर प्राप्त होते हैं। अतः x² + y² + z² = 9 पर x + 2y + 2z का परास [−9, 9] है।

3. द्वि- व त्रि-समाकल, जैकोबियन व चर-परिवर्तन

ऐसे क्षेत्र पर संतत f हेतु जो साथ ही प्रकार I व प्रकार II दोनों का हो, फ़ूबिनी प्रमेय समाकलन का क्रम बदलने देता है, और इसी से असंभव आंतरिक समाकल सरल बनता है: ∫₀¹∫ₓ¹ ey² dy dx का कोई प्रारंभिक आंतरिक समाकल नहीं, परंतु क्षेत्र 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 है, अतः यह ∫₀¹∫₀ʸ ey² dx dy = ∫₀¹ y ey² dy = (e − 1)/2 के बराबर है।

चर-परिवर्तन। यदि T: (u, v) ↦ (x, y) अशून्य जैकोबियन J = ∂(x, y)/∂(u, v) वाला C¹ एकैकी आच्छादन हो, तो ∬T(D) f dx dy = ∬D f(T(u, v)) |J| du dv। निरपेक्ष मान महत्त्वपूर्ण है; व्युत्क्रम प्रतिचित्र का जैकोबियन 1/J है।

सर्वाधिक प्रयुक्त जैकोबियन
निर्देशांकप्रतिचित्र|J|
ध्रुवीयx = r cos θ, y = r sin θr
बेलनाकारx = r cos θ, y = r sin θ, z = zr
गोलीयx = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ तथा z = ρ cos φρ² sin φ
रैखिक(x, y) = A(u, v)|det A|
  • D का क्षेत्रफल ∬D 1 dA है; D पर z = f ≥ 0 के नीचे आयतन ∬D f dA, तथा ठोस V का आयतन ∭V 1 dV (त्रिज्या a की गेंद: ∫₀2π∫₀π∫₀a ρ² sin φ dρ dφ dθ = 4πa³/3)।
  • D पर आलेख z = f(x, y) का पृष्ठ-क्षेत्रफल ∬D √(1 + fₓ² + fy²) dA है; प्राचलित पृष्ठ r(u, v) हेतु ∬ ‖ru × rv‖ du dv। z = 2 के नीचे परवलयज z = x² + y² का क्षेत्रफल ∫₀2π∫₀√2 √(1 + 4r²) r dr dθ = 2π(27 − 1)/12 = 13π/3 है।

4. प्रवणता, अपसरण, कुंडली, रेखा- व पृष्ठ-समाकल

अदिश φ व सदिश क्षेत्र F = (P, Q, R) हेतु: ∇φ = (φₓ, φy, φz); div F = Pₓ + Qy + Rz; curl F = (Ry − Qz, Pz − Rₓ, Qₓ − Py)। C² क्षेत्रों हेतु curl ∇φ = 0 तथा div curl F = 0, और div ∇φ = ∇²φ। रेखा-समाकल ∫C F·dr = ∫ₐᵇ F(r(t))·r′(t) dt, C के अभिविन्यास पर निर्भर है परंतु उसके प्राचलीकरण पर नहीं; पृष्ठ-समाकल ∬S F·n dS, S से होकर F का अभिवाह है।

किसी विवृत संबद्ध समुच्चय पर F संरक्षी है (F = ∇φ, समतुल्यतः प्रत्येक बंद वक्र पर ∮F·dr = 0, समतुल्यतः पथ-स्वतंत्रता) ठीक तब जब रेखा-समाकल केवल अंत-बिंदुओं पर निर्भर हों; तब ∫C ∇φ·dr = φ(अंत) − φ(आरंभ)। सरलतः संबद्ध विवृत समुच्चय पर curl F = 0 भी पर्याप्त है।

⚠️ छिद्रित तल पर शून्य कुंडली पर्याप्त नहीं
ℝ² ∖ {0} पर F = (−y/(x² + y²), x/(x² + y²)) हेतु हर स्थान पर Qₓ − Py = 0, फिर भी इकाई वृत्त r = (cos t, sin t) पर F·r′ = sin²t + cos²t = 1 तथा ∮F·dr = 2π ≠ 0। अतः F छिद्रित तल पर संरक्षी नहीं; यह ध्रुवीय कोण θ की प्रवणता केवल कटे हुए तल पर है, जो सरलतः संबद्ध है। छिद्र ही “कुंडली शून्य ⇒ प्रवणता” को तोड़ता है।

5. ग्रीन, स्टोक्स व गाउस के प्रमेय

परिकल्पनाओं सहित कथन
प्रमेयकथनपरिकल्पनाएँ
ग्रीन∮C (P dx + Q dy) = ∬D (Qₓ − Py) dAC धनात्मक अभिविन्यस्त, खंडशः चिकना, सरल बंद वक्र जो D को घेरे; D को समाविष्ट करने वाले विवृत समुच्चय पर P, Q वर्ग C¹ के
स्टोक्स∮∂S F·dr = ∬S (curl F)·n dSS अभिविन्यस्त, खंडशः चिकना पृष्ठ जिसकी सीमा ∂S दक्षिण-हस्त नियम से अभिविन्यस्त; S के निकट F वर्ग C¹ का
गाउस (अपसरण)∯∂V F·n dS = ∭V div F dVV परिबद्ध ठोस जिसकी सीमा बाह्य अभिलंब n सहित बंद खंडशः चिकना पृष्ठ है; V पर F वर्ग C¹ का
  • ग्रीन से क्षेत्रफल। (P, Q) = (−y/2, x/2) लेने से क्षेत्रफल(D) = ½∮C(x dy − y dx); दीर्घवृत्त x = a cos t, y = b sin t हेतु यह ½∫₀2π ab dt = πab है।
  • एक पंक्ति में गाउस। F = (x, y, z) हेतु div F = 3, अतः त्रिज्या a के गोले से इसका बाह्य अभिवाह 3 · (4/3)πa³ = 4πa³ है, जिसकी पुष्टि सीधी गणना करती है — गोले पर F·n = a, गुणा क्षेत्रफल 4πa²।
  • स्टोक्स पृष्ठ चुनने देता है। समान अभिविन्यस्त सीमा वाला प्रत्येक पृष्ठ curl F का समान अभिवाह देता है, अतः अर्धगोले के स्थान पर उसे ढँकने वाली समतल चकती लें।
⚠️ छिद्र वाले क्षेत्र पर ग्रीन
ग्रीन प्रमेय को सम्पूर्ण D पर P व Q का C¹ होना चाहिए। खंड 4 के क्षेत्र व इकाई चकती हेतु दायाँ पक्ष ∬0 dA = 0 होता जबकि बायाँ 2π है; कोई विरोधाभास नहीं, क्योंकि क्षेत्र मूलबिंदु पर परिभाषित ही नहीं। वलयाकार क्षेत्र हेतु सीमा के दो भाग हैं, बाहरी वामावर्त व आंतरिक दक्षिणावर्त, और तब प्रमेय लागू होता है।

मुख्य बिंदु

  • संतत आंशिक अवकलज ⇒ अवकलनीय ⇒ Duf = ∇f·u सहित संतत; प्रत्येक विलोम विफल है, और xy/(x² + y²) व x²y/(x⁴ + y²) तैयार रखने योग्य प्रति-उदाहरण हैं।
  • क्रांतिक बिंदु पर D = fxxfyy − fxy² निर्णय करता है: D > 0 पर fxx के चिह्न से चरम, D < 0 पर पल्याण, D = 0 पर कुछ नहीं।
  • लग्रांज शर्त ∇f = λ∇g प्रतिबंधित चरम पर केवल वहाँ लागू है जहाँ ∇g ≠ 0।
  • |J| सहित चर बदलें: ध्रुवीय व बेलनाकार हेतु r, गोलीय हेतु ρ² sin φ; आंतरिक समाकल का पूर्वग न हो तो समाकलन का क्रम उलटें।
  • ग्रीन, स्टोक्स व गाउस को सम्पूर्ण क्षेत्र पर C¹ क्षेत्र चाहिए; curl F = 0 केवल सरलतः संबद्ध प्रांत पर विभव देता है।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. मान लें (x, y) ≠ (0, 0) हेतु f(x, y) = xy/(x² + y²) तथा f(0, 0) = 0। मूलबिंदु पर,

    1. दोनों आंशिक अवकलज हैं परंतु f संतत नहीं
    2. f संतत है परंतु कोई आंशिक अवकलज नहीं
    3. f अवकलनीय है
    4. f संतत है और दोनों आंशिक अवकलज हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दोनों आंशिक अवकलज हैं परंतु f संतत नहीं

    f दोनों अक्षों पर शून्य है, अतः fₓ(0, 0) = lim [f(h, 0) − 0]/h = 0 और इसी प्रकार fy(0, 0) = 0। रेखा y = mx पर f = m/(1 + m²), जो m पर निर्भर है (y = x पर 1/2, y = 0 पर 0), अतः मूलबिंदु पर सीमा का अस्तित्व नहीं और f असंतत है; असंतत फलन अवकलनीय नहीं हो सकता।

  2. मान लें (x, y) ≠ (0, 0) हेतु g(x, y) = x²y/(x⁴ + y²) तथा g(0, 0) = 0। मूलबिंदु पर कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. प्रत्येक इकाई सदिश u हेतु दिक्-अवकलज Dug का अस्तित्व है
    2. g संतत है
    3. g अवकलनीय है
    4. प्रत्येक इकाई सदिश u हेतु Dug = ∇g·u
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक इकाई सदिश u हेतु दिक्-अवकलज D_{u}g का अस्तित्व है

    (1) सत्य: g(tu)/t = u₁²u₂/(t²u₁⁴ + u₂²) → u₁²/u₂ यदि u₂ ≠ 0, तथा u₂ = 0 हो तो g(tu) = 0। (2) असत्य: y = x² पर g = x⁴/(2x⁴) = 1/2 ≠ 0। (3) असत्य: अवकलनीयता से सांतत्य निकलता है, जो विफल है। (4) असत्य: ∇g(0) = (0, 0) क्योंकि g दोनों अक्षों पर शून्य है, परंतु u = (1, 1)/√2 हेतु Dug = u₁²/u₂ ≠ 0।

  3. बिंदु (1, 2, 1) पर सदिश 2i − j + 2k की दिशा में f(x, y, z) = x²y + yz³ का दिक्-अवकलज ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6

    (1, 2, 1) पर ∇f = (2xy, x² + z³, 3yz²) = (4, 2, 6)। इकाई सदिश (2, −1, 2)/3 है, क्योंकि ‖(2, −1, 2)‖ = 3। Duf = (8 − 2 + 12)/3 = 18/3 = 6। सामान्यीकरण भूलने पर 18 आता है।

  4. f(x, y) = x³ + y³ − 3xy हेतु क्रांतिक बिंदु हैं

    1. (0, 0), पल्याण बिंदु, तथा (1, 1), स्थानीय निम्निष्ठ
    2. (0, 0), स्थानीय उच्चिष्ठ, तथा (1, 1), स्थानीय निम्निष्ठ
    3. (0, 0), पल्याण बिंदु, तथा (1, 1), स्थानीय उच्चिष्ठ
    4. केवल (1, 1), वैश्विक निम्निष्ठ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (0, 0), पल्याण बिंदु, तथा (1, 1), स्थानीय निम्निष्ठ

    fₓ = 3x² − 3y = 0 तथा fy = 3y² − 3x = 0 से y = x², x = x⁴, अतः (0, 0) व (1, 1)। fxx = 6x, fyy = 6y, fxy = −3 सहित: D(0, 0) = −9 < 0, पल्याण; D(1, 1) = 27 > 0 व fxx = 6 > 0, स्थानीय निम्निष्ठ। यह वैश्विक नहीं: f(x, 0) = x³ → −∞।

  5. x² + y² + z² = 9 के प्रतिबंध पर x + 2y + 2z का अधिकतम मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 9

    लग्रांज: (1, 2, 2) = 2λ(x, y, z), अतः (x, y, z), लंबाई 3 वाले (1, 2, 2) के समांतर है; त्रिज्या 3 के गोले पर (x, y, z) = (1, 2, 2) और मान 1 + 4 + 4 = 9। समतुल्यतः कौशी–श्वार्ट्ज़ देता है |c·x| ≤ ‖c‖‖x‖ = 3 × 3। न्यूनतम −9 है।

  6. ∫₀¹ ∫ₓ¹ ey² dy dx का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.86

    आंतरिक समाकल का कोई प्रारंभिक पूर्वग नहीं, अतः 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 पर क्रम उलटें: ∫₀¹ (∫₀ʸ dx) ey² dy = ∫₀¹ y ey² dy = [ey²/2]₀¹ = (e − 1)/2 = 1.71828/2 = 0.859, अर्थात् 0.86।

  7. गोलीय निर्देशांक x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ में आयतन अवयव dx dy dz बराबर है

    1. ρ² sin φ dρ dφ dθ
    2. ρ sin φ dρ dφ dθ
    3. ρ² cos φ dρ dφ dθ
    4. ρ² dρ dφ dθ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ρ² sin φ dρ dφ dθ

    जैकोबियन सारणिक ∂(x, y, z)/∂(ρ, φ, θ), ρ² sin φ के बराबर है, जो 0 ≤ φ ≤ π हेतु अऋणात्मक है। इसे 0 ≤ ρ ≤ a, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π पर समाकलित करने से (a³/3)(2)(2π) = 4πa³/3, गेंद का आयतन, मिलता है — एक त्वरित जाँच जो अन्य गुणकों को हटा देती है।

  8. परवलयज z = x² + y² के उस भाग का पृष्ठ-क्षेत्रफल जो समतल z = 2 के नीचे है, kπ है। k का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4.33

    क्षेत्रफल = x² + y² ≤ 2 पर ∬ √(1 + 4x² + 4y²) dA = ∫₀2π ∫₀√2 √(1 + 4r²) r dr dθ। u = 1 + 4r² से r dr = du/8 तथा u, 1 से 9 तक: 2π · (1/8)(2/3)(27 − 1) = 2π · 26/12 = 13π/3। अतः k = 13/3 = 4.33।

  9. मान लें ℝ² ∖ {(0, 0)} पर F = (−y/(x² + y²), x/(x² + y²))। कौन-सा कथन सही है?

    1. curl F = 0 परंतु F, ℝ² ∖ {(0, 0)} पर संरक्षी नहीं
    2. curl F = 0, अतः F, ℝ² ∖ {(0, 0)} पर संरक्षी है
    3. curl F ≠ 0, इसीलिए परिसंचरण अशून्य है
    4. इकाई वृत्त पर F का परिसंचरण 0 है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — curl F = 0 परंतु F, ℝ² ∖ {(0, 0)} पर संरक्षी नहीं

    Qₓ = (y² − x²)/(x² + y²)² = Py, अतः (अदिश) कुंडली शून्य है। r = (cos t, sin t) पर F·r′ = sin²t + cos²t = 1, अतः ∮F·dr = 2π ≠ 0, जबकि संरक्षी क्षेत्र का परिसंचरण शून्य होता है। कुंडली शून्य होने से विभव केवल सरलतः संबद्ध प्रांत पर मिलता है; छिद्रित तल वैसा नहीं।

  10. मान लें C वामावर्त चलाया गया इकाई वृत्त x² + y² = 1 है। तब ∮C (−y³ dx + x³ dy) = kπ, जहाँ k = ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.5

    ग्रीन से समाकल ∬ (Qₓ − Py) dA = ∬ (3x² + 3y²) dA = 3∫₀2π∫₀¹ r² · r dr dθ = 3 · 2π · 1/4 = 3π/2, अतः k = 1.5। परिकल्पनाएँ लागू हैं: P = −y³, Q = x³ बहुपद हैं।

  11. इकाई गोले x² + y² + z² = 1 से होकर F = (x³, y³, z³) का बाह्य अभिवाह kπ है, जहाँ k = ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.4

    div F = 3(x² + y² + z²) = 3ρ²। गाउस से अभिवाह = ∭ 3ρ² · ρ² sin φ dρ dφ dθ = 3 · (1/5) · 2 · 2π = 12π/5, अतः k = 2.4। div F को 3 मानकर आयतन 4π/3 लेने से गलत 4 आता है।

  12. मान लें F = (y, z, x) तथा C वृत्त x² + y² = 1, z = 0 है, ऊपर से देखने पर वामावर्त अभिविन्यस्त। तब ∮C F·dr = kπ, जहाँ k = ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: -1

    curl F = (Ry − Qz, Pz − Rₓ, Qₓ − Py) = (0 − 1, 0 − 1, 0 − 1) = (−1, −1, −1)। n = k सहित इकाई चकती पर स्टोक्स से समाकल (−1) × π = −π, अतः k = −1। सीधे: r = (cos t, sin t, 0), F·r′ = sin t · (−sin t) + 0 + cos t · 0 = −sin²t, जिसका समाकल −π है। टाइप करने पर उत्तर -1 है।

  13. ℝ³ पर वर्ग C² के अदिश क्षेत्र φ व सदिश क्षेत्र F हेतु कौन-सी सर्वसमिकाएँ हर स्थान पर लागू हैं?

    1. curl(∇φ) = 0
    2. div(curl F) = 0
    3. curl(curl F) = 0
    4. div(∇φ) = ∇²φ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — curl(∇φ) = 0; B — div(curl F) = 0; D — div(∇φ) = ∇²φ

    (1) व (2) लागू हैं क्योंकि C² फलनों के मिश्रित द्वितीय आंशिक अवकलज क्रम-निरपेक्ष हैं। (4) लाप्लासियन की परिभाषा है। (3) असत्य है: curl curl F = ∇(div F) − ∇²F; F = (0, 0, x²) हेतु curl F = (0, −2x, 0) तथा curl curl F = (0, 0, −2) ≠ 0।

  14. क्षेत्रफल = ½∮(x dy − y dx) से दीर्घवृत्त x²/9 + y²/4 = 1 द्वारा घिरा क्षेत्रफल है

    1. 6π
    2. 12π
    3. 36π
    4. 3π
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 6π

    x = 3 cos t, y = 2 sin t सहित x dy − y dx = (6 cos²t + 6 sin²t) dt = 6 dt, अतः क्षेत्रफल ½ · 6 · 2π = 6π = πab, a = 3, b = 2 सहित। 12π गुणक ½ भूलता है; 36π, a² को b² से गुणा करता है।