संकेत, LTI तंत्र, संवलन और प्रतिचयन

GATE यंत्रीकरण अभियांत्रिकी (IN) पेपर का खंड 4। इस पेपर के शेष भाग का हर उपकरण एक ऐसा तंत्र है जो संकेत लेता है और संकेत देता है, और यह खंड उसी 'क्या करता है' को कहने की भाषा है। आरंभ आवेग से: जो तंत्र रैखिक और काल-अपरिवर्ती है, वह एक तीखी चोट पर अपनी प्रतिक्रिया से पूरी तरह वर्णित हो जाता है, और शेष सब — पग, ज्या, या अभिलिखित तरंग की प्रतिक्रिया — उसी एक उत्तर से संवलन द्वारा निकल आता है। दूसरा भाग यह है कि सतत संकेत को अंतराल पर पढ़ने से क्या होता है, जो खंड 7 का हर आँकड़ा-अर्जन कार्ड कर रहा होता है, और वह नियम जो तय करता है कि प्रतिदर्शों में संकेत बचा है या उसके बारे में एक झूठ।

1. वे संकेत जिनके नाम आवश्यक हैं

कोई संकेत आवर्ती है यदि वह किसी काल T के बाद ठीक-ठीक दोहराता है, और ऐसा न्यूनतम T उसका आवर्तकाल है। शेष सब अनावर्ती हैं। यह भेद इसलिए महत्वपूर्ण है कि आवर्ती संकेत की फूरिये श्रेणी होती है — विविक्त हरात्मकों का योग — जबकि अनावर्ती को फूरिये रूपांतर चाहिए, अर्थात् आवृत्तियों का सातत्य। इस खंड में दो संकेत सबसे अधिक काम आते हैं। एकक पग किसी वस्तु को चालू करके चालू ही रखता है। एकक आवेग आदर्श तीखी चोट है: शून्य चौड़ाई, एकक क्षेत्रफल, अनंत ऊँचाई — साधारण अर्थ में यह फलन नहीं है, पर तंत्र को टटोलने के लिए ठीक यही चाहिए।

⚠️ योग का आवर्तकाल
दो आवर्ती संकेतों का योग तभी आवर्ती है जब उनके आवर्तकालों का अनुपात परिमेय हो, और तब आवर्तकाल दोनों का ल.स. होता है, बड़ा वाला नहीं। sin(2t) + sin(3t) के आवर्तकाल pi और 2pi/3 हैं, अनुपात 3/2, अतः योग 2pi के बाद दोहराता है। sin(t) + sin(pi*t) कभी नहीं दोहराता।

आवेग का एक गुण उसके आकार से अधिक महत्वपूर्ण है: छनन गुण। किसी भी सतत संकेत का विस्थापित आवेग के साथ समाकलन उस संकेत का विस्थापन-बिंदु पर मान छाँट देता है। यही एक तथ्य कारण है कि आवेग पर तंत्र की प्रतिक्रिया आपको हर वस्तु पर उसकी प्रतिक्रिया बता देती है।

2. रैखिक, काल-अपरिवर्ती — और दोनों क्यों आवश्यक हैं

रैखिकता का अर्थ है कि निवेश को गुणित करने से निर्गम गुणित होता है और दो निवेश जोड़ने से उनके निर्गम जुड़ते हैं। काल-अपरिवर्तिता का अर्थ है कि निवेश को विलंबित करने से निर्गम केवल विलंबित होता है, आकार नहीं बदलता। जिस तंत्र में दोनों हों वह LTI तंत्र है, और LTI तंत्र अपनी आवेग-प्रतिक्रिया h(t) से पूर्णतः वर्णित हो जाता है: h ज्ञात होते ही किसी भी निवेश का निर्गम उस निवेश और h का संवलन है। अकेले कोई एक गुण पर्याप्त नहीं। वर्गक काल-अपरिवर्ती है पर रैखिक नहीं। जिस प्रवर्धक का लब्धि समय के साथ बहता है वह रैखिक है पर काल-अपरिवर्ती नहीं, और उसके निर्गम का आकार इस पर निर्भर करता है कि निवेश कब दिया गया।

उपयोगिता तय करने वाले दो गुण h(t) से पढ़ना
गुणh पर शर्तभौतिक अर्थ
कारणिकt < 0 के लिए h(t) = 0निवेश आने से पहले कोई निर्गम नहीं
BIBO स्थायीh निरपेक्ष समाकलनीय हैहर परिबद्ध निवेश परिबद्ध निर्गम देता है
🎯 केवल क्षय नहीं, निरपेक्ष समाकलनीयता क्यों
आवेग-प्रतिक्रिया शून्य की ओर जाकर भी विफल हो सकती है। h(t) = 1/(1+t) घटकर शून्य तक जाती है, फिर भी उसका समाकल अपसारी है, और ऐसा परिबद्ध निवेश विद्यमान है जो निर्गम को असीम कर देता है। क्षय पुच्छ का प्रश्न है; स्थायित्व उसके नीचे के कुल क्षेत्रफल का।

3. संवलन और सहसंबंध: वही समाकल, भिन्न प्रश्न

संवलन एक संकेत को पलटता है, दूसरे पर सरकाता है, और हर विस्थापन पर अतिव्यापन बताता है। यही पलटना सहसंबंध से पूरा अंतर है, जो बिना पलटे सरकाता है। संवलन बताता है कि तंत्र संकेत के साथ क्या करता है; सहसंबंध बताता है कि दो संकेत किसी दिए गए पश्चता पर कितने मिलते-जुलते हैं — यही रडार या खंड 9 का पराश्रव्य प्रवाहमापी प्रतिध्वनि खोजते समय गणना करता है। सममित संकेत के लिए दोनों एक हो जाते हैं, इसीलिए यह भेद भूलना सरल है और उसी पर फँसना भी।

  • संवलन क्रमविनिमेय, साहचर्य और वितरण-नियम पालक है — अतः श्रेणीबद्ध LTI खंडों का क्रम कागज़ पर बदला जा सकता है, तारबंदी चाहे जो कहे।
  • आवेग से संवलन संकेत को अपरिवर्तित लौटाता है; विस्थापित आवेग से संवलन उसे विस्थापित कर देता है।
  • दो परिमित अनुक्रमों के संवलन की लंबाई उनकी लंबाइयों के योग में से एक कम होती है।
🧠 एक सेकंड में लंबाई की जाँच
कोई भी विविक्त संवलन गणना करने से पहले अपेक्षित लंबाई लिख लें: 4 प्रतिदर्शों का 3 से संवलन 6 देता है। यदि गणना कोई और संख्या दे, तो त्रुटि गुणा में नहीं, हिसाब रखने में है।

4. प्रतिचयन, और वह आवृत्ति जो झूठ है

सतत संकेत को हर T सेकंड पर प्रतिचयित करने से उसके स्पेक्ट्रम की प्रतियाँ बन जाती हैं, जो प्रतिचयन आवृत्ति के अंतराल पर रखी होती हैं। यदि संकेत में प्रतिचयन आवृत्ति के आधे से ऊपर कुछ नहीं है, तो प्रतियाँ नहीं छूतीं और मूल संकेत ठीक-ठीक पुनः प्राप्त हो जाता है। यदि है, तो प्रतियाँ अतिव्यापित होती हैं और जो भाग मुड़कर लौटते हैं वे निम्न आवृत्तियों का भेस धरकर आते हैं। यही अपररूपण है, और आगे कुछ भी इसे पलट नहीं सकता: जब दो आवृत्तियाँ एक ही प्रतिदर्श दे चुकी हों, तब कोई निस्यंदक, कोई संसाधन और कितना भी विभेदन उन्हें फिर अलग नहीं कर सकता।

इसका व्यावहारिक परिणाम है अपररूपण-रोधी निस्यंदक, और वह परिवर्तक से पहले लगना चाहिए। अनुरूप पथ में निम्न-पारक निस्यंदक उसे हटा देता है जो मुड़ता; वही निस्यंदक अंकीयकरण के बाद लगाने से स्पेक्ट्रम का एक पट्ट तो हटता है पर अपररूपित घटक ठीक वहीं रह जाते हैं जहाँ वे उतरे थे, क्योंकि अब वे उन आवृत्तियों पर वास्तविक संकेत से अभेद्य हैं।

ℹ️ मुड़ी हुई आवृत्ति कहाँ उतरती है
fs पर प्रतिचयित f का घटक f से fs के निकटतम गुणज तक की दूरी पर प्रकट होता है। 30 Hz को 50 Hz पर प्रतिचयित करने से वह 20 Hz पर आ जाता है, क्योंकि 50 − 30 = 20। वह न 30 Hz पर दिखता है, न लुप्त होता है।

मुख्य बिंदु

  • LTI तंत्र अपनी आवेग-प्रतिक्रिया ही है — h संवलन द्वारा हर संभव निवेश का निर्गम तय करती है।
  • कारणिकता है शून्य से पहले h(t) = 0; BIBO स्थायित्व है h का निरपेक्ष समाकलनीय होना। शून्य तक घटना पर्याप्त नहीं।
  • संवलन सरकाने से पहले पलटता है, सहसंबंध नहीं — और दोनों तभी मिलते हैं जब कोई एक संकेत सममित हो।
  • उपस्थित उच्चतम आवृत्ति के दुगुने से ऊपर प्रतिचयन करें, और निस्यंदन परिवर्तक से पहले करें, बाद में कभी नहीं।
  • अपररूपण रव नहीं है और आगे चलकर हटाया नहीं जा सकता; यह एक गलत आवृत्ति है जो अब वास्तविक दिखती है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. किसी तंत्र का वर्णन y(t) = 3x(t) + 5 है। कौन-सा कथन सही है?

    1. रैखिक और काल-अपरिवर्ती
    2. काल-अपरिवर्ती पर रैखिक नहीं
    3. रैखिक पर काल-अपरिवर्ती नहीं
    4. न रैखिक, न काल-अपरिवर्ती
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — काल-अपरिवर्ती पर रैखिक नहीं

    निवेश को विलंबित करने से निर्गम अपरिवर्तित रूप से विलंबित होता है, अतः यह काल-अपरिवर्ती है। रैखिक नहीं है: शून्य निवेश पर निर्गम 5 आता है, जबकि रैखिक तंत्र को शून्य को शून्य पर भेजना चाहिए। पूरी विफलता यही अचर योज्य है — आलेख सरल रेखा है इसलिए इसे रैखिक कह देना सामान्य भूल है, और 5 से होकर जाती सरल रेखा रैखिक नहीं, ऐफ़ीन होती है।

  2. संकेत x(t) = sin(2t) + sin(3t) का मूल आवर्तकाल है

    1. 2*pi
    2. pi
    3. 2*pi/3
    4. यह आवर्ती नहीं है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 2*pi

    दोनों घटकों के आवर्तकाल pi और 2pi/3 हैं। उनका अनुपात 3/2 है, जो परिमेय है, अतः योग दोनों के लघुत्तम समापवर्त्य अर्थात् 2pi पर दोहराता है। pi उत्तर देना ल.स. के बजाय बड़ा आवर्तकाल ले लेना है, और t = pi पर दूसरा घटक डेढ़ चक्र पूरा करता है, पूर्ण संख्या में चक्र नहीं।

  3. किसी LTI तंत्र की आवेग-प्रतिक्रिया t >= 0 के लिए h(t) = e^(-2t) है और अन्यथा शून्य। यह तंत्र है

    1. कारणिक और BIBO स्थायी
    2. कारणिक पर BIBO स्थायी नहीं
    3. BIBO स्थायी पर कारणिक नहीं
    4. न कारणिक, न BIBO स्थायी
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — कारणिक और BIBO स्थायी

    ऋण काल में h शून्य है, अतः कोई निर्गम अपने निवेश से पहले नहीं आता और तंत्र कारणिक है। शून्य से अनंत तक h के परिमाण का समाकल एक-आधा है, जो परिमित है, अतः यह BIBO स्थायी है। जाल यह मानना है कि चरघातांकी क्षय अकेले पर्याप्त है: क्षय आवश्यक है पर कसौटी परिमित कुल क्षेत्रफल है, और 1/(1+t) घटता है जबकि उसका समाकल अपसारी है।

  4. 7 प्रतिदर्शों के विविक्त अनुक्रम का 4 प्रतिदर्शों के अनुक्रम से संवलन किया जाता है। परिणाम में कितने प्रतिदर्श होंगे?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 10

    M और N लंबाई के अनुक्रमों के संवलन की लंबाई M + N − 1 होती है, अतः 7 + 4 − 1 = 10। घटाया गया एक इसलिए है कि प्रथम अतिव्यापन स्थिति पर दोनों अनुक्रम एक ही प्रतिदर्श में योगदान करते हैं; 11 उत्तर देना उसे भूल जाना है, और 7 उत्तर देना संवलन को यथास्थान निस्यंदन समझ लेना है, जो स्थिर निर्गम-लंबाई वाला चल औसत करता है।

  5. दो संकेतों का संवलन और सहसंबंध एक ही परिणाम देते हैं जब

    1. दोनों संकेत कारणिक हों
    2. कोई एक संकेत सम फलन हो
    3. दोनों संकेत आवर्ती हों
    4. संकेतों की ऊर्जा समान हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — कोई एक संकेत सम फलन हो

    दोनों संक्रियाओं में एकमात्र अंतर यह है कि संवलन सरकाने से पहले एक संकेत को उलट देता है। सम फलन को उलटने से वह अपरिवर्तित रहता है, अतः दोनों समाकल एक हो जाते हैं। कारणिकता सममिति के विषय में कुछ नहीं कहती और समान ऊर्जा आकार के विषय में कुछ नहीं कहती, अतः दोनों में से कोई उलटने को निरापद नहीं बनाता।

  6. 30 Hz की ज्यावक्रीय तरंग को बिना अपररूपण-रोधी निस्यंदक के 50 Hz पर प्रतिचयित किया जाता है। प्रतिचयित आँकड़ों में वह किस आवृत्ति पर, Hz में, प्रकट होती है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 20

    प्रतिचयन दर संकेत आवृत्ति के दुगुने से कम है, अतः घटक मुड़ जाता है। वह 30 Hz से प्रतिचयन दर के निकटतम गुणज तक की दूरी पर पुनः प्रकट होता है, अर्थात् 50 − 30 = 20 Hz। 30 उत्तर देना यह मान लेना है कि प्रतिचयन दर पर्याप्त है जबकि वह नहीं है, और 25 उत्तर देना नाइक्विस्ट आवृत्ति बता देना है, जो सीमा है, इस घटक के उतरने का स्थान नहीं।

  7. प्रतिचयन और अपररूपण के विषय में कौन-से कथन सही हैं?

    1. अपररूपण-रोधी निस्यंदक अनुरूप-से-अंकीय परिवर्तक से पहले लगना चाहिए।
    2. अपररूपित घटकों को बाद के किसी अंकीय संसाधन से हटाया नहीं जा सकता।
    3. परिवर्तक का विभेदन बिट में बढ़ाने से अपररूपण रुक जाता है।
    4. जिस संकेत में प्रतिचयन दर के आधे से ऊपर ऊर्जा न हो, उसे ठीक-ठीक पुनः प्राप्त किया जा सकता है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अपररूपण-रोधी निस्यंदक अनुरूप-से-अंकीय परिवर्तक से पहले लगना चाहिए।; B — अपररूपित घटकों को बाद के किसी अंकीय संसाधन से हटाया नहीं जा सकता।; D — जिस संकेत में प्रतिचयन दर के आधे से ऊपर ऊर्जा न हो, उसे ठीक-ठीक पुनः प्राप्त किया जा सकता है।

    निस्यंदन परिवर्तन से पहले होना चाहिए, क्योंकि परिवर्तन के बाद मुड़े घटक उन्हीं आवृत्तियों पर बैठते हैं जहाँ वास्तविक संकेत भी है और उससे अभेद्य हो जाते हैं; इसी कारण बाद का कोई संसाधन उन्हें नहीं हटाता। पुनःप्राप्ति तब ठीक होती है जब कुछ भी प्रतिचयन दर के आधे से ऊपर न हो। विभेदन बिलकुल अलग अक्ष है: अधिक बिट क्वांटीकरण त्रुटि घटाते हैं और कौन-सी आवृत्तियाँ मुड़ीं इस पर कोई प्रभाव नहीं डालते।

  8. आवेग-प्रतिक्रिया h1 और h2 वाले दो LTI खंड श्रेणी में जोड़े जाते हैं, और वही दोनों विपरीत क्रम में जोड़े जाते हैं। कुल आवेग-प्रतिक्रियाएँ हैं

    1. एक समान, क्योंकि संवलन क्रमविनिमेय है
    2. भिन्न, क्योंकि पहला खंड दूसरे पर भार डालता है
    3. एक समान तभी जब दोनों खंड स्थायी हों
    4. भिन्न, जब तक दोनों आवेग-प्रतिक्रियाएँ सम न हों
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — एक समान, क्योंकि संवलन क्रमविनिमेय है

    दो LTI तंत्रों की श्रेणी की आवेग-प्रतिक्रिया h1 का h2 से संवलन है, और संवलन क्रमविनिमेय है, अतः कागज़ पर क्रम गणित में कोई अंतर नहीं लाता। स्थायित्व और सममिति क्रमविनिमय से असंबद्ध हैं। भार वाला उत्तर भौतिक रूप से सजग है और ठीक इसी कारण यह एक आदर्शीकरण है: वास्तविक श्रेणीबद्ध चरण एक-दूसरे पर भार डालते ही हैं, इसीलिए यंत्रीकरण प्रवर्धकों को बफ़र किया जाता है, पर वह प्रभाव LTI खंड-वर्णन के बाहर है और उसे क्रम बदलकर नहीं, h बदलकर प्रतिरूपित किया जाता है।