विद्युत परिपथ एवं मशीनें: विश्लेषण, AC पावर और रूपांतरण
Sources, circuit laws और first-order transients
KCL node पर charge conservation से और KVL loop में energy conservation से आता है। Independent source अपना voltage या current निर्धारित करता है, जबकि dependent source किसी दूसरे circuit variable से controlled होता है। Superposition या Thevenin resistance निकालते समय independent voltage source को short circuit और independent current source को open circuit करते हैं; dependent sources active रहते हैं।
First-order RC या RL response के लिए एक ही template उपयोग करें: x(t) = x(final) + [x(initial) − x(final)]e^(−t/τ)। Simple RC में τ = RC और simple series RL में τ = L/R। सामान्य switching instant पर capacitor voltage और inductor current continuous रहते हैं, क्योंकि instantaneous change के लिए क्रमशः impulse current या impulse voltage चाहिए।
Network theorems और one/two-port दृष्टि
Thevenin और Norton linear two-terminal network को ऐसे forms में बदलते हैं जिनसे load calculation सरल हो जाती है। Vth open-circuit terminal voltage है और independent sources deactivate करने के बाद terminals से दिखने वाला resistance Rth है; dependent sources होने पर test source आवश्यक हो सकता है। Norton current short-circuit current है और Rn = Rth।
Superposition independent sources से उत्पन्न responses को linearly add करता है। यह voltage और current के लिए valid है, लेकिन power voltage या current में nonlinear है; इसलिए अलग-अलग source cases की powers को सीधे जोड़कर total power नहीं मिलता। Maximum power transfer load matching का परिणाम है: resistive Thevenin network में RL = Rth, जबकि AC network में conjugate match ZL = Zth* होता है।
| विधि | क्या देता है | मुख्य उपयोग |
|---|---|---|
| Thevenin | Vth series में Rth/Zth | विभिन्न load |
| Norton | In parallel में Rn/Zn | समानांतर-लोड गणनाएँ |
| Superposition | एक समय में एक source का contribution | Source effects समझना |
Sinusoidal steady state, complex power और transformers
Sinusoidal steady-state circuit में derivatives को jω multiplication और integrals को 1/(jω) से represent करने पर analysis सरल हो जाता है। Resistor, inductor और capacitor की impedances क्रमशः R, jωL और 1/(jωC) हैं। Phasor notation बार-बार time-domain differentiation से बचाते हुए amplitude और phase की जानकारी बनाए रखता है।
RMS phasor के लिए complex power S = VI* = P + jQ होता है। P average real power, Q reactive power और |S| apparent power है। Power factor = P/|S|। Ideal transformer mutual magnetic coupling से AC power transfer करता है: V1/V2 = N1/N2 और I1/I2 = N2/N1, जबकि frequency नहीं बदलती। Ideal transformer energy create नहीं करता; voltage level और current level के बीच trade-off करता है।
Electrical machines: energy conversion और operating concepts
Electrical machine electromagnetic interaction के माध्यम से energy convert करती है। Transformer में changing magnetic field के माध्यम से electrical-to-electrical transfer होता है; motor में electrical input mechanical output बनता है; generator में mechanical input electrical output बनता है। Flux linkage, induced emf और electromagnetic force/torque के वही मूल principles सभी मामलों में दिखाई देते हैं।
Rotating machines में speed, electrical frequency और pole count जुड़े होते हैं। Synchronous speed Ns = 120f/P rpm है। Induction motor motoring operation में rotor synchronous speed से नीचे चलता है, जिससे slip और rotor current पैदा होते हैं और torque बनता है। Synchronous machine में rotor field rotating magnetic field के साथ synchronous speed पर lock होता है; permanent-magnet synchronous motor rotor excitation के लिए permanent magnets का उपयोग करता है।
| मशीन | Energy की दिशा | मुख्य विचार |
|---|---|---|
| Motor | Electrical → mechanical | Electromagnetic torque |
| Generator | Mechanical → electrical | Induced emf |
| Transformer | Electrical → electrical | Mutual induction |
Power converters, PWM और practical calculation strategy
Switching converter semiconductor switches के माध्यम से source को बार-बार connect/disconnect करके energy regulate करता है। Ideal buck converter में continuous conduction के लिए average output voltage Vo = DVs होता है, जहाँ D duty ratio है। Ideal boost converter के लिए Vo = Vs/(1−D)। ये steady-state results हैं; startup या discontinuous conduction में इन्हें बिना जाँच के लागू नहीं करना चाहिए।
PWM प्रत्येक switching period में switch के ON रहने के fraction को बदलता है। इसलिए switching frequency fixed रखते हुए average output voltage बदला जा सकता है। परीक्षा में अच्छा workflow है: topology पहचानें, switching states लिखें, जहाँ उपयुक्त हो volt-second balance या charge balance लगाएँ, फिर D → 0 या D → 1 जैसे limiting cases से उत्तर जाँचें।
मुख्य बिंदु
- Circuit problem को सबसे सरल valid representation चुनकर शुरू करें: KCL/KVL, equivalent circuit या phasor model।
- First-order transient में exponential लिखने से पहले initial value, final value और storage element द्वारा देखा गया resistance निकालें।
- Thevenin, Norton और superposition linear networks को सरल करते हैं, लेकिन power को सीधे superpose नहीं किया जा सकता।
- Complex power में RMS phasors को consistent रखें: S = VI* = P + jQ।
- Ideal transformer में turns ratio voltage और current levels बदलता है, frequency नहीं।
- Induction-motor torque के लिए slip आवश्यक है; synchronous operation synchronous speed पर होता है।
- Ideal buck और boost formulas steady-state continuous-conduction operation बताते हैं, हर transient condition को नहीं।
- अपरिचित result को स्वीकार करने से पहले dimensions और limiting cases से algebra जाँचें।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
एक सामान्य switching circuit में capacitor का प्रारंभिक voltage 4 V है और अंतिम voltage 10 V है। Switching instant पर कौन-सी quantity continuous रहती है?
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उत्तर: A — Capacitor voltage
सामान्य capacitor voltage impulse current के बिना instantaneously jump नहीं कर सकता।Rth = 6 ohm वाले resistive Thevenin equivalent में maximum DC load power किस RL पर होगी?
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उत्तर: B — 6 ohm
Resistive DC network में maximum power transfer के लिए RL = Rth होता है।Ideal transformer operation के बारे में कौन-से statements सही हैं?
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उत्तर: A — Frequency unchanged रहती है; B — Voltage ratio turns ratio के बराबर होता है; C — Ideal model में input और output power equal होते हैं
Ideal transformer voltage और current को inverse ratio में बदलता है और power तथा frequency conserve करता है।एक ideal buck converter का input 48 V और duty ratio D = 0.25 है तथा continuous conduction है। Average output voltage volts में लिखें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 12
Ideal buck converter में Vo = DVs = 0.25 × 48 = 12 V।RMS phasors वाले sinusoidal circuit में complex power क्या है?
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उत्तर: A — S = VI*
RMS voltage और current phasors के लिए S = VI* से P + jQ मिलता है।एक 4-pole machine 50 Hz supply पर चलती है। इसकी synchronous speed क्या है?
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उत्तर: C — 1500 rpm
समकालिक गति Ns = 120f/P = 120 × 50/4 = 1500 rpm होती है। 3000 rpm 2-ध्रुव मशीन का उत्तर है और 750 rpm 8-ध्रुव का, इसलिए दोनों सूत्र की नहीं बल्कि ध्रुव-संख्या पढ़ने की भूल हैं: स्थिर आपूर्ति आवृत्ति पर ध्रुव बढ़ने से गति घटती है।Linear circuits में superposition के बारे में कौन-से statements सही हैं?
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उत्तर: A — Independent sources को एक-एक करके consider किया जाता है; B — Voltage responses को algebraically add किया जा सकता है; C — Current responses को algebraically add किया जा सकता है
Linearity voltage और current responses को superpose करने देती है, लेकिन power nonlinear होती है।Ideal continuous-conduction operation में boost-converter output voltage का सही expression कौन-सा है?
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उत्तर: B — Vo = Vs/(1−D)
Ideal boost converter में continuous conduction के लिए Vo = Vs/(1−D) होता है।