पृथ्वी का अंतरंग, तरल, प्रत्यास्थता व भूकंपीय तरंगें
2. अंतरंग का तापमान, विद्युतीय व चुंबकीय गुण
तापमान स्थलमंडल में तीव्र व चालनी है, फिर D″ पर तप्त सीमा-परत सहित लगभग 0.3 से 0.5 K/km वाले प्रावार रुद्धोष्म वक्र का अनुसरण करता है (देखें ऊष्मा-प्रवाह अध्याय)। भूकंपीय तरंगें तापमान सीधे नहीं पढ़तीं। उसे उन गहराइयों से, जहाँ प्रयोगशाला के प्रावस्था-परिवर्तन होते हैं (410 व 660 km), और ICB पर लौह-मिश्रधातु के गलन से बाँधा जाता है, अतः ICB का तापमान, जो 5000 K की कोटि का है, लगभग 330 GPa पर गलनांक है। CMB कई हज़ार केल्विन पर है।
विद्युत-चालकता σ गहराई के साथ तीव्रता से बढ़ती है क्योंकि खनिजों में चालन ऊष्मा-सक्रियित है, σ = σ₀ exp(−E/kT)। शुष्क भूपर्पटी की चट्टान कुचालक है, प्रावार उथले ऊपरी प्रावार में लगभग 10⁻³ से 10⁻² S/m से निचले प्रावार में 1 S/m या अधिक की कोटि तक जाता है, और द्रव-लौह बाह्य क्रोड 10⁵ से 10⁶ S/m वाली धातु है। इसे मैग्नेटोटेलुरिक्स (magnetotellurics) व भू-चुंबकीय गहराई-ध्वनन से टटोला जाता है, जिसमें प्राकृतिक क्षेत्र-परिवर्तनों की भेदन-गहराई त्वचा-गहराई (skin depth) δ = √(2/(ωμ₀σ)) ≈ 503 √(ρ/f) मीटर है, जहाँ प्रतिरोधकता ρ = 1/σ Ω·m में और आवृत्ति f Hz में है। उदाहरण: ρ = 100 Ω·m व f = 0.01 Hz से 503 × 100 ≈ 50 km, और कम आवृत्तियाँ अधिक गहरा टटोलती हैं।
चुंबकीय गुण। मैग्नेटाइट जैसे लौहचुंबकीय खनिज क्यूरी तापमान (मैग्नेटाइट हेतु लगभग 580 °C) से ऊपर अपना स्वतः चुंबकत्व खो देते हैं, जो कुछ दसियों किलोमीटर की गहराई पर पहुँच जाता है। अतः भूपर्पटी अवशिष्ट चुंबकत्व रख सकती है, जिससे लघु-तरंगदैर्घ्य विसंगतियाँ बनती हैं, पर प्रावार नहीं रख सकता। मुख्य भू-चुंबकीय क्षेत्र, जो अधिकांशतः सतह पर कुछ दसियों µT का द्विध्रुव है, बाह्य क्रोड में डायनमो (dynamo) से बनता है, जिसे घूमता, संवहन करता, विद्युत-चालक तरल चाहिए। चालक प्रावार सबसे तेज़ क्षेत्र-परिवर्तनों को छान देता है।
3. संरक्षण नियम, न्यूटन का श्यानता नियम, धारारेखीय व विक्षुब्ध प्रवाह
संरक्षण नियम (conservation laws) सांतत्यक यांत्रिकी का आधार हैं। द्रव्यमान: ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0, जो असंपीड्य तरल हेतु ∇·v = 0 है। संवेग: ρ Dv/Dt = ∇·σ + ρg, जो श्यान असंपीड्य तरल हेतु नेवियर–स्टोक्स समीकरण ρ Dv/Dt = −∇p + η∇²v + ρg है। ऊर्जा: प्रथम नियम, जो ऊष्मा-समीकरण देता है। छोटे विस्थापन u वाले ठोस हेतु संवेग-नियम ρ ∂²u/∂t² = ∇·σ + f बन जाता है, जो भूकंपीय तरंगों का आरंभ-बिंदु है।
न्यूटन का श्यानता नियम (Newton’s law of viscosity) कहता है कि अपरूपण प्रतिबल वेग-प्रवणता के अनुक्रमानुपाती है, τ = η dv/dy, जहाँ गतिक श्यानता η Pa·s में है (पानी लगभग 10⁻³, प्रावार 10²⁰ से 10²²)। शुद्धगतिक श्यानता ν = η/ρ है। हल उदाहरण। स्थिर पट्ट व 0.5 m/s से चलते पट्ट के बीच 2 mm मोटी परत, η = 0.1 Pa·s हेतु, τ = 0.1 × 0.5 / 0.002 = 25 Pa वहन करती है। प्रावार-विसर्पण सख़्ती से न्यूटनी नहीं है (विकृति-दर प्रतिबल से तेज़ बढ़ती है), अतः भूभौतिकीविद् प्रभावी श्यानता बताते हैं।
- धारारेखीय प्रवाह (laminar flow) चिकनी परतों में चलता है। स्थिर व गतिमान पट्ट के बीच कूएट प्रवाह (Couette flow) का वेग-प्रोफ़ाइल रैखिक और अपरूपण प्रतिबल एकसमान ηU/h होता है। त्रिज्या R की नली में प्वाज़ेई प्रवाह (Poiseuille flow) का प्रोफ़ाइल परवलयिक v(r) = (ΔP/4ηL)(R² − r²), माध्य चाल अधिकतम की आधी और निस्सरण Q = πR⁴ΔP/(8ηL) होता है, अतः त्रिज्या दुगुनी करने पर Q सोलह गुना हो जाता है। समानांतर दीवारों के बीच अंतराल h से प्रति इकाई चौड़ाई Q = h³ΔP/(12ηL) मिलता है, यह एक कारण है कि चौड़ी डाइकें मैग्मा को इतनी अच्छी तरह ले जाती हैं।
- विक्षुब्ध प्रवाह (turbulent flow) अव्यवस्थित है, जिसमें भँवरें संवेग व ऊष्मा को आणविक विसरण से कहीं अधिक प्रभावी ढंग से ले जाती हैं, माध्य वेग-प्रोफ़ाइल अधिक चपटा होता है और कर्ष (drag) लगभग v² की तरह बढ़ता है।
रेनॉल्ड्स संख्या (Reynolds number) Re = ρ v L/η = vL/ν जड़त्वीय व श्यान बलों का अनुपात है। नली में प्रवाह लगभग 2000 से कम Re पर धारारेखीय और लगभग 4000 से अधिक पर विक्षुब्ध होता है, बीच में संक्रमण-परिसर रहता है। ρ = 2700 kg/m³, चाल 0.5 m/s, गहराई 2 m व η = 100 Pa·s वाले लावा हेतु Re = 27, धारारेखीय; 0.1 m नली में 0.5 m/s पर पानी हेतु Re = 5×10⁴, विक्षुब्ध। प्रावार में Re लगभग 10⁻²⁰ है, अतः जड़त्व नगण्य है और प्रवाह धीमा, विसर्पी है; बाह्य क्रोड में Re अत्यधिक है।
4. प्रत्यास्थता: प्रतिबल व विकृति प्रदिश तथा व्यापीकृत हुक नियम
किसी बिंदु पर प्रतिबल (stress) सममित द्वितीय-कोटि प्रदिश σ_ij है। इकाई अभिलंब n वाले पृष्ठ पर कर्षण t_i = σ_ij n_j है। विकर्ण पद अभिलंब प्रतिबल और विकर्णेतर पद अपरूपण हैं; σ_ij = σ_ji (घूर्णी साम्य) से छह स्वतंत्र घटक बचते हैं, और तीन मुख्य प्रतिबल उन अक्षों पर लगते हैं जहाँ अपरूपण शून्य होता है। भूकंप-विज्ञान तनाव को धनात्मक गिनता है, जबकि भूविज्ञान का बड़ा भाग संपीडन को, अतः परिपाटी जाँचें। छोटे विस्थापन u हेतु विकृति (strain) ε_ij = ½(∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i) है, फिर सममित व छह घटकों वाली। उसका अनुरेख ε_kk = ∇·u प्रति इकाई आयतन आयतन-परिवर्तन (प्रसार, dilatation) है, और प्रतिसममित भाग ½(∂u_i/∂x_j − ∂u_j/∂x_i) दृढ़ घूर्णन है जो कोई प्रतिबल नहीं बनाता।
व्यापीकृत हुक नियम (generalised Hooke’s law) रैखिक है: σ_ij = c_ijkl ε_kl। इसके 81 स्थिरांक σ व ε के सममित होने से 36 रह जाते हैं, और विकृति-ऊर्जा फलन के अस्तित्व से 21, जो सर्वाधिक व्यापक विषमदैशिक ठोस है। अनुप्रस्थ समदैशिकता (संरेखित ऑलिवीन, महीन परतें) को 5 और समदैशिक ठोस को केवल 2 चाहिए: σ_ij = λ δ_ij ε_kk + 2μ ε_ij, जहाँ लामे स्थिरांक λ और अपरूपण गुणांक (दृढ़ता) μ है। तरल में μ = 0 और σ_ij = −p δ_ij होता है।
| राशि | अर्थ | λ व μ के पदों में |
|---|---|---|
| अपरूपण गुणांक μ | अपरूपण प्रतिबल ÷ अपरूपण विकृति | μ |
| आयतन-प्रत्यास्थता गुणांक K | दाब ÷ आंशिक आयतन-परिवर्तन | λ + 2μ/3 |
| यंग गुणांक E | अक्षीय प्रतिबल ÷ अक्षीय विकृति | μ(3λ + 2μ)/(λ + μ) |
| पॉयसन अनुपात ν | − पार्श्व विकृति ÷ अक्षीय विकृति | λ / (2(λ + μ)) |
सामान्य पदार्थों हेतु पॉयसन अनुपात 0 से 0.5 के बीच है (असंपीड्य तरल हेतु 0.5) और अधिकांश चट्टानों हेतु लगभग 0.2 से 0.3 के बीच। पॉयसन ठोस (Poisson solid) में λ = μ और ν = 0.25 है। हल उदाहरण। λ = 20 GPa व μ = 15 GPa से K = 20 + 10 = 30 GPa, E = 15 × 90 / 35 = 38.6 GPa और ν = 20/70 = 0.286।
5. तरंग-समीकरण, पिंड व पृष्ठ तरंगें तथा चार नाम
समांगी, समदैशिक, पिंड-बल-रहित माध्यम हेतु संवेग-नियम में हुक नियम रखने पर प्रत्यास्थ तरंग-समीकरण ρ ∂²u/∂t² = (λ + 2μ) ∇(∇·u) − μ ∇×(∇×u) मिलता है। u = ∇φ + ∇×ψ लिखने पर (हेल्महोल्ट्ज़ वियोजन, अदिश विभव φ व सदिश विभव ψ सहित) यह दो तरंग-समीकरणों में बँट जाता है, ∇²φ = (1/α²) ∂²φ/∂t² और ∇²ψ = (1/β²) ∂²ψ/∂t², जहाँ α = √((λ + 2μ)/ρ) व β = √(μ/ρ)। समतल आवर्ती तरंग u = A exp[i(k·x − ωt)] की कला-चाल c = ω/k और तरंगदैर्घ्य c/f है; 5 km/s पर 5 Hz की तरंग का तरंगदैर्घ्य 1 km है।
- P तरंग: u = ∇φ, अतः ∇×u = 0 (अघूर्णी) और ∇·u ≠ 0 (आयतन-परिवर्ती, आयतन बदलती है)। गति संचरण-दिशा के अनुदिश है (अनुदैर्घ्य, संपीडनात्मक)। यह तेज़ तरंग है और ठोसों व तरलों में चलती है।
- S तरंग: u = ∇×ψ, अतः ∇·u = 0 (समआयतनिक, आयतन नहीं बदलता) और ∇×u ≠ 0 (घूर्णी)। गति अनुप्रस्थ है, जो SV (संचरण के ऊर्ध्वाधर तल में) और SH (क्षैतिज) में वियोजित होती है। यह तरल में नहीं चल सकती क्योंकि μ = 0।
| तरंग | कण-गति | चाल | टिप्पणी |
|---|---|---|---|
| P | किरण के अनुदिश | α = √((K + 4μ/3)/ρ) | सबसे तेज़; ठोस व तरल |
| S | किरण के लंबवत: SV, SH | β = √(μ/ρ) | केवल ठोस |
| रैले | ऊर्ध्वाधर तल में प्रतिगामी दीर्घवृत्त | लगभग 0.92 β | मुक्त पृष्ठ; लगभग एक तरंगदैर्घ्य तक सीमित |
| लव | क्षैतिज, अनुप्रस्थ (SH प्रकार) | परत व अर्ध-समष्टि के β के बीच | धीमी पृष्ठ परत चाहिए |
6. तरंग-चालें, गुणांक व पॉयसन अनुपात
मुख्य संबंध Vp = √((λ + 2μ)/ρ) = √((K + 4μ/3)/ρ) और Vs = √(μ/ρ) हैं, अतः (Vp/Vs)² = (λ + 2μ)/μ = 2(1 − ν)/(1 − 2ν) और ν = (Vp² − 2Vs²) / (2(Vp² − Vs²))। पॉयसन ठोस (λ = μ, ν = 0.25) हेतु Vp/Vs = √3 ≈ 1.73। तरल हेतु μ = 0, अतः Vs = 0, ν = 0.5 और Vp = √(K/ρ)। चूँकि K > 0, किसी भी ठोस में Vp को (2/√3) Vs ≈ 1.155 Vs से अधिक होना चाहिए, और भूपर्पटी की चट्टानों का Vp/Vs लगभग 1.7 से 1.8 है।
हल उदाहरण। ρ = 2500 kg/m³, λ = 20 GPa, μ = 15 GPa। Vp = √(50×10⁹/2500) = 4472 m/s ≈ 4.47 km/s, Vs = √(15×10⁹/2500) = 2449 m/s ≈ 2.45 km/s, अतः Vp/Vs = 1.83। जाँच: ν = (20 − 12)/(2 × (20 − 6)) = 0.286, जो λ/(2(λ + μ)) = 20/70 के बराबर है। यदि केवल अनुपात Vp/Vs = 1.8 ज्ञात हो, तो ν = (3.24 − 2)/(2 × 2.24) = 0.277।
मुख्य बिंदु
- पृथ्वी में भूपर्पटी, लगभग 410 व 660 km पर छलाँगों वाला प्रावार, द्रव बाह्य क्रोड (Vs = 0, CMB पर Vp लगभग 13.7 से 8 km/s तक घटता है) और ठोस अंतः क्रोड हैं। दाब dP/dz = ρg का अनुसरण करता है (CMB पर लगभग 136 GPa) और समांगी रुद्धोष्म परत हेतु घनत्व-प्रवणता dρ/dz = ρg/φ का।
- विद्युत-चालकता गहराई के साथ बढ़ती है (प्रावार लगभग 1 S/m, बाह्य क्रोड 10⁵ से 10⁶ S/m) और त्वचा-गहराई 503√(ρ/f) m तय करती है। चुंबकत्व हेतु क्यूरी बिंदु से कम तापमान चाहिए, अतः केवल भूपर्पटी चुंबकित है और मुख्य क्षेत्र बाह्य क्रोड के डायनमो से आता है।
- न्यूटन का श्यानता नियम τ = η dv/dy है। प्वाज़ेई निस्सरण πR⁴ΔP/(8ηL) है, और Re = ρvL/η धारारेखीय प्रवाह (नली में लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है; प्रावार का Re लगभग 10⁻²⁰ है।
- प्रतिबल व विकृति छह-छह घटकों वाले सममित प्रदिश हैं; व्यापक विषमदैशिक ठोस में 21 प्रत्यास्थ स्थिरांक होते हैं, समदैशिक में 2 (λ, μ), और ε_kk = ∇·u प्रसार है। K = λ + 2μ/3, E = μ(3λ + 2μ)/(λ + μ), ν = λ/(2(λ + μ))।
- तरंग-समीकरण P (आयतन-परिवर्ती, अघूर्णी, α = √((λ + 2μ)/ρ)) और S (घूर्णी, समआयतनिक, β = √(μ/ρ), केवल ठोस) में बँटता है। रैले तरंगें लगभग 0.92β की होती हैं और लव तरंगों को धीमी पृष्ठ परत चाहिए; पृष्ठ तरंगें 1/√r से घटती हैं, पिंड तरंगें 1/r से।
- ν = (Vp² − 2Vs²)/(2(Vp² − Vs²)); पॉयसन ठोस में λ = μ, ν = 0.25 और Vp/Vs = √3; तरल में ν = 0.5 और Vs = 0। गुणांक GPa में और घनत्व g/cm³ में हों तो चालें km/s में आती हैं।
अभ्यास प्रश्न (17)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
कौन-सा प्रेक्षण प्रत्यक्ष प्रमाण देता है कि बाह्य क्रोड द्रव है?
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उत्तर: A — भूकंप की S तरंगें उससे होकर नहीं गुज़रतीं, क्योंकि द्रव में अपरूपण गुणांक नहीं होता
द्रव में μ = 0 होता है और वह अपरूपण तरंगें नहीं ले जा सकता; CMB पर S तरंगें लुप्त हो जाती हैं। P-चाल में गिरावट, घनत्व की बड़ी छलाँग या उच्च चालकता भिन्न संघटन या तापमान वाले ठोस में भी हो सकती हैं, अतः इनमें से कोई अकेला द्रवता सिद्ध नहीं करता। P-चाल की गिरावट भ्रामक विकल्प है क्योंकि वेग-प्रोफ़ाइल पर CMB वैसा ही दिखता है।एडम्स–विलियमसन समीकरण dρ/dz = ρg/φ 410 व 660 km असंततताओं के आर-पार गहराई के साथ घनत्व-वृद्धि का वर्णन ठीक से नहीं कर पाता, मुख्यतः इसलिए कि वह मानता है
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उत्तर: C — समांगी, भली-भाँति मिश्रित रुद्धोष्म परत, जिसमें प्रावस्था या संघटन का परिवर्तन नहीं है
समीकरण एकसमान संघटन व प्रावस्था वाली परत में केवल संपीडन से बनी घनत्व-प्रवणता का समाकलन करता है। ऑलिवीन का अधिक सघन स्पिनेल-जैसे रूप में बदलना ऐसा अतिरिक्त घनत्व जोड़ता है जो अकेला संपीडन नहीं दे सकता। भूकंपीय प्राचल φ में Vs पहले से है, और g समीकरण में स्पष्ट रूप से आता है, अतः विफल होने वाली मान्यताएँ ये नहीं हैं।2 mm मोटी तेल की परत (η = 0.1 Pa·s) एक स्थिर पट्ट व 0.5 m/s से चलते पट्ट के बीच है, और परत के आर-पार वेग रैखिक बदलता है। परत में अपरूपण प्रतिबल कितना है?
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उत्तर: D — 25 Pa
न्यूटन के नियम से τ = η U/h = 0.1 × 0.5 / 0.002 = 25 Pa। मिलीमीटर को मीटर में बदले बिना h = 2 लेने पर भ्रामक 0.025 Pa आता है, और अन्य मान दशमलव-बिंदु की और चूकों से आते हैं।प्रावार-संवहन की रेनॉल्ड्स संख्या लगभग 10⁻²⁰ है। इससे क्या निष्कर्ष निकलता है?
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उत्तर: B — श्यान बलों के आगे जड़त्वीय बल नगण्य हैं, अतः प्रवाह धीमा, विसर्पी, धारारेखीय है
Re = ρvL/η जड़त्वीय व श्यान बलों का अनुपात है; 10⁻²⁰ का अर्थ है कि श्यानता पूर्णतः प्रभावी है और प्रवाह विसर्पी व धारारेखीय है। उच्च श्यानता Re घटाती है और इसलिए विक्षोभ को दबाती है, उसे पैदा नहीं करती, और छोटा Re अति मंद चाल (cm प्रति वर्ष) तथा विशाल η से आता है।सर्वाधिक व्यापक विषमदैशिक प्रत्यास्थ ठोस और समदैशिक प्रत्यास्थ ठोस को क्रमशः कितने स्वतंत्र प्रत्यास्थ स्थिरांक वर्णित करते हैं?
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उत्तर: D — 21 और 2
c_ijkl के 81 घटक प्रतिबल व विकृति की सममिति से 36 और विकृति-ऊर्जा फलन के अस्तित्व से 21 रह जाते हैं। समदैशिकता दो छोड़ती है, λ व μ। संख्या 36 ऊर्जा-तर्क छोड़ देती है, और तीसरे स्थिरांक की आवश्यकता नहीं क्योंकि E व ν, λ व μ से तय हैं।वह भूकंपीय तरंग जिसके विस्थापन-क्षेत्र का कर्ल शून्य पर विचलन अशून्य है, है
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उत्तर: A — P तरंग, जो अघूर्णी व आयतन-परिवर्ती है
शून्य कर्ल का अर्थ अघूर्णी और अशून्य विचलन का अर्थ आयतन-परिवर्तन (आयतन-परिवर्ती) है; यही P तरंग, u = ∇φ, है। SV व SH तरंगें घूर्णी व समआयतनिक हैं, और लव तरंग SH गति से बनी है।पॉयसन ठोस हेतु, जिसमें लामे स्थिरांक λ = μ को संतुष्ट करते हैं, कौन-सा युग्म सही है?
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उत्तर: C — Vp/Vs = √3 और ν = 0.25
λ = μ पर (Vp/Vs)² = (λ + 2μ)/μ = 3, अतः Vp/Vs = √3, और ν = λ/(2(λ + μ)) = 1/4। युग्म 2 व 0.33 स्वतः संगत है पर λ = 2μ का है, और ν = 0.5 का अर्थ Vs = 0 वाला तरल होता।मुख्य भू-चुंबकीय क्षेत्र चुंबकित प्रावार-चट्टान से क्यों नहीं हो सकता?
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उत्तर: B — दसियों किलोमीटर नीचे तापमान चुंबकीय खनिजों के क्यूरी बिंदु से अधिक होता है, अतः चट्टान चुंबकित नहीं रह सकती
लौहचुंबकीय खनिज अपने क्यूरी तापमान (मैग्नेटाइट हेतु लगभग 580 °C) से ऊपर स्वतः चुंबकत्व खो देते हैं, जो कुछ दसियों किलोमीटर की गहराई पर पहुँच जाता है। अतः क्षेत्र द्रव बाह्य क्रोड के डायनमो से बनता है, और केवल भूपर्पटी अवशिष्ट चुंबकत्व रखती है। प्रावार न पूर्ण चालक है और न क्षेत्र को निरस्त करता है।नीचे की ओर क्रोड–प्रावार सीमा पार करते समय परिवर्तनों का कौन-सा समुच्चय सही है?
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उत्तर: C — Vp लगभग 13.7 से घटकर लगभग 8 km/s हो जाता है, Vs शून्य हो जाता है और घनत्व लगभग 5.6 से बढ़कर लगभग 9.9 g/cm³ हो जाता है
CMB पर Vp लगभग 13.7 से घटकर लगभग 8 km/s हो जाता है, Vs शून्य हो जाता है, और घनत्व लगभग 5.6 से बढ़कर लगभग 9.9 g/cm³ हो जाता है क्योंकि लौह-समृद्ध क्रोड सिलिकेट प्रावार से कहीं सघन है। घनत्व घटने वाला कथन द्रव को हल्का मान लेने की भूल है, और द्रव में Vs 7 km/s नहीं रह सकता।प्रतिबल, विकृति व प्रत्यास्थ स्थिरांकों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — प्रतिबल प्रदिश सममित है, अतः उसके छह स्वतंत्र घटक हैं; B — लघु-विकृति प्रदिश का अनुरेख, ε_kk = ∇·u, प्रति इकाई आयतन आयतन-परिवर्तन है; C — समदैशिक प्रत्यास्थ ठोस λ व μ जैसे दो स्वतंत्र स्थिरांकों से पूर्णतः वर्णित होता है
प्रतिबल की सममिति, विकृति-अनुरेख का अर्थ और द्वि-स्थिरांक समदैशिक नियम सब मानक हैं। आदर्श द्रव में μ = 0 होता है, अतः वह अपरूपण तरंगें बिल्कुल नहीं सँभाल सकता; S तरंगें बाह्य क्रोड से नहीं गुज़रतीं।P व S तरंगों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — समान ठोस में P तरंगें S तरंगों से तेज़ चलती हैं; B — S तरंगें तरल से संचरित नहीं हो सकतीं क्योंकि तरल का अपरूपण गुणांक शून्य है; D — S तरंगें समआयतनिक व घूर्णी हैं, जिनकी गति संचरण-दिशा के लंबवत है
किसी भी ठोस में Vp, Vs से अधिक होता है, S तरंगों को अपरूपण दृढ़ता चाहिए, और S गति अनुप्रस्थ, घूर्णी व समआयतनिक है। P तरंगें समआयतनिक की उलटी हैं: वे पदार्थ को संपीडित व विस्तारित करती हैं।पृथ्वी के अंतरंग के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — प्रावार में विद्युत-चालकता सामान्यतः गहराई के साथ बढ़ती है; B — द्रव-लौह बाह्य क्रोड की विद्युत-चालकता प्रावार की चालकता से अनेक कोटि अधिक है; C — प्रावार S तरंगें प्रत्यास्थ ठोस की तरह संचरित करता है पर लाखों वर्षों में अति श्यान तरल की तरह बहता है
चालकता तापमान व गहराई के साथ बढ़ती है और क्रोड धातु है, जबकि प्रावार भूकंपीय काल-मापनी पर प्रत्यास्थ व्यवहार और भूवैज्ञानिक काल-मापनी पर श्यान विसर्पण दिखाता है। प्रावार की श्यानता 10²⁰ से 10²² Pa·s की कोटि की है, 10³ नहीं।एक चट्टान का घनत्व 2500 kg/m³ है और लामे स्थिरांक λ = 20 GPa व μ = 15 GPa हैं। उसकी P-तरंग चाल km/s में, दो दशमलव स्थानों तक, ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 4.47
Vp = √((λ + 2μ)/ρ) = √((20 + 30) × 10⁹ / 2500) = √(2.0 × 10⁷) = 4472 m/s, यानी 4.47 km/s। λ + 2μ की जगह λ + μ लेने पर 3.74 km/s आता है, और GPa-परिवर्तन भूलने पर बेतुकी छोटी चाल।एक भूपर्पटी-परत में P व S तरंग-चालों का अनुपात Vp/Vs = 1.8 है। पॉयसन अनुपात दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.28
ν = (Vp² − 2Vs²) / (2(Vp² − Vs²))। Vs = 1 व Vp = 1.8 लेने पर Vp² = 3.24, अतः ν = (3.24 − 2) / (2 × 2.24) = 1.24 / 4.48 = 0.2768, जो 0.28 है। पॉयसन ठोस (Vp/Vs = 1.73) से 0.25 आता।2700 kg/m³ घनत्व व 100 Pa·s श्यानता वाला बेसाल्टी लावा 2 m गहरी नाली में 0.5 m/s से बहता है। प्रवाह-गहराई को लंबाई-मापनी लें। रेनॉल्ड्स संख्या ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 27
Re = ρ v L / η = 2700 × 0.5 × 2 / 100 = 27। यह नली-प्रवाह की लगभग 2000 की देहली से बहुत कम है, अतः प्रवाह धारारेखीय है। श्यानता प्वाइज़ में या गहराई सेंटीमीटर में लेने पर उत्तर दस की घातों से बदल जाता है।ऊपरी प्रावार की एक समांगी रुद्धोष्म परत में ρ = 3300 kg/m³, g = 9.9 m/s², Vp = 8.5 km/s व Vs = 4.7 km/s है। एडम्स–विलियमसन समीकरण dρ/dz = ρg/φ का, φ = Vp² − (4/3)Vs² के साथ, प्रयोग कीजिए। dρ/dz गहराई के प्रति km पर kg/m³ में, दो दशमलव स्थानों तक, ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.76
φ = 8.5² − (4/3) × 4.7² = 72.25 − 29.45 = 42.80 km²/s² = 4.280 × 10⁷ m²/s²। dρ/dz = 3300 × 9.9 / 4.280 × 10⁷ = 7.63 × 10⁻⁴ kg/m⁴, यानी 0.76 kg/m³ प्रति km। φ के लिए केवल Vp² लेने पर 0.45 आता, और φ को km²/s² में छोड़ने पर परिणाम 10⁶ गुना बड़ा आता।0.01 Hz आवृत्ति के प्राकृतिक मैग्नेटोटेलुरिक क्षेत्र 100 Ω·m प्रतिरोधकता वाले क्षेत्र को टटोलते हैं। त्वचा-गहराई δ ≈ 503 √(ρ/f) मीटर का प्रयोग कीजिए, जहाँ ρ Ω·m में और f Hz में है। δ को km में, निकटतम km तक, ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 50
δ = 503 × √(100 / 0.01) = 503 × √10⁴ = 503 × 100 = 50 300 m, यानी लगभग 50 km। इसे मीटर (50300) में बताना या प्रतिरोधकता की जगह चालकता लेना प्रचलित भूलें हैं।