भूभौतिकीय प्रतिलोमन: अ-सुस्थितता, मानक व नियमितीकरण, वैश्विक खोज, सांख्यिकी, बेज़ियन व विरल विधियाँ, तथा संलग्न-अवस्था विधि

भूविज्ञान एवं भूभौतिकी (GG) पेपर के भाग B2 का यह अध्याय शीर्षक “Geophysical Inversion” का उत्तर देता है: “अग्र व प्रतिलोम समस्याओं की मूल धारणाएँ, प्रतिलोम समस्याओं की अ-सुस्थितता, अवस्था-संख्या, हलों की अनन्यता व स्थिरता; L1, L2 व Lp मानक, अति-निर्धारित, अल्प-निर्धारित व मिश्र-निर्धारित प्रतिलोम समस्याएँ, तिखोनोव नियमितीकरण विधि सहित अर्ध-रैखिक व अरैखिक विधियाँ, सिंगुलर वैल्यू अपघटन, बैकस–गिल्बर्ट विधि, सिम्युलेटेड एनीलिंग, जेनेटिक एल्गोरिद्म, झुंड-बुद्धि, अशुद्धि (misfit) व संभाविता की सांख्यिकी, यादृच्छिक चर व प्रक्रम, प्रायिकता बंटन फ़ंक्शन - गाउसीय, प्वासों, लॉग-नॉर्मल; स्थानिक विश्लेषण, परिकल्पना परीक्षण; उत्तर-प्रायिकताओं की बेज़ियन रचना, विरलता-प्रवर्तक L1 अनुकूलन; भूभौतिकीय निर्वचन में संदिग्धता व अनिश्चितता; PDE-प्रतिबंधित अनुकूलन, संलग्न-अवस्था (adjoint-state) विधि।” संख्यात्मक प्रश्न हैं: छोटा न्यूनतम-वर्ग निकाय, अवस्था-संख्या, तिखोनोव हल, अवशिष्ट के मानक, काई-वर्ग, z-परीक्षण तथा बेज़ियन उत्तर-प्रायिकता।

1. अग्र व प्रतिलोम समस्याएँ, अ-सुस्थितता, अवस्था-संख्या व अनन्यता

अग्र समस्या मॉडल से आँकड़े पूर्वानुमानित करती है: d = g(m), जहाँ m में घनत्व, वेग या प्रतिरोधकता के मान हैं और g भौतिकी है (रैखिक प्रकरण में d = G·m, N आँकड़ों व M प्राचलों के साथ)। प्रतिलोम समस्या प्रेक्षित आँकड़ों से m का आकलन करती है। अग्र समस्याएँ प्रायः सुस्थित होती हैं, पर प्रतिलोम समस्याएँ नहीं। हैडामार्ड ने समस्या को सुस्थित (well-posed) कहा यदि हल का अस्तित्व हो (रव वास्तविक आँकड़ों को G के परिसर से बाहर कर सकता है), वह अद्वितीय हो और आँकड़ों पर सतत रूप से निर्भर हो।

अनन्यता का अभाव भौतिक है: किसी पिंड के बाहर गोलीय सममित वितरण का गुरुत्व केवल उसके कुल द्रव्यमान पर निर्भर करता है, अतः अनंत घनत्व मॉडल समान रूप से मेल खाते हैं, और उथला छोटा पिंड व गहरा बड़ा पिंड एक-सी विसंगति दे सकते हैं। अस्थिरता चौरस करने वाले अग्र संकारकों (विसरण, ऊर्ध्वमुखी निरंतरण) से आती है: वे सूक्ष्म विवरण घटाते हैं, अतः प्रतिलोम सूक्ष्म मापनियों पर रव बढ़ाता है। अवस्था-संख्या (condition number) κ = σ_max/σ_min (G के सबसे बड़े व सबसे छोटे सिंगुलर मान का अनुपात) इसे मापती है: m की आपेक्षिक त्रुटि, d की आपेक्षिक त्रुटि की κ गुनी तक हो सकती है, और लगभग log₁₀κ अंक खो जाते हैं। हल उदाहरण: सिंगुलर मान 10, 4 व 0.01 से κ = 1000 है, अतः 0.1% सटीक आँकड़े मॉडल को 100% अनिश्चित छोड़ सकते हैं।

ℹ️ अ-सुस्थितता का उपचार कैसे होता है
समस्या को उपयोगी सूचना जोड़कर बनाया जाता है: पूर्व मॉडल, चिकनापन या धनात्मकता के प्रतिबंध, नियमितीकरण, अधिक आँकड़े या संयुक्त प्रतिलोमन। प्रत्येक एक मान्यता है जो मेल खाते अनेक उत्तरों में से एक छाँटती है, अतः उसे बताएँ।

2. L1, L2 व Lp मानक; अति-, अल्प- व मिश्र-निर्धारित समस्याएँ

किसी अवशिष्ट सदिश e का Lp मानक ‖e‖ₚ = (Σ|eᵢ|ᵖ)^(1/p) है। L1 निरपेक्ष मानों का योग है, L2 यूक्लिडीय लंबाई है, और L∞ सबसे बड़ा |eᵢ| है। e = (1, −2, 2, 0) हेतु: L1 = 5, L2 = √9 = 3, L∞ = 2, और सदा L∞ ≤ L2 ≤ L1। L2 बंद-रूप न्यूनतम-वर्ग हल देता है और गाउसीय त्रुटियों हेतु अधिकतम-संभाविता चयन है, पर वर्ग लेने से बहिर्वर्ती मान हावी हो जाते हैं। L1 सुदृढ़ है (अचर का आकलन माध्य नहीं, माध्यिका होती है: 1, 2, 3, 100 का माध्य 26.5 है, जबकि 2 से 3 तक का कोई भी मान L1 अशुद्धि न्यूनतम करता है) और लंबी-पूँछ वाली त्रुटियों हेतु उपयुक्त है, पर पुनरावृत्त हल माँगता है। L∞ मिनिमैक्स मेल है (सबसे बड़े अवशिष्ट को न्यूनतम करना)।

वर्गीकरण N आँकड़ों, M अज्ञातों व G की कोटि (rank) p पर आधारित है। अति-निर्धारित (N > M, p = M): कोई यथार्थ मेल नहीं; ‖d − G·m‖₂ न्यूनतम करने पर प्रसामान्य समीकरण GᵀG·m = Gᵀd मिलते हैं। हल उदाहरण: (0, 1), (1, 2), (2, 2) से जाती रेखा m₁ + m₂x में G = [[1, 0], [1, 1], [1, 2]], GᵀG = [[3, 3], [3, 5]], Gᵀd = (5, 6), अतः m = (7/6, 1/2): अंतःखंड 1.17, ढाल 0.5। अल्प-निर्धारित (M > N, p = N): अनंत यथार्थ मेल, अतः एक मापदंड जोड़ा जाता है, जैसे न्यूनतम-मानक हल m = Gᵀ(GGᵀ)⁻¹d। मिश्र-निर्धारित (p < N व p < M): कुछ प्राचल-संयोजन अप्रतिबंधित और कुछ आँकड़ा-संयोजन अमेल्य रहते हैं, और हल को अवमंदन या SVD चाहिए।

⚠️ समीकरण गिनना पर्याप्त नहीं
जिस निकाय में आँकड़े अज्ञातों जितने हों वह भी, कोटि कम होने पर, मिश्र-निर्धारित हो सकता है, जैसे जब दो मापन प्राचलों के एक ही संयोजन का प्रतिदर्श लें। सदा कोटि पूछें, G का आकार नहीं।

3. सिंगुलर वैल्यू अपघटन, तिखोनोव नियमितीकरण व बैकस–गिल्बर्ट विधि

SVD G = U·Σ·Vᵀ लिखता है, जिसमें सिंगुलर मान σ₁ ≥ σ₂ ≥ … ≥ σₚ > 0, आँकड़ा-समष्टि सदिश uᵢ और मॉडल-समष्टि सदिश vᵢ हैं। सामान्यीकृत प्रतिलोम m = Σ (uᵢᵀd/σᵢ)·vᵢ देता है। σ = 0 वाली मॉडल-दिशाएँ शून्य-समष्टि (null space) बनाती हैं: आँकड़े उनके प्रति अंधे हैं, यही अनन्यता का अभाव है। छोटे σᵢ वाली दिशाएँ रव को 1/σᵢ गुना बढ़ाती हैं। छिन्न SVD (truncated SVD) केवल सबसे बड़े सिंगुलर मान रखता है। मॉडल विभेदन आव्यूह R = Vₚ·Vₚᵀ दिखाता है कि आकलन कितना धुँधला है (R = I का अर्थ पूर्ण विभेदन), और κ = σ₁/σₚ।

तिखोनोव नियमितीकरण ‖G·m − d‖² + λ²‖m‖² न्यूनतम करता है, जिससे अवमंदित हल m = (GᵀG + λ²I)⁻¹Gᵀd मिलता है। SVD रूप में प्रत्येक घटक फ़िल्टर-गुणक f = σ²/(σ² + λ²) से गुणित होता है, जो σ ≫ λ पर 1 के निकट व σ ≪ λ पर 0 के निकट है, अतः अल्प-निर्धारित दिशाएँ सहजता से लुप्त होती हैं। ‖m‖² के स्थान पर ‖L·m‖² (L अंतर-संकारक) लेने पर खुरदरेपन पर दंड लगता है। प्राचल λ प्रसरण (रव-वर्धन) व अभिनति (bias) (विभेदन-हानि) में विनिमय करता है और L-वक्र, विसंगति सिद्धांत (अशुद्धि ≈ रव-स्तर) या प्रतिप्रमाणन (cross-validation) से चुना जाता है। हल उदाहरण: G = 0.1, d = 0.5 से न्यूनतम वर्ग में m = 5 मिलता है, पर λ = 0.1 के साथ m = σd/(σ² + λ²) = 2.5; आँकड़े में 0.01 का परिवर्तन पहले को 0.1 और अवमंदित को केवल 0.05 खिसकाता है।

बैकस–गिल्बर्ट विधि, जो पृथ्वी-संरचना समस्याओं हेतु विकसित हुई, प्रत्येक प्राचल का हल नहीं निकालती। चुने गए बिंदु हेतु वह आँकड़ों का वह संयोजन बनाती है जिसका औसतकारी (विभेदन) क्रोड़ (kernel) A(x₀, x) यथासंभव संकरा व डेल्टा-सदृश हो, जिससे आकलन वास्तविक मॉडल का स्थानीयकृत औसत बनता है। एक विनिमय-प्राचल क्रोड़ की संकरता व आकलन के प्रसरण में संतुलन रखता है।

🎯 अवमंदन व छिन्नन एक ही काम करते हैं
दोनों उन दिशाओं को त्यागते हैं जिन्हें आँकड़े तय नहीं कर सकते, जिनके 1/σ गुणक रव को गुणा करते: छिन्न SVD उन्हें अचानक काटता है, तिखोनोव अवमंदन सहजता से घटाता है। न्यूनतम संभव अशुद्धि गलत लक्ष्य है, क्योंकि वह रव को भी मिला लेती है।

4. अर्ध-रैखिक व अरैखिक विधियाँ: सिम्युलेटेड एनीलिंग, जेनेटिक एल्गोरिद्म व झुंड

जब d = g(m) अरैखिक हो, तब अर्ध-रैखिक उपागम वर्तमान मॉडल mₖ के निकट जैकोबियन J = ∂g/∂m से रैखिकीकरण करता है और mₖ₊₁ = mₖ + (JᵀJ + λ²I)⁻¹Jᵀ[d_obs − g(mₖ)] से अद्यतन करता है, जो अवमंदित गाउस–न्यूटन या लेवेनबर्ग–मार्क्वार्ट पद है। यह तीव्र है, पर केवल आरंभिक मॉडल के निकट के निम्निष्ठ पर अभिसरित होता है, और अनेक स्थानीय निम्निष्ठों वाली अशुद्धि-सतह उसे फँसा लेती है।

वैश्विक खोज विधियों को अवकलज नहीं, केवल अनेक अग्र-गणनाएँ चाहिए। सिम्युलेटेड एनीलिंग (simulated annealing) धातु के धीमे शीतलन की नक़ल करती है: परीक्षण-मॉडल m′ प्रस्तावित होता है, ΔE = E(m′) − E(m) निकाला जाता है, और चाल ΔE ≤ 0 होने पर स्वीकार होती है, अन्यथा मेट्रोपोलिस प्रायिकता P = exp(−ΔE/T) से। ऊँचा ताप T मुक्त अन्वेषण करता है, नीचा ताप अवरोह। हल उदाहरण ΔE = 1 से T = 2 पर P = e^(−0.5) = 0.61 मिलता है पर T = 0.2 पर e^(−5) = 0.007। बहुत तेज़ शीतलन खोज को स्थानीय निम्निष्ठ में जमा देता है।

  • जेनेटिक एल्गोरिद्म कूटित मॉडलों की समष्टि को विकसित करता है: उपयुक्तता (कम अशुद्धि) तय करती है कि कौन-से जनक चुने जाएँ, क्रॉसओवर उनके कूटों के भाग बदलता है, उत्परिवर्तन विविधता बनाए रखने हेतु कुछ प्रविष्टियाँ यादृच्छिक बदलता है, और सर्वोत्तम को ज्यों-का-त्यों अगली पीढ़ी में रखा जा सकता है (श्रेष्ठ-संरक्षण, elitism)। उपयुक्तता-मूल्यांकन स्वतंत्र हैं, अतः समानांतर चल सकते हैं।
  • झुंड-बुद्धि (swarm intelligence) (कण-झुंड अनुकूलन) कणों को, जिनमें प्रत्येक वेग-सहित एक मॉडल है, मॉडल-समष्टि में भेजती है: v ← w·v + c₁r₁(p_best − x) + c₂r₂(g_best − x), x ← x + v, जो जड़त्व, कण की अपनी सर्वोत्तम स्थिति व झुंड की सर्वोत्तम स्थिति को मिलाता है (r₁, r₂ 0 से 1 के बीच यादृच्छिक संख्याएँ हैं)।
⚠️ वैश्विक का अर्थ सस्ता या यथार्थ नहीं
इन विधियों को 10⁴ से 10⁶ अग्र-गणनाएँ चाहिए और वे वैश्विक निम्निष्ठ की गारंटी नहीं देतीं। वे दसियों या सैकड़ों प्राचलों हेतु उपयुक्त हैं, लाखों हेतु नहीं, जहाँ adjoint प्रवणताएँ प्रयुक्त होती हैं। उनका उप-उत्पाद स्वीकार्य मॉडलों का समूह है जो अनिश्चितता दर्शाता है।

5. यादृच्छिक चर, बंटन, अशुद्धि व संभाविता

यादृच्छिक चर X का प्रायिकता घनत्व f(x), माध्य μ व प्रसरण σ² होता है। गाउसीय N(μ, σ²) में f = [1/(σ√(2π))]·exp[−(x − μ)²/(2σ²)] है, और 68.3%, 95.4% व 99.7% मान क्रमशः 1σ, 2σ व 3σ के भीतर रहते हैं। केंद्रीय सीमा प्रमेय (अनेक छोटी स्वतंत्र त्रुटियों के योग गाउसीय की ओर जाते हैं) गाउसीय रव को उचित ठहराता है। प्वासों नियम P(k) = λᵏe^(−λ)/k! निश्चित अंतराल की गणनाओं, जैसे रेडियोधर्मी क्षय या गामा-किरण गणन, को नियंत्रित करता है; उसका माध्य व प्रसरण दोनों λ के बराबर हैं, अतः आपेक्षिक बिखराव 1/√λ है। चर लॉग-नॉर्मल है यदि ln X गाउसीय हो: धनात्मक, दायीं ओर विषम, माध्यिका e^μ और उससे ऊपर माध्य e^(μ + σ²/2), जैसे पारगम्यता, कण-आमाप या अयस्क-ग्रेड, जो अनेक गुणकों के गुणनफल हैं।

यादृच्छिक प्रक्रम समय या स्थिति से अनुक्रमित यादृच्छिक चरों का कुल है। वह स्थिर (stationary) है यदि उसकी सांख्यिकी विस्थापन से न बदले, और एर्गोडिक है यदि एक लंबे अभिलेख का औसत समष्टि-औसत के बराबर हो। स्व-सहप्रसरण व पावर स्पेक्ट्रम फ़ूरियर-युग्म हैं (वीनर–खिंचिन), और श्वेत रव असहसंबद्ध होता है।

स्वतंत्र गाउसीय त्रुटियों σᵢ वाले अवशिष्टों rᵢ = dᵢ − gᵢ(m) हेतु संभाविता L(m) ∝ exp(−χ²/2) है, जहाँ काई-वर्ग अशुद्धि χ² = Σ(rᵢ/σᵢ)² है। अतः अधिकतम संभाविता भारित न्यूनतम वर्ग है (लाप्लास त्रुटियाँ L1 देतीं)। सही त्रुटि-आकलनों वाले अच्छे मॉडल हेतु χ² ≈ ν = N − M है, अतः समानीत χ²/ν ≈ 1; 1 से बहुत ऊपर मान का अर्थ बुरा मॉडल या अल्पआकलित त्रुटियाँ है, और 1 से बहुत नीचे का अर्थ अतिआकलित त्रुटियाँ या रव का मेल है। हल उदाहरण: N = 10, M = 2, σ = 0.5 और अवशिष्ट-वर्ग-योग 3.0 से χ² = 3.0/0.25 = 12, ν = 8 व χ²/ν = 1.5 मिलता है। स्वतंत्र रव σ हेतु न्यूनतम-वर्ग आकलन का सहप्रसरण σ²(GᵀG)⁻¹ है।

6. स्थानिक विश्लेषण व परिकल्पना परीक्षण

निकटवर्ती स्थानों के भूभौतिकीय मान सहसंबद्ध होते हैं। अर्ध-वैरियोग्राम γ(h) = ½E[(Z(x + h) − Z(x))²] पृथक्करण h के साथ नगेट (h → 0 पर मापन-त्रुटि व सूक्ष्म-मापनी परिवर्तनशीलता से आया उछाल) से सिल (लगभग प्रसरण) तक परास (range) पर पहुँचता है, जिसके आगे मान असहसंबद्ध हैं; स्थिर क्षेत्र हेतु सहप्रसरण C(h) = सिल − γ(h) है। क्रिगिंग वैरियोग्राम से बना सर्वोत्तम रैखिक अनभिनत आकलक है: सामान्य क्रिगिंग में उसके भार का योग 1 होता है, वह स्टेशनों के गुच्छन का ध्यान रखता है, और आकलन के साथ आकलन-प्रसरण भी देता है।

परिकल्पना परीक्षण में परीक्षण-सांख्यिकी से शून्य परिकल्पना H₀ का H₁ के विरुद्ध परीक्षण होता है। p-मान वह प्रायिकता है कि H₀ सत्य होने पर प्रेक्षित जितना या उससे अधिक चरम परिणाम आए, और p < α, सार्थकता स्तर, होने पर H₀ अस्वीकृत होती है। प्रथम प्रकार की त्रुटि (सत्य H₀ को अस्वीकारना, झूठा अलार्म) की प्रायिकता α है, द्वितीय प्रकार की त्रुटि (वास्तविक प्रभाव चूकना) की प्रायिकता β है, और परीक्षण की क्षमता 1 − β है। ज्ञात σ वाले माध्य हेतु z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)। हल उदाहरण: x̄ = 12.6, μ₀ = 12, σ = 3, n = 25 से z = 0.6/0.6 = 1 मिलता है, जो द्वि-पुच्छ 5% सीमा 1.96 से नीचे है, अतः H₀ अस्वीकृत नहीं होती। χ² परीक्षण जाँचता है कि अशुद्धि रव से संगत है या नहीं, F-परीक्षण कि अधिक जटिल मॉडल सार्थक रूप से बेहतर है या नहीं।

⚠️ अस्वीकार न करना सिद्ध करना नहीं है
बड़ा p-मान केवल इतना कहता है कि आँकड़े H₀ का खंडन नहीं करते; कम आँकड़ों में वास्तविक प्रभाव सरलता से चूक जाता है। छोटा p-मान कहता है कि संयोग असंभाव्य है, यह नहीं कि प्रभाव बड़ा या महत्त्वपूर्ण है।

7. बेज़ियन उत्तर-प्रायिकता, विरलता-प्रवर्तक L1 अनुकूलन, संदिग्धता व अनिश्चितता

बेज़ प्रमेय उत्तर-प्रायिकता (posterior) देता है: p(m|d) = p(d|m)·p(m)/p(d), यानी संभाविता गुणा पूर्व-प्रायिकता, प्रमाण (evidence) से सामान्यीकृत। प्रतिलोम समस्या का उत्तर संपूर्ण उत्तर-प्रायिकता है; उसका सार सर्वाधिक संभाव्य मॉडल (MAP), माध्य व विश्वास्य अंतराल से दिया जाता है, और गाउसीय न होने पर मार्कोव-शृंखला मोंटे-कार्लो से उसका प्रतिचयन होता है। पूर्व N(m₀, σₘ²) वाले एक प्राचल व मानक विचलन σ_d के रव सहित आँकड़े d = m + रव हेतु परिशुद्धियाँ (1/प्रसरण) जुड़ती हैं: 1/σ_post² = 1/σₘ² + 1/σ_d², और माध्य m₀ व d का परिशुद्धि-भारित औसत है। हल उदाहरण: m₀ = 5, σₘ = 2, d = 9, σ_d = 1 से परिशुद्धि 0.25 + 1 = 1.25, σ_post² = 0.8 और माध्य (5 × 0.25 + 9 × 1)/1.25 = 8.2 मिलता है, जो अधिक निश्चित आँकड़े की ओर खिंचा है।

यह नियमितीकरण को पूर्व सूचना से जोड़ता है। गाउसीय संभाविता के साथ शून्य-माध्य गाउसीय पूर्व MAP आकलन को λ² = σ_d²/σₘ² वाला तिखोनोव हल बना देता है, और लाप्लास (द्वि-चरघातांकी) पूर्व L1 नियमितीकरण देता है। विरलता-प्रवर्तक L1 अनुकूलन ½‖G·m − d‖² + λ‖m‖₁ न्यूनतम करता है। L1 गोले के कोने निर्देशांक-अक्षों पर होते हैं, अतः इष्टतम बिंदु प्रायः ठीक अक्ष पर बैठता है, जिससे वास्तविक शून्य मिलते हैं, जबकि L2 प्रत्येक घटक को घटाता है पर किसी को विरले ही शून्य करता है। G = I हेतु हल मृदु देहली mᵢ = sign(dᵢ)·max(|dᵢ| − λ, 0) है। उपयोग: विरल-स्पाइक प्रतिसंवलन, भूकंपीय आँकड़ों का संपीडक अंतर्वेशन, ब्लॉकनुमा मॉडलों का कुल-विचरण (total-variation) प्रतिबिंबन; मॉडल किसी आधार में सचमुच विरल होना चाहिए।

संदिग्धता (ambiguity) वह अनन्यता है जो पूर्ण, रव-रहित आँकड़ों में भी बनी रहती है: गुरुत्व में गहराई–घनत्व विनिमय, या प्रतिरोधकता साउंडिंग में तुल्यता, जहाँ पतली चालक परत केवल अपने चालकत्व (conductance) S = h/ρ से और पतली प्रतिरोधी परत केवल अपने अनुप्रस्थ प्रतिरोध T = h·ρ से तय होती है, अतः h व ρ अलग नहीं किए जा सकते। अनिश्चितता रव व सीमित प्रतिचयन से उत्पन्न स्वीकार्य मॉडलों का फैलाव है, और आँकड़े सुधरने पर वह घटती है। दोनों का मूल्यांकन विभेदन आव्यूह, सहप्रसरण आव्यूह या उत्तर-प्रायिकता प्रतिदर्शों से होता है; संदिग्धता स्वतंत्र प्रतिबंधों (बोरहोल, भूविज्ञान) तथा संयुक्त प्रतिलोमन से घटाई जाती है। अच्छा मेल मॉडल के सही होने हेतु आवश्यक है, कभी पर्याप्त नहीं।

8. PDE-प्रतिबंधित अनुकूलन व संलग्न-अवस्था विधि

अनेक अग्र समस्याएँ आंशिक अवकल समीकरण A(m)·u = s के हल हैं: तरंग, विसरण, लाप्लास या मैक्सवेल समीकरण, क्षेत्र u (अवस्था), प्राचल m (वेग, चालकता) और स्रोत s के साथ। आँकड़े ग्राहियों पर क्षेत्र के प्रतिदर्श हैं, d = P·u। अशुद्धि J(m) = ½‖P·u − d‖² (नियमितीकरण सहित) को PDE के प्रतिबंध में न्यूनतम करना है: PDE-प्रतिबंधित अनुकूलन। प्रवणता विधि को संभवतः 10⁶ प्राचलों हेतु ∂J/∂m चाहिए। परिमित अंतरों को प्रति प्रवणता M + 1 अग्र-हल चाहिए, जो असंभव है।

संलग्न-अवस्था (adjoint-state) विधि इससे बचाती है। लाग्रांजी ℒ = ½‖P·u − d‖² + ψᵀ(A(m)·u − s) बनाएँ। u के सापेक्ष इसका अवकलज शून्य करने पर adjoint समीकरण Aᵀψ = −Pᵀ(P·u − d) मिलता है: परिवर्त (transposed) संकारक वाला उसी प्रकार का PDE, जो ग्राहियों पर निविष्ट आँकड़ा-अवशिष्ट से चालित है। तब सभी प्राचलों की प्रवणता एक साथ ∂J/∂m = ψᵀ(∂A/∂m)·u है। लागत प्रति स्रोत एक अग्र व एक adjoint हल है, M से स्वतंत्र, अतः S स्रोतों को 2S हल चाहिए।

भूकंपीय पूर्ण-तरंगरूप प्रतिलोमन में adjoint क्षेत्र ग्राहियों पर निविष्ट अवशिष्ट है जो समय में पीछे की ओर संचरित होता है, और प्रवणता अग्र व adjoint तरंग-क्षेत्रों का शून्य-विलंब सहसंबंध है, समय पर योग किया हुआ। अग्र क्षेत्र को संचित या पुनर्गणित (checkpointing) करना पड़ता है क्योंकि दोनों विपरीत समय-दिशाओं में चलते हैं। यदि आरंभिक मॉडल आगमनों का पूर्वानुमान आधे आवर्त से अधिक चूकता है तो अशुद्धि में स्थानीय निम्निष्ठ बनते हैं (साइकिल-स्किपिंग), इसलिए प्रतिलोमन निम्न आवृत्तियों से आरंभ होकर ऊपर बढ़ता है।

मुख्य बिंदु

  • प्रतिलोम समस्याएँ हैडामार्ड के अस्तित्व, अनन्यता या स्थिरता का भंग करती हैं; κ = σ_max/σ_min रव-वर्धन की सीमा बाँधती है, और अनन्यता का अभाव (शून्य-समष्टि, गुरुत्व में गहराई–घनत्व विनिमय) भौतिक है, अतः अतिरिक्त सूचना अपरिहार्य है।
  • L2 न्यूनतम वर्ग है (गाउसीय त्रुटियाँ, बहिर्वर्ती-संवेदी), L1 सुदृढ़ है (माध्यिका-सदृश), और L∞ ≤ L2 ≤ L1। कोटि से वर्गीकरण करें: अति-निर्धारित (न्यूनतम वर्ग), अल्प-निर्धारित (न्यूनतम मानक), मिश्र-निर्धारित (अवमंदन या SVD)।
  • SVD से m = Σ(uᵢᵀd/σᵢ)vᵢ मिलता है; तिखोनोव m = (GᵀG + λ²I)⁻¹Gᵀd प्रत्येक पद को σ²/(σ² + λ²) से गुणा कर प्रसरण व विभेदन में विनिमय करता है; बैकस–गिल्बर्ट सबसे संकरे औसतकारी क्रोड़ से स्थानीयकृत औसत बनाता है।
  • अरैखिक समस्याओं में अवमंदित गाउस–न्यूटन (स्थानीय) या वैश्विक खोज प्रयुक्त होती है: सिम्युलेटेड एनीलिंग exp(−ΔE/T) से ऊर्ध्व चालें स्वीकार करती है, जेनेटिक एल्गोरिद्म चयन, क्रॉसओवर व उत्परिवर्तन प्रयोग करते हैं, झुंड जड़त्व, व्यक्तिगत सर्वोत्तम व वैश्विक सर्वोत्तम मिलाते हैं।
  • गाउसीय त्रुटियाँ संभाविता exp(−χ²/2) देती हैं और अच्छे मेल हेतु समानीत χ² ≈ 1; प्वासों गणनाओं में माध्य = प्रसरण; लॉग-नॉर्मल चरों में माध्य माध्यिका से ऊपर। क्रिगिंग वैरियोग्राम प्रयोग करती है; परीक्षण प्रथम प्रकार की त्रुटि α को क्षमता के सापेक्ष नियंत्रित करते हैं।
  • उत्तर-प्रायिकता ∝ संभाविता × पूर्व-प्रायिकता (गाउसीय प्रकरण में परिशुद्धियाँ जुड़ती हैं); गाउसीय पूर्व L2 नियमितीकरण है, लाप्लास पूर्व विरल L1। संलग्न-अवस्था विधि प्रति स्रोत एक अग्र व एक adjoint हल से पूर्ण प्रवणता देती है; संदिग्धता पूर्ण आँकड़ों में भी बनी रहती है, अनिश्चितता नहीं।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. पृथ्वी के भीतर दो भिन्न घनत्व-वितरण पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर बिल्कुल एक-सा गुरुत्व-क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। यह सुस्थित समस्या की हैडामार्ड की किस शर्त का भंग करता है?

    1. हल का अस्तित्व
    2. हल की अनन्यता
    3. आँकड़ों पर हल की सतत निर्भरता
    4. मॉडल-प्राचलों में अग्र संकारक की रैखिकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — हल की अनन्यता

    यदि दो मॉडल एक-से आँकड़े देते हैं तो आँकड़े उनमें से चयन नहीं कर सकते, अतः प्रतिलोम हल अद्वितीय नहीं है। अस्तित्व का प्रश्न नहीं है, क्योंकि दोनों मॉडल आँकड़े समझाते हैं, और स्थिरता का संबंध इससे है कि आँकड़े विक्षुब्ध होने पर हल कैसे बदलता है। रैखिकता हैडामार्ड की शर्तों में नहीं है, और रैखिक समस्या भी अनन्य हो सकती है।

  2. एक रैखिक निकाय G·m = d की अवस्था-संख्या κ = 10⁶ है, और आँकड़े d, 10⁻⁴ की आपेक्षिक त्रुटि तक सटीक हैं। हल m की अधिकतम आपेक्षिक त्रुटि कितनी हो सकती है?

    1. लगभग 10⁻¹⁰, क्योंकि त्रुटि को अवस्था-संख्या से भाग दिया जाता है
    2. लगभग 10⁻⁴, आँकड़ों की त्रुटि के बराबर, क्योंकि निकाय को हल करना रव का औसत निकाल देता है
    3. लगभग 10² तक, अतः हल निरर्थक हो सकता है
    4. लगभग 10⁻², क्योंकि त्रुटि हेतु केवल κ का वर्गमूल मायने रखता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — लगभग 10² तक, अतः हल निरर्थक हो सकता है

    सीमा है (m की आपेक्षिक त्रुटि) ≤ κ × (d की आपेक्षिक त्रुटि) = 10⁶ × 10⁻⁴ = 10², जो हल के आकार का सौ गुना है, अतः सबसे बुरी स्थिति में m का कोई अंक विश्वसनीय नहीं। अवस्था-संख्या त्रुटि को गुणा करती है, भाग नहीं देती, और जब रव छोटे सिंगुलर मानों वाली दिशाओं पर पड़ता है तब औसत लेना सहायक नहीं होता।

  3. एक रैखिक समस्या में 6 आँकड़े व 6 अज्ञात हैं, पर आव्यूह G की कोटि 4 है। इसका वर्गीकरण क्या है?

    1. मिश्र-निर्धारित: दो प्राचल-संयोजन अप्रतिबंधित हैं और दो आँकड़ा-संयोजन अमेल्य हैं
    2. सम-निर्धारित, क्योंकि आँकड़ों की संख्या अज्ञातों की संख्या के बराबर है
    3. अति-निर्धारित, क्योंकि 6 आँकड़े कोटि 4 से अधिक हैं और इसलिए कोई यथार्थ मेल नहीं
    4. अल्प-निर्धारित, क्योंकि कोटि अज्ञातों की संख्या से कम है और अनंत यथार्थ मेल हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — मिश्र-निर्धारित: दो प्राचल-संयोजन अप्रतिबंधित हैं और दो आँकड़ा-संयोजन अमेल्य हैं

    कोटि p = 4 < N = 6 होने से आँकड़ों के कुछ संयोजन G के परिसर से बाहर हैं और मेल नहीं खा सकते, और p = 4 < M = 6 होने से द्वि-विमीय शून्य-समष्टि दो प्राचल-संयोजनों को अप्रतिबंधित छोड़ती है: समस्या मिश्र-निर्धारित है। समान संख्या उसे सम-निर्धारित नहीं बनाती, जिसके लिए p = N = M चाहिए। अति- व अल्प-निर्धारित नामकरण प्रत्येक केवल एक दोष वर्णित करते हैं, और अल्प-निर्धारित नाम यथार्थ मेल का गलत वादा भी करता है।

  4. तिखोनोव (अवमंदित न्यूनतम-वर्ग) प्रतिलोमन में अवमंदन प्राचल λ बढ़ाने का क्या प्रभाव है?

    1. आँकड़ा-अशुद्धि शून्य तक गिरती है और मॉडल विभेदन सुधरता है, क्योंकि हल आँकड़ों के अधिक निकट बाध्य होता है
    2. मॉडल के केवल शून्य-समष्टि घटक बदलते हैं, जबकि भली-भाँति निर्धारित घटक न्यूनतम वर्ग जैसे ही रहते हैं
    3. स्वयं G की अवस्था-संख्या घटती है, क्योंकि अवमंदन उसके सिंगुलर मानों को स्थायी रूप से बदल देता है
    4. हल का प्रसरण घटता है, पर अभिनति बढ़ती है और विभेदन बिगड़ता है, अतः अशुद्धि बढ़ती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — हल का प्रसरण घटता है, पर अभिनति बढ़ती है और विभेदन बिगड़ता है, अतः अशुद्धि बढ़ती है

    बड़ा λ फ़िल्टर-गुणकों σ²/(σ² + λ²) को घटाता है, जिससे छोटे σ वाली रव-ग्रस्त दिशाएँ दब जाती हैं और प्रसरण गिरता है; पर वास्तविक मॉडल के घटक भी घटते हैं, जिससे अभिनति जुड़ती है, विभेदन धुँधला होता है और आँकड़ा-अशुद्धि बढ़ती है। शून्य अशुद्धि व सर्वोत्तम विभेदन λ → 0 के हैं, भारी अवमंदन के नहीं। अवमंदन सभी घटकों पर कार्य करता है (छोटे σ पर सर्वाधिक), केवल शून्य-समष्टि पर नहीं, और G स्वयं अपरिवर्तित है: केवल आव्यूह GᵀG + λ²I का अवस्थापन बेहतर होता है।

  5. मेट्रोपोलिस नियम वाले सिम्युलेटेड एनीलिंग में, अशुद्धि को ΔE से बढ़ाने वाला परीक्षण-मॉडल प्रायिकता exp(−ΔE/T) से स्वीकार होता है। खोज के दौरान ताप T को धीरे-धीरे क्यों घटाया जाता है?

    1. क्योंकि धीमी गिरावट प्रत्येक स्वीकृत मॉडल को अब तक मिली न्यूनतम अशुद्धि के समोच्च पर ठीक बनाए रखती है, जो अभिसरण हेतु आवश्यक है
    2. क्योंकि आरंभिक ऊर्ध्व चालें खोज को स्थानीय निम्निष्ठों से निकलने देती हैं, और बहुत तेज़ शीतलन उसे किसी एक में जमा देगा
    3. क्योंकि प्रत्येक पद पर अशुद्धि का अवकलज चाहिए और वह केवल निम्न ताप पर परिभाषित है
    4. क्योंकि निम्न ताप ऊर्ध्व चालों की संभावना बढ़ाता है, जो अंतिम मेल को लगातार सुधारता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — क्योंकि आरंभिक ऊर्ध्व चालें खोज को स्थानीय निम्निष्ठों से निकलने देती हैं, और बहुत तेज़ शीतलन उसे किसी एक में जमा देगा

    उच्च T पर ऊर्ध्व चालें प्रायः स्वीकार होती हैं, अतः खोज दूर तक घूमती है और स्थानीय निम्निष्ठ छोड़ सकती है; T घटने पर exp(−ΔE/T) घटता है और विधि अवरोह बन जाती है जो किसी निम्निष्ठ में टिकती है, अतः बहुत तेज़ शीतलन उसे जिस द्रोणी में हो उसी में फँसा देता है। विधि केवल अशुद्धि-मान प्रयोग करती है, अवकलज नहीं। निम्न T ऊर्ध्व चालों को कम संभाव्य बनाता है, अधिक नहीं।

  6. किसी भूभौतिकीय राशि और उसे मॉडल करने हेतु सामान्यतः प्रयुक्त प्रायिकता बंटन का कौन-सा युग्म सर्वाधिक उपयुक्त है?

    1. शैल-पारगम्यता, जो धनात्मक है और अनेक कोटियों में फैली है: गाउसीय बंटन
    2. आगमन-काल के यादृच्छिक चयन-त्रुटियाँ, जो शून्य के सापेक्ष सममित हैं: प्वासों बंटन
    3. स्थिर लॉगिंग गति पर निश्चित समय-विंडो में गिने गए गामा फ़ोटॉन: प्वासों बंटन
    4. अयस्क-ग्रेड, जो धनात्मक व लंबी पूँछ सहित दायीं ओर विषम है: प्वासों बंटन
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — स्थिर लॉगिंग गति पर निश्चित समय-विंडो में गिने गए गामा फ़ोटॉन: प्वासों बंटन

    निश्चित अंतराल में स्वतंत्र घटनाओं की गणनाएँ प्वासों नियम मानती हैं, जिसमें माध्य प्रसरण के बराबर होता है। पारगम्यता व अयस्क-ग्रेड, धनात्मक, दायीं ओर विषम व अनेक गुणकों के गुणनफल होने से, लॉग-नॉर्मल मॉडल किए जाते हैं, गाउसीय या प्वासों नहीं, और सममित चयन-त्रुटियाँ स्वाभाविक रूप से गाउसीय हैं। प्वासों चर केवल अऋणात्मक पूर्णांक मान लेता है, अतः वह सतत ग्रेड या काल-त्रुटियों का वर्णन नहीं कर सकता।

  7. गाउसीय संभाविता के साथ कौन-सा पूर्व चयन अधिकतम उत्तर-प्रायिकता (MAP) आकलन को तिखोनोव (L2) हल के बराबर बनाता है, और कौन-सा पूर्व विरलता-प्रवर्तक L1 नियमितीकरण की ओर ले जाता है?

    1. लाप्लास पूर्व L2 हल देता है और शून्य-माध्य गाउसीय पूर्व L1 हल देता है
    2. एकसमान पूर्व L2 हल देता है और लॉग-नॉर्मल पूर्व L1 हल देता है
    3. प्वासों पूर्व L2 हल देता है और बहुत बड़े प्रसरण वाला गाउसीय पूर्व L1 हल देता है, जैसा भारी अवमंदन की सीमा में
    4. शून्य-माध्य गाउसीय पूर्व L2 हल देता है, λ² = σ_d²/σₘ² के साथ, और लाप्लास पूर्व L1 हल देता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — शून्य-माध्य गाउसीय पूर्व L2 हल देता है, λ² = σ_d²/σₘ² के साथ, और लाप्लास पूर्व L1 हल देता है

    उत्तर-प्रायिकता का ऋणात्मक लघुगणक आँकड़ा-अशुद्धि व पूर्व के ऋणात्मक लघुगणक का योग है। गाउसीय पूर्व ‖m‖²/(2σₘ²) जोड़ता है, जो L2 दंड है (2σ_d² से मापन के बाद λ² = σ_d²/σₘ²), जबकि लाप्लास पूर्व ‖m‖₁ के अनुपाती पद जोड़ता है, यानी L1 दंड, जिसका शून्य पर शिखरित घनत्व यथार्थ शून्यों का पक्ष लेता है। जो विकल्प लाप्लास पूर्व को L2 देता है उसके दोनों निर्धारण परस्पर बदले हुए हैं, और एकसमान पूर्व कोई दंड नहीं जोड़ता, अतः वह सादा न्यूनतम वर्ग देता है।

  8. अशुद्धि J(m) = ½‖P·u − d‖² एक क्षेत्र u पर निर्भर है जो तरंग-समीकरण A(m)·u = s का हल है, और मॉडल m में दस लाख प्राचल हैं। एक स्रोत हेतु संलग्न-अवस्था विधि सभी प्राचलों के सापेक्ष प्रवणता ∂J/∂m कैसे पाती है?

    1. एक अग्र हल और एक adjoint हल से, जो ग्राहियों पर आँकड़ा-अवशिष्ट से चालित है, प्राचलों की संख्या चाहे जो हो
    2. दस लाख एक अग्र हलों से, प्राचलों को एक-एक करके थोड़ा-थोड़ा विक्षुब्ध कर और अशुद्धि का अंतर लेकर
    3. दस लाख adjoint हलों से, प्रत्येक प्राचल हेतु एक, प्रत्येक उस प्राचल की स्थिति पर रखे इकाई स्रोत से चालित
    4. केवल एक अग्र हल से, क्योंकि adjoint क्षेत्र अग्र क्षेत्र के बराबर है और उसकी पृथक गणना नहीं चाहिए
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — एक अग्र हल और एक adjoint हल से, जो ग्राहियों पर आँकड़ा-अवशिष्ट से चालित है, प्राचलों की संख्या चाहे जो हो

    adjoint समीकरण Aᵀψ = −Pᵀ(P·u − d) आँकड़ा-अवशिष्ट को स्रोत मानकर एक ही PDE-हल है, और तब प्रवणता ∂J/∂m = ψᵀ(∂A/∂m)·u प्रत्येक प्राचल हेतु एक साथ मिल जाती है। प्राचलों को एक-एक करके विक्षुब्ध करना परिमित-अंतर उपागम है जिसे लगभग M + 1 अग्र-हल चाहिए, और प्रति प्राचल एक adjoint आवश्यक नहीं। adjoint क्षेत्र u से भिन्न क्षेत्र है, जो अवशिष्ट से चालित होकर समय में पीछे चलता है, अतः उसे छोड़ा नहीं जा सकता।

  9. अरैखिक प्रतिलोमन विधियों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. जेनेटिक एल्गोरिद्म चयन, क्रॉसओवर व उत्परिवर्तन से मॉडलों की समष्टि को विकसित करता है और अग्र संकारक के अवकलज नहीं माँगता
    2. कण-झुंड अनुकूलन में प्रत्येक कण का वेग उसके जड़त्व, अपनी सर्वोत्तम स्थिति की ओर आकर्षण तथा झुंड की सर्वोत्तम स्थिति की ओर आकर्षण को मिलाता है
    3. अवमंदित गाउस–न्यूटन (लेवेनबर्ग–मार्क्वार्ट) पुनरावृत्ति किसी भी आरंभिक मॉडल से वैश्विक निम्निष्ठ तक पहुँचने की गारंटी रखती है
    4. सिम्युलेटेड एनीलिंग में ऊर्ध्व चाल प्रायिकता exp(−ΔE/T) से स्वीकार होती है, जो ताप T घटाने पर घटती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — जेनेटिक एल्गोरिद्म चयन, क्रॉसओवर व उत्परिवर्तन से मॉडलों की समष्टि को विकसित करता है और अग्र संकारक के अवकलज नहीं माँगता; B — कण-झुंड अनुकूलन में प्रत्येक कण का वेग उसके जड़त्व, अपनी सर्वोत्तम स्थिति की ओर आकर्षण तथा झुंड की सर्वोत्तम स्थिति की ओर आकर्षण को मिलाता है; D — सिम्युलेटेड एनीलिंग में ऊर्ध्व चाल प्रायिकता exp(−ΔE/T) से स्वीकार होती है, जो ताप T घटाने पर घटती है

    जेनेटिक एल्गोरिद्म, कण-झुंड व सिम्युलेटेड एनीलिंग अवकलज-रहित वैश्विक खोजें हैं जो ठीक इन कथनों के अनुसार बनी हैं। गाउस–न्यूटन व लेवेनबर्ग–मार्क्वार्ट स्थानीय प्रवणता-सूचना का अनुसरण करते हैं, अतः आरंभिक मॉडल के निकट के निम्निष्ठ पर अभिसरित होते हैं, जो स्थानीय हो सकता है; वैश्विक निम्निष्ठ की कोई गारंटी नहीं।

  10. बंटनों व अशुद्धि-सांख्यिकी के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. माध्य λ वाले प्वासों चर का प्रसरण भी λ होता है, अतः गणना का आपेक्षिक बिखराव 1/√λ से घटता है
    2. यदि ln X गाउसीय हो तो X लॉग-नॉर्मल है, और उसका माध्य उसकी माध्यिका से ऊपर होता है
    3. स्वतंत्र गाउसीय त्रुटियाँ L1 अशुद्धि को अधिकतम-संभाविता मापदंड बनाती हैं
    4. 1 से बहुत ऊपर समानीत काई-वर्ग दर्शाता है कि आँकड़े अपनी बताई त्रुटियों से अधिक अच्छे मिलाए गए हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — माध्य λ वाले प्वासों चर का प्रसरण भी λ होता है, अतः गणना का आपेक्षिक बिखराव 1/√λ से घटता है; B — यदि ln X गाउसीय हो तो X लॉग-नॉर्मल है, और उसका माध्य उसकी माध्यिका से ऊपर होता है

    प्वासों प्रसरण माध्य के बराबर है, अतः N घटनाओं की गणना का बिखराव √N और आपेक्षिक बिखराव 1/√N है, और लॉग-नॉर्मल बंटन का माध्य e^(μ + σ²/2) उसकी माध्यिका e^μ से ऊपर है। गाउसीय त्रुटियाँ L2 (न्यूनतम-वर्ग) मापदंड देती हैं, L1 लाप्लास त्रुटियों का है, और 1 से बहुत ऊपर समानीत काई-वर्ग का अर्थ मेल बुरा है या त्रुटियाँ अल्पआकलित थीं, यह नहीं कि मेल अति-अच्छा है।

  11. बेज़ियन प्रतिलोमन, विरलता व संदिग्धता के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. संदिग्धता पूर्ण रव-रहित आँकड़ों में भी बनी रह सकती है, जबकि रव से उत्पन्न अनिश्चितता आँकड़ा-त्रुटियाँ घटने पर घटती है
    2. L1 दंड λ‖m‖₁ विरल मॉडलों को प्रोत्साहित करता है क्योंकि L1 गोले के कोने निर्देशांक-अक्षों पर होते हैं
    3. उत्तर-प्रायिकता केवल संभाविता के बराबर है, क्योंकि पूर्व उसे केवल एक अचर से पुनः मापित करता है
    4. आँकड़ों को रव के भीतर मिलाने वाला मॉडल इस कारण पृथ्वी की वास्तविक संरचना सिद्ध हो जाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — संदिग्धता पूर्ण रव-रहित आँकड़ों में भी बनी रह सकती है, जबकि रव से उत्पन्न अनिश्चितता आँकड़ा-त्रुटियाँ घटने पर घटती है; B — L1 दंड λ‖m‖₁ विरल मॉडलों को प्रोत्साहित करता है क्योंकि L1 गोले के कोने निर्देशांक-अक्षों पर होते हैं

    संदिग्धता भौतिकी की अनन्यता है (जैसे गहराई–घनत्व विनिमय), जिसे बेहतर आँकड़े नहीं हटा सकते, जबकि रव-जनित अनिश्चितता बेहतर आँकड़ों से घटती है। L1 गोले के कोने इष्टतम बिंदु पर यथार्थ शून्य संभाव्य बनाते हैं। पूर्व उत्तर-प्रायिकता को आकार देता है, और बेज़ियन उत्तर-प्रायिकता संभाविता × पूर्व के अनुपाती है, अतः वह केवल संभाविता नहीं। अच्छा मेल आवश्यक है पर कभी पर्याप्त नहीं, क्योंकि अनेक अन्य मॉडल भी उतना ही अच्छा मेल खाते हैं।

  12. G = [[1, 0], [0, 1], [1, 1]] (पंक्तियाँ अल्पविराम से पृथक) व d = (2, 1, 6) हेतु G·m = d को न्यूनतम-वर्ग अर्थ में हल करें। अवशिष्ट-वर्गों के योग ‖d − G·m‖² का न्यूनतम मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    GᵀG = [[2, 1], [1, 2]] व Gᵀd = (2 + 6, 1 + 6) = (8, 7)। 2m₁ + m₂ = 8 व m₁ + 2m₂ = 7 हल करने पर m = (3, 2) मिलता है। तब G·m = (3, 2, 5), अवशिष्ट d − G·m = (−1, −1, 1), और ‖d − G·m‖² = 1 + 1 + 1 = 3। जाँच: कोई अन्य m, जैसे (3, 3) अवशिष्ट (−1, −2, 0) के साथ, बड़ा योग 5 देता है।

  13. एक आव्यूह G के सिंगुलर मान 5, 2 व 0.02 हैं। उसकी अवस्था-संख्या κ = σ_max/σ_min ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 250

    अवस्था-संख्या सबसे बड़े व सबसे छोटे सिंगुलर मान का अनुपात है: κ = 5/0.02 = 250। मध्य सिंगुलर मान 2 इसमें नहीं आता। भ्रामक भूल 5/2 = 2.5 गलत मान से भाग देना है।

  14. G = diag(2, 0.2) व d = (4, 0.4) हेतु अवमंदित (तिखोनोव) हल m = (GᵀG + λ²I)⁻¹Gᵀd है, λ = 0.2 के साथ। दूसरा घटक m₂ ____ है (एक पूर्ण संख्या)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1

    G विकर्ण है, अतः प्रत्येक घटक पृथक होता है: mᵢ = σᵢdᵢ/(σᵢ² + λ²)। दूसरे घटक हेतु m₂ = 0.2 × 0.4/(0.2² + 0.2²) = 0.08/0.08 = 1। बिना अवमंदन का न्यूनतम-वर्ग मान 0.4/0.2 = 2 है, अतः अवमंदन m₂ को आधा कर देता है। पहला घटक 2 × 4/(4 + 0.04) = 1.98 है, लगभग अपरिवर्तित क्योंकि σ₁, λ से बहुत बड़ा है।

  15. एक अवशिष्ट सदिश e = (−2, 3, 6) है। उसका L2 मानक ‖e‖₂ = (Σ eᵢ²)^(1/2) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 7

    वर्ग लेने पर 4 + 9 + 36 = 49 मिलता है, और वर्गमूल 7 है। तुलना हेतु L1 मानक 2 + 3 + 6 = 11 और L∞ मानक 6 है, जो L∞ ≤ L2 ≤ L1 से संगत है। ऋणात्मक प्रविष्टि का वर्ग लेना भूल जाना या निरपेक्ष मानों का योग लेना प्रचलित भूलें हैं।

  16. 2 सुमेलित प्राचलों वाले एक मॉडल की तुलना 4 आँकड़ों से की जाती है जिनकी स्वतंत्र गाउसीय त्रुटियाँ सभी σ = 0.2 हैं। अवशिष्ट 0.4, −0.6, 0.2 व 1.0 हैं। समानीत काई-वर्ग χ²/ν, ν = N − M के साथ, दशमलव के एक स्थान तक ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 19.5

    χ² = Σ(rᵢ/σ)² = (0.4/0.2)² + (0.6/0.2)² + (0.2/0.2)² + (1.0/0.2)² = 4 + 9 + 1 + 25 = 39। स्वातंत्र्य कोटि ν = 4 − 2 = 2 है, अतः χ²/ν = 39/2 = 19.5। 1 से इतना ऊपर मान बताता है कि मॉडल का मेल बुरा है या त्रुटियाँ बुरी तरह अल्पआकलित थीं; ν के बदले N = 4 से भाग देने पर 9.75 मिलता।

  17. एक प्राचल m का गाउसीय पूर्व है जिसका माध्य 10 व मानक विचलन 4 है। m का एक मापन d = 14 लिया जाता है, जिसमें गाउसीय रव का मानक विचलन 2 है। m हेतु गाउसीय उत्तर-प्रायिकता का माध्य ____ है, दशमलव के एक स्थान तक।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 13.2

    परिशुद्धियाँ पूर्व हेतु 1/4² = 0.0625 और आँकड़े हेतु 1/2² = 0.25 हैं, जो जुड़कर 0.3125 होती हैं (उत्तर-प्रसरण 3.2, मानक विचलन 1.79)। उत्तर-माध्य परिशुद्धि-भारित औसत (10 × 0.0625 + 14 × 0.25)/0.3125 = (0.625 + 3.5)/0.3125 = 13.2 है, जो अधिक परिशुद्ध आँकड़े की ओर खिंचा है। सरल औसत 12 भिन्न अनिश्चितताओं की उपेक्षा करता है।

  18. n = 36 स्वतंत्र मापनों के प्रतिदर्श का माध्य 2.8 है, और समष्टि का मानक विचलन σ = 0.6 ज्ञात है। शून्य परिकल्पना μ₀ = 2.5 हेतु परीक्षण-सांख्यिकी z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 3

    मानक त्रुटि σ/√n = 0.6/6 = 0.1 है, और माध्यों का अंतर 2.8 − 2.5 = 0.3 है, अतः z = 0.3/0.1 = 3। यह द्वि-पुच्छ 5% सीमा 1.96 (तथा 1% सीमा 2.58) के पार है, अतः H₀ अस्वीकृत होगी। हर में σ/√n के बदले σ लेने पर 0.5 मिलता और भ्रमवश प्रभाव का अभाव सूचित होता।