गुरुत्व: ग्रह के रूप में पृथ्वी, मापन, आँकड़ा-समंजन, निस्यंदन व विसंगतियों का निर्वचन

यह अध्याय भूविज्ञान एवं भूभौतिकी (GG) पेपर के भाग B2 के “गुरुत्व (Gravity)” शीर्षक का उत्तर देता है: “ग्रह के रूप में पृथ्वी; निरपेक्ष व सापेक्ष गुरुत्व मापन; गुरुत्व आँकड़ा समंजन के विभिन्न संशोधन – मुक्त-वायु, Bouguer व समस्थैतिक विसंगतियाँ; शैलों के घनत्व आकलन; प्रादेशिक व अवशिष्ट गुरुत्व पृथक्करण; समतुल्य स्तर का सिद्धांत; ऊर्ध्व व अधो अनुवर्तन; तरंगदैर्ध्य निस्यंदन; गुरुत्व विसंगतियाँ व उनका निर्वचन – ज्यामितीय व अनियमित आकार के पिंडों की विसंगतियाँ, गहराई-नियम, द्रव्यमान की गणना।” यह पढ़ाता है पृथ्वी का आकार व गुरुत्व क्षेत्र तथा प्रयुक्त इकाइयाँ, g कैसे मापा जाता है, रीडिंग को विसंगति में बदलने वाले संशोधन, समस्थिति व घनत्व आकलन, प्रादेशिक-अवशिष्ट पृथक्करण, समतुल्य स्तर सहित अनुवर्तन व निस्यंदन, तथा सरल व अनियमित पिंडों की विसंगतियाँ, गहराई-नियम व द्रव्यमान। संख्यात्मक प्रश्न ड्रिफ़्ट-संशोधित अंतर, अक्षांश, मुक्त-वायु व Bouguer संशोधन, एयरी मूल, अनुवर्तन गुणक तथा दबे गोले की गहराई व द्रव्यमान हैं।

1. ग्रह के रूप में पृथ्वी व गुरुत्व की इकाइयाँ

पृथ्वी चपटे गोलाभ (oblate spheroid) के निकट है, जिसे घूर्णन ने चपटा किया है। जियॉइड (geoid), यानी माध्य समुद्र-तल से संपाती समविभव पृष्ठ, चिकने संदर्भ दीर्घवृत्तज से अधिकतम लगभग ±100 m के उतार-चढ़ाव से भिन्न होता है। द्रव्यमान g = GM/R² से मिलता है: M = gR²/G ≈ 5.97 × 10²⁴ kg। माध्य घनत्व, लगभग 5.5 g/cm³, पृष्ठीय शैलों (लगभग 2.7) का दुगुना है, इसलिए भीतरी भाग सघन होना चाहिए। जड़त्व-आघूर्ण गुणांक C/MR² = 0.33, जो एकसमान गोले के 0.4 से कम है, दर्शाता है कि घनत्व गहराई के साथ, क्रोड की ओर, बढ़ता है।

याद रखने योग्य पृथ्वी-स्थिरांक
राशिमान
विषुवतीय व ध्रुवीय त्रिज्यालगभग 6378 km व 6357 km (चपटापन लगभग 1/298)
माध्य त्रिज्या6371 km
सामान्य गुरुत्व, विषुवत व ध्रुवलगभग 9.780 व 9.832 m/s²
मुक्त-वायु प्रवणता−0.3086 mGal प्रति मीटर ऊँचाई

सामान्य गुरुत्व (normal gravity) γ(φ), संदर्भ दीर्घवृत्तज पर मान, विषुवत से ध्रुव तक लगभग 5.2 × 10³ mGal बढ़ता है। दो प्रभाव मिलकर कार्य करते हैं: अपकेंद्री त्वरण ω²R cos φ गुरुत्व का विरोध करता है और विषुवत पर सर्वाधिक है (लगभग 3.4 × 10³ mGal), और लगभग 21 km का विषुवतीय उभार विषुवत को केंद्र से दूर कर देता है। इकाइयाँ: 1 Gal = 1 cm/s², 1 mGal = 10⁻⁵ m/s², 1 μGal = 10⁻⁸ m/s², और गुरुत्व इकाई g.u. = 10⁻⁶ m/s² = 0.1 mGal। 0.1 से 100 mGal की विसंगतियाँ g ≈ 980 000 mGal पर सवार होती हैं, इसलिए सर्वेक्षण-यंत्र को लगभग 10⁸ में एक भाग विभेदित करना पड़ता है। एक एटवॉश (Eötvös), प्रवणता की इकाई, 10⁻⁹ s⁻² = 0.1 mGal/km है।

⚠️ Gal, mGal व m/s²
प्रचलित भूल 1 mGal को 10⁻³ m/s² मान लेना है। वह 10⁻⁵ m/s² है। यह भी स्मरण रहे कि विषुवत-ध्रुव का अंतर सामान्य गुरुत्व का अंतर है, इसीलिए समतल भूमि पर भी अक्षांश संशोधन चाहिए।

2. निरपेक्ष व सापेक्ष गुरुत्व मापन

निरपेक्ष विधियाँ स्वयं g मापती हैं। मुक्त-पतन मापी निर्वात में परीक्षण-द्रव्यमान गिराता है और लेज़र व्यतिकरणमापी से उसे अनुरेखित करता है: विरामावस्था से पतन के लिए g = 2h/t², कुछ μGal की परिशुद्धता के साथ। लोलक (pendulum) अपने आवर्तकाल से g देता है: सरल लोलक के लिए T = 2π√(L/g), और उत्क्रमणीय (Kater) लोलक के लिए, जिसमें दो छुरी-धारें L दूरी पर हैं और उनके परितः आवर्तकाल बराबर हैं, g = 4π²L/T², द्रव्यमान-केंद्र या जड़त्व-आघूर्ण जाने बिना। उदाहरण: L = 0.995 m व T = 2.000 s से g = 4π² × 0.995/4 = 9.82 m/s²।

सापेक्ष मापी स्टेशनों के बीच g का अंतर मापते हैं; वे वहनीय हैं और लगभग 0.01 mGal या बेहतर तक परिशुद्ध। अधिकांश कमानी-प्रकार के हैं: g द्रव्यमान को थामने वाली कमानी का विस्तार बदलता है। शून्य-लंबाई कमानी (LaCoste & Romberg) बड़ी रैखिक अनुक्रिया देती है, और संगलित-क्वार्ट्ज़ मापी सुसंहत हैं। रीडिंग यंत्र-ड्रिफ़्ट (drift) से सरकती है और सूर्य व चंद्रमा के भू-ज्वार से भी बदलती है (घंटों में कुछ दसवें mGal तक)। इसलिए सर्वेक्षण पाशों (loops) में चलता है: आधार पर पाठ्यांक, स्टेशनों पर अधिग्रहण, और आधार पर वापसी। दोनों आधार-पाठ्यांकों का अंतर ड्रिफ़्ट है, जो समय में रैखिक माना जाता है, और बीते समय के अनुपात में हटाया जाता है। अतिचालक गुरुत्वमापी μGal स्थिरता के साथ सतत अभिलेखन करता है, और प्रवणतामापी (gradiometer) ऊर्ध्वाधर प्रवणता सीधे Eötvös इकाई में मापता है।

ड्रिफ़्ट उदाहरण। आधार 0 h पर 2450.20 और 4 h पर 2450.60 पढ़ता है, अतः ड्रिफ़्ट 0.10 प्रति घंटा है। 2 h पर पढ़े स्टेशन का पाठ्यांक 2461.00 है; उसका ड्रिफ़्ट-संशोधित पाठ्यांक 2461.00 − 0.20 = 2460.80 है, अतः वहाँ g आधार से 10.60 अधिक है (mGal में, यदि रीडिंग पहले से अंशांकित हों)।

⚠️ निरपेक्ष बनाम सापेक्ष
सापेक्ष मापी स्वयं g कभी नहीं देता: वह आधार से अंतर देता है, और निरपेक्ष मान आधार को निरपेक्ष स्टेशन से जोड़ने पर आता है। डायल का mGal में अंशांकन भी चाहिए, और ड्रिफ़्ट संशोधन मानता है कि आधार-भ्रमणों के बीच ड्रिफ़्ट सरल रहता है।

3. गुरुत्व आँकड़ा समंजन: रीडिंग से विसंगति तक

समंजन ज्ञात का प्रभाव हटाता है, ताकि केवल अज्ञात घनत्व-परिवर्तनों की विसंगति बचे। g = GM/R² से dg/dh = −2g/R ≈ −0.31 mGal/m, जो मानक मुक्त-वायु मान 0.3086 mGal/m का मूल है: गुरुत्व ऊँचाई के साथ घटता है, इसलिए datum से ऊपर के स्टेशन के लिए मुक्त-वायु संशोधन जोड़ा जाता है। Bouguer पट्टिका मोटाई h की अनंत क्षैतिज पट्टिका है जिसका आकर्षण 2πGρh है।

प्रेक्षित गुरुत्व पर लगाए गए संशोधन
संशोधनमानचिह्न व कारण
ड्रिफ़्ट व ज्वारआधार-पाशों व ज्वार-सारणियों सेसबसे पहले हटाए जाते हैं
अक्षांश (सामान्य गुरुत्व)γ(φ) घटाएँ; उत्तर-दक्षिण प्रवणता लगभग 0.81 sin 2φ mGal/kmg ध्रुव की ओर बढ़ता है
मुक्त-वायुdatum से ऊपर प्रति m +0.3086 mGalजोड़ें: g ऊँचाई के साथ घटता है
Bouguer−0.04193 ρ h mGal (ρ g/cm³ में, h m में)घटाएँ: स्टेशन व datum के बीच की पट्टिका हटाएँ
भू-आकृति (Hammer)स्टेशन के आसपास की उच्चावच से गणितसदा जोड़ें: पहाड़ियाँ ऊपर खींचती हैं, घाटियों में पट्टिका-द्रव्यमान नहीं

मुक्त-वायु विसंगति Δg_FA = g_obs − γ + 0.3086 h। Bouguer विसंगति Δg_B = g_obs − γ + 0.3086 h − 0.04193 ρ h, और पूर्ण Bouguer विसंगति हेतु भू-आकृति संशोधन भी। ρ = 2.67 g/cm³ के लिए पट्टिका-पद 0.112 mGal/m है, अतः संयुक्त उन्नयन संशोधन 0.3086 − 0.1119 = 0.197 mGal/m है। उदाहरण: g_obs − γ = −12.0 mGal, h = 250 m, ρ = 2.67 व भू-आकृति संशोधन 0.8 mGal से Δg_B = −12.0 + 77.15 − 27.99 + 0.8 = 38.0 mGal।

⚠️ प्रत्येक संशोधन का अपना चिह्न है
मुक्त-वायु पद जोड़ा जाता है और Bouguer पद घटाया जाता है, अतः वे एक-दूसरे के विरुद्ध कार्य करते हैं। भू-आकृति संशोधन जोड़ा जाता है, चाहे उच्चावच पहाड़ी हो या घाटी। महासागरों पर Bouguer चरण जल को शैल से बदलता है, घनत्व-विपर्यास ρ − ρ_जल लेकर।

4. समस्थिति, समस्थैतिक विसंगतियाँ व घनत्व आकलन

समस्थिति (isostasy) प्रतिपूर्ति गहराई के ऊपर स्थलमंडलीय स्तंभों का द्रवस्थैतिक संतुलन है। एयरी (Airy) मॉडल में अचर घनत्व ρc का भूपर्पटी घनत्व ρm के मैंटल पर तैरता है, इसलिए स्थलाकृति h को मूल t = hρc/(ρm − ρc) थामता है; ρc = 2.7 व ρm = 3.3 g/cm³ के लिए t = 4.5h। प्रैट (Pratt) मॉडल में प्रतिपूर्ति गहराई D निश्चित है और घनत्व बदलता है, ρ(D + h) = ρ0 D, अतः ऊँचे स्तंभ हल्के हैं। वेनिंग मेनेज़ (Vening Meinesz) प्रतिपूर्ति प्रादेशिक है: स्थलमंडल में नमन-सामर्थ्य है और वह भार को फैलाता है।

समस्थैतिक विसंगति Bouguer विसंगति और समस्थैतिक संशोधन का योग है; संशोधन प्रतिपूर्ति करने वाले मूल या घनत्व-परिवर्तन का प्रभाव है, जो द्रव्यमान-न्यूनता है और इसलिए धनात्मक संशोधन है। प्रतिपूरित स्थलाकृति का प्रतिरूप यह है: विस्तृत आकृतियों पर मुक्त-वायु विसंगति शून्य के निकट, पर्वतों पर Bouguer विसंगति प्रबल ऋणात्मक (लगभग −100 mGal प्रति km उन्नयन) और महासागरों पर प्रबल धनात्मक, तथा समस्थैतिक विसंगति शून्य के निकट। बड़ी समस्थैतिक विसंगति असंतुलित क्षेत्र दर्शाती है, जैसे हाल ही में पिघली हिम-चादर के नीचे।

  • प्रतिदर्श: शुष्क स्थूल घनत्व = द्रव्यमान ÷ आयतन; संतृप्त घनत्व (1 − φ)ρ_कण + φρ_जल। g/cm³ में विशिष्ट मान: अवसाद लगभग 1.9 से 2.6, ग्रेनाइट लगभग 2.65, बेसाल्ट लगभग 2.8 से 3.0, औसत भूपर्पटी 2.67 (मानक Bouguer घनत्व), मैंटल लगभग 3.3।
  • नेटलटन (Nettleton) विधि: उच्चावच के ऊपर किसी परिच्छेद पर कई परीक्षण घनत्वों के लिए Bouguer विसंगति निकालें; सही घनत्व वह है जिस पर विसंगति का स्थलाकृति से सहसंबंध न्यूनतम हो।
  • बोरहोल गुरुत्व: क्षैतिज स्तरित शैल में Δz दूरी की दो गहराइयों पर मापा g नीचे की ओर Δg = (0.3086 − 0.0839ρ)Δz mGal (ρ g/cm³ में) बढ़ता है, जिससे बीच की शैल का घनत्व मिलता है। भूकंपीय वेग गार्डनर संबंध ρ ≈ 0.31 Vp^0.25 (Vp m/s में, ρ g/cm³ में) से घनत्व देता है।
🎯 महत्व विपर्यास का है
गुरुत्व विसंगति घनत्व-विपर्यास Δρ = ρ_पिंड − ρ_धारक से आती है, पिंड के घनत्व से नहीं। 2.9 घनत्व वाला पिंड 2.9 की शैल में कोई विसंगति नहीं देता, और वही पिंड 2.3 के अवसाद में बड़ी विसंगति देता है। Bouguer घनत्व स्टेशन व datum के बीच की शैल के बारे में एक मान्यता है।

5. प्रादेशिक व अवशिष्ट पृथक्करण, अनुवर्तन, समतुल्य स्तर व तरंगदैर्ध्य निस्यंदन

Bouguer मानचित्र में प्रादेशिक क्षेत्र (दीर्घ तरंगदैर्ध्य, गहरे या विस्तृत स्रोत) व अवशिष्ट विसंगतियाँ (लघु तरंगदैर्ध्य, उथले लक्ष्य) होती हैं। पृथक्करण की विधियाँ: परिच्छेदों का आलेखीय समतलन; न्यूनतम वर्गों से बहुपद प्रवृत्ति-पृष्ठ आसंजन, अवशिष्ट = प्रेक्षित − आसंजित; चल-माध्य या वलय संकारक (ग्रिफ़िन: अवशिष्ट = केंद्र का मान − त्रिज्या r के वलय का माध्य); द्वितीय ऊर्ध्वाधर अवकलज, जो लघु तरंगदैर्ध्यों को प्रबल करता है, ∂²g/∂z² = −(∂²g/∂x² + ∂²g/∂y²) लाप्लास समीकरण से; और ऊर्ध्व अनुवर्तन, जहाँ अनुवर्तित क्षेत्र ही प्रादेशिक है। परिणाम विधि पर निर्भर है, क्योंकि कोई पृथक्करण अद्वितीय नहीं।

तरंग-संख्या प्रक्षेत्र में, k = 1/λ चक्र प्रति इकाई लंबाई लेकर, z से ऊर्ध्व अनुवर्तन प्रत्येक घटक को exp(−2πkz) = exp(−2πz/λ) से गुणा करता है। यह स्थिर व चिकना करने वाला है, क्योंकि लघु तरंगदैर्ध्य अधिक क्षीण होते हैं। अधो अनुवर्तन exp(+2πz/λ) से गुणा करता है, जो लघु तरंगदैर्ध्यों व शोर को प्रवर्धित करता है, इसलिए वह अस्थिर है और केवल छोटे z व चिकने आँकड़ों पर चलता है, तथा स्रोतों की गहराई से नीचे विफल होता है। उदाहरण: 2 km तरंगदैर्ध्य 0.5 km ऊपर अनुवर्तित होने पर अपना exp(−2π × 0.5/2) = 0.21 आयाम रखता है, 10 km तरंगदैर्ध्य 0.73।

तरंगदैर्ध्य निस्यंदन तरंग-संख्या प्रक्षेत्र में गुणन है: निम्न-पारक प्रादेशिक रखता है, उच्च-पारक अवशिष्ट, बैंड-पारक चुना हुआ गहराई-परास। गहराई z के स्रोतों के लिए शक्ति स्पेक्ट्रम exp(−2|k|z) से गिरता है (|k| कोणीय), अतः ln P की |k| के सापेक्ष ढाल −2z है, जो गहराई देती है। समतुल्य स्तर का सिद्धांत कहता है कि किसी समतल पर प्रेक्षित कोई भी विसंगति उसके नीचे गहराई d पर पृष्ठ-घनत्व σ(x, y) की पतली परत से यथार्थ पुनः उत्पन्न की जा सकती है, g(k) = 2πGσ(k) exp(−|k|d) के साथ। वह परत वास्तविक स्रोत नहीं है, क्योंकि भिन्न परतें वही क्षेत्र देती हैं, पर वह क्षेत्र को ऊपर या नीचे अनुवर्तित करने, अंतर्वेशन करने और गुरुत्व को उसके अवकलजों में बदलने की युक्ति है।

⚠️ स्रोत के आर-पार अधो अनुवर्तन न करें
अधो अनुवर्तन विसंगतियों को तीक्ष्ण करता है और इसलिए आकर्षक लगता है, पर वह शोर को चरघातांकी रूप से बढ़ाता है और स्रोत के शीर्ष से नीचे अर्थहीन है, जहाँ क्षेत्र प्रसंवादी नहीं रहता। ऊर्ध्व अनुवर्तन किसी भी तरंगदैर्ध्य का आयाम कभी नहीं बढ़ाता।

6. ज्यामितीय पिंडों की विसंगतियाँ व गहराई-नियम

किसी पिंड की विसंगति उसके घनत्व-विपर्यास Δρ का ऊर्ध्वाधर आकर्षण है, उसे पार करते परिच्छेद x के अनुदिश, z गहराई के साथ। अर्ध-चौड़ाई x½ शिखर से वह क्षैतिज दूरी है जहाँ विसंगति अधिकतम की आधी रह जाती है।

मानक विसंगतियाँ व अर्ध-चौड़ाई गहराई-नियम
पिंडΔg(x)शिखरगहराई-नियम
गोला, आधिक्य द्रव्यमान M, केंद्र-गहराई zGMz/(x² + z²)^(3/2)GM/z²z = 1.305 x½
क्षैतिज बेलन, प्रति लंबाई द्रव्यमान λ, अक्ष-गहराई z2Gλz/(x² + z²)2Gλ/zz = x½
अनंत क्षैतिज पट्टिका, मोटाई t2πGΔρt = 0.04193 Δρ t mGalअचरकोई नहीं: गहराई से स्वतंत्र
अर्ध-अनंत क्षैतिज पट्टिका (भ्रंश)0 से 2πGΔρt तक बढ़ता हैकिनारे से दूर 2πGΔρt (किनारे पर πGΔρt)किनारा अर्ध-मान पर है

गहराई-नियम अर्ध-मान के हल से आते हैं। गोले के लिए (1 + x²/z²)^(−3/2) = 1/2 से x² = (2^(2/3) − 1)z² = 0.587z², अतः x½ = 0.766z और z = 1.305x½। बेलन के लिए 1/(1 + x²/z²) = 1/2 से x½ = z। ये केंद्र की गहराई देते हैं; शीर्ष त्रिज्या जितना उथला होता है। नियम को मानी हुई आकृति चाहिए, इसलिए गहरा गोला व उथला बेलन एक अर्ध-चौड़ाई साझा कर सकते हैं। स्मिथ (Smith) नियम आकृति-मुक्त सीमा देता है: एक चिह्न के घनत्व-विपर्यास वाले पिंड के शीर्ष की गहराई अधिकतम 0.86 Δg_max/(dg/dx)_max है, बिंदु द्रव्यमान के लिए समता सहित।

उदाहरण। एक गोलाकार अयस्क-पिंड 1.5 mGal का शिखर और 300 m अर्ध-चौड़ाई देता है। केंद्र की गहराई z = 1.305 × 300 = 391.5 m है, और आधिक्य द्रव्यमान M = Δg_max z²/G = (1.5 × 10⁻⁵ × 391.5²)/(6.674 × 10⁻¹¹) = 3.4 × 10¹⁰ kg। त्रिज्या 100 m, केंद्र 300 m पर, Δρ = 500 kg/m³ के गोले का M = (4/3)π(100)³ × 500 = 2.1 × 10⁹ kg और शिखर GM/z² = 0.155 mGal। गोले को सतह के निकट लाने पर विसंगति ऊँची व संकरी हो जाती है।

7. अनियमित पिंड, कुल द्रव्यमान व निर्वचन

अनियमित पिंडों का कोई संवृत सूत्र नहीं होता, इसलिए उन्हें संख्यात्मक रूप से मॉडल किया जाता है। तलवानी (Talwani) विधि (Talwani, Worzel व Landisman) 2-D पिंड को बहुभुज से बदलती है और उसकी भुजाओं पर रेखा-समाकल जोड़ती है, जो हबर्ट (Hubbert) की रेखा-समाकल विधि से चला विचार है। Talwani व Ewing इसे 3-D पिंडों तक पतली क्षैतिज बहुभुजी पटलिकाओं के ढेर के रूप में बढ़ाते हैं। प्रचलित अभ्यास अग्र निदर्शन है: पिंड तब तक समायोजित होता है जब तक गणित विसंगति प्रेक्षित से मेल न खाए।

द्रव्यमान की गणना। गाउस प्रमेय से पूरे समतल पर ऊर्ध्वाधर आकर्षण का समाकल आधिक्य द्रव्यमान का 2πG गुना है, आकृति व गहराई कुछ भी हो: M = (1/2πG) ∬ Δg dA, और 2-D पिंड के लिए प्रति इकाई लंबाई λ = (1/2πG) ∫ Δg dx। Δg mGal में व क्षेत्रफल m² में हो तो M = 2.38 × 10⁴ ∬ Δg dA kg। गोले से जाँच: ∬ GMz/(r² + z²)^(3/2) dA = 2πGM। यह आधिक्य द्रव्यमान Δρ V है। घनत्व ρ के पिंड के लिए, जो घनत्व ρ_h की धारक शैल में है, कुल द्रव्यमान M × ρ/(ρ − ρ_h) है। विसंगति की पूँछें काट देने पर M का अल्प-आकलन होता है।

  • धनात्मक विसंगतियाँ आधिक्य घनत्व दर्शाती हैं: सघन आधार-कटक, मैफ़िक व अतिमैफ़िक अंतर्वेधन, विशाल सल्फ़ाइड व क्रोमाइट पिंड, और सघन स्तरों के अपनति।
  • ऋणात्मक विसंगतियाँ द्रव्यमान-न्यूनता दर्शाती हैं: लवण-गुंबद (लवण लगभग 2.2 g/cm³, अधिकांश संहत अवसाद से हल्का), अवसादी द्रोणियाँ, ग्रेनाइटी प्लूटन और गुहाएँ।
  • तीव्र प्रवणताएँ भ्रंशों व संस्पर्शों की सूचक हैं, और क्षैतिज प्रवणता का उच्चिष्ठ तीव्र संस्पर्श के ऊपर होता है। चौड़ी निम्न-आयाम विसंगति गहरे या विस्तृत स्रोत की ओर, संकरी तीक्ष्ण विसंगति उथले स्रोत की ओर संकेत करती है।
⚠️ निर्वचन अद्वितीय नहीं है
वही विसंगति छोटे, सघन, उथले पिंड से या बड़े, हल्के, गहरे पिंड से आ सकती है, और द्रव्यमान-समाकल केवल आधिक्य द्रव्यमान निश्चित करता है, आयतन या घनत्व अलग-अलग नहीं। गहराई, आकृति या घनत्व को भूविज्ञान, बोरिंग, भूकंपीय आँकड़ों व अन्य विधियों से बाँधना पड़ता है।

मुख्य बिंदु

  • पृथ्वी चपटा गोलाभ है जिसका माध्य घनत्व 5.5 g/cm³ है और सामान्य गुरुत्व विषुवत से ध्रुव तक लगभग 5.2 × 10³ mGal बढ़ता है। 1 mGal = 10⁻⁵ m/s², 1 Eötvös = 0.1 mGal/km। निरपेक्ष मापी मुक्त-पतन या Kater लोलक (g = 4π²L/T²) का समय लेते हैं; सापेक्ष मापी अंतर पढ़ते हैं और पाश-ड्रिफ़्ट संशोधन माँगते हैं।
  • समंजन: γ(φ) घटाएँ, 0.3086 h जोड़ें (मुक्त-वायु), 0.04193 ρ h घटाएँ (Bouguer, ρ g/cm³ में, h m में) और भू-आकृति संशोधन जोड़ें। ρ = 2.67 के लिए उन्नयन संशोधन 0.197 mGal/m है। अक्षांश प्रवणता लगभग 0.81 sin 2φ mGal/km।
  • एयरी मूल t = hρc/(ρm − ρc); प्रतिपूरित पर्वतों में मुक्त-वायु व समस्थैतिक विसंगतियाँ शून्य के निकट पर Bouguer विसंगतियाँ प्रबल ऋणात्मक होती हैं। घनत्व प्रतिदर्शों, नेटलटन की न्यूनतम-सहसंबंध विधि, बोरहोल गुरुत्व व वेग-संबंधों से आता है।
  • प्रादेशिक-अवशिष्ट पृथक्करण कभी अद्वितीय नहीं (बहुपद, वलय, अवकलज, ऊर्ध्व अनुवर्तन)। ऊर्ध्व अनुवर्तन exp(−2πz/λ) से गुणा करता है और स्थिर है; अधो अनुवर्तन exp(+2πz/λ) से गुणा करता है और शोर बढ़ाता है। समतुल्य स्तर किसी भी विसंगति को गहराई की पट्टिका से दोहराता है, इसलिए विसंगति स्रोत को निश्चित नहीं कर सकती।
  • गोला: शिखर GM/z², z = 1.305 x½। क्षैतिज बेलन: शिखर 2Gλ/z, z = x½। पट्टिका: 2πGΔρt = 0.04193 Δρ t mGal, गहराई से स्वतंत्र। स्मिथ: शीर्ष की गहराई ≤ 0.86 Δg_max/(dg/dx)_max।
  • द्रव्यमान: M = (1/2πG) ∬ Δg dA आकृति व गहराई से स्वतंत्र आधिक्य द्रव्यमान देता है, और कुल द्रव्यमान M × ρ/(ρ − ρ_h) है। अनियमित पिंड Talwani बहुभुज व Talwani–Ewing पटलिकाएँ लेते हैं। निर्वचन अद्वितीय नहीं और बाध्यताएँ माँगता है।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. संदर्भ दीर्घवृत्तज पर सामान्य गुरुत्व विषुवत पर ध्रुवों की अपेक्षा कम है। इसका मुख्य कारण क्या है?

    1. ध्रुवों के नीचे का मैंटल विषुवत के नीचे से बहुत अधिक सघन है, इसलिए ध्रुव पर रखे पिंड को अधिक द्रव्यमान आकर्षित करता है
    2. गुरुत्व ध्रुवों पर समुद्र-तल पर देखा जाता है पर विषुवत के निकट ऊँची भूमि पर, जहाँ ऊँचाई से g कम होता है
    3. अपकेंद्री त्वरण विषुवत पर सर्वाधिक है, और विषुवतीय उभार उसे केंद्र से अधिक दूर रखता है
    4. पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र ध्रुवों पर गुरुत्वीय आकर्षण में जुड़ता है और विषुवत पर उसमें से घटता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — अपकेंद्री त्वरण विषुवत पर सर्वाधिक है, और विषुवतीय उभार उसे केंद्र से अधिक दूर रखता है

    घूर्णन अक्ष से बाहर की ओर अपकेंद्री त्वरण ω²R cos φ उत्पन्न करता है, जो विषुवत पर सर्वाधिक है (लगभग 3.4 × 10³ mGal), और लगभग 21 km का विषुवतीय उभार विषुवत को केंद्र से दूर रखता है। दोनों विषुवत पर g घटाते हैं। छिपे द्रव्यमान-अंतर कारण नहीं हैं, क्योंकि सामान्य गुरुत्व केवल संदर्भ दीर्घवृत्तज का गुण है, और चुंबकत्व की कोई भूमिका नहीं।

  2. निम्नलिखित में से कौन-सा यंत्र स्टेशनों के बीच g का अंतर नहीं, बल्कि स्वयं g का मान मापता है?

    1. मुक्त-पतन मापी, जो निर्वात में गिरते द्रव्यमान का समय लेज़र व्यतिकरणमापी से लेता है
    2. LaCoste व Romberg शून्य-लंबाई-कमानी मापी, जो आधार स्टेशन व क्षेत्र-स्टेशन पर पढ़ा जाता है
    3. संगलित-क्वार्ट्ज़ कमानी मापी, जिसका डायल अनेक क्षेत्र-स्टेशनों पर पाश में पढ़ा जाता है
    4. प्रवणतामापी, जो निश्चित आधार-रेखा पर g की ऊर्ध्वाधर प्रवणता Eötvös इकाई में मापता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — मुक्त-पतन मापी, जो निर्वात में गिरते द्रव्यमान का समय लेज़र व्यतिकरणमापी से लेता है

    मुक्त-पतन मापी दूरी व समय से g पाता है, g = 2h/t², केवल लंबाई व समय के मानकों से, इसलिए वह निरपेक्ष है। कमानी मापी g के परिवर्तनों पर प्रतिक्रिया करते हैं और आधार के सापेक्ष पढ़े जाते हैं, और प्रवणतामापी प्रवणता मापता है, g नहीं। सापेक्ष मापियों को g के सच्चे मान से जोड़ने के लिए निरपेक्ष स्टेशन चाहिए।

  3. एक गुरुत्व स्टेशन datum से 100 m ऊपर है। 0.3086 mGal प्रति मीटर लेते हुए मुक्त-वायु संशोधन क्या है?

    1. −30.86 mGal, घटाया जाता है, क्योंकि स्टेशन datum से ऊपर है
    2. +3.086 mGal, जोड़ा जाता है, क्योंकि गुणक प्रत्येक दस मीटर ऊँचाई पर लागू है
    3. +0.3086 mGal, जोड़ा जाता है, क्योंकि संशोधन केवल ऊँचाई के चिह्न पर निर्भर है
    4. +30.86 mGal, प्रेक्षित गुरुत्व में जोड़ा जाता है, क्योंकि g ऊँचाई के साथ घटता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — +30.86 mGal, प्रेक्षित गुरुत्व में जोड़ा जाता है, क्योंकि g ऊँचाई के साथ घटता है

    गुरुत्व प्रत्येक मीटर ऊँचाई पर 0.3086 mGal घटता है, अतः 100 m उन्नयन ने रीडिंग 100 × 0.3086 = 30.86 mGal घटा दी है, और इसे वापस जोड़ा जाता है। इसे घटाना भ्रामक चिह्न-भूल है। अन्य मान गुणन की चूकों से आते हैं।

  4. स्टेशन के निकट का उच्चावच पहाड़ी हो या घाटी, भू-आकृति संशोधन सदा प्रेक्षित गुरुत्व में क्यों जोड़ा जाता है?

    1. क्योंकि सारी भू-आकृति स्टेशन के स्तर से नीचे होती है, इसलिए उसका द्रव्यमान सदा हटाई जा रही Bouguer पट्टिका में जुड़ता है
    2. क्योंकि पहाड़ी मापी को ऊपर खींचकर g घटाती है, जबकि घाटी में वह द्रव्यमान नहीं जिसे पट्टिका-संशोधन ने माना
    3. क्योंकि भू-आकृति संशोधन केवल मुक्त-वायु संशोधन को निरस्त करता है, जो सदा पहले घटाया जाता है
    4. क्योंकि स्टेशन के ऊपर की शैल यंत्र को नीचे खींचकर प्रेक्षित g मान सदा बढ़ाती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — क्योंकि पहाड़ी मापी को ऊपर खींचकर g घटाती है, जबकि घाटी में वह द्रव्यमान नहीं जिसे पट्टिका-संशोधन ने माना

    स्टेशन के ऊपर की पहाड़ी मापी को ऊपर की ओर आकर्षित करती है, जिससे g घटता है, और स्टेशन के नीचे की घाटी में वह द्रव्यमान नहीं है जो अनंत Bouguer पट्टिका ने माना था, इसलिए पट्टिका-संशोधन अधिक घटा देता है। दोनों प्रभाव प्रेक्षित मान को समंजित मान की तुलना में घटाते हैं, और दोनों जोड़ने की माँग करते हैं। स्टेशन के ऊपर की शैल g नहीं बढ़ाती, जो भ्रामक भूल है।

  5. स्थानीय एयरी समस्थैतिक संतुलन में स्थित विस्तृत पर्वतमाला पर विसंगतियों का कौन-सा प्रतिरूप अपेक्षित है?

    1. मुक्त-वायु विसंगति प्रबल धनात्मक, Bouguer विसंगति शून्य के निकट, जो अप्रतिपूरित पर्वतमाला का प्रतिरूप है
    2. मुक्त-वायु विसंगति प्रबल ऋणात्मक, Bouguer विसंगति शून्य के निकट, समस्थैतिक विसंगति प्रबल धनात्मक
    3. मुक्त-वायु विसंगति शून्य के निकट, Bouguer विसंगति प्रबल ऋणात्मक, समस्थैतिक विसंगति शून्य के निकट
    4. तीनों विसंगतियाँ प्रबल धनात्मक, क्योंकि पर्वतों का अतिरिक्त द्रव्यमान मापी को आकर्षित करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — मुक्त-वायु विसंगति शून्य के निकट, Bouguer विसंगति प्रबल ऋणात्मक, समस्थैतिक विसंगति शून्य के निकट

    प्रतिपूरित पर्वतमाला में स्थलाकृति का द्रव्यमान विस्तृत तरंगदैर्ध्यों पर मूल की द्रव्यमान-न्यूनता से निरस्त हो जाता है, इसलिए मुक्त-वायु विसंगति शून्य के निकट रहती है। Bouguer संशोधन स्थलाकृति हटाता है पर मूल नहीं, अतः Bouguer विसंगति प्रबल ऋणात्मक होती है, लगभग −100 mGal प्रति km उन्नयन। समस्थैतिक संशोधन मूल को पुनः जोड़ता है और समस्थैतिक विसंगति शून्य के निकट बचती है। प्रबल धनात्मक मुक्त-वायु विसंगति व शून्य के निकट Bouguer विसंगति वाला प्रतिरूप अप्रतिपूरित पर्वतमाला का होता।

  6. गुरुत्व आँकड़ों का अधो अनुवर्तन संख्यात्मक रूप से अस्थिर संक्रिया क्यों है?

    1. यह प्रत्येक तरंगदैर्ध्य को exp(+2πz/λ) से गुणा करता है, जो लघु-तरंगदैर्ध्य शोर को सर्वाधिक बढ़ाता है
    2. यह प्रत्येक तरंगदैर्ध्य को exp(−2πz/λ) से गुणा करता है, जो सच्चे संकेत का भी बहुत अधिक भाग हटा देता है
    3. इसे ऊर्ध्व अनुवर्तन से अधिक स्टेशन चाहिए, इसलिए विरल सर्वेक्षण में यह संक्रिया विफल होती है
    4. यह क्षेत्र का माध्य मान बदल देता है, जिसे बाद के किसी चरण से पुनः स्थापित नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यह प्रत्येक तरंगदैर्ध्य को exp(+2πz/λ) से गुणा करता है, जो लघु-तरंगदैर्ध्य शोर को सर्वाधिक बढ़ाता है

    z से अधो अनुवर्तन तरंगदैर्ध्य λ के घटक को exp(+2πz/λ) से गुणा करता है, जो सबसे छोटे तरंगदैर्ध्यों के लिए सर्वाधिक है, जहाँ शोर रहता है, इसलिए शोर चरघातांकी रूप से बढ़ता है। गुणक exp(−2πz/λ) ऊर्ध्व अनुवर्तन का है, जो चिकना करता है और स्थिर है। स्टेशनों की संख्या व माध्य मान कारण नहीं हैं।

  7. समतुल्य स्तर के सिद्धांत के बारे में कौन-सा कथन सही है?

    1. यह दर्शाता है कि गुरुत्व विसंगति अपने स्रोत-स्तर की सच्ची गहराई व घनत्व को अद्वितीय रूप से निर्धारित करती है
    2. यह कहता है कि प्रत्येक प्रादेशिक विसंगति मोहो की गहराई पर स्थित एक स्तर से उत्पन्न होती है
    3. यह कहता है कि गुरुत्व विसंगतियाँ केवल क्षैतिज परतों से उत्पन्न हो सकती हैं, संहत पिंडों से कभी नहीं
    4. समतल पर कोई भी विसंगति गहराई की पतली पट्टिका से उत्पन्न की जा सकती है, इसलिए वह अकेली स्रोत निश्चित नहीं कर सकती
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — समतल पर कोई भी विसंगति गहराई की पतली पट्टिका से उत्पन्न की जा सकती है, इसलिए वह अकेली स्रोत निश्चित नहीं कर सकती

    गहराई d पर पृष्ठ-घनत्व σ की पतली पट्टिका g(k) = 2πGσ(k) exp(−|k|d) देती है, अतः उपयुक्त σ समतल पर प्रेक्षित किसी भी विसंगति को पुनः उत्पन्न कर सकता है। इसीलिए निर्वचन अद्वितीय नहीं है, और इसीलिए परत का उपयोग अनुवर्तन की युक्ति के रूप में होता है, वास्तविक स्रोत के रूप में नहीं। यह मोहो के बारे में कुछ नहीं कहता और संहत पिंडों को वर्जित नहीं करता।

  8. अनंत लंबे क्षैतिज बेलन के लिए, जिसकी अक्ष परिच्छेद पर लंबवत है, अक्ष की गहराई z का गुरुत्व विसंगति की अर्ध-चौड़ाई x½ से संबंध क्या है?

    1. z = 1.305 x½, वह नियम जो दबे गोले पर लागू होता है
    2. z = x½, क्योंकि Δg ∝ 1/(x² + z²) अपने शिखर की आधी वहाँ रह जाती है जहाँ x = z
    3. z = 0.766 x½, गोले के लिए अर्ध-चौड़ाई व गहराई का अनुपात
    4. z = 2 x½, क्योंकि बेलन का आकर्षण गोले के आकर्षण से दुगुनी दूरी तक फैलता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — z = x½, क्योंकि Δg ∝ 1/(x² + z²) अपने शिखर की आधी वहाँ रह जाती है जहाँ x = z

    बेलन के लिए Δg = 2Gλz/(x² + z²), जो अपने शिखर 2Gλ/z की आधी तब है जब x² = z², अतः x½ = z। गुणक 1.305 गोले का नियम है, और 0.766 उसका प्रतिलोम, गोले का x½/z, है, इसलिए दोनों भ्रामक घालमेल हैं।

  9. एक अवशिष्ट गुरुत्व विसंगति Δg(x, y) को पूरे समतल पर समाकलित किया जाता है और परिणाम को 2πG से भाग दिया जाता है। यह राशि क्या देती है?

    1. आधिक्य द्रव्यमान, यानी घनत्व-विपर्यास × आयतन, पिंड की आकृति व गहराई कुछ भी हो
    2. पिंड का कुल द्रव्यमान, घनत्व × आयतन, क्योंकि धारक शैल समाकल में कुछ योगदान नहीं देती
    3. पिंड का द्रव्यमान केवल तभी जब वह गोला हो, क्योंकि परिणाम मानी हुई आकृति पर निर्भर है
    4. केवल datum तल से ऊपर स्थित द्रव्यमान, क्योंकि गुरुत्व सतह के नीचे का कुछ नहीं मापता
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — आधिक्य द्रव्यमान, यानी घनत्व-विपर्यास × आयतन, पिंड की आकृति व गहराई कुछ भी हो

    गाउस प्रमेय से ऊर्ध्वाधर आकर्षण का समतल-समाकल परिबद्ध आधिक्य द्रव्यमान का 2πG गुना है, आकृति व गहराई से स्वतंत्र, अतः M = (1/2πG) ∬ Δg dA। यह आधिक्य द्रव्यमान Δρ V है, कुल द्रव्यमान नहीं, क्योंकि धारक शैल का अपना आकर्षण हटाई गई पृष्ठभूमि में है। कुल द्रव्यमान M ρ/(ρ − ρ_धारक) है। परिणाम आकृति पर निर्भर नहीं है।

  10. गुरुत्व आँकड़ा समंजन में लगाए जाने वाले संशोधनों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. Bouguer पट्टिका संशोधन 2πGρh है, जो ρ g/cm³ में और h मीटर में लेने पर 0.04193ρh mGal के बराबर है
    2. भू-आकृति संशोधन सदा धनात्मक, यानी जोड़ा जाने वाला, होता है, पहाड़ी के लिए भी और घाटी के लिए भी
    3. datum से ऊपर के स्टेशन के लिए मुक्त-वायु संशोधन प्रेक्षित गुरुत्व से घटाया जाता है
    4. Bouguer संशोधन datum व स्टेशन के बीच की शैल-पट्टिका का आकर्षण जोड़ता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Bouguer पट्टिका संशोधन 2πGρh है, जो ρ g/cm³ में और h मीटर में लेने पर 0.04193ρh mGal के बराबर है; B — भू-आकृति संशोधन सदा धनात्मक, यानी जोड़ा जाने वाला, होता है, पहाड़ी के लिए भी और घाटी के लिए भी

    पट्टिका-पद 2πGρh = 0.04193ρh mGal है, और भू-आकृति संशोधन दोनों स्थितियों में जोड़ा जाता है। datum से ऊपर के स्टेशन के लिए मुक्त-वायु संशोधन जोड़ा जाता है क्योंकि g ऊँचाई के साथ घटता है, और Bouguer संशोधन पट्टिका को घटाता है, जिसका आकर्षण रीडिंग में पहले से है।

  11. विभव-क्षेत्र आँकड़ों के अनुवर्तन के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. ऊर्ध्व अनुवर्तन लघु तरंगदैर्ध्यों को दीर्घ तरंगदैर्ध्यों से अधिक प्रबलता से क्षीण करता है
    2. ऊर्ध्व अनुवर्तन स्थिर, चिकना करने वाली संक्रिया है और किसी तरंगदैर्ध्य का आयाम कभी नहीं बढ़ाता
    3. अधो अनुवर्तन शोर को दबाता है क्योंकि वह प्रत्येक तरंगदैर्ध्य को exp(−2πz/λ) से गुणा करता है
    4. ऊर्ध्व अनुवर्तन उथले स्रोतों की विसंगतियों को तीक्ष्ण करता है, जिससे उन्हें अलग करना सरल होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ऊर्ध्व अनुवर्तन लघु तरंगदैर्ध्यों को दीर्घ तरंगदैर्ध्यों से अधिक प्रबलता से क्षीण करता है; B — ऊर्ध्व अनुवर्तन स्थिर, चिकना करने वाली संक्रिया है और किसी तरंगदैर्ध्य का आयाम कभी नहीं बढ़ाता

    ऊर्ध्व अनुवर्तन गुणक exp(−2πz/λ) प्रत्येक तरंगदैर्ध्य के लिए एक से कम है और छोटे तरंगदैर्ध्यों के लिए और छोटा, इसलिए संक्रिया चिकना करती है और स्थिर है। अधो अनुवर्तन exp(+2πz/λ) लेता है और शोर बढ़ाता है, और ऊर्ध्व अनुवर्तन उथली विसंगतियों को तीक्ष्ण करने के बजाय धुँधला करता है।

  12. सरल पिंडों की गुरुत्व विसंगतियों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. दबे गोले की शिखर विसंगति GM/z² है, जहाँ M आधिक्य द्रव्यमान और z उसके केंद्र की गहराई है
    2. क्षैतिज बेलन के लिए विसंगति की अर्ध-चौड़ाई उसकी अक्ष की गहराई के बराबर होती है
    3. अनंत क्षैतिज पट्टिका का ऊर्ध्वाधर आकर्षण उस गहराई से स्वतंत्र है जिस पर पट्टिका स्थित है
    4. दबे गोले को सतह के निकट लाने पर उसकी विसंगति चौड़ी हो जाती है जबकि शिखर मान घटता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दबे गोले की शिखर विसंगति GM/z² है, जहाँ M आधिक्य द्रव्यमान और z उसके केंद्र की गहराई है; B — क्षैतिज बेलन के लिए विसंगति की अर्ध-चौड़ाई उसकी अक्ष की गहराई के बराबर होती है; C — अनंत क्षैतिज पट्टिका का ऊर्ध्वाधर आकर्षण उस गहराई से स्वतंत्र है जिस पर पट्टिका स्थित है

    गोले का शिखर GM/z² है, बेलन का नियम x½ = z है, और पट्टिका जहाँ भी हो 2πGΔρt देती है, बशर्ते वह इतनी चौड़ी हो कि अनंत मानी जा सके। गोले को सतह के निकट लाने पर शिखर GM/z² बढ़ता है और अर्ध-चौड़ाई 0.766z संकरी होती है, इसलिए विसंगति के चौड़ी होने का दावा गलत है।

  13. एक सापेक्ष गुरुत्वमापी आधार पर 08:00 बजे 1200.00 mGal और 11:00 बजे 1200.45 mGal पढ़ता है। ड्रिफ़्ट समय में रैखिक है। 10:00 बजे अधिग्रहीत स्टेशन पर वह 1215.20 mGal पढ़ता है। आधार के सापेक्ष स्टेशन का ड्रिफ़्ट-संशोधित गुरुत्व, mGal में एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 14.9

    ड्रिफ़्ट (1200.45 − 1200.00)/3 h = 0.15 mGal प्रति घंटा है। 10:00 बजे, आरंभ के दो घंटे बाद, संचित ड्रिफ़्ट 0.30 mGal है, अतः संशोधित पाठ्यांक 1215.20 − 0.30 = 1214.90 है। आधार-पाठ्यांक 1200.00 के सापेक्ष अंतर 14.9 mGal है। केवल आधार-पाठ्यांक घटाना (15.2) ड्रिफ़्ट भूलना है।

  14. सामान्य गुरुत्व की उत्तर-दक्षिण प्रवणता 0.81 sin 2φ mGal प्रति km लीजिए, जो स्टेशन के अक्षांश φ = 30° उ. पर आकलित है। एक स्टेशन याम्योत्तर के अनुदिश आधार से 10 km उत्तर में है। दोनों के बीच अक्षांश संशोधन का परिमाण, mGal में एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 7.0

    sin 2φ = sin 60° = 0.8660, अतः प्रवणता 0.81 × 0.8660 = 0.7015 mGal/km है। 10 km पर संशोधन 7.015 है, यानी 7.0 mGal। sin 2φ की जगह sin φ = 0.5 लेने पर 4.05 आता, जो गलत है। उत्तरी स्टेशन पर सामान्य गुरुत्व अधिक है, इसलिए उसका सामान्य मान घटाया जाएगा।

  15. एक स्टेशन पर g_obs − γ = +8.5 mGal है (प्रेक्षित गुरुत्व घटा स्टेशन के अक्षांश का सामान्य गुरुत्व)। स्टेशन datum से 180 m ऊपर है, Bouguer घनत्व 2.50 g/cm³ है और भू-आकृति संशोधन +1.2 mGal है। मुक्त-वायु प्रवणता हेतु 0.3086 mGal/m और पट्टिका हेतु 0.04193ρh mGal (ρ g/cm³ में, h मीटर में) लीजिए। पूर्ण Bouguer विसंगति, mGal में एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 46.4

    मुक्त-वायु पद: 0.3086 × 180 = 55.55 mGal, जोड़ा गया। पट्टिका-पद: 0.04193 × 2.50 × 180 = 18.87 mGal, घटाया गया। भू-आकृति: +1.2। Δg_B = 8.5 + 55.55 − 18.87 + 1.2 = 46.4 mGal। भू-आकृति संशोधन घटाना या पट्टिका जोड़ना प्रचलित चिह्न-भूलें हैं।

  16. 4.0 km तरंगदैर्ध्य की ज्यावक्रीय गुरुत्व विसंगति को 0.50 km ऊपर अनुवर्तित किया जाता है। गुणक exp(−2πz/λ) लेते हुए उसका आयाम किस गुणक से गुणा होता है? उत्तर दो दशमलव स्थान तक दीजिए: ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.46

    गुणक exp(−2π × 0.50/4.0) = exp(−0.7854) = 0.456 है, यानी 0.46। आयाम मूल स्तर के अपने मान के 46% तक गिर गया है। 2π के बिना z/λ = 0.125 लेने पर exp(−0.125) = 0.88 आता, जो गलत है।

  17. एक दबे गोले की शिखर गुरुत्व विसंगति 2.0 mGal और अर्ध-चौड़ाई x½ = 400 m है। केंद्र की गहराई हेतु z = 1.305 x½ और G = 6.674 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² लीजिए। आधिक्य द्रव्यमान, 10¹⁰ kg की इकाई में एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 8.2

    केंद्र की गहराई z = 1.305 × 400 = 522 m है। शिखर GM/z² है, अतः M = Δg_max z²/G = (2.0 × 10⁻⁵ m/s² × 522²)/(6.674 × 10⁻¹¹) = 8.17 × 10¹⁰ kg, यानी 10¹⁰ kg की इकाई में 8.2। mGal को m/s² में बदलना वह चरण है जो प्रायः छूट जाता है।

  18. 3.0 km ऊँची पर्वतमाला एयरी समस्थैतिक संतुलन में है। समुद्र-तल पर सामान्य भूपर्पटी मोटाई 35.0 km है, भूपर्पटी घनत्व 2.70 g/cm³ और मैंटल घनत्व 3.30 g/cm³ है। शिखर के नीचे कुल भूपर्पटी मोटाई, पर्वत की चोटी से मोहो तक मापी, km में एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 51.5

    मूल t = hρc/(ρm − ρc) = 3.0 × 2.70/(3.30 − 2.70) = 13.5 km है। पर्वत की चोटी से मोहो तक की मोटाई ऊँचाई, सामान्य मोटाई व मूल का योग है: 3.0 + 35.0 + 13.5 = 51.5 km। केवल मूल (13.5) बताना या 3.0 km उच्चावच छोड़ देना प्रचलित भूलें हैं।