क्रिस्टलविज्ञान एवं खनिजविज्ञान: सममिति, रूप व यमलन, प्रक्षेपण, खनिज वर्गीकरण व प्रकाशिकी, केंद्रकन तथा खनिज रसायन

यह अध्याय भाग B1 के शीर्षक “क्रिस्टलविज्ञान एवं खनिजविज्ञान” का उत्तर देता है: “क्रिस्टल सममिति, रूप व यमलन के तत्त्व; क्रिस्टलीय प्रक्षेपण; खनिजों का वर्गीकरण, शैल-निर्माता खनिजों के भौतिक व प्रकाशिक गुण; खनिज केंद्रकन; खनिज रसायन (मुख्य, अल्प व दुर्लभ मृदा तत्त्व), धनायन पुनर्गणना।” यह भूविज्ञान एवं भूभौतिकी (GG) पेपर में इस विषय का एकमात्र अध्याय है। यह सममिति व क्रिस्टल-तंत्र, मिलर सूचकांक, मंडल (zone), अंतरा-तलीय दूरी व Bragg का नियम, प्रक्षेपण, यमलन, भौतिक व प्रकाशिक गुणों सहित सिलिकेट वर्गीकरण, केंद्रकन सिद्धांत, तथा धनायन पुनर्गणना सहित खनिज रसायन पढ़ाता है। संख्यात्मक प्रश्न हैं: Bragg कोण, d-अंतराल, द्विअपवर्तन, क्रांतिक केंद्रक त्रिज्या, ऑक्सीजन-आधार पर धनायन पुनर्गणना व अंत्य-सदस्य अंश।

1. क्रिस्टल सममिति व सात तंत्र

क्रिस्टल का रूप आंतरिक आवर्ती जालक को दर्शाता है। इसके सममिति तत्त्व घूर्णन-अक्ष, दर्पण-तल, प्रतिलोमन-केंद्र व घूर्णी-प्रतिलोमन अक्ष हैं। केवल 1, 2, 3, 4 व 6-गुना अक्ष संभव हैं, क्योंकि केवल यही आवर्ती जालक में समाते हैं। इनके संयोजन 7 क्रिस्टल-तंत्रों में 32 क्रिस्टल-वर्ग (बिंदु-समूह) देते हैं; स्थानांतरण जोड़ने पर 14 Bravais जालक व 230 दिक्-समूह (space groups) मिलते हैं।

सात क्रिस्टल-तंत्र
तंत्रअक्ष व कोणउदाहरण
घनीयa = b = c; सभी 90°हैलाइट, गैलेना, फ़्लोराइट, गार्नेट, पाइराइट
चतुष्कोणीयa = b ≠ c; सभी 90°ज़िरकॉन, रूटाइल
विषमलंबाक्षa ≠ b ≠ c; सभी 90°ऑलिवीन, ऑर्थोपाइरॉक्सीन, बैराइट
षट्कोणीयa = b ≠ c; γ = 120°, α = β = 90°बेरिल, ऐपेटाइट
त्रिकोणीयषट्कोणीय अक्ष, या समचतुर्भुजफलकीय a = b = c जहाँ α = β = γ ≠ 90°क्वार्ट्ज़, कैल्साइट, टूमलीन
एकनताक्षa ≠ b ≠ c; α = γ = 90° ≠ βऑर्थोक्लेज़, अभ्रक, जिप्सम, ऑजाइट
त्रिनताक्षa ≠ b ≠ c; कोई कोण निश्चित नहींप्लैजियोक्लेज़, माइक्रोक्लिन, काइनाइट

उच्चतम घनीय वर्ग, 4/m 3̄ 2/m (m3m), में तीन 4-गुना, चार 3-गुना व छह 2-गुना अक्ष, नौ दर्पण-तल और एक केंद्र हैं, कुल 48 संक्रियाएँ; हैलाइट, गैलेना, फ़्लोराइट व गार्नेट इसके हैं। पाइराइट (2/m 3̄) में केवल तीन दर्पण-तल हैं। क्वार्ट्ज़ सामान्य ताप पर त्रिकोणीय है, षट्कोणीय नहीं।

2. रूप, मिलर सूचकांक, मंडल, अंतराल व Bragg का नियम

Steno का नियम: खनिज की संगत फलकों के बीच कोण स्थिर रहते हैं। फलक को मिलर सूचकांक (hkl) से नामित किया जाता है: अक्षों पर उसके अंतःखंड कोष्ठिका-कोरों की इकाई में लीजिए, उनके व्युत्क्रम लीजिए और भिन्न हटाइए। अंतःखंड 2a, 3b, 6c से 1/2, 1/3, 1/6 मिलते हैं, जो 6 से गुणा होकर (321) देते हैं। अक्ष के समांतर फलक का अंतःखंड ∞ और सूचकांक 0 होता है। (hkl) एक तल है, {hkl} एक रूप (form) (सभी सममिति-समतुल्य फलक: घनीय तंत्र में {100} 6 फलकों वाला घन, {111} 8 वाला अष्टफलक, {110} 12 वाला समचतुर्भुजीय द्वादशफलक), और [uvw] एक दिशा। षट्कोणीय व त्रिकोणीय क्रिस्टल चार-सूचकांक Miller–Bravais (hkil) प्रयोग करते हैं, जहाँ i = −(h + k)।

मंडल-नियम: फलक (hkl) अक्ष [uvw] के मंडल में तब है जब hu + kv + lw = 0, और दो फलकों का उभयनिष्ठ मंडल-अक्ष क्रॉस गुणनफल [k1l2 − l1k2, l1h2 − h1l2, h1k2 − k1h2] है। (110) व (001) हेतु यह [1 −1 0] है। अंतरा-तलीय दूरी d घनीय हेतु d = a/√(h² + k² + l²), विषमलंबाक्ष हेतु 1/d² = h²/a² + k²/b² + l²/c² और षट्कोणीय क्रिस्टल हेतु 1/d² = (4/3)(h² + hk + k²)/a² + l²/c² है। Bragg का नियम, nλ = 2 d sin θ, विवर्तन-कोण देता है। हल उदाहरण: हैलाइट, a = 5.64 Å, तल (200): d = 2.82 Å; λ = 1.54 Å व n = 1 हेतु sin θ = 1.54/(2 × 2.82) = 0.273, θ = 15.8° और संसूचक-कोण 2θ = 31.7°।

⚠️ 2θ व उच्चतर कोटियाँ
संसूचक 2θ पर रहता है, θ पर नहीं। (hkl) से द्वितीय-कोटि परावर्तन (n = 2) वही है जो (2h 2k 2l) से प्रथम-कोटि परावर्तन, जिसका अंतराल d/2 है, अतः वह बड़े कोण पर आता है।

3. क्रिस्टलीय प्रक्षेपण

प्रक्षेपण फलक-अभिविन्यासों को समतल आरेख में घटाता है। प्रत्येक फलक को उसके ध्रुव से निरूपित किया जाता है, जहाँ फलक का अभिलंब संदर्भ-गोले से मिलता है, और जो c अक्ष के चारों ओर दिगंश φ तथा उससे ध्रुवीय कोण ρ से स्थित होता है। एक मंडल के फलकों के ध्रुव एक महावृत्त पर होते हैं। क्लिनोग्राफ़िक व ऑर्थोग्राफ़िक प्रक्षेपण क्रिस्टल-आकृतियाँ बनाने के काम आते हैं।

प्रक्षेपणों की तुलना
प्रक्षेपणकेंद्र से ध्रुव की दूरीगुण व उपयोग
स्टीरियोग्राफ़िकr = R tan(ρ/2), R आदि-वृत्त की त्रिज्याकोण संरक्षित; वृत्त वृत्त रहते हैं; मंडल महावृत्त हैं; क्रिस्टल व संरचनात्मक अभिविन्यास हेतु मानक
ग्नोमोनिकr = d tan ρ, d गोले के केंद्र से समतल की दूरीमंडल सरल रेखाएँ, सूचकांकन हेतु उत्तम; ρ = 90° के फलक अनंत पर
समक्षेत्रक्षेत्रफल-संरक्षी त्रिज्य मापनीध्रुव अपना घनत्व रखते हैं, अतः अभिविन्यास-आँकड़ों के समोच्च हेतु

हल उदाहरण: आदि-वृत्त त्रिज्या R = 10 cm वाले स्टीरियोग्राफ़िक जाल पर ρ = 60° का ध्रुव r = 10 tan 30° = 5.77 cm पर और ρ = 90° का आदि-वृत्त पर, r = 10 cm, आलेखित होता है; d = 10 cm पर ग्नोमोनिक समतल में वही ρ = 60° का ध्रुव 10 tan 60° = 17.3 cm पर है। दो फलकों के बीच अंतरापृष्ठ कोण वह चाप है जो दोनों के ध्रुवों के बीच उन दोनों से गुज़रते महावृत्त के अनुदिश मापा जाता है।

4. यमलन

यमल (twin) क्रिस्टलों की अभिविन्यस्त अंतर्वृद्धि है जो ऐसी सममिति-संक्रिया से संबद्ध हैं जो क्रिस्टल के अपने बिंदु-समूह का भाग नहीं: यमलन-तल (परावर्तन), यमलन-अक्ष (प्रायः 180° घूर्णन) या केंद्र। सीमा संयोजन-तल है। स्पर्श यमल समतल सीमा साझा करते हैं (स्पिनेल-नियम यमल, (111) पर); वेधी यमल एक-दूसरे में प्रवेश करते हैं (ऑर्थोक्लेज़ के Carlsbad यमल, पाइराइट का लौह-क्रॉस, स्टॉरोलाइट के लगभग 60° व 90° के क्रॉस); बहुसंश्लिष्ट यमल अनेक बार दोहराते हैं (प्लैजियोक्लेज़ का ऐल्बाइट यमलन, (010) पर); और चक्रीय यमल अक्ष के चारों ओर दोहराते हैं (ऐरागोनाइट व क्राइसोबेरिल त्रियमल)। माइक्रोक्लिन का टार्टन (जालीदार) यमलन ऐल्बाइट व पेरिक्लिन नियमों को जोड़ता है।

उत्पत्ति के अनुसार वृद्धि यमल क्रिस्टलन के दौरान बनते हैं; रूपांतरण यमल तब बनते हैं जब उच्च-सममिति प्रावस्था ठंडा होने पर निम्न-सममिति प्रावस्था में परिवर्तित होती है, जैसे वायुमंडलीय दाब पर लगभग 573 °C के उच्च–निम्न विपर्यय पर क्वार्ट्ज़ के Dauphiné यमल, और K-फ़ेल्डस्पार के एकनताक्ष से त्रिनताक्ष विपर्यय से सामान्यतः जोड़े जाने वाले टार्टन यमल; और विरूपण (सर्पी) यमल प्रतिबल में बनते हैं, जैसे कैल्साइट में, जिसके यमल-पटल पुराप्रतिबल व विकृति के मापक हैं। प्लैजियोक्लेज़ में पास-पास के ऐल्बाइट पटल क्रॉस्ड पोलराइज़र में बारी-बारी विलुप्त होते हैं, जो यमलन को वियोजन-पटलों से अलग करता है, जो अभिविन्यास में नहीं, संघटन में भिन्न होते हैं।

5. शैल-निर्माता खनिजों का वर्गीकरण व भौतिक गुण

खनिज प्रमुख ऋणायन या ऋणायनी समूह (Dana व Strunz) के अनुसार वर्गीकृत हैं: मूल तत्त्व, सल्फ़ाइड, ऑक्साइड, हैलाइड, कार्बोनेट, सल्फ़ेट, फ़ॉस्फ़ेट तथा सिलिकेट। सिलिकेट, जो भूपर्पटी का अधिकांश हैं, इस आधार पर वर्गीकृत हैं कि SiO₄ चतुष्फलक कैसे जुड़ते हैं।

सिलिकेट संरचनात्मक वर्ग
वर्गसंयोजनSi : Oउदाहरण
नीसोसिलिकेटपृथक चतुष्फलक1 : 4ऑलिवीन, गार्नेट, ज़िरकॉन, काइनाइट
सोरोसिलिकेटयुग्मित चतुष्फलक2 : 7एपिडोट समूह
साइक्लोसिलिकेटवलय1 : 3बेरिल, टूमलीन, कॉर्डिएराइट
इनोसिलिकेट, एकल शृंखलाएकल शृंखलाएँ1 : 3पाइरॉक्सीन
इनोसिलिकेट, द्वि-शृंखलाद्वि-शृंखलाएँ4 : 11एम्फ़िबोल
फ़ाइलोसिलिकेटपरतें2 : 5अभ्रक, क्लोराइट, मृत्तिकाएँ, टैल्क
टेक्टोसिलिकेटढाँचे1 : 2क्वार्ट्ज़, फ़ेल्डस्पार, फ़ेल्डस्पैथॉइड, जिओलाइट

विदलन संरचना को दर्शाता है: अभ्रक में एक पूर्ण विदलन; पाइरॉक्सीन में 90° के निकट दो (87° व 93°) और एम्फ़िबोल में लगभग 56° व 124° के दो; फ़ेल्डस्पार में 90° के निकट दो; कैल्साइट में तीन समचतुर्भुजफलकीय (लगभग 75° व 105°); हैलाइट में 90° पर तीन; फ़्लोराइट में चार (अष्टफलकीय); क्वार्ट्ज़ में कोई नहीं, शंखाभ भंग के साथ। Mohs कठोरता: टैल्क 1, जिप्सम 2, कैल्साइट 3, फ़्लोराइट 4, ऐपेटाइट 5, ऑर्थोक्लेज़ 6, क्वार्ट्ज़ 7, टोपाज़ 8, कोरंडम 9, हीरा 10। विशिष्ट गुरुत्व, चमक, चूर्ण-रंग व चुंबकत्व हस्त-नमूना वर्णन पूरा करते हैं।

6. पतली काट में प्रकाशिक गुण

समतल-ध्रुवित प्रकाश में खनिज रंग, बहुवर्णता (pleochroism) (घुमाने पर रंग-परिवर्तन, जैसे बायोटाइट, हॉर्नब्लेंड व टूमलीन में), उभार (relief) (आरोपण-माध्यम से व्यतिरेक, जो अपवर्तनांक के अंतर से निर्धारित; मंच नीचे करने पर Becke रेखा उच्च-अपवर्तनांक माध्यम में जाती है), विदलन व आकृति दर्शाता है। समदैशिक खनिज (गार्नेट व फ़्लोराइट जैसे घनीय क्रिस्टल, और काँच) क्रॉस्ड पोलराइज़र के बीच हर स्थिति में काले रहते हैं। विषमदैशिक खनिज प्रकाश को दो किरणों में बाँटते हैं। एकाक्षी खनिज (चतुष्कोणीय, षट्कोणीय, त्रिकोणीय) में अपवर्तनांक ω व ε होते हैं, ε > ω हो तो प्रकाशिक चिह्न धनात्मक (क्वार्ट्ज़) और ε < ω हो तो ऋणात्मक (कैल्साइट)। द्विअक्षी खनिज (विषमलंबाक्ष, एकनताक्ष, त्रिनताक्ष) में nα < nβ < nγ और प्रकाशिक कोण 2V होता है, धनात्मक जब न्यून समद्विभाजक γ हो।

द्विअपवर्तन δ = n(अधिकतम) − n(न्यूनतम) है, यानी एकाक्षी हेतु |ε − ω| और द्विअक्षी हेतु nγ − nα। मंदन (retardation) Γ = t δ, जहाँ t की इकाई Γ वाली ही हो, व्यतिकरण-वर्ण निर्धारित करता है: मानक 30 μm (30 000 nm) काट में क्वार्ट्ज़ (δ = 0.009) Γ = 270 nm देता है, प्रथम-कोटि धूसर से श्वेत, और कैल्साइट (δ = 0.172) 5160 nm देता है, फीके उच्च-कोटि पेस्टल रंग। प्रथम-कोटि लाल-बैंगनी लगभग 550 nm पर है, अतः कोटि-संख्या मोटे तौर पर Γ/550 है।

पतली काट में सामान्य खनिजों की पहचान
खनिजउभार व द्विअपवर्तननिदानात्मक लक्षण
क्वार्ट्ज़निम्न; धूसर, δ लगभग 0.009रंगहीन, विदलन नहीं, तरंगित विलोप; एकाक्षी धनात्मक
प्लैजियोक्लेज़निम्न; धूसर, δ लगभग 0.007 से 0.013बहुसंश्लिष्ट ऐल्बाइट यमल
ऑलिवीनउच्च; उच्च द्वितीय- से तृतीय-कोटि रंग, δ लगभग 0.035 से 0.05रंगहीन, विदलन नहीं, अनियमित दरारें
ऑजाइटउच्च; द्वितीय-कोटि, δ लगभग 0.02 से 0.0390° के निकट दो विदलन, तिर्यक विलोप
हॉर्नब्लेंडमध्यम से उच्च; δ लगभग 0.02हरा-भूरा बहुवर्णता, 56° व 124° पर विदलन
गार्नेटअति उच्च; समदैशिकक्रॉस्ड पोलराइज़र के बीच काला, गोलाभ, विदलन नहीं

7. खनिज केंद्रकन

क्रिस्टल तब केंद्रकित होते हैं जब गलन या विलयन अतिशीतलित या अतिसंतृप्त हो। चिरसम्मत केंद्रकन सिद्धांत क्रिस्टलन से मुक्त होने वाली आयतन-ऊर्जा का नए अंतरापृष्ठ की ऊर्जा से संतुलन करता है: ΔG(r) = (4/3)π r³ ΔGv + 4π r² γ, जहाँ प्रति इकाई आयतन ΔGv < 0 और γ अंतरापृष्ठ ऊर्जा है। अवरोध क्रांतिक त्रिज्या r* = −2γ/ΔGv पर चरम होता है, ΔG* = 16π γ³/(3 ΔGv²) सहित; छोटे गुच्छ पुनः घुल जाते हैं और बड़े बढ़ते हैं। γ = 0.3 J/m² व ΔGv = −1.5 × 10⁸ J/m³ हेतु r* = 2 × 0.3/(1.5 × 10⁸) = 4 nm। चूँकि |ΔGv| अतिशीतलन ΔT के लगभग समानुपाती बढ़ता है, r* 1/ΔT से और ΔG* 1/ΔT² से घटता है।

विषमांगी केंद्रकन विद्यमान सतहों (क्रिस्टल, भित्तियाँ, बहिर्जात खंड) पर अवरोध को गुणक f(θ) = (2 + cos θ)(1 − cos θ)²/4, जो 1 से कम है, से घटाता है, अतः कम अतिशीतलन पर होता है। केंद्रकन व वृद्धि की दरें प्रत्येक अतिशीतलन के साथ पहले बढ़ती फिर घटती हैं, केंद्रकन बड़े अतिशीतलन पर चरम होता है। मंद शीतलन कम केंद्रक देता है जो बड़े बढ़ते हैं (मोटे, समकणिक), तेज़ शीतलन अनेक छोटे क्रिस्टल, और शमन काँच, या विसरण द्वारा वृद्धि सीमित होने पर वृक्षाभ व गोलाभ (spherulitic) रूप देता है। शीतलन-इतिहास में परिवर्तन पॉर्फ़िरिटिक गठन बनाता है। Ostwald परिपक्वन अंतरापृष्ठ ऊर्जा घटाने हेतु बड़े कणों को छोटों की कीमत पर बढ़ाता है, और कायांतरित खनिजों को केंद्रकित होने हेतु प्रायः अभिक्रिया-सीमा के अतिक्रमण की आवश्यकता होती है।

8. खनिज रसायन: मुख्य, अल्प व दुर्लभ मृदा तत्त्व तथा धनायन पुनर्गणना

मुख्य-तत्त्व विश्लेषण ऑक्साइड भार-प्रतिशत में दिए जाते हैं। किसी निर्दिष्ट ऑक्सीजन-आधार (ऑलिवीन 4, पाइरॉक्सीन 6, फ़ेल्डस्पार 8, गार्नेट 12, निर्जल एम्फ़िबोल 23, निर्जल अभ्रक 11 या 22) पर सूत्र पाने हेतु:

  • प्रत्येक ऑक्साइड wt% को उसके अणुभार से भाग देकर ऑक्साइड के मोल पाइए, फिर प्रति ऑक्साइड धनायनों (SiO₂ 1, Al₂O₃ 2) व ऑक्सीजनों (SiO₂ 2, Al₂O₃ 3, FeO व MgO 1) की संख्या से गुणा कीजिए।
  • ऑक्सीजन-अनुपातों का योग कीजिए, ऑक्सीजन-आधार को इस योग से भाग देकर प्रसामान्यीकरण गुणक पाइए, और प्रत्येक धनायन-अनुपात को उससे गुणा कीजिए। धनायन-योग को आदर्श से जाँचिए (ऑलिवीन 4 O पर 3, पाइरॉक्सीन 6 O पर 4, फ़ेल्डस्पार 8 O पर 5, गार्नेट 12 O पर 8)।
  • यदि सारा लोहा FeO के रूप में विश्लेषित हो तो आवेश-संतुलन Droop के सूत्र Fe³⁺ = 2X(1 − T/S) से Fe³⁺ आँकता है, जहाँ X आदर्श ऑक्सीजन, T आदर्श धनायन-योग और S सारे Fe को Fe²⁺ मानकर गणित योग है।

हल उदाहरण, 4 O पर ऑलिवीन (अणुभार SiO₂ 60.08, FeO 71.85, MgO 40.30): SiO₂ 39.0, FeO 15.0, MgO 45.0 wt% से 0.649, 0.209 व 1.117 मोल, ऑक्सीजन-योग 2.624, गुणक 4/2.624 = 1.525, और धनायन Si 0.990, Fe 0.318, Mg 1.702, योग 3.01, अतः (Mg₁.₇₀Fe₀.₃₂)Si₀.₉₉O₄ तथा Fo = 100 × Mg/(Mg + Fe) = 84। ठोस-विलयन अंश सदैव धनायनों का मोल-अनुपात है, भार-अनुपात नहीं।

अल्प तत्त्व (लगभग 0.1 wt% से कम) विभाजन गुणांक D = C(खनिज)/C(गलन) से वर्णित होते हैं। संगत तत्त्व (D > 1), जैसे ऑलिवीन व पाइरॉक्सीन में Ni, Cr व Co, ठोस में रहते हैं; असंगत तत्त्व (D < 1), जैसे Rb, Ba, Th, U व हल्के REE, गलन में सांद्रित होते हैं। Goldschmidt के नियमों से समान आवेश व लगभग 15% के भीतर त्रिज्या वाले आयन स्वतंत्र प्रतिस्थापित होते हैं, और जहाँ आवेश भिन्न हों वहाँ क्रिस्टल उच्च-आवेश वाले आयन को वरीयता देता है। दुर्लभ मृदा तत्त्व (La से Lu) त्रिसंयोजी हैं और श्रेणी में त्रिज्या घटती है (लैंथेनाइड संकुचन), अतः हल्के REE भारी REE से अधिक असंगत हैं; वे कॉन्ड्राइट-प्रसामान्यीकृत आलेखित होते हैं। Eu, Eu²⁺ के रूप में भी मिलता है और प्लैजियोक्लेज़ में Ca व Sr का प्रतिस्थापन करता है, अतः प्लैजियोक्लेज़ के हटने पर गलन में ऋणात्मक Eu विसंगति रहती है और संचयन पर धनात्मक। गार्नेट भारी REE को प्रबलता से लेता है, अतः स्रोत में गार्नेट HREE-रिक्त गलन देता है, और Ce ऑक्सीकारी परिस्थितियों (Ce⁴⁺) में विसंगति दर्शाता है, जैसे समुद्री जल में।

मुख्य बिंदु

  • 32 वर्ग 7 तंत्रों में आते हैं; केवल 1, 2, 3, 4 व 6-गुना अक्ष होते हैं; वर्ग m3m में 9 दर्पण-तल व 48 संक्रियाएँ हैं; क्वार्ट्ज़ व कैल्साइट त्रिकोणीय हैं। मिलर सूचकांक भिन्न-रहित व्युत्क्रमित अंतःखंड हैं, और फलक मंडल में तब है जब hu + kv + lw = 0।
  • Bragg का नियम nλ = 2 d sin θ, संसूचक 2θ पर; घनीय d = a/√(h² + k² + l²)। स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण (r = R tan(ρ/2)) कोण संरक्षित रखता है, ग्नोमोनिक (r = d tan ρ) मंडलों को सरल रेखाएँ बनाता है, समक्षेत्र समोच्च हेतु है।
  • यमल बिंदु-समूह से बाहर की संक्रिया से संबद्ध हैं: स्पर्श, वेधी, बहुसंश्लिष्ट व चक्रीय; उत्पत्ति में वृद्धि, रूपांतरण (Dauphiné, माइक्रोक्लिन) व विरूपण (कैल्साइट)। ऐल्बाइट यमलन (010) पर है।
  • सिलिकेट Si : O से वर्गीकृत हैं (ऑलिवीन 1 : 4, पाइरॉक्सीन 1 : 3, एम्फ़िबोल 4 : 11, अभ्रक 2 : 5, ढाँचा 1 : 2)। द्विअपवर्तन δ = nmax − nmin और मंदन Γ = t δ है। एकाक्षी क्वार्ट्ज़ धनात्मक व कैल्साइट ऋणात्मक है; समदैशिक खनिज क्रॉस्ड पोलराइज़र के बीच काले रहते हैं।
  • केंद्रकन का अवरोध r* = −2γ/ΔGv पर चरम होता है, ΔG* ∝ γ³/ΔGv² सहित। अधिक अतिशीतलन से r* छोटा और अवरोध कम होता है; विषमांगी केंद्रकन उसे और घटाता है। शीतलन-दर गठन तय करती है, मोटे से काँचीय व पॉर्फ़िरिटिक तक।
  • धनायन पुनर्गणना: ऑक्साइड के मोल, ऑक्सीजन-अनुपात, गुणक = ऑक्सीजन-आधार / योग, धनायन = मोल × प्रति ऑक्साइड धनायन × गुणक। ठोस-विलयन अंत्य-सदस्य मोल-अनुपात हैं। D > 1 संगत, D < 1 असंगत; प्लैजियोक्लेज़ का हटना ऋणात्मक Eu विसंगति बनाता है और गार्नेट भारी REE रोकता है।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. उच्चतम-सममिति घनीय क्रिस्टल-वर्ग 4/m 3̄ 2/m (m3m) में कितने दर्पण-तल होते हैं?

    1. 3, केवल तीन निर्देशांक तल, जैसे पाइराइट में
    2. 6, केवल सम्मुख किनारों से जाते छह विकर्ण तल
    3. 9, तीन निर्देशांक तल व छह विकर्ण तल
    4. 12, घन के बारह किनारों में से प्रत्येक हेतु एक तल
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 9, तीन निर्देशांक तल व छह विकर्ण तल

    वर्ग m3m में घन के फलकों के समांतर तीन और छह विकर्ण दर्पण-तल हैं, कुल नौ, तथा कुल 48 सममिति-संक्रियाएँ। तीन तल पाइराइट (2/m 3̄) की संख्या है, जो भ्रामक उत्तर है, और अन्य संख्याएँ घन के सममिति-तलों के किसी संयोजन के संगत नहीं हैं।

  2. एक क्रिस्टल-फलक a, b व c अक्षों को क्रमशः 2a, 4b व 1c पर काटता है। उसके मिलर सूचकांक हैं:

    1. (214)
    2. (241)
    3. (124)
    4. (421)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (214)

    मिलर सूचकांक अंतःखंडों के व्युत्क्रम हैं, भिन्न हटाकर: 1/2, 1/4, 1 को 4 से गुणा करने पर 2, 1, 4 मिलता है, अतः (214)। (241) अंतःखंडों को बिना उलटे सूचीबद्ध करता है, जो प्रचलित भूल है, और (124) व (421) अक्षों का क्रम उलट देते हैं।

  3. निम्नलिखित में से कौन-सा फलक उस मंडल में है जिसका अक्ष [1 −1 0] है?

    1. (121)
    2. (211)
    3. (101)
    4. (112)
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — (112)

    फलक (hkl) मंडल [uvw] में तब है जब hu + kv + lw = 0। [u v w] = [1 −1 0] हेतु यह h − k = 0, यानी h = k हो जाता है। केवल (112) इसे संतुष्ट करता है: 1 − 1 + 0 = 0। (121) से −1, (211) से +1 और (101) से +1 मिलता है।

  4. फ़्लोराइट घनीय है जिसका a = 5.46 Å है। 1.54 Å तरंगदैर्घ्य की X-किरणें (111) तलों से विवर्तित होती हैं। द्वितीय-कोटि परावर्तन (n = 2) हेतु संसूचक-कोण 2θ, अंशों में दशमलव के एक स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 58.5

    घनीय क्रिस्टल हेतु d(111) = a/√3 = 5.46/1.732 = 3.152 Å। Bragg का नियम nλ = 2 d sin θ से sin θ = 2 × 1.54/(2 × 3.152) = 0.4885, अतः θ = 29.24° और 2θ = 58.5°। n = 1 लेने पर 2θ = 28.3° आता है, और 2θ के बजाय θ बताने पर 29.2°; दोनों प्रचलित भूलें हैं।

  5. क्वार्ट्ज़ को a = 4.91 Å व c = 5.41 Å वाले षट्कोणीय अक्षों पर सूचकित किया जा सकता है। षट्कोणीय क्रिस्टलों हेतु 1/d² = (4/3)(h² + hk + k²)/a² + l²/c²। (101) तलों की अंतरा-तलीय दूरी d, Å में दशमलव के दो स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3.34

    (101) हेतु h = 1, k = 0, l = 1, अतः h² + hk + k² = 1। तब 1/d² = (4/3)(1)/24.108 + 1/29.268 = 0.05531 + 0.03417 = 0.08948 Å⁻², और d = 3.34 Å। गुणक 4/3 छोड़ देना, जो षट्कोणीय मापक का भाग है, d = 3.64 Å देता।

  6. किस प्रक्षेपण में एक मंडल के सभी फलकों के ध्रुव सरल रेखा पर आलेखित होते हैं?

    1. स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण, क्योंकि प्रत्येक मंडल किसी भी अभिविन्यास में जाल के सरल व्यास के रूप में दिखता है
    2. ग्नोमोनिक प्रक्षेपण, क्योंकि गोले के केंद्र से जाता तल स्पर्शी समतल को सरल रेखा में काटता है
    3. समक्षेत्र प्रक्षेपण, क्योंकि मंडल के ध्रुवों द्वारा घिरे क्षेत्रफल का संरक्षण मंडल को सरल रेखा बना देता है
    4. सभी प्रक्षेपण समान रूप से, क्योंकि मंडल के ध्रुव सदैव गोले के केंद्र से जाते एक तल में होते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — ग्नोमोनिक प्रक्षेपण, क्योंकि गोले के केंद्र से जाता तल स्पर्शी समतल को सरल रेखा में काटता है

    ग्नोमोनिक प्रक्षेपण में प्रत्येक ध्रुव गोले के केंद्र से स्पर्शी समतल पर प्रक्षेपित होता है, अतः मंडल, जो केंद्र से जाता तल है, सरल रेखा के रूप में दिखता है। स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण में मंडल महावृत्त है, जो केवल जाल के केंद्र से जाते तल के विशेष मामले में सरल व्यास है, यही भ्रामक दावा है। मंडल के ध्रुव केंद्र से जाते एक तल में होते हैं, पर अन्य प्रक्षेपण उस तल को वक्र बना देते हैं।

  7. यमलन के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. प्लैजियोक्लेज़ में बहुसंश्लिष्ट ऐल्बाइट यमलन तल (010) पर होता है
    2. माइक्रोक्लिन का टार्टन (जालीदार) यमलन ऐल्बाइट व पेरिक्लिन नियमों को जोड़ता है
    3. यमल-इकाइयों को जोड़ने वाली संक्रिया सदैव अयमलित क्रिस्टल के बिंदु-समूह की होती है
    4. स्टॉरोलाइट के क्रॉस-आकार के यमल वेधी यमल हैं जिनके दो व्यष्टि लगभग 60° या 90° पर कटते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्लैजियोक्लेज़ में बहुसंश्लिष्ट ऐल्बाइट यमलन तल (010) पर होता है; B — माइक्रोक्लिन का टार्टन (जालीदार) यमलन ऐल्बाइट व पेरिक्लिन नियमों को जोड़ता है; D — स्टॉरोलाइट के क्रॉस-आकार के यमल वेधी यमल हैं जिनके दो व्यष्टि लगभग 60° या 90° पर कटते हैं

    ऐल्बाइट यमलन (010) पर होता है, माइक्रोक्लिन का टार्टन प्रतिरूप ऐल्बाइट व पेरिक्लिन का संयोजन है, और स्टॉरोलाइट के क्रॉस लगभग 60° या 90° पर बनते हैं, अतः ये तीनों सही हैं। यमलन-संक्रिया परिभाषा से क्रिस्टल के अपने बिंदु-समूह का भाग नहीं होती; यदि होती तो वह एकल क्रिस्टल की सममिति होती और कोई यमल न बनाती।

  8. एक शैल-निर्माता सिलिकेट में चतुष्फलकों की द्वि-शृंखलाएँ हैं जिनमें Si : O = 4 : 11 है और दो विदलन लगभग 56° व 124° पर मिलते हैं। यह किसका है?

    1. पाइरॉक्सीन समूह का, जिसकी चतुष्फलकों की एकल शृंखलाएँ Si : O = 1 : 3 और 90° के निकट दो विदलन देती हैं
    2. अभ्रक समूह का, जिसकी चतुष्फलकीय परतें Si : O = 2 : 5 और एक ही पूर्ण विदलन देती हैं
    3. एम्फ़िबोल समूह का, जिसकी द्वि-शृंखलाएँ Si : O = 4 : 11 और लगभग 56° व 124° पर विदलन देती हैं
    4. ऑलिवीन समूह का, जिसके पृथक चतुष्फलक Si : O = 1 : 4 और कोई उत्तम विदलन नहीं देते
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — एम्फ़िबोल समूह का, जिसकी द्वि-शृंखलाएँ Si : O = 4 : 11 और लगभग 56° व 124° पर विदलन देती हैं

    Si : O = 4 : 11 वाले द्वि-शृंखला सिलिकेट एम्फ़िबोल हैं, जिनके विदलन-कोण लगभग 56° व 124° हैं। पाइरॉक्सीन भ्रामक विकल्प हैं क्योंकि दोनों शृंखला सिलिकेट हैं, पर उनकी एकल शृंखलाएँ 1 : 3 और 90° के निकट विदलन देती हैं। अभ्रक परत सिलिकेट हैं और ऑलिवीन में पृथक चतुष्फलक हैं।

  9. पतली काट में एक रंगहीन खनिज में उच्च उभार, विदलन नहीं, अनियमित दरारें, समांतर विलोप व उच्च द्वितीय- से तृतीय-कोटि के व्यतिकरण-वर्ण हैं। यह सर्वाधिक संभवतः है:

    1. ऑलिवीन, जो विदलन के बजाय अनियमित दरारों के साथ उच्च उभार व प्रबल द्विअपवर्तन जोड़ता है
    2. ऑजाइट, जिसमें उच्च उभार व द्वितीय-कोटि रंग होते हैं पर जिसे 90° के निकट दो विदलन व तिर्यक विलोप अलग करते हैं
    3. गार्नेट, जिसमें अति उच्च उभार होता है पर जो समदैशिक है और इसलिए क्रॉस्ड पोलराइज़र के बीच काला रहता है
    4. क्वार्ट्ज़, जिसमें विदलन नहीं होता पर निम्न उभार व प्रथम-कोटि धूसर रंग होते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ऑलिवीन, जो विदलन के बजाय अनियमित दरारों के साथ उच्च उभार व प्रबल द्विअपवर्तन जोड़ता है

    उच्च उभार, विदलन का अभाव, अनियमित दरारें, समांतर विलोप व उच्च द्वितीय- से तृतीय-कोटि रंग ऑलिवीन का मानक समुच्चय है। ऑजाइट में 90° के निकट दो विदलन व तिर्यक विलोप होते, गार्नेट समदैशिक होकर काला रहता, और क्वार्ट्ज़ में निम्न उभार व प्रथम-कोटि धूसर होता है, अतः इनमें से प्रत्येक कम से कम एक बताए गुण पर विफल होता है।

  10. एक एकाक्षी खनिज के ω = 1.658 और ε = 1.486 हैं। उसका प्रकाशिक चिह्न व द्विअपवर्तन हैं:

    1. धनात्मक, δ = 0.172 के साथ
    2. ऋणात्मक, δ = 3.144 के साथ, जो दोनों अपवर्तनांकों का योग है
    3. द्विअक्षी ऋणात्मक, δ = 0.172 के साथ
    4. ऋणात्मक, δ = 0.172 के साथ
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — ऋणात्मक, δ = 0.172 के साथ

    चिह्न ऋणात्मक है क्योंकि ε < ω, और द्विअपवर्तन अंतर |ε − ω| = 1.658 − 1.486 = 0.172 है, जो कैल्साइट का अति उच्च मान है। धनात्मक चिह्न हेतु ε > ω चाहिए, द्विअपवर्तन योग नहीं अंतर है, और प्रश्न पहले ही खनिज को एकाक्षी बताता है।

  11. 25 μm मोटी पतली काट में एक खनिज-कण 600 nm का मंदन दर्शाता है। उसका द्विअपवर्तन, दशमलव के तीन स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.024

    मंदन Γ = t δ, अतः δ = Γ/t = 600 nm / 25 000 nm = 0.024। 25 μm को 25 000 nm में बदलना भूलने पर 24 आता है, जो प्रचलित भूल है।

  12. प्रकाशिक गुणों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. गार्नेट जैसे समदैशिक खनिज क्रॉस्ड पोलराइज़र के बीच हर स्थिति में काले रहते हैं
    2. चतुष्कोणीय, षट्कोणीय व त्रिकोणीय खनिज प्रकाशिक रूप से एकाक्षी होते हैं
    3. क्वार्ट्ज़ प्रकाशिक रूप से ऋणात्मक है क्योंकि उसका असाधारण अपवर्तनांक साधारण अपवर्तनांक से कम है
    4. बहुवर्णता समतल-ध्रुवित प्रकाश में देखी जाती है, विश्लेषक को किरण-पथ से हटाकर
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — गार्नेट जैसे समदैशिक खनिज क्रॉस्ड पोलराइज़र के बीच हर स्थिति में काले रहते हैं; B — चतुष्कोणीय, षट्कोणीय व त्रिकोणीय खनिज प्रकाशिक रूप से एकाक्षी होते हैं; D — बहुवर्णता समतल-ध्रुवित प्रकाश में देखी जाती है, विश्लेषक को किरण-पथ से हटाकर

    समदैशिक खनिज विलुप्त रहते हैं, नामित तीन निम्न-सममिति अघनीय तंत्र एकाक्षी हैं, और बहुवर्णता हेतु केवल ध्रुवित प्रकाश चाहिए, विश्लेषक नहीं, अतः ये तीनों सही हैं। क्वार्ट्ज़ में ε (1.553), ω (1.544) से अधिक है, अतः वह प्रकाशिक रूप से धनात्मक है, ऋणात्मक नहीं।

  13. चिरसम्मत केंद्रकन सिद्धांत में क्रिस्टल-केंद्रक की अंतरापृष्ठ ऊर्जा γ = 250 mJ/m² है और क्रिस्टलन पर आयतन मुक्त-ऊर्जा परिवर्तन ΔGv = −4 × 10⁸ J/m³ है। क्रांतिक त्रिज्या r* = −2γ/ΔGv, nm में दशमलव के दो स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.25

    γ को SI में बदलिए: 250 mJ/m² = 0.25 J/m²। तब r* = 2 × 0.25 / (4 × 10⁸) = 1.25 × 10⁻⁹ m = 1.25 nm। रूपांतरण के बिना γ = 250 लेने पर 1250 nm आता है, जो हज़ार गुना अधिक है और प्रचलित भूल है।

  14. चिरसम्मत केंद्रकन सिद्धांत में अवरोध ΔG* = 16π γ³ / (3 ΔGv²) है। γ को स्थिर और |ΔGv| को अतिशीतलन ΔT के समानुपाती लीजिए। यदि अतिशीतलन दुगुना हो जाए तो समांगी केंद्रकन-अवरोध किस गुणक से बदलता है?

    1. 2, क्योंकि अधिक अतिशीतलन प्रेरक बल बढ़ाता है और इसलिए अवरोध को उसी अनुपात में बढ़ाता है
    2. 1/4, क्योंकि ΔG*, 1/ΔGv² से बदलता है और ΔGv दुगुना हो जाता है
    3. 1/2, क्योंकि अवरोध प्रेरक बल ΔGv के व्युत्क्रमानुपाती है
    4. 1/8, क्योंकि क्रांतिक त्रिज्या आधी हो जाती है और अवरोध त्रिज्या के घन के अनुपात में है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1/4, क्योंकि ΔG*, 1/ΔGv² से बदलता है और ΔGv दुगुना हो जाता है

    चूँकि ΔG* ∝ 1/ΔGv² और ΔGv दुगुना होता है, अवरोध 1/4 रह जाता है। 1/2 वर्ग भूल जाता है, जो भ्रामक उत्तर है। 1/8 का तर्क ग़लत है क्योंकि ΔG* = (4π/3) γ r² है, जो r के वर्ग से बदलता है, घन से नहीं (r* आधा करने पर 1/4), और अधिक अतिशीतलन अवरोध घटाता है, बढ़ाता नहीं।

  15. एक ऑर्थोपाइरॉक्सीन विश्लेषण SiO₂ 57.0, MgO 40.0 व FeO 3.0 wt% देता है (अणुभार SiO₂ 60.08, MgO 40.30, FeO 71.85 लीजिए)। 6 ऑक्सीजन के आधार पर पुनर्गणित करने पर प्रति सूत्र-इकाई Si परमाणुओं की संख्या, दशमलव के दो स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.94

    मोल: SiO₂ 57.0/60.08 = 0.9487, MgO 40.0/40.30 = 0.9926, FeO 3.0/71.85 = 0.0418। ऑक्सीजन-अनुपात: 2 × 0.9487 + 0.9926 + 0.0418 = 2.9318। गुणक = 6/2.9318 = 2.0465, अतः Si = 0.9487 × 2.0465 = 1.94 (Mg 2.03 व Fe 0.09 सहित, धनायन-योग 4.06)। प्रति SiO₂ 2 ऑक्सीजन का गुणक भूलने पर गुणक लगभग 3.03 और Si लगभग 2.87 आता है।

  16. एक ऑलिवीन में 38.0 wt% MgO और 20.0 wt% FeO है (अणुभार MgO 40.30, FeO 71.85; किसी अन्य Mg- या Fe-युक्त घटक की उपेक्षा कीजिए)। उसकी फ़ॉर्स्टेराइट मात्रा Fo = 100 × Mg/(Mg + Fe), मोल के रूप में, निकटतम पूर्ण संख्या तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 77

    मोल: MgO 38.0/40.30 = 0.9429 और FeO 20.0/71.85 = 0.2784। Fo = 100 × 0.9429 / (0.9429 + 0.2784) = 77.2, अतः 77। भार-अनुपात 38/(38 + 20) = 65.5 लेना प्रचलित भूल है, क्योंकि अंत्य-सदस्य अंश मोल-अनुपात है।

  17. एक बेसाल्टी मैग्मा क्रिस्टलित होकर बड़ी मात्रा में प्लैजियोक्लेज़ हटाता है। अवशिष्ट गलन का कॉन्ड्राइट-प्रसामान्यीकृत REE प्रतिरूप दर्शाएगा:

    1. ऋणात्मक Eu विसंगति, क्योंकि Eu²⁺ प्लैजियोक्लेज़ में Ca व Sr का प्रतिस्थापन करता है और उसके साथ हट जाता है
    2. धनात्मक Eu विसंगति, क्योंकि प्लैजियोक्लेज़ Eu²⁺ को अस्वीकार करता है, जो इसलिए गलन में रह जाता है
    3. कोई Eu विसंगति नहीं, क्योंकि सभी REE त्रिसंयोजी हैं और इसलिए क्रिस्टलन के दौरान एकसमान व्यवहार करते हैं
    4. भारी REE में रिक्तता, क्योंकि प्लैजियोक्लेज़ के Yb व Lu हेतु विभाजन गुणांक बहुत उच्च होते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ऋणात्मक Eu विसंगति, क्योंकि Eu²⁺ प्लैजियोक्लेज़ में Ca व Sr का प्रतिस्थापन करता है और उसके साथ हट जाता है

    अपचयित मैग्माओं में यूरोपियम का कुछ भाग Eu²⁺ होता है, जिसकी त्रिज्या व आवेश Ca²⁺ व Sr²⁺ के निकट हैं और जो प्लैजियोक्लेज़ में प्रवेश करता है, अतः प्लैजियोक्लेज़ हटाने से अवशिष्ट गलन अपने पड़ोसी तत्त्वों की तुलना में Eu में रिक्त हो जाता है: ऋणात्मक Eu विसंगति। यूरोपियम अन्य, पूर्णतः त्रिसंयोजी, REE की तरह व्यवहार नहीं करता, जो बिना-विसंगति उत्तर को काटता है। प्लैजियोक्लेज़ भारी REE को प्रबलता से नहीं रोकता; गार्नेट रोकता है।

  18. खनिज रसायन व धनायन पुनर्गणना के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. संगत तत्त्व का विभाजन गुणांक D, 1 से अधिक होता है और वह क्रिस्टलित होते ठोस में रुका रहता है
    2. ऑलिवीन की फ़ॉर्स्टेराइट मात्रा मोल-अनुपात 100 × Mg/(Mg + Fe) है, भार-अनुपात नहीं
    3. ऑलिवीन विश्लेषण सामान्यतः प्रति सूत्र-इकाई 6 ऑक्सीजन के आधार पर पुनर्गणित किए जाते हैं
    4. चुने ऑक्सीजन-आधार हेतु आदर्श से दूर धनायन-योग दोषपूर्ण विश्लेषण, अविश्लेषित तत्त्व या फ़ेरिक लोहे का संकेत है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — संगत तत्त्व का विभाजन गुणांक D, 1 से अधिक होता है और वह क्रिस्टलित होते ठोस में रुका रहता है; B — ऑलिवीन की फ़ॉर्स्टेराइट मात्रा मोल-अनुपात 100 × Mg/(Mg + Fe) है, भार-अनुपात नहीं; D — चुने ऑक्सीजन-आधार हेतु आदर्श से दूर धनायन-योग दोषपूर्ण विश्लेषण, अविश्लेषित तत्त्व या फ़ेरिक लोहे का संकेत है

    संगत तत्त्वों का D, 1 से ऊपर होता है, अंत्य-सदस्य अंश मोल-अनुपात हैं, और आदर्श मान से चूकता धनायन-योग मानक गुणवत्ता-जाँच है, अतः ये तीनों सही हैं। ऑलिवीन, (Mg,Fe)₂SiO₄, 4 ऑक्सीजन पर पुनर्गणित होता है; 6 ऑक्सीजन पाइरॉक्सीन का आधार है।