आँकड़ा क्वांटमीकरण व संसाधन: प्रतिचयन, क्वांटमीकरण, रैखिक तंत्र व संवलन

यह ज्योमैटिक्स अभियांत्रिकी (GE) पेपर के भाग B2, प्रतिबिंब संसाधन व विश्लेषण, का एक खंड है। भाग B2, प्रतिबिंब संसाधन व विश्लेषण, संकेत से आरंभ होता है: “आँकड़ा क्वांटमीकरण व संसाधन: प्रतिचयन व क्वांटमीकरण सिद्धांत, रैखिक तंत्र का सिद्धांत, संवलन”। अंकीय प्रतिबिंब एक सतत दृश्य है जो जाल पर प्रतिचयित और पूर्णांकों में क्वांटमीकृत है, और लगभग प्रत्येक बाद की संक्रिया — निस्यंदन, पुनःप्रतिचयन, संवर्धन — संवलन द्वारा लागू एक रैखिक तंत्र है। यह अध्याय प्रतिचयन प्रमेय और उपनामन (एलियासिंग) प्रतिबिंब के साथ क्या करता है, बताता है; 2ⁿ स्तरों में क्वांटमीकरण, क्वांटमीकरण-चरण व उसकी त्रुटि, और उससे संभव संकेत-रव अनुपात; वे दो गुण जो रैखिक विस्थापन-अपरिवर्ती तंत्र को परिभाषित करते हैं और क्यों उसकी आवेग-अनुक्रिया (बिंदु-प्रसार फलन) उसका पूर्ण वर्णन करती है; तथा एक व दो विमाओं में असतत संवलन, उसका निर्गम-आकार व लागत, संवलन प्रमेय, और संवलन सहसंबंध से कैसे भिन्न है। संख्यात्मक प्रश्न नाइक्विस्ट अंतराल, उपनामित आवृत्तियाँ, धूसर-स्तर व छोटे संवलन हैं।

1. प्रतिचयन सिद्धांत व उपनामन

प्रतिचयन सतत संकेत को असतत अंतरालों पर अभिलिखित करता है — प्रतिबिंब में, नियमित जाल पर प्रति पिक्सेल एक मान। प्रतिचयन प्रमेय (नाइक्विस्ट–शैनन): f_max से ऊपर कोई आवृत्ति न रखने वाला संकेत f_s ≥ 2f_max दर पर लिए गए प्रतिदर्शों से पूर्णतः पुनर्प्राप्य है; समतुल्य रूप से, प्रतिचयन-अंतराल विद्यमान सबसे छोटे आवर्तकाल का अधिकतम आधा होना चाहिए। सीमा f_s/2 नाइक्विस्ट आवृत्ति है। जिस भू-प्रतिरूप का सबसे सूक्ष्म आवर्तकाल 10 m हो, उसे निरूपित करने हेतु 5 m या छोटे पिक्सेल चाहिए। नाइक्विस्ट दर से नीचे प्रतिचयन उपनामन उत्पन्न करता है: f_s/2 से ऊपर की आवृत्ति f एक मिथ्या निम्न आवृत्ति |f − k f_s| के रूप में दिखती है; 12 Hz पर प्रतिचयित 10 Hz संकेत 2 Hz पर दिखता है। प्रतिबिंबों में उपनामन नियमित संरचनाओं (फ़सलों की पंक्तियाँ, छत की टाइलें, बाड़) पर मोइरे प्रतिरूप और दाँतेदार किनारे उत्पन्न करता है। प्रतिचयन के बाद इसे हटाया नहीं जा सकता; इसे प्रकाशीय धुँधलापन (संवेदक का बिंदु-प्रसार फलन उपनामन-रोधी फ़िल्टर का कार्य करता है) या सूक्ष्मतर प्रतिचयन से रोका जाता है।

⚠️ पिक्सेल आवर्तकाल का आधा होना चाहिए, उसके बराबर नहीं
10 m धारियों का प्रतिरूप (5 m उजला, 5 m गहरा, आवर्तकाल 10 m) देखने हेतु 10 m पिक्सेल ठीक सीमाओं पर पड़कर प्रत्येक धारी को धूसर औसत कर सकते हैं। प्रति आवर्तकाल कम से कम दो प्रतिदर्श चाहिए; व्यवहार में कुछ अधिक, क्योंकि वास्तविक संवेदक धुँधलाते हैं।

2. क्वांटमीकरण

क्वांटमीकरण प्रत्येक प्रतिचयित मान को पूर्णांकों के एक परिमित समुच्चय, अंकीय संख्याओं (DN), में से एक पर प्रतिचित्रित करता है। n बिट से 2ⁿ स्तर होते हैं, DN = 0 … 2ⁿ − 1: 8 बिट से 256, 10 बिट से 1024, 11 बिट से 2048, 12 बिट से 4096। निवेश-परास R पर क्वांटमीकरण-चरण Δ = R/2ⁿ है; 10 बिट में क्वांटमीकृत 30.72 इकाई विकिरणता-परास का Δ = 0.03 है। निकटतम स्तर पर पूर्णांकन −Δ/2 व +Δ/2 के बीच क्वांटमीकरण-त्रुटि छोड़ता है; समरूप मानकर उसका RMS मान Δ/√12 है। पूर्ण-मापनी ज्यावक्रीय संकेत हेतु आदर्श संकेत-क्वांटमीकरण-रव अनुपात लगभग 6.02n + 1.76 dB है — प्रत्येक अतिरिक्त बिट लगभग 6 dB जोड़ता है। बहुत कम स्तर मिथ्या समोच्चन देते हैं: चिकनी प्रवणताएँ दृश्य पट्टियों में टूट जाती हैं।

प्रतिचयन बनाम क्वांटमीकरण
पक्षप्रतिचयनक्वांटमीकरण
असतत करता हैस्थिति (x, y) या समयआयाम (चमक)
नियंत्रित करता हैस्थानिक विभेदनविकिरणमितीय विभेदन
अति स्थूल होने परउपनामन, मोइरे, लुप्त विवरणमिथ्या समोच्च, लुप्त सूक्ष्म अंतर

3. रैखिक तंत्रों का सिद्धांत

निवेश f को निर्गम g = T[f] में बदलने वाला तंत्र T रैखिक है यदि वह अध्यारोपण का पालन करे: योज्यता T[f₁ + f₂] = T[f₁] + T[f₂] तथा समघातता T[a f] = a T[f]। वह विस्थापन-अपरिवर्ती (स्थान-अपरिवर्ती) है यदि निवेश को खिसकाने पर निर्गम उतना ही खिसके और कुछ न बदले। रैखिक विस्थापन-अपरिवर्ती (LSI) तंत्र अपनी आवेग-अनुक्रिया h से पूर्णतः वर्णित है — प्रकाश के एकल बिंदु हेतु निर्गम, जो प्रतिबिंबन में बिंदु-प्रसार फलन (PSF) है: चूँकि कोई भी प्रतिबिंब खिसकाए, मापित आवेगों का योग है, निर्गम खिसकाए, मापित PSF का वही योग है, जो ठीक संवलन है, g = f ∗ h। PSF का फ़ूरिये रूपांतर तंत्र का अंतरण फलन है; उसका परिमाण मॉडुलन अंतरण फलन (MTF) है, जो बताता है कि प्रत्येक स्थानिक आवृत्ति पर कितना विरोधाभास बचता है।

कौन-सी सामान्य संक्रियाएँ रैखिक हैं?
संक्रियारैखिक?क्यों
माध्य (बॉक्स) फ़िल्टर, गाउसीय धुँधलापन, लाप्लासियन, सोबेलहाँ, और विस्थापन-अपरिवर्तीनियत भारों वाले भारित योग
माध्यिका फ़िल्टरनहींयोग की माध्यिका माध्यिकाओं का योग नहीं
g = 2f + 3 (लब्धि व विस्थापन)नहीं (सजातीय)f दुगुना करने पर g दुगुना नहीं; शून्य निवेश 3 देता है
वर्ग करना, देहली-निर्धारण, आयतचित्र समकरणनहींयोज्यता विफल

4. संवलन

एक विमा में असतत संवलन: y[n] = Σₖ x[k] h[n − k]। x = [1, 2, 3] व h = [1, 1] हेतु y = [1, 3, 5, 3]: निर्गम की लंबाई N + M − 1 = 3 + 2 − 1 = 4 है, और निर्गम का योग (12) निवेश-योगों के गुणनफल (6 × 2) के बराबर है। दो विमाओं में g(i, j) = Σₘ Σₙ f(i − m, j − n) h(m, n): कर्नेल दोनों दिशाओं में पलटा जाता है और प्रतिबिंब पर सरकाया जाता है, और प्रत्येक स्थिति पर अतिव्यापी मानों का गुणन कर योग किया जाता है। सहसंबंध बिना पलटे वही है; सममित कर्नेल (माध्य, गाउसीय, लाप्लासियन) हेतु दोनों समान हैं, पर सोबेल प्रवणता जैसे प्रतिसममित कर्नेल हेतु वे विपरीत चिह्न के निर्गम देते हैं। किनारे के पिक्सेलों हेतु एक नियम चाहिए — शून्य-पूरण, प्रतिकृति या परावर्तन — या उन्हें अपरिभाषित छोड़ा जाता है।

  • लागत: N × N प्रतिबिंब पर M × M कर्नेल को लगभग N²M² गुणन चाहिए — 1000 × 1000 प्रतिबिंब पर 3 × 3 कर्नेल हेतु 9 × 10⁶। पृथक्करणीय कर्नेल (दो 1D कर्नेलों का बाह्य गुणन, जैसे बॉक्स या गाउसीय) दो 1D चरणों में लगाया जा सकता है, प्रति पिक्सेल M² के स्थान पर 2M संक्रियाएँ।
  • संवलन प्रमेय: स्थानिक प्रांत में संवलन आवृत्ति प्रांत में गुणन है, F{f ∗ h} = F{f}·F{h}। अतः बड़े कर्नेल FFT से तेज़ी से लगाए जाते हैं, और फ़िल्टर उनके द्वारा पारित आवृत्तियों से अभिकल्पित होते हैं: निम्न-पारक समतल करता है, उच्च-पारक तीक्ष्ण।
  • संवलन क्रमविनिमेय, साहचर्य तथा योग पर वितरणशील है: क्रम में दो फ़िल्टर एक ऐसे फ़िल्टर के बराबर हैं जिसका कर्नेल उनका संवलन है।
🧠 जिस कर्नेल के भारों का योग 1 हो वह माध्य रखता है; जिसका 0 हो वह किनारे खोजता है
चूँकि निर्गम-योग = निवेश-योग × कर्नेल-योग, 1 पर प्रसामान्यीकृत समतलक कर्नेल समतल क्षेत्रों को अपरिवर्तित छोड़ता है, जबकि 0 योग वाला अवकलज कर्नेल किसी भी समतल क्षेत्र पर शून्य लौटाता है और केवल वहीं प्रतिक्रिया देता है जहाँ चमक बदलती है।

मुख्य बिंदु

  • प्रतिचयन प्रमेय: उच्चतम आवृत्ति के कम से कम दुगुने पर प्रतिचयन (पिक्सेल ≤ सबसे सूक्ष्म आवर्तकाल का आधा); अल्प-प्रतिचयन आवृत्ति f को |f − k f_s| पर उपनामित करता है, मोइरे के रूप में दिखता है।
  • n बिट 2ⁿ स्तर देते हैं; चरण Δ = R/2ⁿ; RMS क्वांटमीकरण-त्रुटि Δ/√12; SNR ≈ 6.02n + 1.76 dB।
  • रैखिक = योज्य व समघात; LSI तंत्र आवेग-अनुक्रिया (PSF) से पूर्णतः वर्णित होते हैं, और संवलन से कार्य करते हैं।
  • संवलन कर्नेल पलटता है (सहसंबंध नहीं); निर्गम-लंबाई N + M − 1; निर्गम-योग = निवेश-योग × कर्नेल-योग।
  • संवलन प्रमेय: स्थानिक संवलन = आवृत्ति-प्रांत गुणन; पृथक्करणीय कर्नेल प्रति पिक्सेल M² के स्थान पर 2M लेते हैं।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. किसी दृश्य में सबसे सूक्ष्म आवर्ती प्रतिरूप भूमि पर प्रत्येक 10 m पर दोहराता है। प्रतिचयन प्रमेय को संतुष्ट करने वाला सबसे बड़ा पिक्सेल-आकार, मीटर में, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 5

    प्रतिचयन-अंतराल सबसे छोटे आवर्तकाल का अधिकतम आधा होना चाहिए: 10/2 = 5 m, अर्थात प्रति चक्र कम से कम दो प्रतिदर्श। 10 m पिक्सेल प्रति चक्र एक बार प्रतिचयन करता है और प्रतिरूप को पूरी तरह औसत कर मिटा सकता है।

  2. 10 Hz की एक ज्यावक्रीय तरंग 12 प्रतिदर्श प्रति सेकंड पर प्रतिचयित की जाती है। प्रतिदर्शों में आभासी (उपनामित) आवृत्ति, Hz में, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 2

    नाइक्विस्ट आवृत्ति 12/2 = 6 Hz है, 10 Hz से नीचे, अतः संकेत |f − f_s| = |10 − 12| = 2 Hz पर उपनामित होता है। 20 या अधिक प्रतिदर्श प्रति सेकंड पर 10 Hz संकेत सही अभिलिखित होता।

  3. 0 से 30.72 इकाई का विकिरणता-परास 10 बिट से क्वांटमीकृत होता है। क्वांटमीकरण-चरण, विकिरणता इकाइयों में, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.03

    10 बिट 2¹⁰ = 1024 स्तर देते हैं; Δ = 30.72/1024 = 0.03 इकाई। 1023 (अधिकतम DN) से भाग देने पर 0.03003 आता है, यहाँ नगण्य अंतर, पर स्तरों की संख्या 2ⁿ है।

  4. उसी क्वांटमीकारक (चरण 0.03 इकाई) हेतु, पूर्णांकन-त्रुटि को समरूप बंटित मानकर, RMS क्वांटमीकरण-त्रुटि, विकिरणता इकाइयों में (चार दशमलव तक), ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.0087

    (−Δ/2, +Δ/2) पर समरूप त्रुटि का प्रसरण Δ²/12 है, अतः RMS त्रुटि Δ/√12 = 0.03/3.4641 = 0.00866 ≈ 0.0087। अधिकतम त्रुटि Δ/2 = 0.015 है; RMS छोटी है क्योंकि अधिकांश त्रुटियाँ चरम पर नहीं होतीं।

  5. पूर्ण-मापनी ज्यावक्र हेतु SNR ≈ 6.02n + 1.76 dB लेकर 8-बिट क्वांटमीकारक का आदर्श संकेत-क्वांटमीकरण-रव अनुपात, dB में (दो दशमलव तक), ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 49.92

    6.02 × 8 + 1.76 = 48.16 + 1.76 = 49.92 dB। प्रत्येक अतिरिक्त बिट 6.02 dB जोड़ता है, अर्थात क्वांटमीकरण-रव आयाम आधा करता है।

  6. निम्न में से कौन-सी प्रतिबिंब संक्रिया रैखिक नहीं है?

    1. माध्यिका निस्यंदन
    2. 3 × 3 माध्य निस्यंदन
    3. गाउसीय समतलन
    4. लाप्लासियन निस्यंदन
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    उत्तर: A — माध्यिका निस्यंदन

    माध्यिका एक कोटि (क्रम) प्रतिदर्शज है: दो प्रतिबिंबों के योग की माध्यिका सामान्यतः उनकी माध्यिकाओं का योग नहीं, अतः अध्यारोपण विफल होता है। माध्य, गाउसीय व लाप्लासियन नियत भारित योग हैं और रैखिक व विस्थापन-अपरिवर्ती हैं।

  7. रैखिक विस्थापन-अपरिवर्ती प्रतिबिंबन तंत्र पूर्णतः किससे अभिलक्षित है

    1. आवेग-अनुक्रिया (बिंदु-प्रसार फलन)
    2. निर्गम आयतचित्र
    3. अधिकतम निर्गम मान
    4. प्रति पिक्सेल बिटों की संख्या
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — आवेग-अनुक्रिया (बिंदु-प्रसार फलन)

    कोई भी निवेश खिसकाए, भारित आवेगों का अध्यारोपण है; रैखिकता व विस्थापन-अपरिवर्तिता निर्गम को खिसकाई, भारित आवेग-अनुक्रियाओं का वही अध्यारोपण बनाती हैं, अर्थात निवेश ∗ PSF। आयतचित्र व बिट-गहराई आँकड़ों का वर्णन करते हैं, तंत्र का नहीं।

  8. अनुक्रम x = [1, 2, 3] का h = [1, 1] से संवलन किया जाता है। निर्गम y का तीसरा अवयव (y[2], y[0] से गिनते हुए) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 5

    y[n] = Σ x[k]h[n − k]: y[0] = 1, y[1] = 2 + 1 = 3, y[2] = 3 + 2 = 5, y[3] = 3। अतः y = [1, 3, 5, 3], लंबाई 3 + 2 − 1 = 4, और उसका योग 12 = 6 × 2 परिणाम की जाँच करता है।

  9. 100 प्रतिदर्शों वाले संकेत का 5-टैप फ़िल्टर से पूर्ण संवलन किया जाता है। निर्गम प्रतिदर्शों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 104

    पूर्ण संवलन की लंबाई N + M − 1 = 100 + 5 − 1 = 104 है। केवल वे स्थितियाँ रखने पर जहाँ कर्नेल पूर्णतः अतिव्यापित हो N − M + 1 = 96 आता है, और “समान” विधि 100 रखती है।

  10. एक पृथक्करणीय 5 × 5 गाउसीय कर्नेल प्रतिबिंब पर एक 2D चरण के स्थान पर दो 1D चरणों में लगाया जाता है। पृथक्करणीय रूप में प्रति पिक्सेल गुणनों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 10

    5-टैप पंक्ति चरण व 5-टैप स्तंभ चरण प्रति पिक्सेल 5 + 5 = 10 गुणन लेते हैं, सीधे 2D कर्नेल के 5 × 5 = 25 के विरुद्ध। बचत कर्नेल-आकार के साथ बढ़ती है: M² के विरुद्ध 2M।

  11. संवलन प्रमेय से, स्थानिक प्रांत में किसी प्रतिबिंब का कर्नेल से संवलन आवृत्ति प्रांत में किसके तुल्य है

    1. उनके फ़ूरिये रूपांतरों का गुणन
    2. उनके फ़ूरिये रूपांतरों का योग
    3. उनके फ़ूरिये रूपांतरों का संवलन
    4. प्रतिबिंब-रूपांतर को कर्नेल-रूपांतर से भाग देना
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    उत्तर: A — उनके फ़ूरिये रूपांतरों का गुणन

    F{f ∗ h} = F{f}·F{h}: प्रतिबिंब की प्रत्येक आवृत्ति उस आवृत्ति पर फ़िल्टर की अनुक्रिया से मापित होती है। भाग व्युत्क्रम निस्यंदन (विसंवलन) के पीछे का विचार है; आवृत्ति में संवलन स्थान में गुणन के संगत है।

  12. प्रतिबिंबों के संवलन व सहसंबंध के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. संवलन सरकाने से पहले कर्नेल पलटता है; सहसंबंध नहीं
    2. सममित कर्नेल हेतु संवलन व सहसंबंध समान परिणाम देते हैं
    3. संवलन क्रमविनिमेय है
    4. सोबेल प्रवणता कर्नेल हेतु संवलन व सहसंबंध सदा समान चिह्न देते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — संवलन सरकाने से पहले कर्नेल पलटता है; सहसंबंध नहीं; B — सममित कर्नेल हेतु संवलन व सहसंबंध समान परिणाम देते हैं; C — संवलन क्रमविनिमेय है

    पलटना संवलन की परिभाषा है; सममित कर्नेल पलटने से अपरिवर्तित रहता है, अतः दोनों सहमत होते हैं; और f ∗ h = h ∗ f। सोबेल कर्नेल प्रतिसममित है, अतः पलटने से वह ऋणात्मक हो जाता है और दोनों संक्रियाएँ विपरीत चिह्न देती हैं — परिमाण समान, दिशा उलटी।

  13. प्रतिचयन व क्वांटमीकरण के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. प्रतिचयन स्थिति को असतत करता है; क्वांटमीकरण चमक को
    2. बहुत कम क्वांटमीकरण स्तर मिथ्या समोच्चन उत्पन्न करते हैं
    3. प्रतिचयन पर उत्पन्न उपनामन बाद में अंकीय प्रतिबिंब के निस्यंदन से नहीं हटाया जा सकता
    4. एक बिट जोड़ने पर धूसर-स्तरों की संख्या आधी हो जाती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रतिचयन स्थिति को असतत करता है; क्वांटमीकरण चमक को; B — बहुत कम क्वांटमीकरण स्तर मिथ्या समोच्चन उत्पन्न करते हैं; C — प्रतिचयन पर उत्पन्न उपनामन बाद में अंकीय प्रतिबिंब के निस्यंदन से नहीं हटाया जा सकता

    प्रतिचयन जाल तय करता है, क्वांटमीकरण धूसर-मापनी; बहुत कम स्तर चिकनी प्रवणताओं को पट्टियों में बाँटते हैं; और उच्च आवृत्ति एक बार निम्न पर मुड़ जाए तो वह वास्तविक निम्न आवृत्ति से अभेद्य है, अतः कोई बाद का फ़िल्टर उन्हें अलग नहीं कर सकता। एक बिट जोड़ने पर स्तर दुगुने होते हैं (2ⁿ⁺¹ = 2 × 2ⁿ)।

  14. निम्न में से कौन-से तंत्र, जो निवेश प्रतिबिंब f को निर्गम g पर प्रतिचित्रित करते हैं, रैखिक हैं?

    1. g(i, j) = f(i, j) − f(i, j − 1)
    2. g = 0.5 f
    3. g(i, j) = f के 3 × 3 प्रतिवेश का माध्य
    4. g = 2f + 3
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — g(i, j) = f(i, j) − f(i, j − 1); B — g = 0.5 f; C — g(i, j) = f के 3 × 3 प्रतिवेश का माध्य

    पिक्सेलों का अंतर, मापन व प्रतिवेश-माध्य सभी निवेश-मानों के नियत भारित योग हैं, अतः योज्यता व समघातता पूरी करते हैं। g = 2f + 3 दोनों में विफल है: शून्य निवेश 3 देता है, और f दुगुना करने पर g दुगुना नहीं होता — यह सजातीय है, रैखिक नहीं।