अंकीय प्रतिबिंब के अभिलक्षण: आयतचित्र, प्रकीर्ण-आरेख, तथा प्रसरण–सहप्रसरण व सहसंबंध आव्यूह

यह ज्योमैटिक्स अभियांत्रिकी (GE) पेपर के भाग B2, प्रतिबिंब संसाधन व विश्लेषण, का एक खंड है। B2 का दूसरा शीर्षक वे संख्याएँ माँगता है जो प्रतिबिंब पर कुछ करने से पहले उसका वर्णन करती हैं: “अंकीय प्रतिबिंब के अभिलक्षण: प्रतिबिंब आयतचित्र व प्रकीर्ण-आरेख तथा उनका महत्त्व, प्रसरण-सहप्रसरण व सहसंबंध आव्यूह तथा उनका महत्त्व”। यह अध्याय अंकीय प्रतिबिंब — पंक्तियाँ, स्तंभ, बैंड व बिट-गहराई, और उसके भंडारण के BSQ, BIL व BIP ढंग — परिभाषित करता है; चमक, विरोधाभास, संतृप्ति, बहुलकों व देहलियों हेतु आयतचित्र पढ़ता है, और दिखाता है कि वह क्या नहीं बता सकता; दो बैंडों को प्रकीर्ण-आरेख (लक्षण-समष्टि) में बदलता है, जहाँ भू-आवरण गुच्छ बनाते हैं और मृदा एक रेखा; तथा प्रसरण–सहप्रसरण व सहसंबंध आव्यूह निकालता है, जो अंतर-बैंड अतिरेक मापते हैं और मुख्य घटकों व अधिकतम-संभाविता वर्गीकरण के निवेश हैं। संख्यात्मक प्रश्न प्रतिबिंब-सांख्यिकी, कुछ पिक्सेलों से सहप्रसरण व सहसंबंध, बैंड-योग का प्रसरण तथा फ़ाइल-आकार हैं।

1. अंकीय प्रतिबिंब व उसकी सांख्यिकी

बहुस्पेक्ट्रमी अंकीय प्रतिबिंब अंकीय संख्याओं (DN) की त्रि-विमीय सरणी है: पंक्तियाँ × स्तंभ × बैंड, प्रत्येक DN n बिट में संगृहीत। इसका आकार पंक्तियाँ × स्तंभ × बैंड × बिट/8 बाइट है: 8 बिट पर 3 बैंडों में 1000 × 1000 पिक्सेल 3 × 10⁶ बाइट हैं। तीन अंतर्ग्रथन प्रारूप उन्हीं संख्याओं को भिन्न ढंग से रखते हैं: BSQ (बैंड अनुक्रमिक: पूरा बैंड 1, फिर बैंड 2 — एकल-बैंड कार्य हेतु तेज़), BIL (पंक्ति द्वारा बैंड अंतर्ग्रथित: प्रत्येक बैंड की पंक्ति 1, फिर पंक्ति 2) तथा BIP (पिक्सेल द्वारा बैंड अंतर्ग्रथित: पिक्सेल 1 के सभी बैंड, फिर पिक्सेल 2 — वर्गीकरण जैसे प्रति-पिक्सेल स्पेक्ट्रमी कार्य हेतु तेज़)।

किसी बैंड की एकचर सांख्यिकी: माध्य μ = ΣDN/N, प्रसरण σ² = Σ(DN − μ)²/(N − 1), मानक विचलन σ, न्यूनतम, अधिकतम, माध्यिका व बहुलक। छह DN 12, 15, 18, 15, 20, 10 हेतु: μ = 90/6 = 15, विचलन −3, 0, 3, 0, 5, −5 से Σ = 68, σ² = 68/5 = 13.6 व σ = 3.69। माध्य समग्र चमक मापता है; मानक विचलन विरोधाभास मापता है — मानों का वह फैलाव जिसे प्रदर्शन को दिखाना है।

2. प्रतिबिंब आयतचित्र व उसका महत्त्व

आयतचित्र प्रत्येक DN पर पिक्सेलों की संख्या आलेखित करता है। पिक्सेल-संख्या से भाग देने पर यह प्रसामान्यीकृत आयतचित्र p(DN) है, प्रत्येक मान की प्रायिकता का आकलन, और इसका संचयी योग संचयी आयतचित्र है, जो आयतचित्र समकरण व मिलान का आधार है। 64 पिक्सेल वाले 3-बिट प्रतिबिंब में DN 4 पर 16 पिक्सेल होने पर p(4) = 16/64 = 0.25।

आयतचित्र पढ़ना
आकृतिइसका अर्थक्या करें
संकरा, छोटे DN परास में गुच्छितकम विरोधाभास: संवेदक-परास का अल्प-उपयोगविरोधाभास तनन
निम्न या उच्च DN की ओर खिसकागहरा या उजला प्रतिबिंब; नीले बैंड में उठा न्यूनतम धुंध दर्शाता हैविस्थापन, अंधकार-वस्तु व्यवकलन
0 या अधिकतम DN पर शिखरसंतृप्ति (कर्तन): वहाँ जानकारी लुप्तपुनर्प्राप्य नहीं; अंकित करें
दो या अधिक शिखर (द्विबहुलकी)विशिष्ट वर्ग, जैसे NIR बैंड में जल व भूमिशिखरों के बीच की घाटी में देहली
⚠️ आयतचित्र में कोई भूगोल नहीं
प्रतिबिंब के प्रत्येक पिक्सेल को यादृच्छिक स्थितियों में फेंटने पर उसका आयतचित्र अपरिवर्तित रहता है। अतः दो अत्यंत भिन्न प्रतिबिंबों का एक ही आयतचित्र हो सकता है, और उससे आकृति, गठन या कोई वर्ग कहाँ है, कुछ नहीं पढ़ा जा सकता।

3. प्रकीर्ण-आरेख व लक्षण-समष्टि

प्रकीर्ण-आरेख (द्वि-विमीय आयतचित्र, लक्षण-समष्टि आलेख) प्रत्येक पिक्सेल को बिंदु (बैंड i में DN, बैंड j में DN) पर रखता है। इसका महत्त्व: बादल की आकृति दिखाती है कि बैंड कितने सहसंबद्ध हैं — संकरा विकर्णी दीर्घवृत्त बताता है कि वे अधिकांशतः एक ही जानकारी रखते हैं, गोल बादल बताता है कि वे स्वतंत्र हैं; गुच्छ स्पेक्ट्रमी वर्ग हैं, जिनका पृथक्करण दिखाता है कि दो बैंड उन्हें कितनी अच्छी तरह विभेदित करते हैं; लाल–NIR प्रकीर्ण-आरेख में नग्न मृदाएँ एक सीधी मृदा-रेखा पर पड़ती हैं, वनस्पति उच्च NIR की ओर उससे काफ़ी ऊपर, और जल मूल के निकट। प्रकीर्ण-आरेख से ही प्रशिक्षण-प्रतिदर्श जाँचे जाते हैं, समांतर-षट्फलक बक्से व गुच्छ-केंद्र दृश्य किए जाते हैं, और एक बैंड-युग्म दूसरे पर चुना जाता है।

ℹ️ मृदा-रेखा क्यों महत्त्वपूर्ण है
मृदा की चमक नमी व खुरदरेपन के साथ बदलती है, पर उसकी लाल व NIR परावर्तकताएँ साथ-साथ बदलती हैं, अतः मृदाएँ एक रेखा पर खिसकती हैं। वनस्पति सूचकांक मापते हैं कि कोई पिक्सेल उस रेखा से उच्च NIR की ओर कितनी दूर है — रूपांतरण अध्याय में NDVI व SAVI के पीछे का विचार।

4. प्रसरण–सहप्रसरण व सहसंबंध आव्यूह

k बैंडों हेतु प्रसरण–सहप्रसरण आव्यूह C, k × k है, Cᵢⱼ = Σ(DNᵢ − μᵢ)(DNⱼ − μⱼ)/(N − 1) सहित: विकर्ण पर प्रसरण, बाहर सहप्रसरण, और C सममित, अतः इसके k(k + 1)/2 भिन्न अवयव हैं (7 बैंडों हेतु 28)। सहसंबंध आव्यूह R इसे मानकीकृत करता है: rᵢⱼ = Cᵢⱼ/(σᵢσⱼ), विकर्ण पर 1 और −1 ≤ rᵢⱼ ≤ 1। हल: बैंड 1 = [2, 4, 6, 8] व 2 = [1, 3, 2, 6] के माध्य 5 व 3, विचलन (−3, −2), (−1, 0), (1, −1), (3, 3), अनुप्रस्थ-गुणनफलों का योग 14; अतः C₁₂ = 14/3 = 4.667, C₁₁ = 20/3, C₂₂ = 14/3, तथा r₁₂ = 14/√(20 × 14) = 0.837। 16 व 25 प्रसरण वाले बैंडों के बीच 12 का सहप्रसरण r = 12/(4 × 5) = 0.6 है।

  • अतिरेक: दृश्य बैंड प्रायः 0.9 से अधिक सहसंबद्ध होते हैं, अतः उनका त्रि-बैंड प्रदर्शन एक बैंड से अधिक कुछ नहीं दिखाता। उच्च सहसंबंध ही कारण है कि मुख्य घटक विश्लेषण बहुस्पेक्ट्रमी आँकड़ों को संपीडित करता है।
  • बैंड-चयन: इष्टतम सूचकांक गुणक OIF = (σᵢ + σⱼ + σₖ)/(|rᵢⱼ| + |rᵢₖ| + |rⱼₖ|) उच्च प्रसरण व कम पारस्परिक सहसंबंध वाले बैंड-त्रिक को वरीयता देता है; SD 10, 12, 15 व सहसंबंध 0.5, 0.6, 0.7 से OIF = 37/1.8 = 20.6।
  • वर्गीकरण: वर्ग सहप्रसरण आव्यूह अधिकतम-संभाविता व महालनोबिस वर्गीकारकों में प्रत्येक वर्ग की आकृति परिभाषित करता है।
  • बैंडों को मिलाना: var(a + b) = var(a) + var(b) + 2 cov(a, b); प्रसरण 16 व 25 और सहप्रसरण 12 हेतु यह 65 है, और var(a − b) = 17 — इसीलिए सहसंबद्ध बैंडों के अंतर का प्रसरण कम होता है।
⚠️ सहप्रसरण इकाइयों पर निर्भर है; सहसंबंध नहीं
लब्धि से DN को विकिरणता में बदलने पर सहप्रसरण दोनों लब्धियों के गुणनफल से गुणित होता है पर सहसंबंध अपरिवर्तित रहता है। अतः सहप्रसरण आव्यूह पर PCA उच्च-प्रसरण बैंडों से प्रभावित होता है, और सहसंबंध आव्यूह पर PCA (मानकीकृत PCA) सभी बैंडों को समान मानता है।

मुख्य बिंदु

  • प्रतिबिंब-आकार = पंक्तियाँ × स्तंभ × बैंड × बिट/8; BSQ, BIL व BIP वही DN भिन्न क्रमों में रखते हैं।
  • आयतचित्र: माध्य ≈ चमक, फैलाव ≈ विरोधाभास, सिरों पर शिखर = संतृप्ति, द्विबहुलकी = पृथक्करणीय वर्ग; इसमें कोई स्थानिक जानकारी नहीं।
  • प्रकीर्ण-आरेख: लंबा बादल = सहसंबद्ध बैंड, गुच्छ = स्पेक्ट्रमी वर्ग, लाल–NIR समष्टि में मृदा-रेखा।
  • Cᵢⱼ = Σ(xᵢ − μᵢ)(xⱼ − μⱼ)/(N − 1); rᵢⱼ = Cᵢⱼ/(σᵢσⱼ); C सममित है, k(k + 1)/2 भिन्न अवयवों सहित।
  • उच्च अंतर-बैंड सहसंबंध का अर्थ अतिरेक (PCA का आधार); var(a ± b) = var a + var b ± 2cov; OIF कम-सहसंबंध, उच्च-प्रसरण बैंड-त्रिक चुनता है।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक असंपीडित प्रतिबिंब में 3 बैंडों में, प्रति बैंड प्रति पिक्सेल 8 बिट पर, 1000 × 1000 पिक्सेल हैं। उसका आकार, मेगाबाइट में (1 MB = 10⁶ बाइट), ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 3

    आकार = 1000 × 1000 × 3 × 8/8 बाइट = 3,000,000 बाइट = 3 MB। भंडारण-क्रम (BSQ, BIL या BIP) यह बदलता है कि प्रत्येक मान कहाँ रहता है, कितने हैं यह नहीं।

  2. एक बैंड के छह पिक्सेलों के DN 12, 15, 18, 15, 20 व 10 हैं। उनका प्रतिदर्श मानक विचलन (भाजक N − 1), दो दशमलव तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 3.69

    माध्य = 90/6 = 15। विचलन −3, 0, 3, 0, 5, −5; वर्गों का योग 9 + 0 + 9 + 0 + 25 + 25 = 68। प्रसरण = 68/5 = 13.6, σ = 3.69। भाजक N = 6 से यह 3.37 होता।

  3. 64 पिक्सेल वाले 3-बिट प्रतिबिंब में 16 पिक्सेलों का DN 4 है। DN 4 पर प्रसामान्यीकृत आयतचित्र का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.25

    p(4) = n₄/N = 16/64 = 0.25, किसी पिक्सेल के DN 4 होने की आँकी गई प्रायिकता। सभी आठ स्तरों के प्रसामान्यीकृत आयतचित्र का योग 1 है; कच्ची गणना, 16, अप्रसामान्यीकृत आयतचित्र है।

  4. किसी तटीय क्षेत्र पर निकट-अवरक्त बैंड का आयतचित्र दो सुपृथक शिखर दिखाता है, एक निम्न DN पर व एक उच्च DN पर। सबसे संभावित निर्वचन है

    1. जल (निम्न DN) व वनस्पतियुक्त भूमि (उच्च DN)
    2. दोनों सिरों पर संवेदक संतृप्ति
    3. वायुमंडलीय धुंध
    4. तनन की आवश्यकता वाला कम-विरोधाभास प्रतिबिंब
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    उत्तर: A — जल (निम्न DN) व वनस्पतियुक्त भूमि (उच्च DN)

    जल NIR अवशोषित कर गहरा है; वनस्पतियुक्त भूमि NIR का प्रबल परावर्तन कर उजली है, अतः द्विबहुलकी NIR आयतचित्र उन्हें अलग करता है, और घाटी में देहली तटरेखा मानचित्रित करती है। संतृप्ति ठीक 0 या अधिकतम DN पर शिखरों के रूप में दिखती है; धुंध मुख्यतः नीले में न्यूनतम उठाती है।

  5. दो बैंडों का प्रकीर्ण-आरेख 1:1 विकर्ण के अनुदिश संकरा दीर्घवृत्त दिखाता है। यह दर्शाता है कि दोनों बैंड

    1. अत्यधिक सहसंबद्ध व अधिकांशतः अतिरिक्त हैं
    2. सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं
    3. ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं
    4. वनस्पति को मृदा से आदर्श रूप से अलग करते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अत्यधिक सहसंबद्ध व अधिकांशतः अतिरिक्त हैं

    धनात्मक ढलान वाली रेखा के निकट पड़े बिंदु बताते हैं कि जब एक बैंड उजला हो तो दूसरा भी: +1 के निकट सहसंबंध, अतः दूसरा बैंड कम जोड़ता है। स्वतंत्र बैंड गोल बादल देते हैं, और ऋणात्मक सहसंबंध गिरते विकर्ण के अनुदिश होता है।

  6. दो बैंडों के प्रसरण 16 व 25 और सहप्रसरण 12 है। उनका सहसंबंध गुणांक ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.6

    r = cov/(σ₁σ₂) = 12/(√16 × √25) = 12/(4 × 5) = 0.6। मानक विचलनों के स्थान पर प्रसरणों के गुणनफल (400) से भाग देने पर 0.03 आता है।

  7. चार पिक्सेलों के बैंड 1 व 2 में DN (2, 1), (4, 3), (6, 2) व (8, 6) हैं। बैंडों के बीच प्रतिदर्श सहप्रसरण (भाजक N − 1), दो दशमलव तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 4.67

    माध्य 5 व 3। विचलन (−3, −2), (−1, 0), (1, −1), (3, 3); अनुप्रस्थ-गुणनफल 6, 0, −1, 9, योग 14। सहप्रसरण = 14/3 = 4.67। N से भाग देने पर 3.50 आता है।

  8. उन्हीं चार पिक्सेलों, (2, 1), (4, 3), (6, 2) व (8, 6), हेतु बैंड 1 व 2 के बीच सहसंबंध गुणांक (तीन दशमलव तक) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.837

    Σ अनुप्रस्थ-गुणनफल = 14; वर्गित विचलनों के योग बैंड 1 हेतु 9 + 1 + 1 + 9 = 20 व बैंड 2 हेतु 4 + 0 + 1 + 9 = 14 हैं। r = 14/√(20 × 14) = 14/16.733 = 0.837। भाजक N − 1 निरस्त होता है, अतः यहाँ महत्त्वहीन है।

  9. दो बैंडों के प्रसरण 16 व 25 और सहप्रसरण 12 है। उनके योग (बैंड 1 + बैंड 2) का प्रसरण ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 65

    var(a + b) = var(a) + var(b) + 2cov(a, b) = 16 + 25 + 24 = 65। सहप्रसरण की उपेक्षा 41 देती है, जो केवल असहसंबद्ध बैंडों हेतु सही है; अंतर a − b का प्रसरण 17 होता।

  10. 7-बैंड प्रतिबिंब का प्रसरण–सहप्रसरण आव्यूह सममित है। उसमें भिन्न अवयवों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 28

    सममित k × k आव्यूह में k(k + 1)/2 भिन्न प्रविष्टियाँ होती हैं: 7 × 8/2 = 28 — 7 प्रसरण व 21 सहप्रसरण। पूर्ण आव्यूह में 49 प्रविष्टियाँ हैं, पर Cᵢⱼ = Cⱼᵢ।

  11. तीन बैंडों के मानक विचलन 10, 12 व 15 हैं, और उनके युग्मवार सहसंबंध गुणांक 0.5, 0.6 व 0.7 हैं। उनका इष्टतम सूचकांक गुणक (दो दशमलव तक) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 20.56

    OIF = Σσ/Σ|r| = (10 + 12 + 15)/(0.5 + 0.6 + 0.7) = 37/1.8 = 20.56। उच्च OIF का अर्थ अधिक कुल प्रसरण व कम दोहराव, अतः सबसे बड़े OIF वाला त्रिक सबसे सूचनाप्रद रंग-संयोजन बनाता है।

  12. निम्न में से क्या केवल प्रतिबिंब आयतचित्र से जाना जा सकता है?

    1. क्या प्रतिबिंब उपलब्ध DN परास का केवल छोटा भाग प्रयुक्त करता है
    2. क्या पिक्सेल अधिकतम DN पर संतृप्त हैं
    3. विशिष्ट चमक वाले दो वर्गों को अलग करने वाली देहली
    4. प्रतिबिंब में कोई विशेष भू-आवरण कहाँ स्थित है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — क्या प्रतिबिंब उपलब्ध DN परास का केवल छोटा भाग प्रयुक्त करता है; B — क्या पिक्सेल अधिकतम DN पर संतृप्त हैं; C — विशिष्ट चमक वाले दो वर्गों को अलग करने वाली देहली

    आयतचित्र प्रयुक्त DN परास, सिरों पर वे शिखर जहाँ मान कर्तित हैं, और बहुलकों के बीच घाटियाँ जहाँ देहली वर्गों को अलग करती है, दिखाता है। यह सारी स्थितीय जानकारी त्याग देता है, अतः कोई भू-आवरण कहाँ है, इससे नहीं पढ़ा जा सकता।

  13. बहुस्पेक्ट्रमी प्रतिबिंब के प्रसरण–सहप्रसरण व सहसंबंध आव्यूहों के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. सहसंबंध आव्यूह का विकर्ण पूर्णतः इकाइयाँ है
    2. दोनों आव्यूह सममित हैं
    3. किसी बैंड को धनात्मक लब्धि से पुनर्मापित करने पर उसके सहप्रसरण बदलते हैं पर सहसंबंध नहीं
    4. दो बैंडों के बीच 0.95 सहसंबंध का अर्थ है कि वे लगभग स्वतंत्र जानकारी रखते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — सहसंबंध आव्यूह का विकर्ण पूर्णतः इकाइयाँ है; B — दोनों आव्यूह सममित हैं; C — किसी बैंड को धनात्मक लब्धि से पुनर्मापित करने पर उसके सहप्रसरण बदलते हैं पर सहसंबंध नहीं

    प्रत्येक बैंड स्वयं से पूर्णतः सहसंबद्ध है; cov(i, j) = cov(j, i) दोनों को सममित बनाता है; और लब्धि g, cov(i, j) को g से गुणा करती है पर σᵢ को भी g से, जो r में निरस्त होता है। 0.95 सहसंबंध का अर्थ है कि बैंड लगभग अतिरिक्त हैं, स्वतंत्र के विपरीत।

  14. किसी कृषि दृश्य के लाल–निकट-अवरक्त प्रकीर्ण-आरेख में निम्न में से क्या अपेक्षित है?

    1. नग्न मृदाएँ लगभग सीधी मृदा-रेखा के अनुदिश पड़ती हैं
    2. सघन वनस्पति उच्च NIR व निम्न लाल पर होती है
    3. जल मूल के निकट, दोनों बैंडों में निम्न, होता है
    4. वनस्पति व मृदा एक ही बिंदु पर पड़ती हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — नग्न मृदाएँ लगभग सीधी मृदा-रेखा के अनुदिश पड़ती हैं; B — सघन वनस्पति उच्च NIR व निम्न लाल पर होती है; C — जल मूल के निकट, दोनों बैंडों में निम्न, होता है

    मृदा की लाल व NIR परावर्तकताएँ साथ बढ़ती हैं, मृदा-रेखा बनाती हैं; वनस्पति लाल अवशोषित व NIR परावर्तित करती है, अतः उस रेखा से काफ़ी ऊपर बैठती है; जल दोनों में गहरा है। ठीक यही पृथक्करण लाल–NIR युग्म चुनने का कारण है, अतः वनस्पति व मृदा संपाती नहीं होतीं।