पर्यावरणीय द्रवचालिकी: तरल स्थैतिकी, नलिकाओं में प्रवाह, प्रवाह मापन व वाहिका द्रवचालिकी
1. तरल गुण, दाब, द्रवस्थैतिक बल, उत्प्लावकता व प्लवन
तरल किसी भी अपरूपण प्रतिबल के अधीन, चाहे कितना भी छोटा हो, निरंतर विरूपित होता है। उसके गुण हैं घनत्व ρ (जल लगभग 1000 kg/m³), विशिष्ट भार γ = ρg (जल हेतु 9.81 kN/m³), गतिक श्यानता μ, जो न्यूटन के नियम τ = μ du/dy में अपरूपण प्रतिबल को वेग प्रवणता से जोड़ती है (20 °C पर जल लगभग 1.0 × 10⁻³ Pa·s, गर्म होने पर घटती), शुद्धगतिक श्यानता ν = μ/ρ, संपीड्यता (आयतन प्रत्यास्थता गुणांक), वाष्प दाब, और पृष्ठ तनाव σ (वायु में जल हेतु लगभग 0.073 N/m), जो व्यास d की नली में केशिका उत्थान h = 4σ cos θ/(ρgd) देता है। स्थैतिकी व गतिकी से आई यांत्रिकी की अवधारणाएँ हैं मुक्त-पिंड आरेख, न्यूटन का द्वितीय नियम, तथा द्रव्यमान, संवेग व ऊर्जा का संरक्षण — वही तीन जो तरल प्रवाह के सांतत्य, संवेग व ऊर्जा समीकरण बनते हैं।
स्थिर तरल में दाब गहराई के साथ रैखिक बढ़ता है, p = p₀ + ρgh, और सभी दिशाओं में समान कार्य करता है (पास्कल नियम)। दाब निरपेक्ष या गेज़ (वायुमंडल के सापेक्ष) के रूप में दाबमापी नली (पीज़ोमीटर), U-नली मैनोमीटर (जल के विरुद्ध विक्षेप x पढ़ने वाले विशिष्ट गुरुत्व S_m के मैनोमीटरी द्रव हेतु शीर्ष अंतर x(S_m − 1) है), अवकल या आनत मैनोमीटर, या बूर्डन गेज़ से मापा जाता है। समतल पृष्ठ पर द्रवस्थैतिक बल उसके केंद्रक पर दाब × क्षेत्रफल है, F = ρg h̄ A, और यह दाब केंद्र पर कार्य करता है, जो केंद्रक से I_G/(A h̄) नीचे है: h_cp = h̄ + I_G/(A h̄)। गहराई d के ऊर्ध्वाधर आयत हेतु, जिसका ऊपरी किनारा मुक्त पृष्ठ पर हो, h_cp = 2d/3। वक्र पृष्ठ पर क्षैतिज घटक उसके ऊर्ध्वाधर प्रक्षेप पर बल है और ऊर्ध्वाधर घटक उसके ऊपर के तरल का भार।
उत्प्लावकता आर्किमिडीज़ सिद्धांत है: तरल में निमज्जित पिंड को उसके द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर बल ऊपर धकेलता है, जो उत्प्लावन केंद्र B, विस्थापित आयतन के केंद्रक, से कार्य करता है। तैरता पिंड साम्य में होता है जब वह बल उसके भार के बराबर हो। लुढ़कने के विरुद्ध उसका स्थायित्व मितकेंद्र (मेटासेंटर) M पर निर्भर है: छोटे झुकाव पर उत्प्लावकता M से कार्य करती है, और पिंड स्थायी है यदि M गुरुत्व केंद्र G के ऊपर हो। मितकेंद्री ऊँचाई GM = BM − BG है, जहाँ BM = I/V, I झुकाव अक्ष के परितः जलरेखा क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण और V विस्थापित आयतन। चौड़ाई b व डुबाव d के आयताकार पोंटून हेतु BM = b²/(12d)।
2. प्रवाह की शुद्धगतिकी; सांतत्य, संवेग व ऊर्जा समीकरण
शुद्धगतिकी कारणों के बिना गति का वर्णन करती है। प्रवाह स्थिर है यदि किसी बिंदु पर दशाएँ समय के साथ न बदलें और एकसमान है यदि वे धारारेखा के अनुदिश न बदलें। धारारेखा सर्वत्र वेग की स्पर्शी है; पथरेखा एक कण का मार्ग है; रेखिका (स्ट्रीकलाइन) उन सभी कणों को जोड़ती है जो एक बिंदु से गुज़रे; स्थिर प्रवाह में तीनों संपाती हैं। कण के त्वरण में स्थानीय भाग ∂V/∂t (स्थिर प्रवाह में शून्य) व संवहनी भाग V ∂V/∂s (एकसमान प्रवाह में शून्य) होते हैं। प्रवाह अघूर्णी है यदि उसका भ्रमिलता, वेग का कर्ल, शून्य हो; तब वेग विभव φ विद्यमान है जिसमें V = ∇φ। द्वि-विमीय असंपीड्य प्रवाह में धारा फलन ψ विद्यमान है जिसमें u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x, और दो धारारेखाओं के बीच ψ का अंतर उनके बीच का निस्सरण है।
सांतत्य समीकरण द्रव्यमान संरक्षित करता है: नलिका में असंपीड्य तरल हेतु Q = A₁V₁ = A₂V₂, और अवकल रूप में ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0। स्थिर, असंपीड्य, घर्षणरहित प्रवाह हेतु धारारेखा के अनुदिश ऊर्जा समीकरण बर्नूली समीकरण है, p/(ρg) + V²/(2g) + z = नियत — दाब शीर्ष, वेग शीर्ष व आधार शीर्ष; घर्षण व मशीनों सहित यह p₁/ρg + V₁²/2g + z₁ + h_pump = p₂/ρg + V₂²/2g + z₂ + h_L बनता है। संवेग समीकरण नियंत्रण आयतन हेतु न्यूटन का द्वितीय नियम है: शुद्ध बल संवेग बहिर्प्रवाह दर घटा अंतर्प्रवाह दर के बराबर है, ΣF = ρQ(V₂ − V₁), प्रत्येक दिशा में वियोजित। यह नलिका मोड़ या तुंड पर बल, पट्टिका पर जेट का प्रणोद, और — चूँकि इसे खोई ऊर्जा का ज्ञान नहीं चाहिए — द्रवचालित उछाल देता है।
3. स्तरीय व विक्षुब्ध प्रवाह, नलिकाएँ, नलिका जाल व निमज्जित पिंडों पर बल
रेनॉल्ड्स संख्या Re = ρVD/μ = VD/ν जड़त्व की श्यानता से तुलना करती है। नलिका में प्रवाह लगभग Re = 2000 से नीचे स्तरीय, लगभग 4000 से ऊपर विक्षुब्ध, और बीच में संक्रमणकालीन है। स्तरीय नलिका प्रवाह का वेग पार्श्वचित्र परवलयिक है, जिसमें अधिकतम वेग माध्य का दोगुना है, और उसकी शीर्ष हानि हेतु हेगन–प्वाज़ुई परिणाम h_f = 32μVL/(ρgD²) है। किसी भी व्यवस्था हेतु सामान्य शीर्ष-हानि नियम डार्सी–वाइसबाख है, h_f = fLV²/(2gD), जहाँ घर्षण गुणांक स्तरीय प्रवाह में f = 64/Re है और विक्षुब्ध प्रवाह में Re व सापेक्ष खुरदरापन ε/D पर निर्भर है (मूडी आरेख; कोलब्रुक समीकरण)। प्रवेश, मोड़, वाल्व व प्रसार पर लघु हानियाँ kV²/(2g) लिखी जाती हैं; आकस्मिक प्रसार (V₁ − V₂)²/(2g) खोता है, और टंकी में गिरती नलिका अपना सम्पूर्ण वेग शीर्ष खोती है। हेज़न–विलियम्स सूत्र जल-मुख्यों हेतु प्रयुक्त आनुभविक विकल्प है।
श्रेणी में नलिकाएँ समान प्रवाह ले जाती हैं और उनकी शीर्ष हानियाँ जुड़ती हैं; समांतर नलिकाएँ समान शीर्ष हानि बाँटती हैं और उनके प्रवाह जुड़ते हैं। समान लंबाई व f की समांतर नलिकाओं हेतु h_f ∝ Q²/D⁵, अतः Q ∝ D^2.5: व्यास दोगुना करने पर प्रवाह 2^2.5 = 5.66 गुना होता है। नलिका जाल — वितरण तंत्र का पाशित ग्रिड — को प्रत्येक संधि पर सांतत्य और प्रत्येक पाश में शून्य शुद्ध शीर्ष हानि संतुष्ट करनी है। हार्डी क्रॉस विधि इसे पुनरावृत्ति से हल करती है: सांतत्य संतुष्ट करने वाले प्रवाह मानें, पाश संशोधन ΔQ = −Σh_f/(nΣ|h_f/Q|) निकालें (डार्सी–वाइसबाख हेतु n = 2, हेज़न–विलियम्स हेतु 1.85), पाश की प्रत्येक नलिका पर लगाएँ, और संशोधन छोटे होने तक दोहराएँ। बहते तरल में पिंड प्रवाह के समांतर कर्षण (ड्रैग) व लंबवत उत्थापन (लिफ़्ट) अनुभव करता है, F_D = C_D A ρV²/2 व F_L = C_L A ρV²/2। कर्षण कुछ त्वचा घर्षण व कुछ दाब (आकृति) कर्षण है; निम्न Re पर छोटे गोले हेतु स्टोक्स नियम F_D = 3πμVd देता है, अर्थात C_D = 24/Re — खंड 5 में कणों के निक्षेपण के पीछे का नियम।
| राशि | स्तरीय (Re < लगभग 2000) | विक्षुब्ध (Re > लगभग 4000) |
|---|---|---|
| वेग पार्श्वचित्र | परवलयिक; V_max = 2V̄ | चपटा; V_max ≈ 1.2V̄ |
| घर्षण गुणांक | f = 64/Re, खुरदरेपन से स्वतंत्र | f(Re, ε/D); पूर्ण खुरदरे प्रवाह में नियत |
| शीर्ष हानि किसके अनुसार | V (h_f ∝ V) | लगभग V² (h_f ∝ V^1.75 से V²) |
4. नलिकाओं व वाहिकाओं में प्रवाह मापन
नलिकाओं में वेंचुरीमीटर, छिद्र-मीटर व प्रवाह तुंड सभी पूर्ण खंड व संकुचन के बीच सांतत्य व बर्नूली लगाकर दाब गिरावट पढ़ते हैं: Q = C_d A₁A₂√(2gh)/√(A₁² − A₂²), जहाँ h दाबमितीय शीर्ष का अंतर है। वेंचुरीमीटर का क्रमिक अपसारी शंकु अधिकांश दाब पुनः प्राप्त करता है, अतः C_d लगभग 0.95–0.99 है; छिद्र-पट्टिका सस्ती है पर बहुत अधिक खोती है, C_d लगभग 0.6। पिटो नली किसी बिंदु पर निश्चलता शीर्ष पढ़ती है, और V = √(2gΔh) स्थानीय वेग देता है; जहाँ कोई हानि सह्य न हो, वहाँ विद्युत-चुंबकीय व पराध्वनिक मीटर प्रयुक्त होते हैं। खुली वाहिकाओं में निस्सरण वियर व नॉच से मापा जाता है: लंबाई L का आयताकार वियर Q = (2/3)C_d L √(2g) H^(3/2) देता है, और कोण θ का त्रिकोणीय (V-) नॉच Q = (8/15)C_d √(2g) tan(θ/2) H^(5/2) — निम्न प्रवाहों पर अधिक संवेदी, इसीलिए V-नॉच छोटी बहिःस्राव धाराएँ मापते हैं। पार्शल फ़्लूम कंठ में क्रांतिक प्रवाह लाकर एक ही अनुप्रवाह-पूर्व गहराई से Q देता है, अल्प शीर्ष हानि के साथ और ठोसों के बैठने हेतु कोई ताल बनाए बिना, जो कच्चे मल-जल हेतु उपयुक्त है; धारा-मीटर व क्षेत्र–वेग विधि नदियाँ मापते हैं।
5. वाहिका द्रवचालिकी: विशिष्ट ऊर्जा, क्रांतिक प्रवाह, द्रवचालित उछाल, परिवर्ती प्रवाह व आस्तरित वाहिकाएँ
खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह, जहाँ गहराई नियत है और गुरुत्व घर्षण को संतुलित करता है, मैनिंग समीकरण V = (1/n)R^(2/3)S^(1/2) से वर्णित है, जहाँ R = A/P द्रवचालित त्रिज्या, S तल ढाल व n खुरदरापन (कंक्रीट हेतु लगभग 0.013–0.015) है। विशिष्ट ऊर्जा तल के ऊपर ऊर्जा है, प्रति इकाई चौड़ाई q ले जाने वाली आयताकार वाहिका हेतु E = y + V²/(2g) = y + q²/(2gy²)। दिए q हेतु E का निम्निष्ठ क्रांतिक गहराई y_c = (q²/g)^(1/3) पर है, जहाँ E_min = 1.5y_c और फ़्राउड संख्या Fr = V/√(gy) = 1। गहरा, मंद प्रवाह (Fr < 1) अवक्रांतिक है; उथला, तेज़ प्रवाह (Fr > 1) अतिक्रांतिक या तीव्र है। निम्निष्ठ से ऊपर प्रत्येक E दो गहराइयाँ — एकांतर गहराइयाँ — बाँटती हैं, इसीलिए तल में छोटा उभार अवक्रांतिक पृष्ठ को नीचा और अतिक्रांतिक को ऊँचा कर सकता है।
द्रवचालित उछाल अतिक्रांतिक से अवक्रांतिक प्रवाह में आकस्मिक उठान है, जैसे उत्प्लव-मार्ग या जलद्वार के नीचे, और यह तीव्र विक्षोभ में ऊर्जा क्षयित करता है — इसीलिए स्कंदकों हेतु द्रुत मिश्रक के रूप में भी प्रयुक्त होता है। संवेग समीकरण अनुगामी गहराई y₂ = (y₁/2)(√(1 + 8Fr₁²) − 1) देता है, और खोई ऊर्जा ΔE = (y₂ − y₁)³/(4y₁y₂) है। तीव्र परिवर्ती प्रवाह — उछाल, पात, वियरों के ऊपर व द्वारों के नीचे प्रवाह — कम दूरी में गहराई बदलता है; क्रमशः परिवर्ती प्रवाह घर्षण व ढाल के संतुलन के अधीन उसे धीरे बदलता है, dy/dx = (S₀ − S_f)/(1 − Fr²), और उसके जल-पृष्ठ पार्श्वचित्र (मंद ढाल पर वियर के पीछे का पश्चजल M1 वक्र है) ढाल (मंद, तीव्र, क्रांतिक, क्षैतिज, प्रतिकूल) से और इस बात से वर्गीकृत होते हैं कि गहराई सामान्य व क्रांतिक गहराइयों के सापेक्ष कहाँ है। आस्तरित वाहिकाएँ अक्षरणीय सीमा हेतु अभिकल्पित होती हैं: खंड सबसे मितव्ययी, या सर्वोत्तम द्रवचालित, खंड हेतु चुना जाता है — दिए क्षेत्र हेतु न्यूनतम आर्द्र परिमाप वाला, जो समलंब हेतु अर्ध षट्भुज और आयत हेतु b = 2y, R = y/2 है — और फिर इतने वेग हेतु जाँचा जाता है कि गाद न जमे तथा अभिकल्प गहराई के ऊपर मुक्त-अंतराल (फ़्रीबोर्ड) हेतु।
| व्यवस्था | फ़्राउड संख्या | y_c के सापेक्ष गहराई | नियंत्रण कहाँ से |
|---|---|---|---|
| अवक्रांतिक (शांत) | Fr < 1 | y > y_c | अनुप्रवाह |
| क्रांतिक | Fr = 1 | y = y_c; E निम्निष्ठ | स्वयं खंड (एक नियंत्रण) |
| अतिक्रांतिक (तीव्र) | Fr > 1 | y < y_c | प्रतिप्रवाह |
मुख्य बिंदु
- τ = μ du/dy; केशिका उत्थान 4σ cos θ/(ρgd); F = ρg h̄ A, h_cp = h̄ + I_G/(A h̄) पर; तैरता पिंड स्थायी है यदि GM = I/V − BG > 0।
- सांतत्य Q = AV; बर्नूली p/ρg + V²/2g + z = नियत, हानियाँ जोड़कर; संवेग ΣF = ρQ(V₂ − V₁), जो वहाँ काम करता है जहाँ ऊर्जा क्षयित हो।
- Re < 2000 स्तरीय, f = 64/Re; h_f = fLV²/(2gD); श्रेणी नलिकाएँ हानियाँ जोड़ती हैं, समांतर प्रवाह, Q ∝ D^2.5; हार्डी क्रॉस पाश संतुलित करता है; कर्षण F_D = C_D A ρV²/2।
- वेंचुरी Q = C_d A₁A₂√(2gh)/√(A₁² − A₂²); आयताकार वियर ∝ H^1.5, V-नॉच Q = (8/15)C_d√(2g) tan(θ/2) H^2.5; पार्शल फ़्लूम कच्चे मल-जल हेतु उपयुक्त।
- मैनिंग V = (1/n)R^(2/3)S^(1/2); y_c = (q²/g)^(1/3), E_min = 1.5y_c; उछाल y₂ = (y₁/2)(√(1 + 8Fr₁²) − 1), हानि (y₂ − y₁)³/(4y₁y₂); सर्वोत्तम आयत b = 2y।
अभ्यास प्रश्न (14)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
जल 1 mm आंतरिक व्यास की स्वच्छ काँच नली में चढ़ता है। σ = 0.073 N/m, शून्य स्पर्श कोण, ρ = 1000 kg/m³ व g = 9.81 m/s² लेकर केशिका उत्थान, mm में, क्या है? उत्तर एक दशमलव स्थान तक दें।
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उत्तर: 29.8
h = 4σ cos θ/(ρgd) = 4 × 0.073 × 1/(1000 × 9.81 × 0.001) = 0.292/9.81 = 0.0298 m = 29.8 mm। इस रूप में व्यास के स्थान पर त्रिज्या लेने से 59.5 mm मिलता है, वास्तविक उत्थान का दोगुना।2 m चौड़ा व 3 m ऊँचा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार द्वार जल रोकता है, उसका ऊपरी किनारा जल पृष्ठ पर है। दाब केंद्र की पृष्ठ से गहराई, m में, क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 2
h̄ = 1.5 m, A = 6 m², I_G = 2 × 3³/12 = 4.5 m⁴। h_cp = h̄ + I_G/(A h̄) = 1.5 + 4.5/9 = 2.0 m, जो 2d/3 है। बल ρg h̄ A = 9.81 × 1.5 × 6 = 88.3 kN है; उसे केंद्रक, 1.5 m, पर रखना सामान्य चूक है।0.5 m चौड़ा एक आयताकार पोंटून 0.28 m डुबाव से तैरता है, और उसका गुरुत्व केंद्र आधार से 0.20 m ऊपर है। लंबे अक्ष के परितः लुढ़कने हेतु उसकी मितकेंद्री ऊँचाई, mm में, क्या है? उत्तर एक दशमलव स्थान तक दें।
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उत्तर: 14.4
BM = I/V = (Lb³/12)/(Lbd) = b²/(12d) = 0.25/3.36 = 0.0744 m। B आधार से d/2 = 0.14 m ऊपर है, अतः BG = 0.20 − 0.14 = 0.06 m। GM = 0.0744 − 0.06 = 0.0144 m = 14.4 mm, धनात्मक, अतः पोंटून स्थायी है। BG को B के स्थान पर जलरेखा से मापना बचने योग्य त्रुटि है।तरल शुद्धगतिकी व प्रवाह समीकरणों के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — स्थिर प्रवाह में धारारेखाएँ, पथरेखाएँ व रेखिकाएँ संपाती होती हैं; B — वेग विभव केवल अघूर्णी प्रवाह हेतु विद्यमान है; D — स्थिर प्रवाह में संवहनी त्वरण अशून्य हो सकता है
(a) सत्य है क्योंकि वेग क्षेत्र समय के साथ नहीं बदलता। (b) V = ∇φ शून्य कर्ल दर्शाता है। (d) संकुचन से स्थिर प्रवाह समय में कुछ न बदलते हुए भी दिक् में तरल को त्वरित करता है। (c) असत्य है: उछाल विक्षोभ में ऊर्जा क्षयित करता है, अतः संवेग से विश्लेषित होता है और हानि बाद में निकाली जाती है।जल 1000 m लंबी, 300 mm नलिका से 1.5 m/s पर बहता है, डार्सी घर्षण गुणांक 0.02 है। घर्षण के कारण शीर्ष हानि, m में, क्या है? उत्तर दो दशमलव स्थानों तक दें। (g = 9.81 m/s²)
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उत्तर: 7.65
h_f = fLV²/(2gD) = 0.02 × 1000 × 1.5²/(2 × 9.81 × 0.3) = 45/5.886 = 7.65 m। D हेतु त्रिज्या 0.15 m लेने से यह दोगुना, 15.3 m, हो जाता है।समान लंबाई व घर्षण गुणांक की दो नलिकाएँ दो जलाशयों के बीच समांतर बिछी हैं; एक का व्यास दूसरी का दोगुना है। बड़ी नलिका के प्रवाह का छोटी के प्रवाह से अनुपात क्या है? उत्तर दो दशमलव स्थानों तक दें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 5.66
दोनों समान शीर्ष हानि h_f = fLV²/(2gD) देखती हैं, अतः V ∝ √D व Q = (π/4)D²V ∝ D^2.5। अनुपात 2^2.5 = 5.66 है। 2 (D के समानुपाती) या 4 (समान वेग पर क्षेत्र के) उत्तर भूलते हैं कि बड़ी नलिका तेज़ भी बहती है।पाशित नलिका जाल के हार्डी क्रॉस विश्लेषण में पाश प्रवाह संशोधन कौन-सी शर्त लागू करता है?
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उत्तर: A — प्रत्येक पाश में शीर्ष हानियों का बीजीय योग शून्य है
प्रारंभिक प्रवाह संधियों पर सांतत्य (विकल्प B) संतुष्ट करने हेतु चुने जाते हैं, और पाश में समान ΔQ जोड़ना उसे बनाए रखता है। संशोधन ΔQ = −Σh_f/(nΣ|h_f/Q|) तब तक दोहराया जाता है जब तक प्रत्येक पाश में शीर्ष हानियों का योग शून्य न हो — वह ऊर्जा शर्त जो प्रत्येक संधि पर दाब को एकमानी बनाती है।1 × 10⁻⁴ m²/s शुद्धगतिक श्यानता का तेल 100 mm नलिका में 0.5 m/s पर बहता है। प्रवाह है:
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उत्तर: A — स्तरीय, f = 0.128
Re = VD/ν = 0.5 × 0.1/10⁻⁴ = 500, 2000 से काफ़ी कम, अतः प्रवाह स्तरीय है और f = 64/Re = 64/500 = 0.128। विकल्प D 16/Re, फ़ैनिंग गुणांक, प्रयोग करता है जो h_f = fLV²/(2gD) में प्रयुक्त डार्सी गुणांक का चौथाई है।300 mm प्रवेश व 150 mm कंठ वाला वेंचुरीमीटर जल-मुख्य में लगा है। प्रवेश व कंठ के बीच दाबमितीय शीर्ष का अंतर 0.5 m जल है और C_d = 0.98। निस्सरण, m³/s में, क्या है? उत्तर तीन दशमलव स्थानों तक दें। (g = 9.81 m/s²)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.056
A₁ = π(0.3)²/4 = 0.07069 m², A₂ = π(0.15)²/4 = 0.01767 m²। Q = C_d A₁A₂√(2gh)/√(A₁² − A₂²) = 0.98 × 0.001249 × 3.132/0.06844 = 0.056 m³/s (56 L/s)। आगमन पद छोड़ना — Q = C_d A₂√(2gh) — 0.0542 देता है, मानो कंठ जलाशय से खींचता हो।C_d = 0.6 वाला 90° V-नॉच एक बहिःस्राव धारा मापता है। नॉच के ऊपर शीर्ष 0.3 m होने पर निस्सरण, m³/s में, क्या है? उत्तर तीन दशमलव स्थानों तक दें। (g = 9.81 m/s²)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.07
Q = (8/15)C_d√(2g) tan(θ/2) H^(5/2) = 0.5333 × 0.6 × 4.429 × tan 45° × 0.3^2.5 = 1.4174 × 0.04930 = 0.0699 ≈ 0.070 m³/s। आयताकार-वियर घातांक 3/2 लेने से बहुत भिन्न संख्या मिलती है; V-नॉच का H^2.5 ही उसे निम्न प्रवाहों पर संवेदी बनाता है।4 m चौड़ी कंक्रीट-आस्तरित आयताकार वाहिका 0.001 ढाल पर 1 m एकसमान गहराई से जल ले जाती है, मैनिंग n = 0.015। निस्सरण, m³/s में, क्या है? उत्तर दो दशमलव स्थानों तक दें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 6.44
A = 4 × 1 = 4 m², P = 4 + 2 × 1 = 6 m, R = 0.667 m। V = (1/0.015) × 0.667^(2/3) × 0.001^(1/2) = 66.67 × 0.7631 × 0.03162 = 1.609 m/s, और Q = AV = 6.44 m³/s। R को गहराई (1 m) लेना V को 31% अधिक आँकता है।एक चौड़ी आयताकार वाहिका प्रति मीटर चौड़ाई 3 m³/s ले जाती है। क्रांतिक गहराई, m में, क्या है? उत्तर दो दशमलव स्थानों तक दें। (g = 9.81 m/s²)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.97
y_c = (q²/g)^(1/3) = (9/9.81)^(1/3) = 0.9174^(1/3) = 0.97 m। न्यूनतम विशिष्ट ऊर्जा 1.5y_c = 1.46 m है। q का वर्ग करना भूलने से (3/9.81)^(1/3) = 0.67 m मिलता है।आयताकार वाहिका में 0.5 m गहराई व 7 m/s वेग पर अतिक्रांतिक प्रवाह द्रवचालित उछाल बनाता है। उछाल में खोया शीर्ष, m में, क्या है? उत्तर दो दशमलव स्थानों तक दें। (g = 9.81 m/s²)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.84
Fr₁ = 7/√(9.81 × 0.5) = 3.161। y₂ = (0.5/2)(√(1 + 8 × 3.161²) − 1) = 0.25 × (8.995 − 1) = 1.999 m। ΔE = (y₂ − y₁)³/(4y₁y₂) = 1.499³/(4 × 0.5 × 1.999) = 3.368/3.998 = 0.84 m। ऊर्जा से जाँच: E₁ = 0.5 + 49/19.62 = 2.997 m व E₂ = 1.999 + (3.5/1.999)²/19.62 = 2.155 m, अंतर 0.84 m।खुली-वाहिका प्रवाह के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — क्रांतिक गहराई पर दिए निस्सरण हेतु विशिष्ट ऊर्जा निम्निष्ठ है; B — सर्वोत्तम द्रवचालित आयताकार खंड की चौड़ाई गहराई की दोगुनी है; D — मंद ढाल पर वियर के प्रतिप्रवाह का पश्चजल वक्र M1 पार्श्वचित्र है
(a) dE/dy = 0 से Fr = 1 मिलता है। (b) नियत A = by हेतु P = b + 2y न्यूनतम करने पर b = 2y व R = y/2। (d) मंद ढाल पर वियर के पीछे गहराई सामान्य गहराई से अधिक है, जो क्षेत्र 1 — M1 वक्र — है। (c) असत्य है: अवक्रांतिक प्रवाह अनुप्रवाह से नियंत्रित है, क्योंकि विक्षोभ उसके विरुद्ध ऊपर जा सकते हैं; अतिक्रांतिक प्रवाह ही प्रतिप्रवाह से नियंत्रित है।