संकेत निरूपण, LTI तंत्र, फुरिये, लाप्लास व Z रूपांतर

GATE विद्युत अभियांत्रिकी (EE) पेपर का खंड 4: वह गणित जो किसी भौतिक तरंगाकार — वोल्टेज, धारा, बलाघूर्ण — को एक ऐसी वस्तु में बदलता है जिसे बीजगणितीय रूप से संचालित किया जा सके। यह पढ़ें कि सतत व विविक्त संकेत कैसे निरूपित होते हैं और शिफ्टिंग व स्केलिंग उन्हें कैसे बदलते हैं; फिर रैखिक कालिक-अपरिवर्ती (LTI) व कार्य-कारण तंत्र, वह वर्ग जिससे हर व्यावहारिक परिपथ व नियंत्रण-लूप संबंधित है; फिर फुरिये श्रेणी व प्रतिचयन प्रमेय जो सतत संकेतों को उनके विविक्त प्रतिदर्शों से जोड़ता है; फिर फुरिये, लाप्लास व Z रूपांतर, एक ही अंतर्निहित संकेत पर तीन खिड़कियाँ; और अंत में RMS व औसत मान, वे दो संख्याएँ जो किसी भी आवर्ती तरंगाकार के व्यावहारिक प्रभाव को उसके ठीक आकार से निरपेक्ष वर्णित करती हैं।

1. संकेत निरूपण, शिफ्टिंग/स्केलिंग व LTI/कार्य-कारण तंत्र

एक सतत-काल संकेत x(t) हर वास्तविक t के लिए परिभाषित है; एक विविक्त-काल संकेत x[n] केवल पूर्णांक n पर परिभाषित है, सामान्यतः किसी सतत संकेत के प्रतिचयन से प्राप्त। कालिक-शिफ्ट x(t − t0) संकेत को t0 से विलंबित करता है (t0 > 0 होने पर इसे दाईं ओर खिसकाता है); कालिक-स्केलिंग x(at) |a| > 1 के लिए इसे काल में संपीड़ित करता है और |a| < 1 के लिए फैलाता है, तथा a ऋणात्मक होने पर इसे उलट देता है। ये संक्रियाएँ एक विशेष क्रम में क्रमविनिमेय नहीं हैं — पहले शिफ्ट फिर स्केल वही संकेत नहीं देता जो समान संख्याओं से पहले स्केल फिर शिफ्ट देता है — यही इस विषय की सामान्य चूक है।

कोई तंत्र रैखिक है यदि वह अध्यारोपण का पालन करे (ax1 + bx2 की अनुक्रिया ay1 + by2 है), कालिक-अपरिवर्ती है यदि निवेश में शिफ्ट निर्गम में ठीक वही शिफ्ट उत्पन्न करे बिना किसी अन्य परिवर्तन के, और कार्य-कारण है यदि किसी समय पर उसका निर्गम केवल वर्तमान व भूत निवेशों पर निर्भर हो, कभी भविष्य पर नहीं। LTI तंत्र इस पूरे खंड की केंद्रीय वस्तु हैं क्योंकि यही वह वर्ग है जिसके लिए संवलन, अंतरण फलन व आवृत्ति अनुक्रिया सभी स्वच्छ रूप से लागू होते हैं।

⚠️ पहले शिफ्ट-फिर-स्केल, पहले स्केल-फिर-शिफ्ट के बराबर नहीं
x(2t − 4) आलेखित करने के लिए, सुरक्षित विधि है t को पूरे व्यंजक से एक साथ बदलना: यह x(t) का 2t − 4 पर मूल्यांकन है, जो x(t − 2) का 2-गुना स्केल है — पहले x(t) को 2 से दाईं ओर शिफ्ट करें, फिर 2 से संपीड़ित करें — न कि x(2t) का 4-गुना शिफ्ट। दोनों चरणों को गलत क्रम में करना इस विषय की सबसे सामान्य त्रुटि है, और समाधान सदा तर्क को a*(t − t0) के रूप में गुणनखंडित करना है, फिर कोई भी संक्रिया लागू करना।

2. फुरिये श्रेणी व प्रतिचयन प्रमेय

कोई भी आवर्ती संकेत (सतत या विविक्त) जो सामान्य शर्तें पूरी करे, फुरिये श्रेणी के रूप में लिखा जा सकता है — एक DC पद व मूल आवृत्ति के पूर्णांक गुणजों पर हार्मोनिक रूप से संबंधित ज्या-तरंगों (या सम्मिश्र चरघातांकों) का योग। अर्ध-तरंग सममिति वाला संकेत केवल विषम हार्मोनिक रखता है; सम (t=0 के सापेक्ष सममित) संकेत की श्रेणी केवल कोसाइन की होती है, और विषम संकेत की श्रेणी केवल साइन की होती है — किसी एक गुणांक की गणना करने से पहले तरंगाकार से सममिति पढ़ लेना इस श्रेणी के प्रश्नों का तेज़ तरीका है।

प्रतिचयन प्रमेय कहता है कि कोई बैंड-सीमित सतत संकेत, जिसमें fm से ऊपर कोई आवृत्ति सामग्री न हो, fs दर पर लिए प्रतिदर्शों से ठीक-ठीक पुनर्निर्मित किया जा सकता है यदि fs, 2*fm (नाइक्विस्ट दर) से अधिक हो। इस दर से नीचे प्रतिचयन अपररूपण (aliasing) उत्पन्न करता है: उच्च आवृत्तियाँ मुड़कर प्रतिचयित संकेत में निम्न आवृत्तियों का रूप धारण कर लेती हैं, और एक बार अपररूपित होने पर, वह सूचना स्थायी रूप से नष्ट है — प्रतिचयन के बाद किसी भी प्रसंस्करण से इसे पूर्ववत नहीं किया जा सकता, यही कारण है कि प्रति-अपररूपण निस्यंदक प्रतिचायक से पहले लगाए जाते हैं, बाद में कभी नहीं।

🎯 ठीक 2*fm ही क्यों, fm नहीं
किसी वास्तविक संकेत का स्पेक्ट्रम शून्य आवृत्ति के सापेक्ष सममित है (धनात्मक व ऋणात्मक आवृत्ति सामग्री एक-दूसरे का दर्पण-प्रतिबिंब हैं), अतः बैंड-सीमित संकेत वास्तव में −fm से +fm तक का परास घेरता है — कुल विस्तार 2fm। fs पर प्रतिचयन इस स्पेक्ट्रम की एक प्रति fs के हर गुणज पर केंद्रित बनाता है, और प्रतियाँ तभी अतिव्यापन बंद करती हैं जब fs पूरे विस्तार 2fm से अधिक हो, एकपक्षीय fm से नहीं।

3. फुरिये रूपांतर, लाप्लास रूपांतर व Z रूपांतर

तीन रूपांतर, तीन क्षेत्र
रूपांतरलागू होता हैचर
फुरिये रूपांतर (FT)सतत, अनावर्ती (और आवर्ती, आवेगों द्वारा)jw (शुद्ध आवृत्ति)
लाप्लास रूपांतरसतत, बढ़ते/क्षयशील व अस्थायी संकेतों सहितs = sigma + jw
Z रूपांतरविविक्त-काल संकेतz (सम्मिश्र, s का विविक्त समरूप)

फुरिये रूपांतर केवल उन संकेतों के लिए उपस्थित है जो निरपेक्ष रूप से समाकलनीय हों (या आवर्ती संकेतों के लिए आवेगों सहित सीमांत स्थिति के रूप में संभाला जाए), जो बढ़ते चरघातांक को छोड़ देता है; लाप्लास रूपांतर एक वास्तविक, क्षयशील चरघातांकी गुणक e^(−sigma*t) जोड़कर इसे सामान्यीकृत करता है, जो उन संकेतों के लिए अभिसरण बाध्य कर सकता है जिन्हें फुरिये रूपांतर बिल्कुल नहीं संभाल सकता — यही कारण है कि परिपथों व नियंत्रण तंत्रों के क्षणिक व स्थायित्व विश्लेषण का मानक औज़ार फुरिये नहीं, लाप्लास है। लाप्लास रूपांतर में s = jw (sigma = 0) रखने पर, जहाँ दोनों उपस्थित हों वहाँ ठीक फुरिये रूपांतर मिलता है, पर केवल लाप्लास रूपांतर के अपने अभिसरण-क्षेत्र (ROC) के भीतर।

🧠 ROC तय करता है कि कोई लाप्लास या Z रूपांतर किस संकेत का है
X(s) या X(z) के लिए वही बीजगणितीय व्यंजक किसी दाएँ-पक्षीय, बाएँ-पक्षीय, अथवा द्वि-पक्षीय काल-क्षेत्र संकेत के अनुरूप हो सकता है, यह इस पर निर्भर करता है कि उसके साथ कौन-सा अभिसरण-क्षेत्र (ROC) जोड़ा गया है — अकेला बीजगणितीय रूपांतर अस्पष्ट है। किसी दाएँ-पक्षीय (कार्य-कारण) संकेत का ROC उसके सबसे दाएँ ध्रुव के DAAYEN (s में) या सबसे बाहरी ध्रुव के बाहर (z में) होता है; किसी बाएँ-पक्षीय (अकार्य-कारण) संकेत का ROC दूसरी ओर होता है। किसी स्थायी कार्य-कारण LTI तंत्र का ROC jw-अक्ष (s-तल) या इकाई वृत्त (z-तल) को अवश्य सम्मिलित करता है।

4. आवर्ती तरंगाकारों का RMS व औसत मान

किसी आवर्ती तरंगाकार का RMS (मूल-माध्य-वर्ग) मान वह DC मान है जो किसी प्रतिरोधक में वही औसत शक्ति क्षय करे: Vrms = sqrt[(1/T) * एक आवर्तकाल पर v(t)^2 dt का समाकल]। किसी सममित AC तरंगाकार (साइन, वर्ग) के एक पूरे चक्र पर औसत (माध्य) मान शून्य होता है, यही कारण है कि ऐसे तरंगाकारों हेतु औसत मान इसके बजाय एक HALF चक्र पर बताया जाता है जब संख्या उपयोगी होनी हो — शुद्ध साइन तरंग का अर्ध-चक्र औसत उसके शिखर का (2/pi) गुना है, लगभग 0.637 Vm।

मानक तरंगाकारों हेतु RMS व औसत मान (शिखर Vm)
तरंगाकारRMS मानऔसत मान (अर्ध-चक्र)प्ररूप कारक (RMS/औसत)
शुद्ध साइन तरंगVm/sqrt(2) ~ 0.707 Vm — सूत्र(2/pi) Vm ~ 0.637 Vm — सूत्र~1.11
वर्ग तरंगVmVm1.0
त्रिकोणीय तरंगVm/sqrt(3) ~ 0.577 Vm — सूत्रVm/2~1.155
⚠️ प्ररूप कारक व शिखर कारक भिन्न अनुपात हैं
प्ररूप कारक = RMS मान / औसत मान (संगत अर्ध-चक्र पर), और शिखर कारक (क्रेस्ट फैक्टर) = शिखर मान / RMS मान — दो भिन्न अनुपात जो दोनों ही वर्ग तरंग के लिए ठीक 1 के बराबर हैं (क्योंकि इसका RMS, औसत व शिखर सभी Vm हैं), यह याद रखने का सरल तरीका है कि वे एक ही राशि नहीं हैं और सभी तरंगाकार आकारों में इनमें से कोई सार्वभौमिक रूप से बड़ा नहीं होता।

मुख्य बिंदु

  • x(2t − 4) रूपांतरित करने हेतु, तर्क को पहले 2*(t − 2) के रूप में गुणनखंडित करें: पहले 2 से शिफ्ट, फिर 2 से स्केल — चरणों को गलत क्रम में करना एक भिन्न, गलत संकेत देता है।
  • प्रति-अपररूपण निस्यंदक प्रतिचायक से पहले होने चाहिए, क्योंकि प्रतिचयन नाइक्विस्ट दर (fs > 2*fm) से नीचे गिरते ही अपररूपण सूचना नष्ट कर देता है और उसके बाद कुछ भी उसे वापस नहीं ला सकता।
  • लाप्लास, फुरिये को क्षयशील चरघातांकी e^(−sigma t) जोड़कर सामान्यीकृत करता है, जिससे यह उन बढ़ते व अस्थायी संकेतों को संभाल सके जिन्हें फुरिये रूपांतर नहीं संभाल सकता; s = jw रखने पर केवल लाप्लास ROC के भीतर ही फुरिये मिलता है।
  • वही X(s) या X(z) व्यंजक भिन्न काल-क्षेत्र संकेतों का हो सकता है; ROC (ध्रुवों की कौन-सी ओर) वह है जो कार्य-कारण को अकार्य-कारण से अलग करता है।
  • सममित AC तरंगाकार का पूर्ण-चक्र औसत निरस्तीकरण से शून्य है; औसत मान अर्थपूर्ण रूप से अर्ध-चक्र पर बताया जाता है, और प्ररूप कारक (RMS/औसत) शिखर कारक (शिखर/RMS) के समान अनुपात नहीं है।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. किसी तंत्र का समय t पर निर्गम केवल t तक (उसे सम्मिलित करते हुए) निवेश पर निर्भर करता है। इस तंत्र को कहा जाता है

    1. कालिक-अपरिवर्ती
    2. कार्य-कारण
    3. रैखिक
    4. स्थायी
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — कार्य-कारण

    केवल वर्तमान व भूत निवेशों पर निर्भर करना, कभी भविष्य पर नहीं, ठीक कार्य-कारण की परिभाषा है — वह गुण जो हर भौतिक रूप से साकार वास्तविक-समय तंत्र में होना चाहिए, रैखिकता, कालिक-अपरिवर्तिता या स्थायित्व से स्वतंत्र।

  2. x(t) से x(2t − 4) आलेखित करने का सही संक्रिया-क्रम है

    1. x(t) को दाईं ओर 4 से शिफ्ट करें, फिर 2 से संपीड़ित करें
    2. x(t) को दाईं ओर 2 से शिफ्ट करें, फिर 2 से संपीड़ित करें
    3. x(t) को 2 से संपीड़ित करें, फिर दाईं ओर 4 से शिफ्ट करें
    4. x(t) को 2 से संपीड़ित करें, फिर दाईं ओर 2 से शिफ्ट करें
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — x(t) को दाईं ओर 2 से शिफ्ट करें, फिर 2 से संपीड़ित करें

    तर्क को गुणनखंडित करने पर 2*(t − 2) मिलता है, अतः सही पठन है x(t) को पहले 2 से दाईं ओर शिफ्ट करना और फिर 2 से संपीड़ित करना — विकल्प C व D गलत परिणामी शिफ्ट-मान के साथ पहले संपीड़ित करते हैं, और विकल्प A अगुणनखंडित 4 से शिफ्ट करता है, सही 2 के बजाय।

  3. अर्ध-तरंग सममिति वाले किसी आवर्ती तरंगाकार की फुरिये श्रेणी में सम्मिलित होते हैं

    1. केवल सम हार्मोनिक
    2. केवल विषम हार्मोनिक
    3. केवल एक DC पद
    4. हर हार्मोनिक समान रूप से
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — केवल विषम हार्मोनिक

    अर्ध-तरंग सममिति — चक्र का दूसरा आधा पहले का ऋणात्मक दर्पण-प्रतिबिंब है — हर सम हार्मोनिक व DC पद को ठीक-ठीक निरस्त करता है, श्रेणी में केवल विषम हार्मोनिक (मूल, तीसरा, पाँचवाँ, ...) छोड़ते हुए, जो किसी गुणांक की गणना से पहले जाँचने योग्य शॉर्टकट है।

  4. कोई संकेत 5 kHz तक बैंड-सीमित है। इसके प्रतिदर्शों से इसे ठीक-ठीक पुनर्निर्मित करने हेतु, न्यूनतम प्रतिचयन दर सख्ती से किससे अधिक होनी चाहिए

    1. 5 kHz
    2. 10 kHz
    3. 2.5 kHz
    4. 20 kHz
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 10 kHz

    नाइक्विस्ट दर 2fm = 25 = 10 kHz है, और प्रतिचयन को इस दर से अधिक होना चाहिए, केवल fm या उसके आधे के बराबर नहीं — 5 kHz (विकल्प A) केवल एकपक्षीय बैंडविड्थ है, और उसके दोगुने के बजाय उसे प्रयोग करना सामान्य भूल है।

  5. लाप्लास रूपांतर मुख्यतः किस प्रकार फुरिये रूपांतर को सामान्यीकृत करता है

    1. केवल आवर्ती संकेतों तक ध्यान सीमित करके
    2. एक वास्तविक, क्षयशील चरघातांकी गुणक जोड़कर जो बढ़ते या अस्थायी संकेतों हेतु अभिसरण बाध्य कर सके
    3. सतत काल को विविक्त काल से बदलकर
    4. अभिसरण-क्षेत्र की आवश्यकता हटाकर
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — एक वास्तविक, क्षयशील चरघातांकी गुणक जोड़कर जो बढ़ते या अस्थायी संकेतों हेतु अभिसरण बाध्य कर सके

    लाप्लास समाकलन से पहले संकेत को e^(−sigma*t) से गुणा करता है, और sigma को पर्याप्त बड़ा चुनने से अन्यथा अपसारी (बढ़ते या अस्थायी) संकेत का रूपांतर अभिसरित हो सकता है — यही वह है जो लाप्लास को, फुरिये के विपरीत, क्षणिक व अस्थायी-तंत्र विश्लेषण को सीधे संभालने देता है, और इसे अब भी अपना ROC चाहिए।

  6. अभिसरण-क्षेत्र (ROC) के विषय में निम्न में से कौन-से सही ढंग से सत्य हैं

    1. किसी दाएँ-पक्षीय कार्य-कारण संकेत का ROC उसके सबसे दाएँ ध्रुव के दाईं ओर (s-तल में) होता है।
    2. वही X(s) व्यंजक चुने गए ROC के अनुसार भिन्न काल-क्षेत्र संकेतों के अनुरूप हो सकता है।
    3. किसी स्थायी कार्य-कारण LTI तंत्र का ROC jw-अक्ष अवश्य सम्मिलित करता है।
    4. किसी संकेत का ROC उसके रूपांतर के हर ध्रुव को सदा सम्मिलित करता है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — किसी दाएँ-पक्षीय कार्य-कारण संकेत का ROC उसके सबसे दाएँ ध्रुव के दाईं ओर (s-तल में) होता है।; B — वही X(s) व्यंजक चुने गए ROC के अनुसार भिन्न काल-क्षेत्र संकेतों के अनुरूप हो सकता है।; C — किसी स्थायी कार्य-कारण LTI तंत्र का ROC jw-अक्ष अवश्य सम्मिलित करता है।

    पहले तीन ठीक मानक ROC नियम हैं। ROC कभी किसी ध्रुव को सम्मिलित नहीं करता — परिभाषा से ध्रुव वह है जहाँ रूपांतर अनंत/अपरिभाषित है, अतः यह सदा ROC से बाहर रहता है (सामान्यतः इसकी सीमा बनाता है), यही कारण है कि विकल्प D असत्य है।

  7. शिखर Vm वाले शुद्ध ज्या-तरंग का RMS मान है

    1. Vm
    2. Vm / sqrt(2)
    3. (2/pi) * Vm
    4. Vm / 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — Vm / sqrt(2)

    पूरे चक्र पर sin^2 को समाकलित कर वर्गमूल लेने पर RMS हेतु Vm/sqrt(2) (लगभग 0.707 Vm) मिलता है — (2/pi) गुणक इसके बजाय साइन तरंग का अर्ध-चक्र औसत मान है, उसका RMS नहीं, यही सामान्य भ्रम का बिंदु है।

  8. किसी आवर्ती तरंगाकार का प्ररूप कारक परिभाषित है

    1. शिखर मान को RMS मान से भाग देकर
    2. RMS मान को औसत मान से भाग देकर
    3. औसत मान को शिखर मान से भाग देकर
    4. RMS मान को शिखर मान से भाग देकर
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — RMS मान को औसत मान से भाग देकर

    प्ररूप कारक = RMS/औसत, जो साइन तरंग हेतु लगभग 0.707/0.637 ≈ 1.11 है। शिखर को RMS से भाग देना एक भिन्न अनुपात है, शिखर (क्रेस्ट) कारक, और इन दोनों नामों को गड्डमड्ड करना सामान्य जाल है।

  9. कोई वर्ग तरंग +Vm व −Vm के बीच एकांतरित होती है। इसका प्ररूप कारक (अर्ध-चक्र पर RMS मान को औसत मान से भाग देकर) है ___

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1

    वर्ग तरंग का परिमाण हर अर्ध-चक्र में Vm पर स्थिर रहता है, अतः इसका RMS मान व अर्ध-चक्र औसत मान दोनों ठीक Vm के बराबर हैं, जिससे प्ररूप कारक Vm/Vm = 1 होता है — किसी भी तरंगाकार का सबसे छोटा संभव प्ररूप कारक।