स्थैतिक विद्युत, स्थैतिक चुंबकत्व व चुंबकीय परिपथ

GATE विद्युत अभियांत्रिकी (EE) पेपर का खंड 3, और वह क्षेत्र-सिद्धांत आधार जिस पर इस पेपर का हर ट्रांसफॉर्मर, मशीन व संचरण रेखा, संकेंद्रित परिपथ के रूप में अध्ययन किए जाने के नीचे, टिका है। कूलॉम के नियम से आरंभ करें और वह कैसे विद्युत क्षेत्र व गॉस के नियम में सामान्यीकृत होता है; फिर आवेश-वितरण द्वारा उत्पन्न विभव, और परावैद्युत संधारित्र के साथ क्या करता है; फिर बायो-सावर्ट के नियम व एम्पीयर के नियम से बना चुंबकीय समरूप, तथा सदिश संकारक — अपसरण व कर्ल — जो गॉस व फैराडे के नियमों को अनुमानित के बजाय ठीक-ठीक बनाते हैं; और अंत में चुंबकीय परिपथ, MMF, अनिच्छता व प्रेरकत्व का व्यावहारिक तंत्र जिससे खंड 5 का हर ट्रांसफॉर्मर व घूर्णी मशीन बना है।

1. कूलॉम का नियम, विद्युत क्षेत्र, फ्लक्स घनत्व व गॉस का नियम

कूलॉम का नियम दूरी R पर अलग दो बिंदु आवेशों Q1 व Q2 के बीच बल F = Q1Q2 / (4piepsilonR^2) देता है, जो उन्हें जोड़ने वाली रेखा की दिशा में है। किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र तीव्रता E वहाँ रखे इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश पर प्रति इकाई बल है, E = F/q, और विद्युत फ्लक्स घनत्व D = epsilon*E वही क्षेत्र है, माध्यम की विद्युतशीलता से मापित — ठीक इसलिए प्रस्तुत किया गया ताकि गॉस के नियम को समाकल के भीतर epsilon के बिना कहा जा सके।

गॉस का नियम कहता है कि किसी बंद पृष्ठ से निवल विद्युत फ्लक्स संलग्न कुल मुक्त आवेश के बराबर है: बंद-पृष्ठ समाकल D.dS = Q_संलग्न। इसका बिंदु (अवकल) रूप, div(D) = rho_v (D का अपसरण आयतन आवेश घनत्व के बराबर है), वही बात एक पूरे पृष्ठ के बजाय एक ही बिंदु पर कहता है — अपसरण मापता है कि कोई सदिश क्षेत्र किसी बिंदु से कितना 'फैलता' है, और यह ठीक वहाँ शून्य है जहाँ क्षेत्र को उत्पन्न करने हेतु कोई आवेश नहीं है।

🧠 गॉस का नियम वास्तव में काम कब बचाता है
गॉस का नियम केवल तभी शॉर्टकट है जब आवेश-वितरण में इतनी सममिति हो (गोलीय, बेलनाकार या समतलीय) कि किसी चतुराई से चुने गॉसीय पृष्ठ पर D को पृष्ठ-समाकल से एक स्थिरांक के रूप में बाहर निकाला जा सके। बिंदु या गोलीय आवेश हेतु, उस पर केंद्रित एक गोला; अनंत रेखा-आवेश हेतु, एक सह-अक्षीय बेलन; अनंत पत्रक हेतु, उसे लपेटता एक पिलबॉक्स। किसी असममित वितरण पर इसे लागू करना एक सत्य पर बेकार समीकरण देता है, क्योंकि D को समाकल से बाहर नहीं निकाला जा सकता।

2. विभव, परावैद्युत व धारिता

सामान्य आवेश-वितरणों से विद्युत विभव
वितरणविभव (अनंत के सापेक्ष, जहाँ परिभाषित)
बिंदु आवेश QV = Q / (4piepsilon*R)
अनंत रेखा-आवेश, घनत्व rho_LV = -(rho_L / 2piepsilon) * ln(R) + स्थिरांक
अनंत समतल पत्रक, घनत्व rho_Sक्षेत्र एकसमान (rho_S / 2*epsilon), V दूरी के साथ रैखिक रूप से घटता है
एकसमान आवेशित गोला (बाहर, r > R0)केंद्र पर बिंदु आवेश के समान, V = Q / (4piepsilon*r)

विद्युत क्षेत्र विभव के प्रवणता का ऋणात्मक है, E = -grad(V), अतः समविभव पृष्ठ सदा क्षेत्र-रेखाओं के लंबवत होते हैं, और किसी आवेश को समविभव पृष्ठ पर घुमाने में कोई कार्य नहीं होता। संधारित्र की प्लेटों के बीच रखा परावैद्युत ध्रुवित होता है — उसके बद्ध आवेश लागू क्षेत्र का आंशिक विरोध करने हेतु घूमते हैं — जो किसी दिए मुक्त आवेश हेतु निवल क्षेत्र घटाता है और इस तरह धारिता को परावैद्युत की आपेक्षिक विद्युतशीलता epsilon_r से बढ़ा देता है; हर व्यावहारिक धारिता सूत्र (समांतर-प्लेट, सह-अक्षीय, गोलीय) अकेले epsilon_0 के बजाय epsilon = epsilon_0 * epsilon_r रखता है।

⚠️ भिन्न परावैद्युत वाले दो संधारित्र श्रेणी में
प्लेटों के बीच रखी दो परावैद्युत परतों (हर एक पूरा प्लेट-क्षेत्र भरती हो) वाला समांतर-प्लेट संधारित्र दो संधारित्रों की तरह SERIES में व्यवहार करता है, समांतर में नहीं, क्योंकि वही D (फ्लक्स घनत्व) दोनों परतों से गुजरना चाहिए जबकि E हर परत में भिन्न होता है; सामान्य भूल दोनों परत-धारिताओं को सीधे समांतर मानकर जोड़ना है। यदि इसके बजाय दोनों परावैद्युत क्षेत्र को साथ-साथ भरते हों (हर एक प्लेट का भाग ढकते हुए), तो यह वास्तव में दो संधारित्रों का समांतर संयोजन है।

3. बायो-सावर्ट का नियम, एम्पीयर का नियम, कर्ल, फैराडे का नियम व लॉरेंज़ बल

बायो-सावर्ट का नियम किसी अवकल धारा-अवयव Idl द्वारा किसी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र dH देता है, dH = (Idl x a_R) / (4piR^2) — कूलॉम के नियम का चुंबकीय समरूप, जिसमें अदिश बल के स्थान पर क्रॉस-गुणनफल है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र स्वाभाविक रूप से उस तरह दिशिक है जैसे स्थैतिक विद्युत क्षेत्र नहीं है। एम्पीयर का परिपथीय नियम इसका बड़े-पैमाने का, सममित समकक्ष है: किसी बंद पथ के इर्द-गिर्द H.dl का बंद-रेखा समाकल उस पथ द्वारा संलग्न कुल धारा के बराबर है, और — ठीक गॉस के नियम की तरह — यह केवल तभी परिकलनात्मक शॉर्टकट है जब सममिति H को समाकल से बाहर निकालने दे (अनंत सीधा तार, परिनालिका, टोरॉइड)।

कर्ल किसी सदिश क्षेत्र के स्थानीय घूर्णन को मापता है, और एम्पीयर का नियम बिंदु रूप में curl(H) = J है (H का कर्ल धारा घनत्व के बराबर है); फैराडे का विद्युतचुंबकीय प्रेरण नियम, curl(E) = -dB/dt, कहता है कि समय के साथ बदलता चुंबकीय क्षेत्र एक परिसंचारी विद्युत क्षेत्र प्रेरित करता है, और इसका समाकल रूप (प्रेरित वि.वा.बल = -d(फ्लक्स)/dt) वही है जो जनरेटर को जनरेट करने योग्य बनाता है। लॉरेंज़ बल नियम, F = q(E + v x B), वह एकल व्यंजक है जो किसी गतिमान आवेश पर विद्युत व चुंबकीय बल को एकीकृत करता है और किसी क्षेत्र में धारावाही चालक पर बल निकालने का आरंभ-बिंदु है।

🎯 div(B) = 0 का कोई चुंबकीय-आवेश समकक्ष क्यों नहीं
विद्युत क्षेत्र के गॉस के नियम का एक चुंबकीय जुड़वाँ है, div(B) = 0, जो कहता है कि चुंबकीय क्षेत्र-रेखाएँ किसी बिंदु पर न आरंभ होती हैं न समाप्त — कोई चुंबकीय एकध्रुव नहीं है जो उन्हें उसी तरह उत्पन्न करे जैसे आवेश D को करता है। यही कारण है कि चुंबकीय क्षेत्र-रेखाएँ सदा बंद लूप बनाती हैं, और क्यों किसी छड़ चुंबक को आधा काटने पर एक पृथक उत्तरी व एक पृथक दक्षिणी ध्रुव के बजाय दो छोटे चुंबक बनते हैं।

4. चुंबकवाहक बल, अनिच्छता, चुंबकीय परिपथ व प्रेरकत्व

चुंबकीय परिपथ विद्युत परिपथ का फ्लक्स-समरूप है: चुंबकवाहक बल MMF = NI (एम्पियर-टर्न) वि.वा.बल की भूमिका निभाता है, फ्लक्स phi धारा की भूमिका निभाता है, और अनिच्छता S = l / (muA) — पारगम्यता व क्षेत्रफल पर लंबाई — प्रतिरोध की भूमिका निभाती है, जिससे MMF = phi * S मिलता है, V = I*R का चुंबकीय समरूप। श्रेणी में अनिच्छताएँ जुड़ती हैं, और समांतर में व्युत्क्रमों के रूप में मिलती हैं, ठीक प्रतिरोधों की तरह, यही कारण है कि किसी क्रोड में वायु-अंतराल (बहुत कम mu, अतः अपनी लंबाई के लिए बहुत अधिक अनिच्छता) चुंबकीय परिपथ की कुल अनिच्छता पर हावी रहता है भले ही वह कुल पथ-लंबाई का एक छोटा अंश हो।

स्व-प्रेरकत्व L किसी कुंडली के अपने फ्लक्स-सम्बद्धता को उसकी अपनी धारा से जोड़ता है, L = Nphi/I, और किसी चुंबकीय परिपथ के लिए यह L = N^2/S (अनिच्छता पर टर्नों का वर्ग) में सरल हो जाता है — यही कारण है कि टर्न दोगुने करने पर उसी क्रोड के लिए प्रेरकत्व चौगुना हो जाता है। अन्योन्य प्रेरकत्व M एक कुंडली के फ्लक्स-सम्बद्धता को दूसरी कुंडली की धारा से जोड़ता है, M = N2phi12/I1, और युग्मन गुणांक k = M/sqrt(L1*L2) (0 व 1 के बीच) बताता है कि एक कुंडली का कितना फ्लक्स वास्तव में दूसरी से सम्बद्ध है — पूर्ण, क्षरण-रहित युग्मन के लिए k = 1।

⚠️ समांतर में अनिच्छता — केवल जोड़ न दें
दो समांतर फ्लक्स-पथ (मान लें, एक ही MMF स्रोत साझा करती क्रोड की दो भुजाएँ) अपनी अनिच्छताओं को समांतर प्रतिरोधकों की तरह जोड़ते हैं: 1/S_कुल = 1/S1 + 1/S2, कभी सीधे S1 + S2 नहीं। वही सावधानी लोहे के पथ के साथ श्रेणी में वायु-अंतराल पर लागू होती है — वे वास्तव में सीधे जुड़ते हैं, S_कुल = S_लोहा + S_अंतराल, क्योंकि फ्लक्स को बिना किसी वैकल्पिक पथ के दोनों से क्रमिक रूप से गुजरना पड़ता है। कौन-सी संरचना श्रेणी है व कौन-सी समांतर, इसे गड्डमड्ड करना चुंबकीय-परिपथ समस्याओं की सामान्य चूक है।

मुख्य बिंदु

  • गॉस का नियम व एम्पीयर का नियम केवल तभी परिकलनात्मक शॉर्टकट हैं जब सममिति D या H को समाकल से बाहर निकालने दे — विद्युत मामले हेतु गोलीय, बेलनाकार या समतलीय; चुंबकीय हेतु अनंत तार, परिनालिका या टोरॉइड।
  • संधारित्र प्लेटों के बीच परावैद्युत धारिता को epsilon_r से बढ़ाता है; उन्हीं प्लेटों के बीच रखी दो पूर्ण-क्षेत्र परावैद्युत परतें SERIES संयोजन बनाती हैं, समांतर नहीं।
  • div(B) = 0 में div(D) = rho_v के विपरीत कोई चुंबकीय-आवेश स्रोत पद नहीं है — चुंबकीय क्षेत्र-रेखाएँ सदा स्वयं पर बंद होती हैं, यही कारण है कि कोई पृथक चुंबकीय एकध्रुव कभी नहीं मिला।
  • MMF = phi * S चुंबकीय परिपथ का V = IR है; अनिच्छताएँ श्रेणी में जुड़ती हैं और समांतर में व्युत्क्रमों के रूप में मिलती हैं, और एक छोटा वायु-अंतराल कुल अनिच्छता पर हावी रहता है क्योंकि उसकी पारगम्यता लोहे से कहीं कम होती है।
  • स्व-प्रेरकत्व L = N^2/S टर्नों के वर्ग के साथ बढ़ता है; अन्योन्य प्रेरकत्व M व युग्मन गुणांक k = M/sqrt(L1*L2) बताते हैं कि एक कुंडली का कितना फ्लक्स वास्तव में दूसरी तक पहुँचता है।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. कूलॉम का नियम दो बिंदु आवेशों के बीच बल को दूरी R के साथ किस प्रकार बदलता हुआ देता है

    1. 1/R
    2. 1/R^2
    3. 1/R^3
    4. R^2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1/R^2

    कूलॉम का नियम एक व्युत्क्रम-वर्ग नियम है, F, 1/R^2 के अनुक्रमानुपाती, न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम के रूप में ठीक समांतर — बल पृथक्करण के वर्ग के साथ घटता है, रैखिक रूप से या घन के रूप में नहीं।

  2. गॉस का नियम E या D ज्ञात करने हेतु व्यावहारिक शॉर्टकट के रूप में तभी प्रयोग होता है जब

    1. संलग्न कुल आवेश शून्य हो
    2. आवेश-वितरण में D को पृष्ठ-समाकल से एक स्थिरांक के रूप में निकालने योग्य पर्याप्त सममिति हो
    3. माध्यम पूर्ण चालक हो
    4. आवेश स्थिर वेग से गतिमान हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — आवेश-वितरण में D को पृष्ठ-समाकल से एक स्थिरांक के रूप में निकालने योग्य पर्याप्त सममिति हो

    गॉस का नियम सदा सत्य है, पर यह क्षेत्र को प्रत्यक्ष रूप से केवल तभी हल करता है जब कोई गॉसीय पृष्ठ (गोला, बेलन, पिलबॉक्स) चुना जा सके जिस पर D परिमाण में स्थिर हो व सदा पृष्ठ के समांतर या लंबवत हो, जिससे इसे समाकल से बाहर निकाला जा सके; उस सममिति के बिना समीकरण सही है पर अकेले D के लिए हल-योग्य नहीं।

  3. किसी समांतर-प्लेट संधारित्र की दो परावैद्युत परतें हर एक पूरा प्लेट-क्षेत्र भरती हैं और प्लेटों के बीच एक के ऊपर एक रखी हैं। दोनों परतें संधारित्रों के रूप में किस संयोजन में व्यवहार करती हैं

    1. श्रेणी
    2. समांतर
    3. न ही — वे प्रतिरोधकों की तरह जुड़ती हैं
    4. लघुपथ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — श्रेणी

    वही विद्युत फ्लक्स घनत्व D को दोनों स्तरित परतों से क्रम में गुजरना पड़ता है (कोई वैकल्पिक पथ नहीं), जो श्रेणी शर्त है; परतों के बीच E भिन्न है क्योंकि विद्युतशीलता भिन्न है, पर D नहीं। एक ही प्लेट-क्षेत्र के भिन्न भाग ढकते साथ-साथ परावैद्युत इसके बजाय समांतर संयोजन होते।

  4. निम्न में से कौन-से सही ढंग से सत्य हैं

    1. E = -grad(V); क्षेत्र-रेखाएँ सदा समविभव पृष्ठों के लंबवत होती हैं।
    2. किसी आवेश को समविभव पृष्ठ पर घुमाने में कोई कार्य नहीं होता।
    3. संधारित्र प्लेटों के बीच परावैद्युत उसी ज्यामिति के लिए धारिता घटाता है।
    4. किसी भी वास्तविक परावैद्युत की आपेक्षिक विद्युतशीलता epsilon_r सदा 1 से कम होती है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — E = -grad(V); क्षेत्र-रेखाएँ सदा समविभव पृष्ठों के लंबवत होती हैं।; B — किसी आवेश को समविभव पृष्ठ पर घुमाने में कोई कार्य नहीं होता।

    E, V का ऋणात्मक प्रवणता है, जो परिभाषा से क्षेत्र-रेखाओं को समविभव पृष्ठों के लंबवत बनाता है, और समविभव पर घूमने में शून्य कार्य होता है क्योंकि V नहीं बदलता। परावैद्युत धारिता को बढ़ाता है (हर वास्तविक परावैद्युत के लिए epsilon_r > 1, 1 से कम नहीं) किसी दिए मुक्त आवेश हेतु निवल क्षेत्र घटाकर।

  5. बायो-सावर्ट का नियम किसका चुंबकीय समरूप है

    1. गॉस का नियम
    2. कूलॉम का नियम
    3. फैराडे का नियम
    4. एम्पीयर का नियम
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — कूलॉम का नियम

    बायो-सावर्ट का नियम किसी अवकल धारा-अवयव का क्षेत्र वैसे ही देता है जैसे कूलॉम का नियम किसी बिंदु आवेश का बल देता है — दोनों अपने-अपने क्षेत्र में प्रारंभिक, बिंदु-स्रोत कथन हैं। एम्पीयर का नियम इसके बजाय बायो-सावर्ट का बड़े-पैमाने, सममित समकक्ष है, वही भूमिका निभाता है जो गॉस का नियम विद्युत क्षेत्र के लिए निभाता है।

  6. curl(E) = -dB/dt किसका बिंदु रूप है

    1. विद्युत क्षेत्र हेतु गॉस का नियम
    2. एम्पीयर का परिपथीय नियम
    3. फैराडे का विद्युतचुंबकीय प्रेरण नियम
    4. कूलॉम का नियम
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — फैराडे का विद्युतचुंबकीय प्रेरण नियम

    यह फैराडे के नियम का बिंदु (अवकल) रूप है, जो कहता है कि समय के साथ बदलता चुंबकीय क्षेत्र एक परिसंचारी (कर्ल करता) विद्युत क्षेत्र प्रेरित करता है — इसका समाकल रूप वह वि.वा.बल देता है जो कोई जनरेटर या ट्रांसफॉर्मर की द्वितीयक वास्तव में उत्पन्न करती है।

  7. लॉरेंज़ बल नियम F = q(E + v x B) कहता है कि केवल चुंबकीय क्षेत्र (E = 0) में गतिमान आवेश पर लगने वाला बल

    1. गति की दिशा में होता है
    2. सदा वेग व क्षेत्र दोनों के लंबवत होता है
    3. क्षेत्र की दिशा में होता है
    4. स्थिर आवेश न हो तो शून्य होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — सदा वेग व क्षेत्र दोनों के लंबवत होता है

    v x B पद एक क्रॉस-गुणनफल है, जो परिभाषा से v व B दोनों के लंबवत है — यह चुंबकीय बल आवेश पर कोई कार्य नहीं करता (यह दिशा बदलता है, चाल नहीं), विद्युत बल के विपरीत जो गति की दिशा में कार्य कर सकता है।

  8. किसी चुंबकीय परिपथ में, कुल क्रोड पथ-लंबाई की तुलना में छोटी लंबाई का वायु-अंतराल सामान्यतः कुल अनिच्छता पर हावी रहता है क्योंकि

    1. वायु की पारगम्यता लोहे से कहीं अधिक होती है
    2. वायु की पारगम्यता लोहे से कहीं कम होती है, अतः इसकी प्रति इकाई लंबाई अनिच्छता कहीं अधिक होती है
    3. वायु-अंतराल में बिल्कुल फ्लक्स नहीं होता
    4. श्रेणी में अनिच्छताएँ औसत लेती हैं, जोड़ती नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — वायु की पारगम्यता लोहे से कहीं कम होती है, अतः इसकी प्रति इकाई लंबाई अनिच्छता कहीं अधिक होती है

    अनिच्छता S = l/(mu*A), और वायु की पारगम्यता mu_0 सामान्य लौहचुंबकीय क्रोड की mu से हज़ारों गुना कम होती है, अतः भौतिक रूप से छोटा वायु-अंतराल भी शेष (कहीं लंबे) लोहे-पथ की तुलनीय या उससे बड़ी अनिच्छता जोड़ता है — श्रेणी में अनिच्छताएँ बस जुड़ती हैं, S_कुल = S_लोहा + S_अंतराल।

  9. यदि किसी स्थिर चुंबकीय क्रोड पर कुंडली के टर्न दोगुने कर दिए जाएँ, तो इसका स्व-प्रेरकत्व L = N^2/S कितना हो जाता है

    1. दोगुना
    2. चौगुना
    3. अपरिवर्तित
    4. आधा
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — चौगुना

    क्रोड ज्यामिति द्वारा अनिच्छता S स्थिर रहने पर L, N के वर्ग के अनुक्रमानुपाती है, अतः N दोगुना करने पर L, 2^2 = 4 गुना हो जाता है — केवल दोगुना नहीं, बल्कि चौगुना, जो इस सूत्र में सामान्य जाल है।

  10. दो कुंडलियों का स्व-प्रेरकत्व L1 = 4 H व L2 = 9 H है और वे पूर्णतः (क्षरण-रहित) युग्मित हैं, अतः युग्मन गुणांक k = 1 है। उनका अन्योन्य प्रेरकत्व M, हेनरी में, है ___

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6

    M = k * sqrt(L1*L2) = 1 * sqrt(4*9) = sqrt(36) = 6 H — युग्मन गुणांक सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, यहाँ बताई पूर्ण युग्मित स्थिति हेतु k = 1 के साथ।