मॉडलन, स्थायित्व, क्षतिपूरक, PID व स्टेट-स्पेस

GATE विद्युत अभियांत्रिकी (EE) पेपर का खंड 7: वह गणित जो तय करता है कि कोई फीडबैक लूप स्थिर होगा, दोलन करेगा, या बेक़ाबू हो जाएगा, और उसके बारे में क्या करना है। पढ़ें कि किसी भौतिक तंत्र को ब्लॉक आरेख व संकेत-प्रवाह आरेख द्वारा अंतरण फलन में कैसे बदला जाता है; फिर उस अंतरण फलन की पग-अनुक्रिया कालिक क्षेत्र में कैसे पढ़ी जाती है; फिर एक ही स्थायित्व-प्रश्न के तीन शास्त्रीय मार्ग — राउथ-हर्विट्स, नाइक्विस्ट व बोड — साथ ही मूल बिंदुपथ, उसी s-तल का चौथा दृश्य; और अंत में वे औज़ार जो वास्तव में किसी अभिकल्प को आकार देते हैं — लैग, लीड व लैग-लीड क्षतिपूरक, P/PI/PID नियंत्रक, तथा स्टेट-स्पेस मॉडल जो उन तंत्रों तक फैलता है जिन्हें एकल अंतरण फलन वर्णित नहीं कर सकता।

1. गणितीय मॉडलन, फीडबैक, ब्लॉक आरेख व संकेत-प्रवाह आरेख

किसी भौतिक तंत्र (विद्युत, यांत्रिक, तापीय) को उसके शासक अवकल समीकरण लिखकर और उन्हें (शून्य आरंभिक शर्तें मानकर) लाप्लास-रूपांतरित कर s-क्षेत्र में एक अंतरण फलन G(s) = निर्गम/निवेश में बदलकर प्रतिरूपित किया जाता है — एक बीजगणितीय वस्तु जिसे उस अवकल समीकरण से कहीं अधिक सरलता से संचालित किया जा सकता है जिसे यह प्रतिस्थापित करती है। फीडबैक तंत्र अपने निर्गम की तुलना संदर्भ से करता है और त्रुटि पर कार्य करता है; ऋणात्मक फीडबैक कुछ खुला-लूप लब्धि के बदले विक्षोभों व संयंत्र की अपनी विविधता के प्रति कम संवेदनशीलता खरीदता है, यही पूरा कारण है कि फीडबैक नियंत्रण बिल्कुल प्रयुक्त होता है, खुला-लूप नियंत्रण के बजाय।

ब्लॉक आरेख किसी तंत्र को बक्सों (अंतरण फलन) के रूप में दर्शाता है जो संकेत-वाहक तीरों से जुड़े हों, व्यवस्थित नियमों (श्रेणीबद्ध, समांतर, फीडबैक-लूप न्यूनीकरण, किसी योग या टेकऑफ़ बिंदु को किसी ब्लॉक के आर-पार खिसकाना) से एक ही समग्र अंतरण फलन में न्यूनीकृत। संकेत-प्रवाह आरेख वही सूचना नोड (संकेत) व दिशिक, भारित शाखाओं (लब्धि) के रूप में है, इसके बजाय मेसन के लब्धि सूत्र से हल: कुल लब्धि = अग्र-पथों पर (पथ-लब्धि गुणा उसका उपगुणांक) का योग, भाग आरेख निर्धारक Delta से, जहाँ Delta हर व्यष्टि लूप-लब्धि व अस्पर्शी (कोई साझा नोड नहीं) लूप-लब्धियों के हर गुणनफल का हिसाब रखता है।

⚠️ अस्पर्शी लूप वह पद है जिसे हर कोई भूल जाता है
दो लूप केवल तभी अस्पर्शी हैं जब वे बिल्कुल कोई नोड साझा न करें। तीन लूपों वाले किसी संकेत-प्रवाह आरेख में जहाँ कोई दो नोड साझा करें, वह जोड़ा Delta में कोई द्वितीय-कोटि पद नहीं जोड़ता, पर जो जोड़ा कुछ साझा नहीं करता वह जोड़ता है — हर जोड़े को साझा नोड हेतु जाँचे बिना Delta में केवल एकल-लूप-लब्धि योग पर रुक जाना, सरलतम आरेखों से परे किसी भी चीज़ पर मेसन के सूत्र को लागू करने की सामान्य अंकगणितीय त्रुटि है।

2. LTI तंत्रों का क्षणिक व स्थायी-अवस्था विश्लेषण

मानक द्वितीय-कोटि तंत्र की पग-अनुक्रिया दो संख्याओं से पढ़ी जाती है: अवमंदन अनुपात zeta व प्राकृतिक आवृत्ति omega_n। प्रतिशत अधिशयन केवल zeta पर निर्भर करता है; स्थिरन काल केवल zeta*omega_n (ध्रुवों का वास्तविक भाग) पर; उदय काल मुख्यतः omega_n पर। तंत्र 0 < zeta < 1 के लिए अवमंदित है (दोलनी क्षय, व्यावहारिक रूप से सामान्य स्थिति), zeta = 1 पर क्रांतिक अवमंदित (बिना अधिशयन सबसे तेज़ अनुक्रिया) व zeta > 1 के लिए अतिअवमंदित (और धीमा, कोई दोलन नहीं)।

तंत्र-प्रकार व निवेश के अनुसार स्थायी-अवस्था त्रुटि
तंत्र-प्रकार (मूल पर ध्रुव)पग निवेशरैंप निवेशपरवलयिक निवेश
टाइप 0परिमित, 1/(1+Kp)अनंतअनंत
टाइप 1शून्यपरिमित, 1/Kvअनंत
टाइप 2शून्यशून्यपरिमित, 1/Ka
🎯 तंत्र-प्रकार का हर समाकलक त्रुटि की एक बहुपद-कोटि मिटाता है
खुला-लूप लब्धि मूल पर जितने ध्रुव रखती है, उतने ही मुक्त समाकलन हैं, और समाकलक का पूरा कार्य है अपने निवेश (त्रुटि) को स्थायी अवस्था में स्थिर माँग के विरुद्ध शून्य तक ले जाना। टाइप 1 तंत्र पहले ही एक बार समाकलित करता है, स्थिर (पग) त्रुटि मिटाने हेतु पर्याप्त पर रैखिक रूप से बढ़ती (रैंप) त्रुटि हेतु नहीं; उसे भी मिटाने हेतु दूसरा समाकलन, टाइप 2, चाहिए — और टाइप 2 तंत्र भी त्वरित (परवलयिक) निवेश के विरुद्ध असफल रहता है, उसे तीसरा समाकलन चाहिए जो उसके पास नहीं।

3. राउथ-हर्विट्स, नाइक्विस्ट, बोड आलेख व मूल बिंदुपथ

  • राउथ-हर्विट्स केवल संवृत-लूप अभिलाक्षणिक समीकरण के गुणांकों पर काम करता है — कोई आलेख नहीं चाहिए — और राउथ सारणी के पहले स्तंभ में हर चिह्न-परिवर्तन एक दक्षिण-अर्ध-तल ध्रुव का संकेत है; सभी-शून्य वाली पंक्ति सममित मूलों (काल्पनिक अक्ष पर या मूल के सापेक्ष सममित) का संकेत है और इसे सहायक बहुपद से संभाला जाता है।
  • नाइक्विस्ट कसौटी खुले-लूप की आवृत्ति-अनुक्रिया द्वारा बिंदु (−1, 0) के परिवेष्टनों की गिनती करती है जब आवृत्ति पूरे काल्पनिक अक्ष पर बहती है, और उस गिनती को खुले-लूप के ज्ञात दक्षिण-अर्ध-तल ध्रुवों की संख्या के माध्यम से संवृत-लूप के दक्षिण-अर्ध-तल ध्रुवों से जोड़ती है — वह एकमात्र विधि जो तब भी सही ढंग से स्थायित्व प्रमाणित करती है जब स्वयं खुला लूप अस्थायी हो।
  • बोड आलेख लब्धि उपांत (कला-पार आवृत्ति पर, अस्थायित्व से पहले लब्धि कितनी बढ़ सकती है) व कला उपांत (लब्धि-पार आवृत्ति पर कितनी अतिरिक्त कला-पश्चता सही जा सकती है) से स्थायित्व पढ़ता है — स्थायी न्यूनतम-कला तंत्र हेतु दोनों धनात्मक होने चाहिए, और बड़ा कला उपांत सामान्यतः बेहतर अवमंदित संवृत-लूप का संकेत है।

मूल बिंदुपथ उसी प्रश्न का चौथा दृश्य है: यह हर संवृत-लूप ध्रुव-स्थान का पथ खींचता है जैसे एक लब्धि प्राचल K शून्य (जहाँ ध्रुव खुले-लूप ध्रुवों से आरंभ होते हैं) से अनंत (जहाँ वे खुले-लूप शून्यकों पर पहुँचते हैं, या शून्यक ध्रुवों से कम होने पर स्पर्शोन्मुखों के सहारे अनंत को) तक बदलता है — जिस अभिकल्प को zeta किसी न्यूनतम से ऊपर या स्थिरन काल किसी अधिकतम से नीचे रखना है, वह सीधे उस क्षेत्र के रूप में पढ़ा जाता है जिससे बिंदुपथ गुजरना चाहिए, न कोई आवृत्ति-प्रसार न कोई गुणांक-सारणी चाहिए।

⚠️ dB में लब्धि उपांत 0 पर स्वतः सुरक्षित नहीं
लब्धि उपांत सामान्यतः डेसीबल में −20*log10(|G(jw)|) के रूप में, कला-पार आवृत्ति (जहाँ कला = −180 अंश) पर, बताया जाता है, और धनात्मक dB मान का अर्थ है स्थायी व गुंजाइश शेष; 0 dB को सुरक्षित मान लेना, अस्थायित्व की ठीक-ठीक सीमा मानने के बजाय, सामान्य चूक है, क्योंकि 0 dB का अर्थ है लूप-लब्धि पहले ही ठीक वहीं 1 के बराबर है जहाँ कला उपांत समाप्त हो चुका है।

4. क्षतिपूरक, P/PI/PID नियंत्रक व स्टेट-स्पेस

लीड क्षतिपूरक लब्धि-पार आवृत्ति के निकट धनात्मक कला जोड़ता है, क्षणिक अनुक्रिया तेज़ करते व कला उपांत बढ़ाते हुए; लैग क्षतिपूरक इसके बजाय कुछ कला त्यागकर निम्न-आवृत्ति लब्धि बढ़ाता है, स्थायी-अवस्था त्रुटि घटाते हुए; लैग-लीड क्षतिपूरक दोनों करता है, दो अलग आवृत्ति पट्टियों में, लैग खंड के स्थायी-अवस्था लाभ को लीड खंड के क्षणिक-गति व उपांत लाभ से जोड़ते हुए। अकेला आनुपातिक (P) नियंत्रक एक अवशिष्ट स्थायी-अवस्था ऑफ़सेट छोड़ता है; समाकलनी क्रिया (PI) जोड़ने से वह ऑफ़सेट मिटता है (तंत्र-प्रकार एक बढ़ाते हुए) कुछ गति व स्थायित्व-उपांत की कीमत पर; अवकलनी क्रिया भी जोड़ने से (PID) त्रुटि की परिवर्तन-दर का पूर्वानुमान होता है, अवमंदन सुधरता व अधिशयन घटता है, उच्च-आवृत्ति मापन-रव प्रवर्धित होने की कीमत पर।

स्टेट-स्पेस किसी तंत्र को x-dot = Ax + Bu, y = Cx + Du के रूप में लिखता है — एक उच्च-कोटि अदिश समीकरण के स्थान पर प्रथम-कोटि सदिश अवकल समीकरण व एक निर्गम-मानचित्र। इसकी बढ़त ठीक उस मामले में है जहाँ एकल अंतरण फलन खराब ढंग से संभालता है: बहु निवेश व बहु निर्गम, तथा वह आंतरिक व्यवहार जिसे अंतरण फलन पूर्णतः छुपा सकता है (कोई अस्थायी या अनियंत्रणीय विधा जो संयोग से किसी शून्यक से निरस्त होकर निवेश-निर्गम अंतरण फलन से लुप्त हो जाती है, भले ही वह तंत्र के भीतर अब भी भौतिक रूप से उपस्थित हो)।

ℹ️ स्टेट समीकरण हल करना
x-dot = Ax का समघात हल x(t) = e^(At) * x(0) है, जहाँ e^(At) स्टेट संक्रमण आव्यूह है — अदिश चरघातांक e^(at) का आव्यूह-सामान्यीकरण जो प्रथम-कोटि अदिश समीकरण हल करता है, जिसे लाप्लास रूपांतर द्वारा (sI − A)^(−1) के व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर के रूप में परिकलित किया जाता है। निवेश सहित पूर्ण हल B*u(t) के प्रभाव को वहन करने वाला एक संवलन (समाकल) पद जोड़ता है, ठीक वैसे ही जैसे अदिश प्रथम-कोटि ODE की प्रणोदित अनुक्रिया उसके आवेग-अनुक्रिया व निवेश का संवलन है।

मुख्य बिंदु

  • किसी संकेत-प्रवाह आरेख में दो लूप केवल तभी अस्पर्शी हैं जब वे बिल्कुल कोई नोड साझा न करें; Delta को हर ऐसे अस्पर्शी गुणनफल की आवश्यकता है, केवल एकल-लूप-लब्धि योग की नहीं।
  • अधिशयन केवल zeta पर निर्भर है; स्थिरन काल केवल zeta*omega_n पर — टाइप-N तंत्र निवेश-कोटि N−1 तक स्थायी-अवस्था त्रुटि मिटाता है, उससे आगे नहीं।
  • राउथ-हर्विट्स को केवल अभिलाक्षणिक बहुपद के गुणांक चाहिए; नाइक्विस्ट अकेला तब भी वैध रहता है जब स्वयं खुला लूप अस्थायी हो; बोड को लब्धि उपांत व कला उपांत दोनों धनात्मक चाहिए, और 0 dB लब्धि उपांत सीमा है, सुरक्षा नहीं।
  • लीड क्रॉसओवर के निकट कला जोड़ता है गति व उपांत हेतु; लैग निम्न-आवृत्ति लब्धि बढ़ाता है स्थायी-अवस्था त्रुटि हेतु; PID, PI में पूर्वानुमान व अवमंदन हेतु अवकलनी क्रिया जोड़ता है, रव-संवेदनशीलता की कीमत पर।
  • स्टेट-स्पेस बहु निवेश/निर्गम तक स्वाभाविक रूप से फैलता है और किसी आंतरिक विधा को उजागर कर सकता है जिसे अंतरण फलन ध्रुव-शून्यक निरस्तीकरण से पूर्णतः छुपाता है; e^(At) अदिश चरघातांक का आव्यूह-सामान्यीकरण है।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. किसी संकेत-प्रवाह आरेख के दो लूप अस्पर्शी कहलाते हैं जब वे

    1. समान लूप-लब्धि रखते हैं
    2. कोई साझा नोड नहीं रखते
    3. एक ही अग्र-पथ पर स्थित हों
    4. दोनों निर्गम नोड से होकर जाएँ
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — कोई साझा नोड नहीं रखते

    अस्पर्शी का अर्थ है कोई साझा नोड नहीं, और ठीक यही शर्त Delta को दो लूप-लब्धियों के गुणनफल वाला पद देती है। समान लब्धि, साझा अग्र-पथ, या दोनों का निर्गम नोड छूना असंबद्ध गुण हैं और इनमें से कोई यह तय नहीं करता कि लूप स्पर्श करते हैं या नहीं।

  2. एकांक-फीडबैक तंत्र का खुला-लूप अंतरण फलन K/(s(s+2)) है। एकांक रैंप निवेश के प्रति उसकी स्थायी-अवस्था त्रुटि है

    1. शून्य
    2. 2/K
    3. अनंत
    4. 1/K
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2/K

    मूल पर एक ध्रुव इसे टाइप 1 बनाता है, अतः रैंप त्रुटि परिमित है और 1/Kv के बराबर, जहाँ Kv = s के 0 की ओर जाने पर s*G(s) की सीमा = K/2। अतः त्रुटि 1/(K/2) = 2/K है — शून्य उत्तर देना इसे टाइप 2 तंत्र की रैंप-अनुक्रिया समझ लेना है।

  3. अवमंदन अनुपात zeta = 1 वाले द्वितीय-कोटि तंत्र की पग-अनुक्रिया है

    1. क्षयमान आयाम सहित दोलनी
    2. क्रांतिक अवमंदित, सबसे तेज़ अदोलनी अनुक्रिया
    3. अतिअवमंदित व क्रांतिक अवमंदन से धीमी
    4. अनवमंदित, अक्षुण्ण दोलन
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — क्रांतिक अवमंदित, सबसे तेज़ अदोलनी अनुक्रिया

    zeta = 1 ठीक क्रांतिक अवमंदित स्थिति है, वह सबसे तेज़ अनुक्रिया जिसमें अब भी कोई अधिशयन नहीं; 0 व 1 के बीच zeta अवमंदित है, 1 से अधिक zeta अतिअवमंदित है, और zeta = 0 अनवमंदित है।

  4. नाइक्विस्ट स्थायित्व कसौटी विशेष रूप से किस स्थिति में वैध व उपयोगी बनी रहती है

    1. तंत्र के कोई भी ध्रुव दक्षिण-अर्ध-तल में न हों
    2. स्वयं खुला-लूप तंत्र दक्षिण-अर्ध-तल में ध्रुव रखे
    3. केवल लब्धि उपांत चाहिए, कभी कला उपांत नहीं
    4. तंत्र शुद्ध कालिक-विलंब हो, कोई ध्रुव ही न हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — स्वयं खुला-लूप तंत्र दक्षिण-अर्ध-तल में ध्रुव रखे

    नाइक्विस्ट कसौटी −1 के परिवेष्टनों को संवृत-लूप दक्षिण-अर्ध-तल ध्रुवों से खुले-लूप के ज्ञात दक्षिण-अर्ध-तल ध्रुवों की संख्या के माध्यम से जोड़ती है, अतः यह तब भी वैध रहती है और प्रश्न का उत्तर देती है जब स्वयं खुला लूप अस्थायी हो, ऐसा मामला जिसे सामान्य बोड-उपांत पठन साफ़ नहीं संभालता।

  5. लब्धि उपांत व कला उपांत के विषय में निम्न में से कौन-से सत्य हैं

    1. स्थायी न्यूनतम-कला संवृत-लूप के लिए दोनों धनात्मक होने चाहिए।
    2. 0 dB लब्धि उपांत का अर्थ है तंत्र सुरक्षित रूप से स्थायी है।
    3. बड़ा कला उपांत सामान्यतः बेहतर अवमंदित संवृत-लूप का संकेत है।
    4. लब्धि उपांत कला-पार आवृत्ति पर पढ़ा जाता है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — स्थायी न्यूनतम-कला संवृत-लूप के लिए दोनों धनात्मक होने चाहिए।; C — बड़ा कला उपांत सामान्यतः बेहतर अवमंदित संवृत-लूप का संकेत है।; D — लब्धि उपांत कला-पार आवृत्ति पर पढ़ा जाता है।

    दोनों उपांतों का धनात्मक होना न्यूनतम-कला तंत्र की स्थायित्व-शर्त है, बड़ा कला उपांत वास्तव में बेहतर अवमंदन से सहसंबंधित है, और लब्धि उपांत वास्तव में कला-पार आवृत्ति (जहाँ कला = −180 अंश) पर पढ़ा जाता है। 0 dB लब्धि उपांत अस्थायित्व की ठीक-ठीक सीमा है, कोई सुरक्षित मान नहीं।

  6. एकांक-फीडबैक तंत्र का मूल बिंदुपथ, लब्धि K के 0 से अनंत तक बदलने पर, आलेखित करता है

    1. केवल खुले-लूप शून्यकों के स्थान
    2. संवृत-लूप ध्रुवों के स्थान
    3. आवृत्ति के फलन के रूप में कला उपांत
    4. K के फलन के रूप में स्थायी-अवस्था त्रुटि
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — संवृत-लूप ध्रुवों के स्थान

    मूल बिंदुपथ यह आलेखित करता है कि K के शून्य (खुले-लूप ध्रुवों से आरंभ) से अनंत (खुले-लूप शून्यकों पर या स्पर्शोन्मुखों के सहारे अनंत पर समाप्त) तक बदलने पर s-तल में संवृत-लूप ध्रुव कहाँ बैठते हैं; यह सीधे आवृत्ति-अनुक्रिया उपांतों या स्थायी-अवस्था त्रुटि के बारे में कुछ नहीं कहता।

  7. लीड क्षतिपूरक नियंत्रण लूप में मुख्यतः किसलिए जोड़ा जाता है

    1. निम्न-आवृत्ति लब्धि बढ़ाना व स्थायी-अवस्था त्रुटि घटाना
    2. क्रॉसओवर के निकट कला जोड़ना, अनुक्रिया तेज़ करना व कला उपांत बढ़ाना
    3. सभी आवृत्तियों को समान रूप से क्षीण करना
    4. PID नियंत्रक की आवश्यकता पूर्णतः समाप्त करना
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — क्रॉसओवर के निकट कला जोड़ना, अनुक्रिया तेज़ करना व कला उपांत बढ़ाना

    लीड क्षतिपूरक का कार्य क्रॉसओवर क्षेत्र में धनात्मक कला जोड़ना है, क्षणिक अनुक्रिया तेज़ करते व कला उपांत बढ़ाते हुए। निम्न-आवृत्ति लब्धि बढ़ाकर स्थायी-अवस्था त्रुटि घटाना इसके बजाय LAG क्षतिपूरक का कार्य है, और लीड-लैग दोनों को अलग पट्टियों में जोड़ता है।

  8. PI नियंत्रक में अवकलनी क्रिया जोड़कर उसे PID बनाने से मुख्यतः

    1. स्वयं ही स्थायी-अवस्था त्रुटि पूर्णतः हटा देता है
    2. त्रुटि के परिवर्तन-दर का पूर्वानुमान करता है, अवमंदन सुधारता है, रव-संवेदनशीलता की कीमत पर
    3. लूप को टाइप 1 से टाइप 2 में बदल देता है
    4. केवल किसी लैग क्षतिपूरक की उपस्थिति में प्रयोग्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — त्रुटि के परिवर्तन-दर का पूर्वानुमान करता है, अवमंदन सुधारता है, रव-संवेदनशीलता की कीमत पर

    अवकलनी क्रिया त्रुटि की परिवर्तन-दर पर कार्य करती है, एक पूर्वानुमानी, अवमंदनी प्रभाव देती है जो अधिशयन घटाता है, उच्च-आवृत्ति मापन-रव प्रवर्धित होने की कीमत पर। समाकलनी क्रिया, अवकलनी नहीं, वह है जो स्थायी-अवस्था त्रुटि हटाती है व तंत्र-प्रकार बढ़ाती है; PID के कार्य हेतु किसी लैग क्षतिपूरक की आवश्यकता नहीं।

  9. अंतरण फलन की तुलना में, स्टेट-स्पेस निरूपण का मुख्य लाभ यह है कि यह

    1. सदा निम्न-कोटि प्रतिरूप देता है
    2. बहु निवेश-निर्गम तक स्वाभाविक रूप से फैलता है और ध्रुव-शून्यक निरस्तीकरण से छुपी आंतरिक अवस्थाएँ उजागर कर सकता है
    3. किसी भी स्थायित्व-कसौटी की आवश्यकता समाप्त करता है
    4. केवल एकल-निवेश, काल-अपरिवर्ती तंत्रों पर लागू होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — बहु निवेश-निर्गम तक स्वाभाविक रूप से फैलता है और ध्रुव-शून्यक निरस्तीकरण से छुपी आंतरिक अवस्थाएँ उजागर कर सकता है

    स्टेट-स्पेस बहु निवेश-निर्गम को स्वाभाविक रूप से संभालता है और किसी ऐसी आंतरिक अस्थायी या अप्रेक्षणीय विधा को उजागर कर सकता है जो किसी शून्यक से निरस्त होकर अंतरण फलन में अदृश्य हो जाती है। यह अपने आप प्रतिरूप-कोटि नहीं घटाता, स्थायित्व जाँचने की आवश्यकता नहीं हटाता, और एकल-निवेश तंत्रों तक सीमित नहीं है।

  10. एकांक-फीडबैक तंत्र का खुला-लूप अंतरण फलन K/(s+5) है। इसका टाइप संख्या (खुले-लूप के मूल पर ध्रुवों की संख्या) है ___

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0

    K/(s+5) का एकमात्र ध्रुव s = −5 पर है, मूल पर नहीं, अतः यह मूल पर शून्य ध्रुव रखता है — टाइप 0 — और इसलिए एक पग निवेश के प्रति भी परिमित (शून्येतर) स्थायी-अवस्था त्रुटि रखता है।