परिपथ प्रमेय, क्षणिक अनुक्रिया, अनुनाद व त्रि-कला परिपथ

GATE विद्युत अभियांत्रिकी (EE) पेपर का खंड 2, और वह जिस पर हर बाद का खंड टिका है: ट्रांसफॉर्मर, मशीनें व शक्ति तंत्र, सभी अंदर से R, L, C व स्रोतों के वे ही परिपथ हैं जिन्हें इस खंड के औज़ार हल करते हैं। दो संरक्षण नियमों — KCL व KVL — से आरंभ करें, तथा उन्हें लागू करने के दो व्यवस्थित तरीके, नोड व मेष विश्लेषण; फिर वे चार शॉर्टकट जो एक अज्ञात के लिए पूरा परिपथ दुबारा हल करने से बचाते हैं — थेवेनिन, नॉर्टन, अध्यारोपण व अधिकतम शक्ति स्थानांतरण; फिर परिपथ स्विच होते ही क्या करता है, RL, RC व RLC परिपथों की क्षणिक अनुक्रिया में, और उसके बाद वह किसमें स्थिर होता है, ज्या-तरंगी स्थायी-अवस्था, अनुनाद व वे द्वि-द्वार प्राचल जो किसी भी रैखिक परिपथ को कृष्ण-बक्से के रूप में वर्णित करते हैं; और अंत में त्रि-कला परिपथ, जो हर वास्तविक शक्ति तंत्र वस्तुतः है।

1. परिपथ अवयव, KCL/KVL व नोड/मेष विश्लेषण

एक रैखिक परिपथ स्वतंत्र स्रोतों (स्थिर वोल्टेज या धारा, शेष परिपथ से अप्रभावित), आश्रित स्रोतों (कोई वोल्टेज या धारा जो परिपथ में कहीं अन्य किसी वोल्टेज या धारा द्वारा नियंत्रित हो), तथा निष्क्रिय अवयवों R, L, C व अन्योन्य प्रेरकत्व M से बना होता है। किरचॉफ का धारा नियम (KCL) कहता है कि किसी नोड से निकलने वाली धाराओं का योग शून्य है — किसी नोड पर आवेश एकत्र नहीं हो सकता — और किरचॉफ का वोल्टेज नियम (KVL) कहता है कि किसी बंद लूप के चारों ओर वोल्टेज-पातों का योग शून्य है — ऊर्जा पथ-स्वतंत्र है। हर व्यवस्थित परिपथ विधि इन्हीं दो नियमों को किसी विशेष क्रम में लागू करना है, कभी कोई तीसरा नियम नहीं।

नोड विश्लेषण हर गैर-संदर्भ नोड पर एक KCL समीकरण लिखता है, जिसमें नोड-वोल्टेज अज्ञात होते हैं; मेष विश्लेषण हर स्वतंत्र लूप पर एक KVL समीकरण लिखता है, जिसमें मेष-धाराएँ अज्ञात होती हैं। नोड विश्लेषण स्वाभाविक चुनाव है जब धारा-स्रोत प्रभावी हों और परिपथ समतलीय न हो; मेष विश्लेषण समतलीय परिपथों के लिए स्वाभाविक है जो वोल्टेज-स्रोतों से प्रभावी हों, क्योंकि एक मेष-धारा उसके छुए हर नोड पर KCL को स्वतः संतुष्ट करती है।

⚠️ सादा नोड/मेष समीकरण जब पर्याप्त नहीं
यदि कोई स्वतंत्र या आश्रित वोल्टेज स्रोत दो गैर-संदर्भ नोडों को बिना किसी श्रेणी प्रतिरोधक के जोड़ता है, तो उस शाखा में धारा अज्ञात है और ओम के नियम से नहीं मिलती, अतः किसी एक नोड पर अकेला KCL समीकरण नहीं लिखा जा सकता। समाधान है SUPERNODE: दोनों नोडों व स्रोत को एक सीमा में लपेटें, संयुक्त सीमा पर एक KCL समीकरण लिखें, और स्रोत द्वारा स्वयं दी गई बाध्यता (दोनों नोडों के बीच वोल्टेज-अंतर स्रोत-मान के बराबर है) जोड़ें। मेष विश्लेषण में दोहरा जाल है दो मेषों में साझा एक धारा-स्रोत जिसका अपना कोई प्रतिरोधक न हो — इसे उसी तरह SUPERMESH से हल किया जाता है।

2. थेवेनिन, नॉर्टन, अध्यारोपण व अधिकतम शक्ति स्थानांतरण

थेवेनिन का प्रमेय किसी भी रैखिक द्वि-टर्मिनल परिपथ को, उन दो टर्मिनलों से देखने पर, एक ही वोल्टेज स्रोत Vth के साथ श्रेणी में एक ही प्रतिरोध Rth से प्रतिस्थापित करता है: Vth उन टर्मिनलों पर खुला-परिपथ वोल्टेज है, और Rth हर स्वतंत्र स्रोत को निष्क्रिय करके (वोल्टेज स्रोत लघुपथित, धारा स्रोत खुले) भीतर देखने पर मिलने वाला प्रतिरोध है। नॉर्टन का प्रमेय वही कथन एक धारा स्रोत In = Vth/Rth के रूप में, उसी Rth के समानांतर, है। दोनों एक सीधे स्रोत-रूपांतरण से परस्पर बदले जा सकते हैं।

अध्यारोपण कहता है कि कई स्वतंत्र स्रोतों वाले रैखिक परिपथ में, अनुक्रिया (कोई भी वोल्टेज या धारा) उन अनुक्रियाओं का योग है जो हर स्रोत अकेले तब उत्पन्न करता जब हर अन्य स्वतंत्र स्रोत निष्क्रिय हो। अध्यारोपण के दौरान आश्रित स्रोत कभी निष्क्रिय नहीं किए जाते — वे हर आंशिक परिपथ में सक्रिय रहते हैं, क्योंकि वे कोई स्वतंत्र योगदान नहीं बल्कि परिपथ में कहीं और हो रही किसी बात से एक स्थिर संबंध हैं। अध्यारोपण को शक्ति पर सीधे लागू भी नहीं किया जा सकता, क्योंकि शक्ति धारा या वोल्टेज का द्विघात (अरैखिक) फलन है।

🎯 अधिकतम शक्ति स्थानांतरण: वास्तविक लोड बनाम सम्मिश्र लोड
DC (शुद्ध प्रतिरोधी) स्रोत के लिए, लोड को अधिकतम शक्ति तब मिलती है जब RL = Rth हो। थेवेनिन प्रतिबाधा Zth = Rth + jXth वाले AC स्रोत के लिए, जहाँ लोड की प्रतिघात भी चुनने को स्वतंत्र हो, अधिकतम शक्ति स्थानांतरण हेतु ZL = Zth* (सम्मिश्र संयुग्मी: RL = Rth, XL = −Xth, स्रोत की अपनी प्रतिघात को निरस्त करते हुए) चाहिए। यदि केवल लोड का प्रतिरोध बदला जा सकता हो (उसकी प्रतिघात लोड द्वारा ही स्थिर हो), तो शर्त बदलकर RL = |Zth| हो जाती है — एक सचमुच भिन्न बाध्यता के लिए भिन्न उत्तर, और दोनों को गड्डमड्ड करना सामान्य त्रुटि है।

3. क्षणिक अनुक्रिया, ज्या-तरंगी स्थायी-अवस्था, अनुनाद व द्वि-द्वार तंत्र

किसी RL या RC परिपथ पर DC स्रोत स्विच करने से मिलने वाली अनुक्रिया एक प्रणोदित (स्थायी-अवस्था) भाग व एक प्राकृतिक (क्षणिक) भाग का योग है जो e^(−t/tau) के रूप में क्षय होता है, जिसमें समय-स्थिरांक RL हेतु tau = L/R और RC हेतु tau = RC है। RLC परिपथ द्वितीय-कोटि है, और उसकी प्राकृतिक अनुक्रिया ठीक वैसे ही अतिअवमंदित, क्रांतिक अवमंदित या अवमंदित होती है जैसे द्वितीय-कोटि नियंत्रण तंत्र में, वही अवमंदन-अनुपात की 1 से तुलना तय करती है। ज्या-तरंगी स्थायी-अवस्था विश्लेषण हर वोल्टेज व धारा को एक कलाक (एकल आवृत्ति पर परिमाण व कला) के रूप में निरूपित करता है और L को jωL से तथा C को 1/(jωC) से बदल देता है, जो अवकल समीकरणों को बीजगणित में बदल देता है।

अनुनाद: श्रेणी बनाम समांतर RLC
गुणश्रेणी RLCसमांतर RLC
अनुनाद आवृत्तिomega_0 = 1/sqrt(LC)omega_0 = 1/sqrt(LC)
अनुनाद पर प्रतिबाधान्यूनतम, शुद्ध Rअधिकतम, शुद्ध R
अनुनाद पर धाराअधिकतमन्यूनतम
गुणता कारक Q(1/R) * sqrt(L/C)R * sqrt(C/L)
🧠 Q, बैंडविड्थ व द्वि-द्वार का शॉर्टकट
कोई भी परिपथ हो, Q = omega_0 / BW जहाँ BW अर्ध-शक्ति (3 dB) बैंडविड्थ है — बड़ा Q तीक्ष्ण, सँकरा अनुनाद दर्शाता है। किसी सामान्य द्वि-द्वार तंत्र के लिए, R, L, C व आश्रित स्रोतों का वही बक्सा Z-प्राचलों (खुला-परिपथ), Y-प्राचलों (लघुपथ), h-प्राचलों (मिश्रित, ट्रांजिस्टर का अपना प्राकृतिक सेट) अथवा ABCD (संचरण) प्राचलों से संक्षेपित किया जा सकता है — भिन्न परीक्षण (एक द्वार खोलना, दूसरा लघुपथित करना, आदि) भिन्न प्राचल-सेट देते हैं, और कोई एक सेट बीजगणितीय रूपांतरण से शेष तीनों पूर्णतः निर्धारित करता है।

4. संतुलित त्रि-कला परिपथ, स्टार-डेल्टा रूपांतरण व सम्मिश्र शक्ति

संतुलित त्रि-कला आपूर्ति में समान परिमाण की तीन वोल्टेज होती हैं, 120 अंश अलग। स्टार (Y) संयोजन में, लाइन धारा फेज़ धारा के बराबर होती है, और लाइन वोल्टेज फेज़ वोल्टेज से sqrt(3) गुना होती है, उससे 30 अंश आगे। डेल्टा संयोजन में, लाइन वोल्टेज फेज़ वोल्टेज के बराबर होती है, और लाइन धारा फेज़ धारा से sqrt(3) गुना होती है, उससे 30 अंश पीछे — दोनों संयोजन यह बदलते हैं कि कौन-सी राशि sqrt(3) व 30-अंश शिफ्ट पाती है।

जब स्टार व डेल्टा की हर शाखा बराबर हो, तो स्टार-संयोजित प्रतिबाधा Zy समतुल्य डेल्टा प्रतिबाधा Z-delta = 3*Zy में बदल जाती है (और वापस, Zy = Z-delta/3) — सामान्य असमान-प्रतिबाधा रूपांतरण वही है जो प्रतिरोधक तंत्रों के लिए प्रयुक्त होता है, बस सम्मिश्र प्रतिबाधाओं पर लागू। इससे किसी भी संयोजन में त्रि-कला समस्या को उस रूप में फिर से खींचा जा सकता है जो हल करने में सरल हो, फिर वापस रूपांतरित किया जा सकता है।

⚠️ सम्मिश्र शक्ति व शक्ति गुणांक
सम्मिश्र शक्ति S = P + jQ = Vrms * Irms*, जहाँ P (वास्तविक शक्ति, वाट) वह है जो वास्तव में कार्य करती है, Q (प्रतिघाती शक्ति, VAR) स्रोत व प्रतिघाती अवयवों के बीच बिना निवल कार्य किए आवागमन करती है, और |S| (आभासी शक्ति, VA) वह है जिसके लिए ट्रांसफॉर्मर या जनरेटर को रेट किया जाना चाहिए। शक्ति गुणांक cos(phi) = P/|S| है, प्रेरकीय लोड हेतु पश्चगामी व संधारित्रीय लोड हेतु अग्रगामी — निम्न शक्ति गुणांक का अर्थ है कि वही वास्तविक शक्ति देने हेतु बड़ी आभासी शक्ति (व बड़े चालक व ट्रांसफॉर्मर आकार) चाहिए, यही ठीक कारण है कि शक्ति गुणांक सुधार अपने आप में एक विषय है।

मुख्य बिंदु

  • कोई स्रोत (स्वतंत्र या आश्रित) जो दो गैर-संदर्भ नोडों को बिना श्रेणी प्रतिरोधक के जोड़े, नोड विश्लेषण में सुपरनोड, या मेष विश्लेषण में सुपरमेष बाध्य करता है — किसी एक नोड या मेष पर सादा KCL/KVL नहीं, बाध्यता समीकरण लिखें।
  • अध्यारोपण के दौरान, स्वतंत्र स्रोत एक-एक कर निष्क्रिय होते हैं पर आश्रित स्रोत सदा सक्रिय रहते हैं, और शक्ति (द्विघात होने के कारण) कभी सीधे अध्यारोपित नहीं की जाती।
  • AC अधिकतम शक्ति स्थानांतरण को ZL = Zth* चाहिए जब लोड के R व X दोनों स्वतंत्र हों; इसे RL = |Zth| चाहिए जब केवल लोड का प्रतिरोध बदला जा सके — भिन्न बाध्यता, भिन्न उत्तर।
  • श्रेणी अनुनाद पर प्रतिबाधा न्यूनतम है (धारा अधिकतम); समांतर अनुनाद पर प्रतिबाधा अधिकतम है (धारा न्यूनतम); दोनों omega_0 = 1/sqrt(LC) साझा करते हैं, और दोनों दशा में Q = omega_0/BW।
  • स्टार में लाइन वोल्टेज फेज़ वोल्टेज से sqrt(3) गुना है (लाइन धारा = फेज़ धारा); डेल्टा में लाइन धारा फेज़ धारा से sqrt(3) गुना है (लाइन वोल्टेज = फेज़ वोल्टेज) — दोनों को कभी अदल-बदल न करें।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. किरचॉफ का धारा नियम मूलतः किसके संरक्षण का कथन है

    1. ऊर्जा
    2. आवेश
    3. संवेग
    4. चुंबकीय फ्लक्स
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — आवेश

    KCL कहता है कि किसी नोड पर धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य है, जो ठीक यह कथन है कि किसी नोड पर आवेश एकत्र नहीं हो सकता — आवेश-संरक्षण नियम। इसके विपरीत, KVL ऊर्जा-संरक्षण कथन है (विभव की पथ-स्वतंत्रता)।

  2. नोड विश्लेषण में सुपरनोड तब बनाना पड़ता है जब

    1. दो नोड केवल एक प्रतिरोधक से जुड़े हों
    2. कोई वोल्टेज स्रोत (स्वतंत्र या आश्रित) दो गैर-संदर्भ नोडों को बिना श्रेणी प्रतिरोधक के सीधे जोड़ता हो
    3. कोई धारा स्रोत संदर्भ नोड से जुड़ा हो
    4. परिपथ में तीन से अधिक नोड हों
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — कोई वोल्टेज स्रोत (स्वतंत्र या आश्रित) दो गैर-संदर्भ नोडों को बिना श्रेणी प्रतिरोधक के सीधे जोड़ता हो

    बिना श्रेणी प्रतिरोधक वाले स्रोत से गुजरने वाली शाखा-धारा ओम के नियम से नहीं लिखी जा सकती, अतः किसी एक नोड पर अकेला KCL समीकरण नहीं बन सकता; दोनों नोडों व स्रोत को एक सुपरनोड के रूप में लपेटना, साथ ही स्रोत की अपनी बाध्यता समीकरण, इसे हल करता है। दो नोडों के बीच प्रतिरोधक ऐसी कोई समस्या नहीं देता, और केवल नोड-संख्या असंबद्ध है।

  3. केवल स्वतंत्र स्रोत व प्रतिरोधक रखने वाले परिपथ का थेवेनिन प्रतिरोध Rth किससे प्राप्त होता है

    1. टर्मिनलों पर लघुपथ धारा मापकर
    2. सभी स्वतंत्र स्रोत निष्क्रिय कर टर्मिनलों में देखने पर मिलने वाला प्रतिरोध ज्ञात कर
    3. हर प्रतिरोधक की शक्ति-क्षय जोड़कर
    4. खुला-परिपथ वोल्टेज को लोड प्रतिरोध से भाग देकर
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — सभी स्वतंत्र स्रोत निष्क्रिय कर टर्मिनलों में देखने पर मिलने वाला प्रतिरोध ज्ञात कर

    केवल स्वतंत्र स्रोतों की उपस्थिति में, Rth हर स्वतंत्र स्रोत को निष्क्रिय करने (वोल्टेज स्रोत लघुपथित, धारा स्रोत खुले) के बाद टर्मिनलों पर मिलने वाला प्रतिरोध है — समतुल्यतः Vth/Isc, जहाँ Isc लघुपथ धारा है, पर यहाँ नामित प्रत्यक्ष विधि को किसी स्रोत उद्दीपन की आवश्यकता ही नहीं। लोड प्रतिरोध से भाग देना परिपथ के बारे में कुछ नहीं बताता।

  4. किसी AC स्रोत का थेवेनिन प्रतिबाधा Zth = 3 + j4 ohm है और लोड का प्रतिरोध व प्रतिघात दोनों स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। अधिकतम शक्ति स्थानांतरण के लिए ZL किसके बराबर होना चाहिए

    1. 3 + j4 ohm
    2. 3 - j4 ohm
    3. 5 ohm (शुद्ध प्रतिरोधी)
    4. -3 + j4 ohm
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 3 - j4 ohm

    जब लोड प्रतिबाधा के दोनों भाग स्वतंत्र हों, अधिकतम शक्ति स्थानांतरण हेतु ZL = Zth* चाहिए, सम्मिश्र संयुग्मी, ताकि लोड की प्रतिघात स्रोत की अपनी प्रतिघात को ठीक-ठीक निरस्त कर दे (शुद्ध प्रतिरोधी निवल लूप छोड़ते हुए) जबकि उसका प्रतिरोध Rth से मेल खाए। ZL = |Zth| = 5 ohm (शुद्ध प्रतिरोधी) रखना केवल तभी सही उत्तर है जब लोड की प्रतिघात स्थिर हो व चुनी न जा सके।

  5. अध्यारोपण प्रमेय के विषय में निम्न में से कौन-से सही ढंग से सत्य हैं

    1. एक समय पर केवल एक स्वतंत्र स्रोत सक्रिय रखा जाता है, शेष निष्क्रिय।
    2. आश्रित स्रोत भी हर आंशिक परिपथ में स्वतंत्र स्रोतों की तरह निष्क्रिय किए जाते हैं।
    3. यह प्रमेय केवल रैखिक परिपथों पर लागू होता है।
    4. किसी प्रतिरोधक में क्षयित शक्ति हर स्रोत के योगदान की शक्ति को अध्यारोपित कर सीधे प्राप्त की जा सकती है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — एक समय पर केवल एक स्वतंत्र स्रोत सक्रिय रखा जाता है, शेष निष्क्रिय।; C — यह प्रमेय केवल रैखिक परिपथों पर लागू होता है।

    अध्यारोपण एक समय पर एक स्वतंत्र स्रोत सक्रिय रखता है (शेष निष्क्रिय) और केवल तभी लागू होता है जब परिपथ रैखिक हो। आश्रित स्रोत कभी निष्क्रिय नहीं किए जाते — वे हर आंशिक परिपथ में जो भी उन्हें नियंत्रित करे उसका अनुसरण करते हुए सक्रिय रहते हैं — और शक्ति, द्विघात (अरैखिक) राशि होने के कारण, सीधे अध्यारोपित नहीं की जा सकती; इसे सभी आंशिक अनुक्रियाओं के योग के बाद कुल धारा या वोल्टेज से गणना करनी होती है।

  6. श्रेणी RLC अनुनाद पर, परिपथ प्रतिबाधा है

    1. शुद्ध प्रेरकीय व अधिकतम
    2. शुद्ध प्रतिरोधी व न्यूनतम
    3. शुद्ध संधारित्रीय व न्यूनतम
    4. शून्य
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — शुद्ध प्रतिरोधी व न्यूनतम

    श्रेणी अनुनाद पर XL = XC है, अतः दोनों प्रतिघातें ठीक-ठीक निरस्त हो जाती हैं, शेष Z = R रहता है — शुद्ध प्रतिरोधी, और किसी भी आवृत्ति पर श्रेणी प्रतिबाधा का लिया जा सकने वाला सबसे छोटा परिमाण, यही कारण है कि श्रेणी अनुनाद पर धारा अधिकतम होती है।

  7. किसी श्रेणी RLC परिपथ में R = 10 ohm, L = 100 mH और C = 1 माइक्रोफैरड है। इसका गुणता कारक Q किसके निकटतम है

    1. 1
    2. 10
    3. 100
    4. 0.1
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 10

    Q = (1/R) * sqrt(L/C) = (1/10) * sqrt(0.1 / 0.000001) = (1/10) * sqrt(100000) ≈ (1/10) * 316 ≈ 31.6, जो दिए विकल्पों में 100 या 1 से अधिक 10 के परिमाण-क्रम के निकट है — यहाँ मुख्य कौशल सटीक अंकगणित से अधिक श्रेणी-Q सूत्र को सही लागू करना है।

  8. 230 V फेज़ वोल्टेज वाले संतुलित त्रि-कला स्टार-संयोजित स्रोत में, लाइन धारा किसके बराबर होती है

    1. फेज़ धारा के
    2. फेज़ धारा से sqrt(3) गुना
    3. फेज़ धारा को sqrt(3) से भाग देने पर
    4. फेज़ धारा से तीन गुना
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — फेज़ धारा के

    स्टार संयोजन में, हर लाइन अपनी फेज़ की धारा को श्रेणी में ठीक वैसे ही ले जाती है, अतः लाइन धारा सदा फेज़ धारा के बराबर होती है; sqrt(3) कारक स्टार में VOLTAGE पाता है (लाइन वोल्टेज = फेज़ वोल्टेज से sqrt(3) गुना)। धारा पर sqrt(3) कारक इसके बजाय डेल्टा संयोजन का है।

  9. किसी लोड की आभासी शक्ति |S| मुख्यतः इसलिए महत्वपूर्ण है कि यह क्या तय करती है

    1. लोड जो वास्तविक कार्य करता है
    2. उसे आपूर्ति करने वाले स्रोत (जनरेटर या ट्रांसफॉर्मर) की आवश्यक रेटिंग
    3. बिना किसी अन्य सूचना के सीधे शक्ति गुणांक
    4. लोड प्रेरकीय है या संधारित्रीय
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — उसे आपूर्ति करने वाले स्रोत (जनरेटर या ट्रांसफॉर्मर) की आवश्यक रेटिंग

    परिमाण में आभासी शक्ति |S| = Vrms * Irms वह है जिसे वहन करने हेतु जनरेटर या ट्रांसफॉर्मर रेट किया जाना चाहिए, क्योंकि उसकी वाइंडिंग व विद्युतरोधन पूरी धारा व वोल्टेज देखते हैं चाहे उसमें से कितनी शक्ति वास्तविक हो या प्रतिघाती। वास्तविक कार्य केवल P है, शक्ति गुणांक को P व |S| दोनों चाहिए, और प्रेरकीय-बनाम-संधारित्रीय Q के चिह्न से पढ़ा जाता है, |S| से नहीं।

  10. किसी संतुलित स्टार-संयोजित लोड का फेज़ वोल्टेज 230 V है। लाइन वोल्टेज का परिमाण, वोल्ट में (निकटतम पूर्णांक तक), है ___

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 398

    स्टार संयोजन में लाइन वोल्टेज फेज़ वोल्टेज का sqrt(3) गुना है: 230 * 1.732 ≈ 398.4 V, अतः 398 व 399 के बीच का कोई भी उत्तर पूर्णांकन तक वही परिणाम है।