ऊर्जा-पट्ट तथा वाहक-संचरण: बंधों से अपवाह, विसरण व सांतत्य समीकरणों तक
N परमाणुओं को निकट लाएँ और प्रत्येक तीक्ष्ण परमाण्वीय स्तर N स्तरों में विभक्त हो जाता है जो इतने निकट हैं कि सांतत्य ही हैं, और सर्वोच्च भरा पट्ट पूर्ण है या अर्ध-पूर्ण, यही एक भी वाहक गिने जाने से पूर्व धातु, अर्धचालक अथवा विद्युतरोधी का निर्णय कर देता है। तत्पश्चात् नैज व अपद्रव्यी पट्ट, जहाँ अपमिश्रण का सम्पूर्ण प्रभाव एक ही संख्या को हिलाना है — फर्मी स्तर को — और E_c, E_v व E_g को ठीक वहीं छोड़ देना जहाँ वे थे। फिर साम्य वाहक-सांद्रता, जो दो समीकरण हैं और इससे अधिक कुछ नहीं: आवेश-उदासीनता, तथा द्रव्यमान-क्रिया नियम np = n_i²। वह दूसरा इस खंड का सर्वाधिक मौन-शक्तिशाली कथन है, क्योंकि वह कहता है कि दोनों वाहक-जनसंख्याएँ एक-दूसरे से जड़ी हैं, अतः आपका जोड़ा प्रत्येक दाता विवर-जनसंख्या को उसी गुणक से नीचे धकेलता है जिससे वह इलेक्ट्रॉन-जनसंख्या को ऊपर धकेलता है। तत्पश्चात् प्रत्यक्ष व अप्रत्यक्ष वर्जित अंतराल, जो वर्गीकरण का अभ्यास नहीं है: वही कारण है कि सिलिकॉन प्रकाश का संसूचन करता है और उसका उत्सर्जन नहीं कर सकता, और वही कारण कि सिलिकॉन सौर सेल 180 µm मोटा है जबकि गैलियम आर्सेनाइड वाला 2 µm। वाहक-संचरण तत्पश्चात् केवल दो क्रियाविधियाँ हैं — क्षेत्र से चालित अपवाह, प्रवणता से चालित विसरण — जिन्हें आइंस्टाइन संबंध D/µ = kT/q बाँधता है, जो आनुभविक फिटिंग नहीं बल्कि साम्य की अपेक्षा है। और खंड दो लेखा-समीकरणों पर समाप्त होता है, पॉयसों व सांतत्य, जो आपको किसी भी युक्ति को एक अवकाश-आवेश क्षेत्र में — जहाँ क्षेत्र रहता है — और एक अर्ध-उदासीन क्षेत्र में — जहाँ विसरण रहता है — विभाजित करने देते हैं। नीचे का प्रत्येक हल किया गया अंक 300 K पर सिलिकॉन हेतु है, kT/q = 0.0259 V तथा n_i = 1.5 × 10¹⁰ cm⁻³ सहित।तीक्ष्ण परमाण्वीय स्तर पट्ट कैसे बन जाता है
एकाकी परमाणु के ऊर्जा-स्तर विविक्त व तीक्ष्ण होते हैं। दो परमाणुओं को इतना निकट लाएँ कि उनके बाह्य कक्षक अतिव्यापन करें और पाउली अपवर्जन सिद्धांत दोनों इलेक्ट्रॉनों को समरूप अवस्था में रहने से रोक देता है, अतः एकल स्तर को दो में विभक्त होना ही पड़ता है — एक बंधी अवस्था ऊर्जा में नीचे धकेली गई, एक प्रति-बंधी अवस्था ऊपर। N परमाणु निकट लाएँ और वही स्तर N स्तरों में विभक्त हो जाता है। वास्तविक क्रिस्टल हेतु N प्रति घन सेंटीमीटर 10²² की कोटि का है, अतः वे N स्तर लगभग 10⁻²² eV से पृथक् हैं, जो कक्ष-ताप पर kT = 0.0259 eV की तुलना में अमाप्य रूप से लघु है। पट्ट यही है: कोई नए प्रकार का ऊर्जा-स्तर नहीं, बल्कि N सामान्य स्तर इतने घनत्व से भरे हुए कि केवल उनका आवरण महत्व रखता है। ध्यान दें कि पट्ट की चौड़ाई किससे नियंत्रित है — कक्षक-अतिव्यापन की प्रबलता से, और किसी अन्य से नहीं। दृढ़ता से बँधे अंतस्थ इलेक्ट्रॉन पड़ोसियों के बीच अल्प ही अतिव्यापन करते हैं और उनके स्तर मुक्त परमाणु जितने ही तीक्ष्ण रह जाते हैं; बाह्य संयोजी कक्षक प्रबलता से अतिव्यापन करते हैं और इलेक्ट्रॉन-वोल्ट चौड़े पट्टों में फैल जाते हैं। इसी कारण रसायन व चालन दोनों का निर्णय संयोजी कोश करता है।
सिलिकॉन चित्र को मूर्त कर देता है। एकाकी सिलिकॉन परमाणु के चार संयोजी इलेक्ट्रॉन 3s व 3p कक्षकों में होते हैं; क्रिस्टल में ये चार sp³ कक्षकों में संकरित होकर एक चतुष्फलक के कोनों की ओर संकेत करते हैं, और उपलब्ध 4N संयोजी अवस्थाएँ 4N बंधी तथा 4N प्रति-बंधी अवस्थाओं में विभक्त हो जाती हैं, जिनके बीच एक वर्जित अंतराल होता है। सिलिकॉन के ठीक 4N संयोजी इलेक्ट्रॉन हैं, अतः परम शून्य पर बंधी पट्ट — संयोजी पट्ट — पूर्णतः भरा है और प्रति-बंधी पट्ट — चालन पट्ट — पूर्णतः रिक्त। पूर्णतः भरा पट्ट कोई धारा नहीं वहन करता, उसमें कितने भी इलेक्ट्रॉन हों, क्योंकि एक दिशा में चलते प्रत्येक इलेक्ट्रॉन के लिए दूसरी दिशा में चलता एक इलेक्ट्रॉन है और चलकर जाने हेतु कोई रिक्त अवस्था ही नहीं। अतः ठोसों के तीन वर्ग गणना से तय होते हैं, चालकता-मापन से नहीं: धातु का एक पट्ट आंशिकतः भरा होता है (सोडियम का 3s पट्ट 2N अवस्थाएँ रखता है और उसमें केवल N इलेक्ट्रॉन हैं), विद्युतरोधी का पट्ट भरा होता है और अंतराल kT से कहीं बड़ा, तथा अर्धचालक का पट्ट भरा होता है और अंतराल इतना लघु कि तापीय ऊर्जा उपयोगी संख्या के इलेक्ट्रॉनों को उसके पार उठा सके।
| पदार्थ | E_g (eV) | kT की इकाइयों में अंतराल | परिणाम |
|---|---|---|---|
| जर्मेनियम | 0.66 eV | 25.5 kT | n_i ≈ 2.5 × 10¹³ cm⁻³ — रिसाव-प्रवण, अतः तर्क-परिपथों हेतु अप्रचलित |
| सिलिकॉन | 1.12 eV | 43.3 kT | n_i ≈ 1.5 × 10¹⁰ cm⁻³ — इस अध्याय की संदर्भ स्थिति |
| गैलियम आर्सेनाइड | 1.42 eV | 54.8 kT | n_i ≈ 2.1 × 10⁶ cm⁻³ — प्रत्यक्ष अंतराल, 873 nm पर उत्सर्जन |
| गैलियम नाइट्राइड | 3.4 eV | 131 kT | उच्च-क्षेत्र, उच्च-ताप युक्तियाँ; मिश्रातु बनाने पर नीला उत्सर्जन |
| सिलिकॉन डाइऑक्साइड | लगभग 9 eV | लगभग 348 kT | वास्तविक विद्युतरोधी — प्रत्येक MOSFET का गेट परावैद्युत |
exp(−E_g/2kT) वहन करती है, और 300 K पर kT = 0.0259 eV, अतः घातांक विशाल है और E_g में लघु परिवर्तन n_i में प्रचंड परिवर्तन हैं। सारणी से पढ़ें। 0.66 eV पर जर्मेनियम का n_i ≈ 2.5 × 10¹³ cm⁻³; 1.12 eV पर सिलिकॉन का 1.5 × 10¹⁰, लगभग 1700 गुना कम; 1.42 eV पर गैलियम आर्सेनाइड का 2.1 × 10⁶, और 7000 गुना कम। उसका अधिकांश वह चरघातांकी है, और शेष तीनों पदार्थों में अवस्थाओं के भिन्न प्रभावी घनत्व। अब अभिकल्प का अर्थ। युक्ति वाहकों को नियंत्रित करके कार्य करती है, अतः जिन वाहकों को वह नियंत्रित नहीं कर सकती — तापीय रूप से जनित नैज वाहक — वे शुद्ध रिसाव हैं, और रिसाव का तल n_i नियत करता है। वह एक तथ्य तीन बातें एक साथ समझाता है: उच्चतर गतिशीलता होते हुए भी जर्मेनियम सिलिकॉन से क्यों हारा, सिलिकॉन शक्ति-युक्तियाँ लगभग 150 °C तक और 400 °C तक क्यों नहीं निर्धारित हैं, तथा 3.3 व 3.4 eV अंतराल वाले सिलिकॉन कार्बाइड व गैलियम नाइट्राइड बाज़ार के उच्च-ताप व उच्च-वोल्टता छोर के स्वामी क्यों हैं। विस्तृत अंतराल केवल 'अधिक विद्युतरोधी' होना नहीं है; वह उस पर बनी प्रत्येक वस्तु हेतु निम्नतर रव-तल है।नैज, अपद्रव्यी, तथा वह एक संख्या जिसे अपमिश्रण वस्तुतः हिलाता है
नैज अर्धचालक में प्रत्येक चालन-इलेक्ट्रॉन किसी टूटे बंध से आया है, अतः वह पीछे एक विवर छोड़ गया और n = p = n_i। तब फर्मी स्तर E_F — वह ऊर्जा जहाँ अधिष्ठान प्रायिकता आधी है — अंतराल के मध्य के निकट बैठता है, और ठीक कितने निकट, यह जानना उचित है, क्योंकि परीक्षा कभी-कभी पूछती है। नैज स्तर E_i = (E_c + E_v)/2 + (kT/2) ln(N_v/N_c) है, और N_c = 2.8 × 10¹⁹ व N_v = 1.04 × 10¹⁹ cm⁻³ वाले सिलिकॉन हेतु संशोधन (0.0259/2) × ln(0.371) = −0.0128 eV है। अतः E_i मध्य-अंतराल से 12.8 meV नीचे पड़ता है, जो आधा kT है। अतः नैज फर्मी स्तर को 'मध्य-अंतराल' कहना आधी तापीय वोल्टता तक सही सन्निकटन है, और इस पाठ्यक्रम के प्रत्येक प्रयोजन हेतु वह पर्याप्त है — किंतु वह ठीक मध्य-अंतराल क्यों नहीं है, यह कारण रखने योग्य है, और कारण यह है कि इलेक्ट्रॉनों व विवरों के प्रभावी द्रव्यमान भिन्न हैं, अतः दोनों पट्ट समान संख्या की अवस्थाएँ प्रस्तुत नहीं करते।
अपमिश्रण पदार्थ को अपद्रव्यी बना देता है। समूह-V परमाणु — फॉस्फोरस, आर्सेनिक, ऐंटिमनी — को सिलिकॉन स्थान पर प्रतिस्थापित करें और वह वहाँ पाँच संयोजी इलेक्ट्रॉन लाता है जहाँ चार बंध चाहिए, अतः पाँचवाँ एक दाता स्तर में बैठता है जो फॉस्फोरस हेतु E_c से केवल लगभग 45 meV नीचे है। 300 K पर वह 45/25.9 = 1.74 kT है, इतना उपरितलीय कि वस्तुतः प्रत्येक दाता आयनित है, और इसीलिए हम बिना क्षमा-याचना n ≈ N_D लिखते हैं। समूह-III परमाणु — बोरॉन, ऐलुमिनियम, गैलियम — वहाँ तीन इलेक्ट्रॉन लाता है जहाँ चार चाहिए, और E_v से लगभग 45 meV ऊपर एक ग्राही स्तर छोड़ता है जो संयोजी पट्ट से एक इलेक्ट्रॉन पकड़कर विवर उत्पन्न करता है। पट्ट-किनारे नहीं हिलते, अंतराल नहीं बदलता, और पट्टों के भीतर कोई नई अवस्था प्रकट नहीं होती। जो हिलता है वह E_F है। n-प्रकार पदार्थ में E_F, E_c की ओर चढ़ता है; p-प्रकार में वह E_v की ओर उतरता है। अपमिश्रण की सम्पूर्ण पट्ट-आरेख विषय-वस्तु यही है, और यही संधि को संभव बनाता है: n-क्षेत्र व p-क्षेत्र को निकट लाएँ और साम्य पर दोनों फर्मी स्तरों को एक पंक्ति में आना ही पड़ता है, जो केवल पट्टों को मोड़कर प्राप्य है — और मोड़ की मात्रा अगले अध्याय का अंतर्निर्मित विभव है।
N_D = 10¹⁷ cm⁻³ फॉस्फोरस से अपमिश्रित करें। तब n ≈ 10¹⁷ cm⁻³, जो 1.5 × 10¹⁰ से बढ़कर है — लगभग सत्तर लाख गुना। लुभावना निष्कर्ष यह है कि क्रिस्टल में अब सत्तर लाख गुना वाहक हैं। नहीं हैं। द्रव्यमान-क्रिया नियम np = n_i² अपमिश्रण की परवाह किए बिना साम्य पर लागू है, अतः p = n_i²/n = (1.5 × 10¹⁰)²/10¹⁷ = 2.25 × 10²⁰/10¹⁷ = 2250 cm⁻³, जो 1.5 × 10¹⁰ से उसी लगभग सत्तर लाख गुने से नीचे है। इलेक्ट्रॉन-जनसंख्या ठीक उसी गुणक से बढ़ी जिससे विवर-जनसंख्या घटी, क्योंकि उनका गुणनफल नियत है। भौतिक रूप से, अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन पुनर्संयोजन-दर बढ़ाते हैं जब तक विवर-जनसंख्या मेल खाने तक नीचे न धकेल दी जाए। दो परिणाम निकलते हैं जिन्हें परीक्षक निरंतर जाँचते हैं। प्रथम, n/p = 10¹⁷/2250 = 4.4 × 10¹³ — अपमिश्रित अर्धचालक 'अधिकांशतः इलेक्ट्रॉन' नहीं है, वह अत्यधिक रूप से इलेक्ट्रॉन है, और उसमें विवर तेरह कोटियों नीचे की अल्पसंख्यक जनसंख्या हैं। द्वितीय, n_i पदार्थ व ताप का गुणधर्म है और किसी अन्य का नहीं; दाता जोड़ना n_i को उतना ही नहीं बदलता जितना नमक जोड़ना शुद्ध जल का क्वथनांक। जो अभ्यर्थी अपमिश्रित सिलिकॉन हेतु p = n_i लिखता है, अथवा सोचता है कि अपमिश्रण से n_i बढ़ता है, वह प्रश्न पहली पंक्ति में खो चुका है।अपमिश्रण पर्याप्त दूर तक धकेलें और ऊपर का वर्णन भंग हो जाता है। जैसे-जैसे N_D चालन-पट्ट के अवस्थाओं के प्रभावी घनत्व के — सिलिकॉन हेतु लगभग 2.8 × 10¹⁹ cm⁻³ — निकट आता है, E_F, E_c के एक kT के भीतर चढ़ जाता है और फिर पट्ट में प्रवेश कर जाता है। पदार्थ अब अपभ्रष्ट है: बोल्ट्ज़मान सन्निकटन n = N_c exp(−(E_c − E_F)/kT) विफल हो जाता है और पूर्ण फर्मी–डिराक सांख्यिकी चाहिए, अंतराल कुछ संकुचित हो जाता है क्योंकि अपद्रव्य-तरंगफलन अपने ही पट्ट में अतिव्यापन कर लेते हैं, और अर्धचालक धातु-सदृश व्यवहार करने लगता है। यह टालने योग्य कौतुक नहीं है; इसका जानबूझकर दोहन किया जाता है। समाकलित परिपथ पर प्रत्येक ओमीय संपर्क अर्धचालक को धातु के ठीक नीचे अपभ्रष्ट रूप से अपमिश्रित करके (n+ अथवा p+ लिखा जाता है) बनाया जाता है, क्योंकि अपभ्रष्ट पृष्ठ धातु पर बाधा को इतना पतला कर देता है कि वाहक तापीय रूप से उसके ऊपर उठाए जाने के बजाय सीधे उसमें से सुरंगन कर जाते हैं। ले जाने योग्य अंगुष्ठ-नियम इस अध्याय की शेष प्रत्येक वस्तु हेतु वैधता-शर्त है: बोल्ट्ज़मान रूप तब तक सुरक्षित है जब तक E_c − E_F लगभग 3kT से अधिक हो, अर्थात् जब तक N_D, N_c से दो-एक कोटि नीचे रहे।
साम्य वाहक-सांद्रता: दो समीकरण, तीन ताप-क्षेत्र
इस खंड की प्रत्येक वस्तु दो कथनों से निकलती है। प्रथम आवेश-उदासीनता है: मेज़ पर पड़ा अर्धचालक का टुकड़ा नेट आवेश-रहित है, अतः p + N_D⁺ = n + N_A⁻, और पूर्ण आयनन सहित वह p + N_D = n + N_A है। द्वितीय द्रव्यमान-क्रिया नियम np = n_i² है, जो n = N_c exp(−(E_c − E_F)/kT) व p = N_v exp(−(E_F − E_v)/kT) लिखकर गुणा करने से आता है: E_F निरसित हो जाता है, और np = N_c N_v exp(−E_g/kT) = n_i² शेष रहता है, एक ऐसी राशि जो पदार्थ व ताप पर निर्भर है और इस पर नहीं कि फर्मी स्तर कहाँ बैठा है। दोनों को n-प्रकार पदार्थ हेतु साथ हल करने पर यथातथ परिणाम n = N_D/2 + √((N_D/2)² + n_i²) मिलता है, और यह देखना शिक्षाप्रद है कि दूसरा पद कितना अल्प महत्व रखता है: N_D = 10¹⁷ व n_i = 1.5 × 10¹⁰ पर संशोधन का सापेक्ष परिमाण (n_i/N_D)² ≈ 2 × 10⁻¹⁴ है। अतः n ≈ N_D आलस्य नहीं, चौदह अंकों तक यथार्थ है — किंतु यथातथ रूप वही है जिसे तब उठाना है जब अपमिश्रण n_i के तुल्य हो, जो अत्यंत मंद अपमिश्रित पदार्थ में अथवा उच्च ताप पर होता है।
n ज्ञात होते ही फर्मी स्तर n = n_i exp((E_F − E_i)/kT) से निकलता है, अतः E_F − E_i = kT ln(n/n_i)। हमारे N_D = 10¹⁷ cm⁻³ नमूने हेतु E_F − E_i = 0.0259 × ln(10¹⁷/1.5 × 10¹⁰) = 0.0259 × 15.713 = 0.407 eV, अतः फर्मी स्तर नैज स्तर से 0.407 eV ऊपर चढ़ गया है और अब चालन-पट्ट किनारे से लगभग 0.15 eV नीचे बैठा है। p-प्रकार का दर्पण-प्रतिबिंब E_i − E_F = kT ln(p/n_i) है, जो N_A = 10¹⁷ हेतु वही 0.407 eV अधोमुखी देता है। प्रतिकरण वहाँ है जहाँ दोनों समीकरण अपना मूल्य अर्जित करते हैं। किसी नमूने को N_D = 5 × 10¹⁶ तथा N_A = 2 × 10¹⁶ cm⁻³ दोनों से अपमिश्रित करें। दाता व ग्राही एक-दूसरे का नाश नहीं करते; प्रत्येक अभी वहीं है, अभी आयनित, अभी वाहकों का प्रकीर्णन करता हुआ। किंतु आवेश-उदासीनता केवल नेट देखती है, अतः n ≈ N_D − N_A = 3 × 10¹⁶ cm⁻³ तथा p = 2.25 × 10²⁰/3 × 10¹⁶ = 7500 cm⁻³। पदार्थ विद्युतीय रूप से ऐसा व्यवहार करता है मानो वह 3 × 10¹⁶ पर अपमिश्रित हो, और p-कूप n-आधार के भीतर ठीक इसी प्रकार बनाया जाता है, तथा दाता-अपमिश्रित संग्राहक में ग्राही विसरित करके आधार-क्षेत्र इसी प्रकार बनता है।
| क्षेत्र | स्थूल ताप-परिसर | n को क्या सीमित करता है | n का व्यवहार |
|---|---|---|---|
| हिमीभवन | लगभग 100 K से नीचे | 45 meV दाता को आयनित करने हेतु kT अत्यल्प | T के साथ तीव्रता से बढ़ता है; अधिकांश दाता अभी उदासीन |
| अपद्रव्यी | स्थूलतः 150 K से 500 K | अपमिश्रण — प्रत्येक दाता आयनित, n_i अभी अतिसूक्ष्म | n = N_D पर सपाट — वही क्षेत्र जिसमें प्रत्येक युक्ति अभिकल्पित है |
| नैज | इस अपमिश्रण हेतु स्थूलतः 550 K से ऊपर | n_i, N_D तक पहुँच गया है | पुनः चरघातांकी रूप से बढ़ता है; संधि दिष्टीकरण बंद कर देती है |
1.5 × 10¹⁰ cm⁻³ तथा आधुनिक मापित 1.0 × 10¹⁰ cm⁻³। दोनों प्रश्न-पत्रों में प्रकट होते हैं, और अंतर सजावटी नहीं है, क्योंकि n_i अधिकांश उत्तरों में वर्गित प्रवेश करता है। हमारा अपमिश्रित नमूना पुनः लें। n_i = 1.5 × 10¹⁰ सहित अल्पसंख्यक विवर-सांद्रता p = 2.25 × 10²⁰/10¹⁷ = 2250 cm⁻³ है; n_i = 1.0 × 10¹⁰ सहित वह 1.0 × 10²⁰/10¹⁷ = 1000 cm⁻³ है। अचर में 50 प्रतिशत का अंतर उत्तर में 2.25 का गुणक बन जाता है, और वही वर्गीकरण प्रतीप संतृप्ति धारा से होकर, अल्पसंख्यक-वाहक निवेशन से होकर, आगे की प्रत्येक वस्तु से होकर चलता है। दो आदतें आपकी रक्षा करती हैं। प्रथम, प्रश्न जो मान कहे उसी का प्रयोग करें और किसी अन्य का नहीं, चाहे वह आपके कंठस्थ मान से असहमत हो; परीक्षक विधि जाँच रहा है, और संख्यात्मक-उत्तर प्रश्न उसी मान के सम्मुख जाँचा जाता है जो उन्होंने प्रयुक्त किया। द्वितीय, जब प्रश्न आपको n_i व अपमिश्रण देकर किसी संधि का अंतर्निर्मित विभव पूछे, ध्यान दें कि V_bi, ln(N_A N_D/n_i²) पर निर्भर है — एक लघुगणक, अतः वही 2.25, V_bi को केवल kT ln 2.25 = 21 mV से हिलाता है। n_i के प्रति संवेदनशीलता वाहक-सांद्रताओं में क्रूर है और विभवों में मंद, और कौन-सी कौन है यह जानना बताता है कि कब चिंता करनी है।प्रत्यक्ष व अप्रत्यक्ष अंतराल: सिलिकॉन देखता क्यों है किंतु चमक क्यों नहीं सकता
पट्ट-किनारे सपाट रेखाएँ नहीं हैं; वे क्रिस्टल संवेग k के सम्मुख आलेखित वक्रों के चरम हैं। गैलियम आर्सेनाइड में चालन पट्ट का निम्नतम व संयोजी पट्ट का उच्चतम दोनों k = 0 पर बैठते हैं, ब्रिल्वाँ क्षेत्र के केंद्र पर, अतः इलेक्ट्रॉन संवेग बदले बिना एक से दूसरे में गिर सकता है: प्रत्यक्ष अंतराल। सिलिकॉन में संयोजी उच्चतम k = 0 पर है किंतु चालन निम्नतम ⟨100⟩ दिशा के अनुदिश बाहर पड़ता है, और जर्मेनियम में वह ⟨111⟩ के अनुदिश; दोनों अप्रत्यक्ष अंतराल हैं। अब चित्र में एक फोटॉन रखें। 1.12 eV के फोटॉन की तरंगदैर्घ्य 1107 nm है और अतः उसका संवेग ब्रिल्वाँ क्षेत्र की चौड़ाई से स्थूलतः तीन कोटि लघु — वह पर्याप्त ऊर्जा वहन करता है और वस्तुतः कोई संवेग नहीं। अतः प्रत्यक्ष संक्रमण को एक फोटॉन चाहिए और कुछ नहीं, जबकि अप्रत्यक्ष संक्रमण को उसी क्षण लुप्त संवेग देने हेतु एक फोनॉन खोजना ही पड़ता है। एक के बजाय दो कणों के साथ आने की अपेक्षा ही अप्रत्यक्ष संक्रमणों को कोटियों से कम संभाव्य बनाती है, और इस खंड का प्रत्येक परिणाम उसी एक तथ्य का प्रसार है।
| गुणधर्म | प्रत्यक्ष अंतराल (GaAs) | अप्रत्यक्ष अंतराल (Si) | क्यों |
|---|---|---|---|
| विकिरणी पुनर्संयोजन | दक्ष — प्रमुख पथ | अत्यंत क्षीण; ऊष्मा जीत जाती है | द्वि-कण प्रक्रिया को फोटॉन के अतिरिक्त फोनॉन भी चाहिए |
| अल्पसंख्यक-वाहक जीवनकाल | नैनोसेकंड | माइक्रोसेकंड से मिलीसेकंड | वही न्यून संक्रमण-प्रायिकता, जीवनकाल के रूप में पढ़ी गई |
| अंतराल के निकट अवशोषण | प्रबल — लगभग 1 µm में अवशोषित | क्षीण — दसियों माइक्रोन चाहिए | अवशोषण वही संक्रमण उल्टी दिशा में चलाया गया है |
| विशिष्ट सौर-सेल मोटाई | कुछ µm | लगभग 180 µm | प्रकाश अवशोषित करने हेतु वेफर पर्याप्त मोटा होना ही चाहिए |
| प्रयोग | LED, लेज़र, उच्च-गति फोटोडायोड | तर्क, स्मृति, संसूचक, सौर सेल | उत्सर्जन को प्रत्यक्ष चाहिए; शेष सबको नहीं |
L = √(Dτ) नियत करता है। N_D = 10¹⁷ cm⁻³ वाला हमारा सिलिकॉन लें, D_n = 20.7 cm²/s व τ_n = 1 µs सहित: L_n = √(20.7 × 10⁻⁶) = 4.55 × 10⁻³ cm = 45.5 µm। किसी भी युक्ति-विमा की तुलना में वह विशाल है — द्विध्रुवी आधार एक माइक्रोन से कम है, सौर सेल का अवशोषक 180 µm — और वही कारण है कि सिलिकॉन में निवेशित वाहक आधार पार करके संग्रहित होने तक जीवित रह जाता है, तथा वही कारण कि सौर सेल में गहराई पर प्रकाश-जनित वाहक फिर भी संधि तक विसरित हो सकता है। नैनोसेकंड जीवनकाल वाले गैलियम आर्सेनाइड की विसरण लंबाइयाँ कुछ माइक्रोन हैं और उसे अपना सम्पूर्ण प्रकाश उन्हीं के भीतर अवशोषित करना ही पड़ता है। अतः अप्रत्यक्ष अंतराल सिलिकॉन से उत्सर्जन की सामर्थ्य छीनता है और उसे संचरण की सामर्थ्य देता है, और ट्रांजिस्टर व सौर सेल को वस्तुतः दूसरी ही चाहिए। प्रकृति ने सिलिकॉन को दोषपूर्ण पट्ट-संरचना नहीं दी; उसने उद्योग को वह पदार्थ दिया जिसकी दुर्बलता उस एक कार्य में है जिसे वह अन्यत्र से आयात कर सकता था।अपवाह, गतिशीलता व प्रतिरोधकता — तथा वह वेग जिसका पूर्वानुमान गतिशीलता नहीं कर सकती
क्षेत्र E लगाएँ और वाहक त्वरित होता है, किसी फोनॉन अथवा आयनित अपद्रव्य से प्रकीर्णित होता है, और पुनः आरंभ करता है। अनेक प्रकीर्णन-घटनाओं पर औसत लेने से परिणाम क्षेत्र के समानुपाती स्थिर अपवाह वेग है, v_d = µE, जहाँ गतिशीलता µ की इकाइयाँ cm²/V·s हैं और वह समानुपात-अचर से अधिक कुछ नहीं। तब अपवाह धारा-घनत्व J_drift = q(n µ_n + p µ_p)E = σE है, जो σ = q(n µ_n + p µ_p) व ρ = 1/σ सहित ओम का नियम है। संदर्भ नमूना हल करें: N_D = 10¹⁷ cm⁻³ पर n-प्रकार सिलिकॉन, जहाँ उस अपमिश्रण पर गतिशीलताएँ µ_n = 800 व µ_p = 350 cm²/V·s हैं। इलेक्ट्रॉन-पद σ_n = 1.6 × 10⁻¹⁹ × 10¹⁷ × 800 = 12.8 S/cm है, अतः ρ = 1/12.8 = 0.0781 Ω·cm। अब विवर-पद निकालें और देखें उसका क्या होता है: σ_p = 1.6 × 10⁻¹⁹ × 2250 × 350 = 1.26 × 10⁻¹³ S/cm, जो चौदह कोटि लघुतर है। अपद्रव्यी पदार्थ में अल्पसंख्यक वाहक चालकता में कुछ भी योगदान नहीं देते, और इसीलिए इस पेपर में आप जिस भी प्रतिरोधकता-सूत्र का प्रयोग करेंगे उसमें एक ही पद है — और इसीलिए अल्पसंख्यक वाहक, जो यहाँ अप्रासंगिक हैं, उस क्षण सम्पूर्ण कथा बन जाते हैं जब कोई संधि उनका निवेशन करती है।
| नमूना | प्रयुक्त वाहक | σ (S/cm) | ρ (Ω·cm) |
|---|---|---|---|
| नैज Si | n = p = 1.5 × 10¹⁰, µ_n = 1350, µ_p = 480 | 4.39 × 10⁻⁶ S/cm | 2.28 × 10⁵ Ω·cm |
n-Si, N_D = 10¹⁷ | n = 10¹⁷, µ_n = 800 | 12.8 S/cm | 0.0781 Ω·cm |
| अनुपात | प्रति 10⁵ सिलिकॉन परमाणु 2 भाग का अपमिश्रण | चालकता 2.9 × 10⁶ गुना ऊपर | प्रतिरोधकता 2.9 × 10⁶ से गिरती है |
v_d = µE एक निम्न-क्षेत्र रैखिकीकरण है, और उसे नियम मानना ऐसे उत्तर देता है जो भौतिकी का उल्लंघन करते हैं। संदर्भ नमूने में E = 1 kV/cm पर v_d = 800 × 1000 = 8 × 10⁵ cm/s, जो सिलिकॉन के लगभग 1 × 10⁷ cm/s के संतृप्ति वेग से सुखपूर्वक नीचे है, अतः रैखिक रूप ठीक है और पदार्थ ओमीय है। अब E = 50 kV/cm तक धकेलें, वह क्षेत्र जो आधुनिक MOSFET के भीतर 0.2 µm पर 1 V का पतन नियमित रूप से उत्पन्न करता है। सूत्र 800 × 50 000 = 4 × 10⁷ cm/s का पूर्वानुमान देता है, सिलिकॉन में वाहक की अधिकतम संभव गति का चार गुना। वस्तुतः यह होता है कि स्थूलतः 10⁴ V/cm से ऊपर वाहक टकराहटों के बीच प्रकाशिक फोनॉन उत्सर्जित करने योग्य ऊर्जा प्राप्त कर लेते हैं, प्रकीर्णन-दर क्षेत्र के साथ बढ़ती है, और वेग 1 × 10⁷ cm/s पर सपाट हो जाता है — अतः प्रभावी गतिशीलता अपने निम्न-क्षेत्र मान के पाँचवें भाग तक ढह गई है। दो बातें निकलती हैं। प्रथम, संतृप्ति में लघु-चैनल MOSFET की ड्रेन धारा उसके वर्ग के बजाय स्थूलतः अतिचालन V_GS − V_T के समानुपाती होती है, क्योंकि वाहक चाहे जो हो v_sat पर ही चल रहे हैं। द्वितीय, वेग-संतृप्त युक्ति में उपयोगी संख्या संचरण-काल है, गतिशीलता नहीं: 10⁷ cm/s पर 1 µm चैनल के आर-पार संचरण 10⁻⁴/10⁷ = 10⁻¹¹ s = 10 ps लेता है, और कितना भी अतिरिक्त क्षेत्र उसे छोटा नहीं करेगा। v_sat के सम्मुख जाँच किए बिना अपवाह वेग उद्धृत करें और आप अंततः सिलिकॉन में किसी भी वाहक की अब तक की गति से तेज़ चलता वाहक बता देंगे।गतिशीलता स्वयं पदार्थ का अचर नहीं बल्कि प्रकीर्णन-मार्गों का योग है, जिन्हें माथीसन नियम 1/µ = 1/µ_lattice + 1/µ_impurity संयुक्त करता है। जालक (फोनॉन) प्रकीर्णन तब बिगड़ता है जब क्रिस्टल अधिक प्रबलता से कंपित होता है, अतः µ_lattice स्थूलतः T^(−3/2) के रूप में गिरता है। आयनित-अपद्रव्य प्रकीर्णन विपरीत करता है: तीव्रतर वाहक स्थिर आवेश से कम विक्षेपित होता है, अतः µ_impurity स्थूलतः T^(3/2) के रूप में बढ़ता है और अपद्रव्य-संख्या बढ़ने पर गिरता है। दोनों साथ मिलकर ऐसी गतिशीलता देते हैं जो किसी मध्यवर्ती ताप पर शिखर बनाती है और जो अपमिश्रण के साथ गिरती है — और इस अध्याय की संख्याएँ ठीक वही दिखाती हैं, µ_n मंद अपमिश्रित सिलिकॉन में 1350 से 10¹⁷ cm⁻³ पर 800 तक गिरता हुआ। दो परीक्षणीय परिणाम। प्रथम, प्रतिकृत नमूने में प्रकीर्णन कुल आयनित अपद्रव्य-सांद्रता गिनता है, नेट नहीं: हमारे N_D = 5 × 10¹⁶, N_A = 2 × 10¹⁶ नमूने का n = 3 × 10¹⁶ है किंतु उसका प्रकीर्णन सम्पूर्ण 7 × 10¹⁶ आयनित केंद्रों से होता है, अतः उसकी गतिशीलता एकसमान 3 × 10¹⁶ n-प्रकार नमूने से न्यूनतर है। द्वितीय, अपद्रव्यी क्षेत्र में n, N_D पर जड़ा है जबकि µ ताप के साथ गिरता है, अतः अपमिश्रित अर्धचालक की प्रतिरोधकता ताप के साथ बढ़ती है — धनात्मक ताप-गुणांक, उस नैज व्यवहार का विपरीत जो सबको स्मरण है, और विसरित सिलिकॉन प्रतिरोधक के सुविख्यात धनात्मक अपवाह का आधार।
विसरण, तथा वह आइंस्टाइन संबंध जो आनुभविक फिटिंग नहीं है
दूसरी संचरण-क्रियाविधि को कोई क्षेत्र ही नहीं चाहिए। यदि वाहक एक स्थान पर दूसरे से अधिक सांद्र हों, यादृच्छिक तापीय गति भीड़ वाले क्षेत्र से उनमें से अधिक को बाहर ले जाती है, भीतर लाने की तुलना में, और नेट अभिवाह सांद्रता-प्रवणता के समानुपाती है। फ़िक का नियम कण-अभिवाह देता है, और आवेश से गुणा करने पर धारा: J_n,diff = +q D_n (dn/dx) तथा J_p,diff = −q D_p (dp/dx)। चिह्नों पर रुकना उचित है, क्योंकि वे अंक-हानि के स्थायी स्रोत हैं। विवर अपनी प्रवणता के अनुदिश नीचे विसरित होते हैं और अपने साथ धनावेश ले जाते हैं, अतः धनात्मक प्रवणता ऋणात्मक धारा देती है — इसीलिए ऋण चिह्न। इलेक्ट्रॉन भी अपनी प्रवणता के अनुदिश नीचे विसरित होते हैं, किंतु वे ऋणावेश ले जाते हैं, अतः दोनों चिह्न-परिवर्तन निरसित हो जाते हैं और इलेक्ट्रॉन विसरण धारा धन चिह्न सहित निकलती है। दोनों को एक बार, उसी रूप में लिख लें, और उन्हें यह स्मरण करने के प्रयास के बजाय भौतिकी के सम्मुख जाँचें कि ऋण चिह्न किसमें है।
J_n = q µ_n n E + q D_n (dn/dx) = 0 लिखें, n व विभव के बीच बोल्ट्ज़मान संबंध प्रतिस्थापित करें, और n निरसित होकर ठीक D_n/µ_n = kT/q छोड़ जाता है। अतः आइंस्टाइन संबंध मापित संयोग नहीं; वह बोल्ट्ज़मान सांख्यिकी के अंतर्गत ओम के नियम व फ़िक के नियम के बीच संगति का मूल्य है। संख्यात्मक रूप से 300 K पर kT/q = 0.0259 V, अतः हमारे संदर्भ नमूने में D_n = 0.0259 × 800 = 20.7 cm²/s तथा D_p = 0.0259 × 350 = 9.07 cm²/s। उप-उत्पाद पर ध्यान दें, जो स्वयं परीक्षणीय है: प्रवणित अपमिश्रण-परिच्छेदिका कोई अभिनति लगे बिना भी अंतर्निर्मित क्षेत्र वहन करती है, E = (kT/q)(1/n)(dn/dx), और द्विध्रुवी ट्रांजिस्टर का प्रवणित आधार वाहकों को शीघ्रता से पार कराने हेतु ठीक उसी क्षेत्र का प्रयोग करता है।अब दोनों क्रियाविधियों की वास्तविक संख्याओं पर तुलना करें, क्योंकि तुलना ही बताती है कि युक्ति के किसी दिए क्षेत्र में किसे रखना है। मानें कि आधिक्य इलेक्ट्रॉन-सांद्रता x = 0 पर Δn = 10¹⁵ cm⁻³ से x = 1 µm पर शून्य तक रैखिकतः गिरती है। प्रवणता 10¹⁵/10⁻⁴ = 10¹⁹ cm⁻⁴ है, अतः J_diff = q D_n (dn/dx) = 1.6 × 10⁻¹⁹ × 20.7 × 10¹⁹ = 33.2 A/cm² — एक मंद-प्रतीत प्रवणता से अत्यंत बृहत् धारा-घनत्व, और यही सम्पूर्ण कारण कि विसरण की उपेक्षा नहीं हो सकती। अब उन्हीं 10¹⁵ cm⁻³ इलेक्ट्रॉनों को 10 V/cm के मामूली क्षेत्र में रखें: J_drift = q n µ_n E = 1.6 × 10⁻¹⁹ × 10¹⁵ × 800 × 10 = 1.28 A/cm², जो 26 गुना लघुतर है। वह अनुपात उस प्रत्येक डायोड व द्विध्रुवी ट्रांजिस्टर गणना के पीछे का संरचनात्मक तथ्य है जो आप करेंगे। अर्ध-उदासीन क्षेत्रों में बहुसंख्यक वाहक किसी भी क्षेत्र का परिरक्षण इतने प्रभावी रूप से कर देते हैं कि केवल कुछ वोल्ट प्रति सेंटीमीटर शेष रहते हैं, और वहाँ अल्पसंख्यक-वाहक संचरण शुद्ध विसरण है। अवक्षय क्षेत्र में क्षेत्र दसियों किलोवोल्ट प्रति सेंटीमीटर है और अपवाह पूर्णतः प्रभावी है। युक्तियों का विश्लेषण क्षेत्र-दर-क्षेत्र सुविधा हेतु नहीं होता, बल्कि इसलिए कि प्रत्येक क्षेत्र में इन दो पदों में से एक वस्तुतः उपेक्षणीय है।
| गुणधर्म | अपवाह | विसरण |
|---|---|---|
| चालक | विद्युत क्षेत्र E | सांद्रता प्रवणता dn/dx |
| इलेक्ट्रॉन धारा | +q n µ_n E | +q D_n (dn/dx) |
| विवर धारा | +q p µ_p E | −q D_p (dp/dx) |
| मुख्यतः वहन | बहुसंख्यक वाहक | युक्ति में, अल्पसंख्यक वाहक |
| प्रभावी क्षेत्र | अवक्षय क्षेत्र, प्रतिरोधक, चैनल | अर्ध-उदासीन क्षेत्र: डायोड के पार्श्व, BJT आधार |
| यहाँ संदर्भ मान | 10 V/cm पर 1.28 A/cm² | 1 µm पर 33.2 A/cm² |
जनन व पुनर्संयोजन: जीवनकाल, तथा अल्पसंख्यक वाहक सब कुछ क्यों चलाते हैं
साम्य पर जनन व पुनर्संयोजन दोनों निरंतर और ठीक समान दरों पर हो रहे हैं, और np = n_i² यही अभिलेखित करता है। संतुलन भंग करें — नमूने पर प्रकाश डालें, अथवा उसमें किसी संधि को अग्र-अभिनत करें — और आधिक्य जनसंख्या Δn = Δp प्रकट हो जाती है, जो Δn/τ दर से पुनर्संयोजन द्वारा क्षय होकर लौटती है, जहाँ τ वाहक जीवनकाल है। तीन पुनर्संयोजन-पथ प्रतिस्पर्धा करते हैं। पट्ट-से-पट्ट पुनर्संयोजन E_c से E_v तक का सीधा पतन है और, जैसा पिछला खंड बता चुका, अप्रत्यक्ष-अंतराल पदार्थ में क्षीण है। शॉक्ली–रीड–हॉल पुनर्संयोजन मध्य-अंतराल के निकट किसी दोष अथवा अवांछित अपद्रव्य द्वारा योगदान किए ट्रैप स्तर से होकर जाता है, और सिलिकॉन में वही व्यापक अंतर से प्रमुख पथ है। ऑगर पुनर्संयोजन ऊर्जा फोटॉन के बजाय तीसरे वाहक को दे देता है और केवल अत्यंत उच्च वाहक-घनत्व पर महत्व रखता है, और इसीलिए वह अधिक अपमिश्रित उत्सर्जकों तथा उच्च-निवेशन सौर सेलों को सीमित करता है। निम्न-स्तर निवेशन के अंतर्गत — Δn बहुसंख्यक सांद्रता से बहुत लघु — क्षय स्वच्छ एकल चरघातांकी Δn(t) = Δn(0) exp(−t/τ) है, और वही मान्यता इस पाठ्यक्रम के प्रत्येक विश्लेषणात्मक युक्ति-मॉडल को साध्य बनाती है।
संदर्भ नमूने पर एक प्रदीपन उदाहरण हल करें, N_D = 10¹⁷ cm⁻³ तथा τ = 1 µs सहित। उसे प्रकाशिक जनन-दर G_L = 10²⁰ cm⁻³s⁻¹ पर एकसमान रूप से प्रदीप्त करें। स्थायी अवस्था में जनन पुनर्संयोजन के बराबर है, अतः G_L = Δn/τ, जिससे Δn = Δp = 10²⁰ × 10⁻⁶ = 10¹⁴ cm⁻³। पहले निम्न-निवेशन मान्यता जाँचें, क्योंकि वही मान्यता उसके बाद की प्रत्येक वस्तु को अवैध कर सकती है: Δn/n_0 = 10¹⁴/10¹⁷ = 0.001, अतः बहुसंख्यक जनसंख्या सहस्र में एक भाग बदली और निम्न-स्तर निवेशन सुखपूर्वक लागू है। प्रकाश-चालकता Δσ = q(Δn µ_n + Δp µ_p) = 1.6 × 10⁻¹⁹ × 10¹⁴ × (800 + 350) = 0.0184 S/cm है, 12.8 S/cm की अंधकार-चालकता के सम्मुख — केवल 0.14 प्रतिशत का परिवर्तन। प्रकाश बंद करें और आधिक्य 1 µs समय-अचर से क्षय होता है, τ ln 10 = 2.30 µs में अपने मान के दसवें भाग तक पहुँचता हुआ।
Δn = Δp — पिंड में आवेश-उदासीनता इसकी माँग करती है। किंतु जिन दो जनसंख्याओं में वे जोड़े जाते हैं वे अत्यंत भिन्न हैं। संदर्भ नमूने में n_0 = 10¹⁷ तथा p_0 = 2250 cm⁻³, अतः 10¹⁴ cm⁻³ का समरूप आधिक्य इलेक्ट्रॉनों का 0.1 प्रतिशत विक्षोभ है और विवरों हेतु 10¹⁴/2250 = 4.4 × 10¹⁰ का गुणक — चौवालीस अरब गुना। वह असममिति युक्ति-भौतिकी का सर्वाधिक उपयोगी एकल संरचनात्मक तथ्य है, और वह एक साथ बातों की लंबी सूची समझाता है। इसी कारण अगले अध्याय का प्रत्येक युक्ति-समीकरण अल्पसंख्यक-वाहक सांद्रताओं में लिखा जाता है: बहुसंख्यक वाहक जो हो रहा है उसे अल्प ही अनुभव करते हैं, अतः वे कोई सूचना नहीं वहन करते, जबकि अल्पसंख्यक जनसंख्या विक्षोभ का संवेदी प्रवर्धक है। इसी कारण डायोड की धारा दोनों ओर की अत्यधिक बृहत् बहुसंख्यक जनसंख्याओं के बजाय संधि के आर-पार अल्पसंख्यक निवेशन से नियत होती है। इसी कारण प्रकाश-संसूचक उत्क्रम-अभिनत संधि के रूप में बनाया जाता है, जहाँ अल्पसंख्यक वाहक लगभग-शून्य पृष्ठभूमि के सम्मुख संग्रहित होते हैं, न कि पिंड प्रकाश-चालक के रूप में, जहाँ — जैसा ऊपर निकाला — सम्पूर्ण प्रकाशिक संकेत चालकता को प्रतिशत के सातवें भाग से हिलाता है। लघु जनसंख्या खोजें, क्योंकि संकेत वहीं है।τ के विषय में एक चेतावनी, क्योंकि विद्यार्थी उसे ही सर्वाधिक बार पदार्थ-अचर मानते हैं और वह वैसा कुछ भी नहीं है। जीवनकाल पुनर्संयोजन-केंद्रों के घनत्व के व्युत्क्रमानुपाती है, अतः वह इससे नियत होता है कि क्रिस्टल कितना स्वच्छ है और उसमें जानबूझकर क्या डाला गया है। फ़्लोट-ज़ोन सिलिकॉन मिलीसेकंड तक पहुँच सकता है; स्वर्ण अथवा प्लैटिनम से संदूषित वही वेफर नैनोसेकंड तक गिर जाता है, और वह संदूषण द्रुत-प्रत्यावर्तन डायोडों में जानबूझकर किया जाता है, जहाँ दीर्घ जीवनकाल का अर्थ दीर्घ उत्क्रम-प्रत्यावर्तन काल व स्विचन हानियाँ होता। पृष्ठ भी पुनर्संयोजन-केंद्र हैं — मुक्त पृष्ठ पर लंबित बंध होते हैं और उसका वर्णन पृष्ठ पुनर्संयोजन वेग से होता है — अतः लघु अथवा पतली युक्ति अपने पिंड के बजाय पूर्णतः अपने पृष्ठों से सीमित हो सकती है, और इसीलिए निष्क्रियन-स्तर अस्तित्व में हैं तथा इसीलिए सौर सेल का पश्च-पृष्ठ क्षेत्र अतिरिक्त प्रक्रिया-चरण के योग्य है। जब प्रश्न कोई जीवनकाल उद्धृत करता है, वह निर्माण-चयन उद्धृत कर रहा है, सिलिकॉन का गुणधर्म नहीं।
पॉयसों व सांतत्य: वे दो समीकरण जो प्रत्येक युक्ति को दो भागों में बाँट देते हैं
पॉयसों समीकरण क्षेत्र को उस आवेश से संबंधित करता है जो उसे उत्पन्न करता है: dE/dx = ρ/ε_s, अथवा तुल्य रूप से d²φ/dx² = −ρ/ε_s, ρ = q(p − n + N_D − N_A) सहित। सिलिकॉन हेतु ε_s = 11.7 × 8.854 × 10⁻¹⁴ = 1.036 × 10⁻¹² F/cm। अवक्षय क्षेत्र के भीतर मुक्त वाहक बहा दिए गए हैं, अतः ρ केवल आयनित अपमिश्रक आवेश है और क्षेत्र-परिच्छेदिका एक सरल रेखा है जिसकी प्रवणता आप एक चरण में निकाल सकते हैं। N_D = 10¹⁶ cm⁻³ हेतु dE/dx = qN_D/ε_s = 1.6 × 10⁻¹⁹ × 10¹⁶/1.036 × 10⁻¹² = 1.54 × 10⁹ V/cm², जो अवक्षय के प्रत्येक माइक्रोन हेतु 154 kV/cm है। वह एक संख्या बता देती है कि अवक्षय क्षेत्र दसियों माइक्रोन के बजाय माइक्रोन के अंश चौड़े क्यों होते हैं: एक-दो वोल्ट का पट्ट-नमन लगभग तत्काल व्यय हो जाता है। वही समीकरण, गेट ऑक्साइड के आर-पार लगाया जाए, तो अगले अध्याय के MOS संधारित्र को उसका Q = C_ox V व्यवहार देता है।
सांतत्य समीकरण प्रति एकांक आयतन लिखा वाहक-संरक्षण हैं: किसी परत में इलेक्ट्रॉनों के एकत्र होने की दर उतनी है जितना भीतर बहता है घटा जितना बाहर बहता है, जोड़ जितना जनित होता है घटा जितना पुनर्संयोजित होता है। एक विमा में ∂n/∂t = (1/q)(∂J_n/∂x) + (G_n − R_n) तथा ∂p/∂t = −(1/q)(∂J_p/∂x) + (G_p − R_p) — पुनः चिह्न-अंतर केवल वाहक का आवेश है। J हेतु अपवाह-विसरण व्यंजक प्रतिस्थापित करें, केवल विसरण रखें क्योंकि हम अर्ध-उदासीन क्षेत्र में हैं, निम्न-स्तर निवेशन हेतु R − G = Δp/τ_p प्रयोग करें, और स्थायी अवस्था खोजें। सब कुछ अल्पसंख्यक-वाहक विसरण समीकरण D_p (d²Δp/dx²) = Δp/τ_p में सिमट जाता है, जिसका हल Δp(x) = Δp(0) exp(−x/L_p) है, L_p = √(D_p τ_p) सहित। वह चरघातांकी, और वह लंबाई, विद्यमान लगभग प्रत्येक डायोड-प्रश्न का उत्तर हैं। हमारे नमूने हेतु L_p = √(9.07 × 10⁻⁶) = 3.01 × 10⁻³ cm = 30.1 µm तथा L_n = √(20.7 × 10⁻⁶) = 45.5 µm, दोनों τ = 1 µs सहित। ध्यान दें कि L_n > L_p केवल इसलिए है कि D_n > D_p, जो पीछे इलेक्ट्रॉनों के विवरों से अधिक गतिशील होने तक जाता है।
τ_d = ε_s ρ वह अवधि है जो बहुसंख्यक वाहक स्वयं को पुनर्व्यवस्थित करके किसी भी क्षेत्र का परिरक्षण करने में लेते हैं: हमारे नमूने हेतु τ_d = 1.036 × 10⁻¹² × 0.0781 = 8.1 × 10⁻¹⁴ s, अर्थात् 81 फेम्टोसेकंड। अल्पसंख्यक-वाहक जीवनकाल 1 µs है। अनुपात 1.2 × 10⁷ है। अतः जिस भी समय-मापक्रम पर युक्ति वस्तुतः प्रचालित होती है, बहुसंख्यक वाहक परिरक्षण पहले ही समाप्त कर चुके हैं — 'अर्ध-उदासीन' का ठीक यही अर्थ है — जबकि अल्पसंख्यक वाहक अभी धीरे-धीरे विसरित व पुनर्संयोजित हो रहे हैं, और सांतत्य समीकरण उसी का अनुसरण करता है। दोनों भौतिकी-समस्याएँ हस्तक्षेप नहीं करतीं क्योंकि वे समय-अक्ष की भिन्न शताब्दियों में घटती हैं। उसी पृथक्करण का एक लंबाई-रूप भी है: N_D = 10¹⁷ cm⁻³ हेतु डिबाई लंबाई L_D = √(ε_s kT/q²N_D) = 13 nm, और वही दूरी है जिस पर अवक्षय-किनारा वस्तुतः आकस्मिक होने के बजाय फैला हुआ है। अवक्षय सन्निकटन तब भला है जब अवक्षय चौड़ाई L_D से बहुत बृहत् हो, और अगले अध्याय में हल की गई संधि हेतु वह 13 nm के सम्मुख 0.33 µm है — 25 का गुणक, सुखपूर्वक सुरक्षित। आप जिन दोनों सन्निकटनों पर सम्पूर्ण अध्याय टिकेंगे, प्रत्येक एक अनुपात से प्रमाणित है, और दोनों अनुपात बृहत् हैं।| समीकरण | वह क्या लागू करता है | इस पाठ्यक्रम में उसका प्रयोग कहाँ है |
|---|---|---|
पॉयसों, dE/dx = ρ/ε_s | गाउस का नियम — आवेश क्षेत्र बनाता है | अवक्षय चौड़ाई, शिखर क्षेत्र, संधि धारिता, MOS देहली |
सांतत्य, ∂p/∂t = −(1/q)∂J_p/∂x + G − R | वाहक बिना लेखे न बनते हैं न खोते हैं | डायोड संतृप्ति धारा, BJT आधार संचरण, फोटोडायोड अनुक्रिया |
अपवाह-विसरण, J_n = qµ_n nE + qD_n dn/dx | वाहक वस्तुतः कैसे चलते हैं | शेष सब पाने हेतु सांतत्य में प्रतिस्थापित |
Δp = Δp(0)exp(−x/L_p) | ऊपर के तीनों का स्थायी-अवस्था हल | यहाँ 30.1 µm — वह लंबाई जो प्रत्येक डायोड-उत्तर में है |
np = n_i² में वर्ग भूल जाना, गतिशीलता हेतु कुल के बजाय नेट अपद्रव्य-सांद्रता प्रयोग करना, अथवा वेग-संतृप्ति के आगे µE उद्धृत करना — अतः इकाइयाँ व परिमाण-कोटियाँ जाँचकर विकल्प निरस्त करना पुनर्गणना से अधिक मूल्यवान है। आरंभ करने से पूर्व दिए गए अचर अपने रूखे पन्ने के शीर्ष पर लिख लें: kT/q, n_i, ε_s, तथा q। इस खंड की आधी अंकगणितीय त्रुटियाँ गणना के मध्य किसी अचर की खोज से हुई प्रतिलेखन-त्रुटियाँ हैं।मुख्य बिंदु
- पट्ट
10⁻²²eV के अंतर पर भरेNसामान्य परमाण्वीय स्तर हैं, और सर्वोच्च पट्ट का भरण — केवल अंतराल नहीं — धातु, अर्धचालक अथवा विद्युतरोधी का निर्णय करता है। चूँकिn_i,exp(−E_g/2kT)वहन करता है, सिलिकॉन का 1.12 eV उसकी नैज सांद्रता को जर्मेनियम से 1700 गुना नीचे और गैलियम आर्सेनाइड से 7000 गुना ऊपर रखता है। - अपमिश्रण केवल फर्मी स्तर को हिलाता है;
E_c,E_vवE_gवहीं रहते हैं। सिलिकॉन मेंN_D = 10¹⁷ cm⁻³सहितn = 10¹⁷,p = n_i²/n = 2250 cm⁻³तथाE_F − E_i = 0.407 eV। जोड़ा गया प्रत्येक दाता विवरों को उसी गुणक से नीचे धकेलता है जिससे वह इलेक्ट्रॉनों को ऊपर, क्योंकिnp = n_i²नियत है। - अप्रत्यक्ष अंतराल को फोटॉन के अतिरिक्त फोनॉन भी चाहिए, अतः सिलिकॉन उपयोगी उत्सर्जन नहीं कर सकता — किंतु वही न्यून संक्रमण-दर उसे माइक्रोसेकंड जीवनकाल व 45.5 µm इलेक्ट्रॉन विसरण लंबाई देती है, और ट्रांजिस्टर आधार तथा सौर-सेल अवशोषक को ठीक वही चाहिए।
- अपद्रव्यी पदार्थ हेतु
ρ = 1/q n µ_n— अल्पसंख्यक पद चौदह कोटि नीचे है। सिलिकॉन को10¹⁷ cm⁻³तक अपमिश्रित करना प्रतिरोधकता को2.28 × 10⁵से 0.0781 Ω·cm कर देता है। किंतुv_d = µEकेवल निम्न-क्षेत्र रूप है: लगभग10⁴ V/cmसे ऊपर वेग10⁷ cm/sके निकट संतृप्त हो जाता है, अतः 1 µm संचरण 10 ps लेता है, चाहे आप कितना ही धकेलें। D/µ = kT/qसाम्य से अनिवार्य है, फिट किया नहीं: धारा-रहित असमान अपमिश्रित छड़ में अपवाह को विसरण को ठीक निरसित करना ही पड़ता है। 300 K पर वहD_n = 20.7वD_p = 9.07 cm²/sदेता है, और10¹⁵ cm⁻³की 1 µm प्रवणता 33.2 A/cm² वहन करती है — 10 V/cm पर अपवाह धारा का 26 गुना।- जनन युग्म बनाता है, अतः
Δn = Δp— किंतु10¹⁴ cm⁻³का आधिक्य इलेक्ट्रॉनों का 0.1 प्रतिशत है और साम्य विवरों का4.4 × 10¹⁰गुना। संकेत सदा अल्पसंख्यक जनसंख्या में रहता है, और इसीलिए प्रत्येक युक्ति-समीकरण अल्पसंख्यक-वाहक पदों में लिखा जाता है। - पॉयसों अवकाश-आवेश क्षेत्र का शासन करता है और सांतत्य अर्ध-उदासीन क्षेत्र का, और विभाजन वैध है क्योंकि परावैद्युत शिथिलन काल (यहाँ 81 fs) अल्पसंख्यक जीवनकाल (1 µs) से एक करोड़ गुना लघु है। अवक्षय सन्निकटन भी इसी प्रकार सुरक्षित है क्योंकि
W = 0.33 µm, 13 nm डिबाई लंबाई को बहुत पीछे छोड़ देता है।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
एक सिलिकॉन क्रिस्टल को 300 K पर 8 x 10^16 cm^-3 फॉस्फोरस तथा 3 x 10^16 cm^-3 बोरॉन दोनों मिलते हैं, और प्रत्येक अपद्रव्य परमाणु आयनित है। नैज वाहक सांद्रता 1.5 x 10^10 cm^-3 लेने पर इस प्रतिकारित पदार्थ की साम्यावस्था कोटर सांद्रता कितनी है?
उत्तर देखें
उत्तर: C — 4500 cm^-3
दाता व ग्राही एक-दूसरे को नष्ट नहीं करते, किंतु आवेश उदासीनता केवल निवल देखती है, अतः इलेक्ट्रॉन सांद्रता 8 x 10^16 घटा 3 x 10^16 = 5 x 10^16 cm^-3 है। तत्पश्चात् द्रव्यमान-क्रिया नियम कोटरों को नैज सांद्रता के वर्ग बटा उसी के रूप में देता है, 2.25 x 10^20 बटा 5 x 10^16 = 4500 cm^-3। केवल दाता सांद्रता प्रयोग करने पर 2813 cm^-3 मिलता है और ग्राहियों की सर्वथा उपेक्षा हो जाती है; दोनों मादनों को जोड़कर 1.1 x 10^17 लेने पर 2045 cm^-3 मिलता है और उदासीनता हेतु महत्वपूर्ण गिनती अपद्रव्य प्रकीर्णन हेतु महत्वपूर्ण गिनती से मिल जाती है। नैज मान बताना गहनतम त्रुटि है, क्योंकि नैज सांद्रता पदार्थ व ताप का गुण है और किसी मादन से नहीं बदलती।300 K पर एक n-प्रकार सिलिकॉन छड़ में इलेक्ट्रॉन गतिशीलता 1200 cm^2/V-s है। एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन जनसंख्या एक फलक पर 4 x 10^15 cm^-3 से 2 माइक्रोमीटर की दूरी में रैखिक रूप से घटकर शून्य हो जाती है। kT/q = 0.0259 V तथा q = 1.6 x 10^-19 C लेने पर कितना इलेक्ट्रॉन विसरण धारा घनत्व बहता है?
उत्तर देखें
उत्तर: A — 99.5 A/cm^2
विसरण नियतांक दिया नहीं गया और उसे पहले बनाना पड़ता है: आइंस्टाइन संबंध D को तापीय वोल्टता गुणा गतिशीलता के बराबर करता है, 0.0259 गुणा 1200 = 31.1 cm^2/s। तत्पश्चात् प्रवणता को सूत्र की इकाइयों में बदलें: 4 x 10^15 cm^-3 का 2 माइक्रोमीटर, अर्थात् 2 x 10^-4 cm, में गिरना 2 x 10^19 cm^-4 की प्रवणता है। अंततः इलेक्ट्रॉन विसरण धारा घनत्व q गुणा D गुणा प्रवणता है, 1.6 x 10^-19 गुणा 31.1 गुणा 2 x 10^19 = 99.5 A/cm^2। आँकड़ा 3840 A/cm^2 गतिशीलता को ही विसरण नियतांक के स्थान पर रखने से आता है, जो तापीय वोल्टता के गुणक से विमीय रूप से गलत है।n-प्रकार सिलिकॉन की एक छड़ इस प्रकार बनाई गई है कि उसकी लंबाई के अनुदिश दाता सांद्रता निरंतर घटती है। वह अंधकार में मेज पर पड़ी है, उसके किसी सिरे से कुछ भी जुड़ा नहीं है, और वह तापीय साम्य में है। उसके भीतर क्या हो रहा है?
उत्तर देखें
उत्तर: D — कोई निवल धारा नहीं है, किंतु एक आंतरिक क्षेत्र विद्यमान है जो विसरण धारा को यथातथ निरस्त करता है
साम्यावस्था किसी भी निवल प्रवाह को मना करती है, अतः प्रवणता जो भी विसरण चलाए उसे किसी वस्तु से निरस्त होना चाहिए, और एकमात्र उम्मीदवार अपवाह है। अतः असमान मादन स्वयं ही एक आंतरिक क्षेत्र उत्पन्न करता है, जिसका मान (kT/q) गुणा एक बटा n गुणा dn/dx है, और बोल्ट्ज़मान संबंध रखकर कुल इलेक्ट्रॉन धारा को शून्य करना ठीक वही तर्क है जो D बटा mu को kT/q के बराबर देता है। यह कहना कि प्रवणता को धारा चलानी ही चाहिए लुभावना पाठ है, और वह भूल जाता है कि साम्यावस्था कुल के विषय में कथन है। यह कहना कि कोई क्षेत्र है ही नहीं, आवेश की उदासीनता को विभव प्रवणता की अनुपस्थिति से मिला देता है।एक गैलियम आर्सेनाइड सौर सेल जो प्रकाश प्रयोग कर सकता है उसका लगभग सब कुछ कुछ माइक्रोमीटर में ही अवशोषित कर लेता है, जबकि सिलिकॉन सेल को वही कार्य करने हेतु लगभग 180 माइक्रोमीटर मोटा वेफर चाहिए। इस अंतर का भौतिक कारण क्या है?
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उत्तर: B — सिलिकॉन का अंतराल अप्रत्यक्ष है, अतः अंतराल के निकट अवशोषण को फोटॉन के साथ फोनॉन भी चाहिए और वह कहीं कम संभाव्य है
फोटॉन प्रचुर ऊर्जा वहन करता है और संवेग लगभग शून्य, अतः भिन्न क्रिस्टल संवेगों पर बैठे बैंड-चरमों के बीच संक्रमण केवल फोटॉन से नहीं हो सकता; लुप्त संवेग देने हेतु उसी क्षण एक फोनॉन भी आना चाहिए। एक के बजाय दो कणों की अपेक्षा संक्रमण को परिमाण की कई कोटियों से कम संभाव्य बना देती है, अतः अंतराल के निकट अवशोषण गुणांक छोटा है और वेफर मोटा होना चाहिए। सिलिकॉन का अंतराल वस्तुतः गैलियम आर्सेनाइड से छोटा है, बड़ा नहीं, अतः पहला विकल्प तुलना उलटी करता है। दीर्घ जीवनकाल उसी कम संक्रमण दर का परिणाम है, मोटाई का कारण नहीं।एक सिलिकॉन प्रतिदर्श में इलेक्ट्रॉनों की निम्न-क्षेत्र गतिशीलता 1000 cm^2/V-s है, और सिलिकॉन में इलेक्ट्रॉनों का संतृप्ति वेग लगभग 1 x 10^7 cm/s है। 80 kV/cm के क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन कितना अपवाह वेग प्राप्त करते हैं?
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उत्तर: A — लगभग 1 x 10^7 cm/s
गतिशीलता व क्षेत्र का गुणनफल, 1000 गुणा 8 x 10^4 = 8 x 10^7 cm/s, सिलिकॉन में किसी इलेक्ट्रॉन की अब तक की सर्वाधिक गति का आठ गुना है, और यही संकेत है कि निम्न-क्षेत्र रैखिकीकरण अपनी परिधि से बाहर धकेला गया है। लगभग 10^4 V/cm से ऊपर वाहक टक्करों के बीच इतनी ऊर्जा पा लेते हैं कि प्रकाशिक फोनॉन उत्सर्जित करें, प्रकीर्णन दर क्षेत्र के साथ चढ़ती है, और वेग लगभग 1 x 10^7 cm/s पर चपटा हो जाता है, अतः वही उत्तर है। 8 x 10^7 cm/s बताना ठीक वही त्रुटि है जिसमें v = mu·E को सन्निकटन के बजाय नियम मान लिया जाता है।5 x 10^16 cm^-3 पर मादित एक n-प्रकार सिलिकॉन प्रतिदर्श, जिसमें इलेक्ट्रॉन गतिशीलता 1000 तथा कोटर गतिशीलता 400 cm^2/V-s है, समान रूप से प्रदीप्त किया जाता है जिससे इलेक्ट्रॉन-कोटर युग्म 5 x 10^19 cm^-3 प्रति सेकंड की दर से बनते हैं। अतिरिक्त-वाहक जीवनकाल 2 माइक्रोसेकंड है तथा q = 1.6 x 10^-19 C। चालकता अपने अंधकार मान से कितने प्रतिशत ऊपर उठती है?
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उत्तर: D — 0.28 प्रतिशत
स्थायी अवस्था में जनन पुनर्योजन को संतुलित करता है, अतः प्रत्येक वाहक का आधिक्य जनन दर गुणा जीवनकाल है, 5 x 10^19 गुणा 2 x 10^-6 = 1 x 10^14 cm^-3, और युग्म साथ बनते हैं अतः अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन व कोटर जनसंख्याएँ बराबर हैं। अतिरिक्त चालकता q गुणा आधिक्य गुणा दोनों गतिशीलताओं का योग है, 1.6 x 10^-19 गुणा 1 x 10^14 गुणा 1400 = 0.0224 S/cm। अंधकार चालकता केवल बहुसंख्यक इलेक्ट्रॉन वहन करते हैं, 1.6 x 10^-19 गुणा 5 x 10^16 गुणा 1000 = 8.0 S/cm, अतः वृद्धि 0.0224/8 = 0.28 प्रतिशत है। प्रकाश-चालकता में केवल इलेक्ट्रॉन गतिशीलता गिनने पर 0.20 प्रतिशत मिलता है और कोटर चुपचाप छूट जाते हैं।2 x 10^16 cm^-3 पर मादित सिलिकॉन के एक अवक्षय क्षेत्र के भीतर मुक्त वाहक बह चुके हैं, अतः विद्युत् क्षेत्र स्थिति के साथ रैखिक रूप से बदलता है। सिलिकॉन की विद्युतशीलता 1.04 x 10^-12 F/cm तथा q = 1.6 x 10^-19 C लेने पर उस क्षेत्र के 0.1 माइक्रोमीटर में क्षेत्र कितना बदलता है?
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उत्तर: C — 30.8 kV/cm
गतिशील वाहक हट जाने पर आवेश घनत्व केवल आयनित मादक आवेश है, अतः पॉइसन क्षेत्र की ढाल q गुणा मादन बटा विद्युतशीलता देता है: 1.6 x 10^-19 गुणा 2 x 10^16 = 3.2 x 10^-3, बटा 1.04 x 10^-12 = 3.08 x 10^9 V प्रति cm का वर्ग। 0.1 माइक्रोमीटर की दूरी 1 x 10^-5 cm है, अतः क्षेत्र 3.08 x 10^9 गुणा 1 x 10^-5 = 3.08 x 10^4 V/cm, अर्थात् 30.8 kV/cm बदलता है। मान 308 kV/cm 0.1 माइक्रोमीटर को 10^-4 cm मानने से आता है, जो पूरा एक माइक्रोमीटर है, और यही इस गणना की सर्वाधिक सामान्य इकाई-चूक है।300 K पर एक सिलिकॉन क्रिस्टल को 1 x 10^16 cm^-3 दाताओं से मादित किया जाता है, जो पूर्णतः आयनित हैं, और उसे अंधकार में तापीय साम्य में छोड़ दिया जाता है। उसके विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — पदार्थ की नैज वाहक सांद्रता मादन से अप्रभावित रहती है; B — चालन तथा संयोजी बैंड के किनारे और बैंड अंतराल जहाँ थे वहीं रहते हैं; केवल फर्मी स्तर हटता है; C — कोटर जनसंख्या अपने नैज मान से उसी गुणक से नीचे गिरती है जिससे इलेक्ट्रॉन जनसंख्या उससे ऊपर उठती है
नैज सांद्रता बैंड अंतराल, अवस्थाओं के प्रभावी घनत्वों तथा ताप पर निर्भर है, और किसी अन्य वस्तु पर नहीं, अतः मादन उसे उतना ही नहीं बदल सकता जितना नमक डालना शुद्ध जल का क्वथनांक नहीं बदलता। मादन बैंडों के भीतर कोई अवस्था नहीं जोड़ता और बैंड किनारों को नहीं हटाता; केवल फर्मी स्तर हटता है, जो n-प्रकार पदार्थ में चालन किनारे की ओर चढ़ता है। चूँकि दोनों जनसंख्याओं का गुणनफल नैज मान के वर्ग पर टँका है, इलेक्ट्रॉन जिस गुणक से उठते हैं कोटर ठीक उसी गुणक से गिरते हैं। चालकता में कोटरों के तुलनीय अंश वाला दावा ही अस्वीकार्य है: यहाँ इलेक्ट्रॉन पद कोटर पद से लगभग चौदह कोटि भारी है।