श्रेणी अभिसरण, दो चरों में सीमा, सहसंबंध–समाश्रयण व बेज़ीय अनुमान

GATE जैवप्रौद्योगिकी (BT) पेपर का अभियांत्रिकी गणित खंड चार ऐसी बातें नामित करता है जो साझा गणित अध्याय नहीं पढ़ाते, और यह अध्याय ठीक उन्हीं चार हेतु लिखा गया है। उसका कलन शीर्षक अनुक्रम व श्रेणी तथा अभिसरण परीक्षण माँगता है, और वह अनेक चरों के फलन की सीमा, सांतत्य व अवकलनीयता माँगता है — जहाँ सीमा को केवल अक्षों के अनुदिश नहीं, प्रत्येक पथ के अनुदिश एक ही होना चाहिए। उसका प्रायिकता व सांख्यिकी शीर्षक सहसंबंध व समाश्रयण विश्लेषण तथा बेज़ीय सांख्यिकी माँगता है। BT गणित सूची का शेष सब — आव्यूह व आइगेन-मान, आंशिक अवकलज व उच्चिष्ठ, प्रवणता, अपसरण व कुंडली, ODE व लाप्लास रूपांतरण, तीन बंटन, समलंब व सिम्पसन नियम — साझा अभियांत्रिकी गणित अध्यायों में है। इसे उनके साथ पढ़ें।

1. अनुक्रम, श्रेणी तथा पहले पूछे जाने वाले दो प्रश्न

एक अनुक्रम aₙ, L पर अभिसरित होता है यदि n → ∞ होने पर उसके पद L के मनचाहे निकट पहुँचकर वहीं बने रहें; aₙ = n/(n + 1) का सीमा-मान 1 है, जबकि aₙ = (−1)ⁿ दोलन करता है और उसकी कोई सीमा नहीं। एक श्रेणी Σaₙ उसके आंशिक योगों Sₙ = a₁ + … + aₙ का अनुक्रम है, और श्रेणी तब अभिसरित होती है जब Sₙ होता है। दो प्रश्न किसी नामित परीक्षण से पहले ही GATE के अधिकांश प्रश्न सुलझा देते हैं। पहला, क्या पद शून्य की ओर जाते हैं? यदि aₙ, 0 की ओर नहीं जाता तो श्रेणी अपसरित है — यह n-वाँ पद (अपसरण) परीक्षण है, और यह केवल अपसरण ही सिद्ध कर सकता है। दूसरा, क्या यह कोई मानक श्रेणी है? गुणोत्तर श्रेणी Σ rⁿ ठीक तब a/(1 − r) पर अभिसरित होती है जब |r| < 1, और p-श्रेणी Σ 1/nᵖ ठीक तब अभिसरित होती है जब p > 1। हरात्मक श्रेणी Σ 1/n (p = 1) अपसरित होती है, यद्यपि उसके पद शून्य की ओर जाते हैं।

⚠️ पदों का शून्य की ओर जाना आवश्यक है, पर्याप्त कभी नहीं
Σ 1/n व Σ 1/√n दोनों के पद 0 की ओर जाते हैं और दोनों अपसरित हैं। n-वाँ पद परीक्षण एक-तरफ़ा द्वार है: aₙ ↛ 0 अपसरण सिद्ध करता है, पर aₙ → 0 कुछ सिद्ध नहीं करता और उसके बाद कोई वास्तविक परीक्षण करना ही पड़ता है। अभिसरण वाले MSQ में सबसे आम गलत उत्तर किसी श्रेणी को केवल इसलिए चुन लेना है कि उसका व्यापक पद लुप्त हो जाता है।

2. अभिसरण परीक्षण, तथा श्रेणी कौन-सा परीक्षण माँग रही है

धनात्मक पदों की श्रेणी हेतु मानक परीक्षण, तथा एकांतर स्थिति
परीक्षणकथनकब उपयोग करें
तुलना0 ≤ aₙ ≤ bₙ: Σbₙ अभिसारी ⇒ Σaₙ अभिसारी; Σaₙ अपसारी ⇒ Σbₙ अपसारीपद किसी p-श्रेणी या गुणोत्तर पद से परिबद्ध हो
सीमा तुलनायदि aₙ/bₙ → c जहाँ 0 < c < ∞, तो दोनों अभिसारी या दोनों अपसारीn के परिमेय फलन: अग्रणी घातों के अनुपात से तुलना करें
अनुपात (दालाम्बेर)L = lim |aₙ₊₁/aₙ|: L < 1 अभिसारी, L > 1 अपसारी, L = 1 कोई निष्कर्ष नहींक्रमगुणित व घात जैसे n!, 2ⁿ, nᵏ
मूल (कौशी)L = lim |aₙ|^(1/n): अनुपात परीक्षण वाले ही तीन निर्णयपूरा पद n घात पर उठाया गया हो
समाकलf धनात्मक, ह्रासमान, f(n) = aₙ: Σaₙ व ∫₁^∞ f(x) dx साथ-साथ अभिसरित होते हैं1/(n ln n) जैसे पद; p-श्रेणी का परिणाम भी इसी से सिद्ध होता है
लाइबनिट्ज़ (एकांतर)Σ(−1)ⁿ⁺¹bₙ अभिसारी है यदि bₙ ह्रासमान हो और bₙ → 0चिह्न एकांतर हों; फिर निरपेक्ष अभिसरण अलग से जाँचें

निरपेक्ष बनाम सप्रतिबंध अभिसरण। कोई श्रेणी निरपेक्षतः अभिसारी है यदि Σ|aₙ| अभिसरित हो, और निरपेक्ष अभिसरण से अभिसरण निकलता है। Σ(−1)ⁿ⁺¹/n² निरपेक्षतः अभिसारी है। Σ(−1)ⁿ⁺¹/n व Σ(−1)ⁿ⁺¹/√n लाइबनिट्ज़ से अभिसरित होती हैं, परंतु उनकी निरपेक्ष श्रेणियाँ p ≤ 1 वाली p-श्रेणियाँ हैं और अपसरित होती हैं — अतः वे सप्रतिबंध अभिसारी हैं। अनुपात परीक्षण का उदाहरण: Σ n²/2ⁿ हेतु aₙ₊₁/aₙ = (n + 1)²/(2n²) → 1/2 < 1, अतः श्रेणी अभिसारी है। Σ n!/nⁿ हेतु अनुपात (n/(n + 1))ⁿ → 1/e < 1 है, अतः वह भी अभिसारी है।

🧠 जब अनुपात परीक्षण 1 दे, अनुमान न लगाएँ, परीक्षण बदलें
प्रत्येक p-श्रेणी ठीक 1 का अनुपात-सीमा देती है, चाहे वह अभिसारी हो (p = 2) या अपसारी (p = 1)। अतः 1 की सीमा का अर्थ है कि किसी p-श्रेणी से तुलना या समाकल परीक्षण करें — यह किसी भी दिशा का निर्णय नहीं है।

3. दो चरों में सीमा, सांतत्य व अवकलनीयता

एक चर में किसी बिंदु तक दो ओर से पहुँचा जा सकता है; दो चरों में अनंत पथों के अनुदिश पहुँचा जा सकता है, और सीमा तभी विद्यमान है जब प्रत्येक पथ एक ही मान दे। इससे खंडन सरल और सिद्धि कठिन हो जाती है। सीमा के अविद्यमान होने को दिखाने हेतु दो असहमत पथ खोजें। मूलबिंदु पर f(x, y) = xy/(x² + y²) के लिए पथ y = mx से m/(1 + m²) मिलता है, जो m पर निर्भर है — अक्ष के अनुदिश 0, y = x के अनुदिश 1/2 — अतः सीमा विद्यमान नहीं। सीमा के विद्यमान होने को दिखाने हेतु उसे परिबद्ध करें: x²y/(x² + y²) के लिए |x²y/(x² + y²)| ≤ |y| → 0, अतः सीमा 0 है। ध्रुवीय प्रतिस्थापन x = r cos θ, y = r sin θ यही काम करता है: यदि r → 0 होने पर व्यंजक θ से स्वतंत्र रूप में किसी मान की ओर जाए, तो वही सीमा है।

⚠️ प्रत्येक सरल रेखा के अनुदिश सहमति भी पर्याप्त नहीं
f(x, y) = x²y/(x⁴ + y²) के लिए प्रत्येक रेखा y = mx से mx³/(x⁴ + m²x²) = mx/(x² + m²) → 0 मिलता है, फिर भी परवलय y = x² से x⁴/(2x⁴) = 1/2 मिलता है। सीमा विद्यमान नहीं। केवल सरल रेखाओं की जाँच दो-अंक वाले सीमा प्रश्न का मानक जाल है।
  • (a, b) पर सांतत्य का अर्थ है कि सीमा विद्यमान है और f(a, b) के बराबर है। f(0, 0) = 0 सहित खंडशः परिभाषित फलन वहाँ तभी संतत है जब मूलबिंदु पर सीमा भी 0 हो।
  • आंशिक अवकलजों का विद्यमान होना सांतत्य नहीं देता। f(0, 0) = 0 सहित xy/(x² + y²) के fₓ(0, 0) = f_y(0, 0) = 0 हैं, क्योंकि f दोनों अक्षों के अनुदिश शून्य है, फिर भी वह मूलबिंदु पर संतत नहीं है।
  • अवकलनीयता से सांतत्य निकलता है, और किसी सामीप्य में संतत प्रथम आंशिक अवकलज अवकलनीयता की गारंटी हेतु पर्याप्त हैं। निहितार्थों की यह शृंखला केवल एक दिशा में चलती है।

4. सहसंबंध व समाश्रयण विश्लेषण

युग्मित आँकड़ों (xᵢ, yᵢ) हेतु सहप्रसरण cov(x, y) = (1/n)Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) है, और कार्ल पियर्सन का सहसंबंध गुणांक r = cov(x, y)/(σₓσᵧ) है, जो सदा [−1, 1] में होता है। यह केवल रैखिक संबंध मापता है: r = 0 का अर्थ है कोई रैखिक संबंध नहीं, स्वतंत्रता नहीं — सममित x मानों पर y = x² का r = 0 है और निर्भरता पूर्ण है। न्यूनतम-वर्ग y की x पर समाश्रयण रेखा y − ȳ = bᵧₓ(x − x̄) है जहाँ bᵧₓ = cov/σₓ² = r σᵧ/σₓ, और x की y पर रेखा x − x̄ = bₓᵧ(y − ȳ) है जहाँ bₓᵧ = r σₓ/σᵧ। दोनों गुणांकों को गुणा करें तो मानक विचलन कट जाते हैं: r² = bᵧₓ · bₓᵧ।

वे गुण जिन्हें GATE सीधे परखता है
गुणपरिणाम
दोनों समाश्रयण रेखाएँ (x̄, ȳ) से गुज़रती हैंदोनों रेखा-समीकरणों को साथ हल करने पर माध्य मिलते हैं
bᵧₓ, bₓᵧ व r का चिह्न एक ही होता हैr = ±√(bᵧₓbₓᵧ), गुणांकों का साझा चिह्न लेते हुए
bᵧₓ · bₓᵧ = r² ≤ 1तय करता है कि दी गई कौन-सी रेखा y की x पर है: गलत निर्धारण से गुणनफल 1 से अधिक आता है
r = 0रेखाएँ y = ȳ व x = x̄ बन जाती हैं, परस्पर लंबवत
r = ±1दोनों रेखाएँ संपाती हो जाती हैं
मूल व पैमाने का परिवर्तनr अपरिवर्तित रहता है (यदि एक पैमाना-गुणक ऋणात्मक हो तो चिह्न बदलता है); समाश्रयण गुणांक पैमाने के साथ बदलते हैं
🧠 दो रेखाएँ दी हों, r ज्ञात करें: निर्धारित करें, गुणा करें, जाँचें
3x + 2y = 26 व 6x + y = 31 दिए हों, तो पहली को y की x पर मानें: y = 13 − 1.5x से bᵧₓ = −1.5, और दूसरी को x की y पर: x = (31 − y)/6 से bₓᵧ = −1/6। गुणनफल 0.25 ≤ 1 है, अतः निर्धारण वैध है और r = −0.5 (दोनों गुणांकों की भाँति ऋणात्मक)। उलटे निर्धारण से (−6)(−2/3) = 4 > 1 मिलता है, जो असंभव है। माध्य प्रतिच्छेद बिंदु हैं, x̄ = 4 व ȳ = 7। निर्धारण गुणांक r², y के प्रसरण का वह भाग है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

5. बेज़ीय सांख्यिकी — पूर्व, संभाविता व पश्च

बेज़ीय सांख्यिकी किसी अज्ञात — रोग-अवस्था, कोई प्राचल θ — को अनिश्चित मानती है, उस अनिश्चितता को पूर्व प्रायिकता से व्यक्त करती है, और आँकड़ों द्वारा बेज़ प्रमेय से उसे अद्यतन करती है: पश्च ∝ संभाविता × पूर्व, P(θ | आँकड़े) = P(आँकड़े | θ)P(θ)/P(आँकड़े)। हर P(आँकड़े) प्रत्येक संभावना पर जोड़ी गई साक्ष्य की कुल प्रायिकता है, और उसे भूल जाना — संभाविता × पूर्व को असामान्यीकृत बताना, या स्वयं संभाविता बताना — मानक भूल है। आज का पश्च कल का पूर्व है, अतः दो खेपों में आया साक्ष्य वही उत्तर देता है जो सारा एक साथ।

ℹ️ उदाहरण: किसी दुर्लभ अवस्था हेतु धनात्मक परीक्षण
व्यापकता 1% (पूर्व), संवेदनशीलता P(+ | D) = 0.95, विशिष्टता P(− | D नहीं) = 0.90, अतः मिथ्या-धनात्मक दर 0.10 है। P(+) = 0.95 × 0.01 + 0.10 × 0.99 = 0.0095 + 0.099 = 0.1085। पश्च P(D | +) = 0.0095/0.1085 ≈ 0.088 — 9% से कम, क्योंकि 99% स्वस्थ जनसंख्या में मिथ्या-धनात्मक वास्तविक धनात्मकों से अधिक होते हैं। निम्न पूर्व अच्छे परीक्षण पर भी भारी पड़ता है।

संयुग्मी अद्यतन। जब सफलता-प्रायिकता θ का पूर्व Beta(a, b) हो और n परीक्षण k सफलताएँ दें (द्विपद संभाविता), तो पश्च Beta(a + k, b + n − k) होता है — पूर्व ऐसा व्यवहार करता है मानो a पिछली सफलताएँ व b पिछली विफलताएँ हों। पश्च माध्य (a + k)/(a + b + n) है, जो सदा पूर्व माध्य a/(a + b) व प्रतिदर्श अनुपात k/n के बीच रहता है, और n बढ़ने पर k/n की ओर खिसकता है। Beta(2, 2) पूर्व व 10 परीक्षणों में 7 सफलताओं से पश्च Beta(9, 5) है जिसका माध्य 9/14 ≈ 0.64 है, पूर्व 0.5 व आँकड़े 0.7 के बीच। बारंबारतावादी आकलन केवल k/n है; बेज़ीय आकलन पूर्व को साथ रखता है और θ हेतु पूरा बंटन देता है, जिससे विश्वसनीय अंतराल सीधे पढ़ा जाता है।

मुख्य बिंदु

  • अभिसरण हेतु aₙ → 0 आवश्यक है और कभी पर्याप्त नहीं; Σ1/nᵖ केवल p > 1 हेतु, और Σrⁿ केवल |r| < 1 हेतु अभिसरित होती है।
  • अनुपात या मूल सीमा 1 अनिर्णायक है — तुलना या समाकल परीक्षण पर लौटें; एकांतर श्रेणियों को लाइबनिट्ज़ और फिर निरपेक्ष अभिसरण की अलग जाँच चाहिए।
  • दो-चर सीमा तभी विद्यमान है जब प्रत्येक पथ सहमत हो; दो असहमत पथ, भले एक रेखा और एक परवलय, उसका खंडन करते हैं।
  • r² = bᵧₓbₓᵧ, तीनों का चिह्न एक है, और दोनों समाश्रयण रेखाएँ (x̄, ȳ) पर मिलती हैं; r = 0 का अर्थ कोई रैखिक संबंध नहीं, स्वतंत्रता नहीं।
  • पश्च ∝ संभाविता × पूर्व, साक्ष्य की कुल प्रायिकता से सामान्यीकृत; Beta(a, b) पूर्व n में k सफलताओं के साथ Beta(a + k, b + n − k) बन जाता है।

अभ्यास प्रश्न (12)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. श्रेणी Σ (n = 1 से ∞) 1/nᵖ अभिसरित होती है यदि और केवल यदि

    1. p > 1
    2. p ≥ 1
    3. p > 0
    4. p < 1
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — p > 1

    समाकल परीक्षण Σ1/nᵖ की तुलना ∫₁^∞ x⁻ᵖ dx से करता है, जो ठीक तब परिमित है जब p > 1। सीमा-स्थिति p = 1 हरात्मक श्रेणी है, जो अपसरित होती है, अतः p ≥ 1 लुभावना गलत विकल्प है; p > 0 केवल पदों को शून्य की ओर ले जाता है, जो पर्याप्त नहीं।

  2. Σ (n = 1 से ∞) n²/2ⁿ पर अनुपात परीक्षण लगाने से सीमा L व निर्णय मिलता है

    1. L = 1/2, श्रेणी अभिसारी है
    2. L = 2, श्रेणी अपसारी है
    3. L = 1, परीक्षण अनिर्णायक है
    4. L = 1/4, श्रेणी अभिसारी है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — L = 1/2, श्रेणी अभिसारी है

    aₙ₊₁/aₙ = [(n + 1)²/2ⁿ⁺¹]·[2ⁿ/n²] = (1/2)(1 + 1/n)² → 1/2 < 1, अतः श्रेणी अभिसारी है। बहुपद गुणक n² केवल (1 + 1/n)² → 1 देता है; निर्णय 2ⁿ करता है। अनुपात उलट देने से गलत L = 2 मिलता है।

  3. निम्न में से कौन-सी श्रेणियाँ अभिसरित होती हैं?

    1. Σ 1/n^1.5
    2. Σ 1/√n
    3. Σ (−1)ⁿ⁺¹/n
    4. Σ n/(n + 1)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Σ 1/n^1.5; C — Σ (−1)ⁿ⁺¹/n

    Σ1/n^1.5, p = 1.5 > 1 वाली p-श्रेणी है और अभिसरित होती है। Σ(−1)ⁿ⁺¹/n लाइबनिट्ज़ से अभिसरित होती है (1/n घटकर 0 की ओर जाता है), यद्यपि केवल सप्रतिबंध। Σ1/√n, p = 1/2 वाली p-श्रेणी है और पदों के शून्य की ओर जाने पर भी अपसरित होती है, और Σ n/(n + 1) सीधे n-वाँ पद परीक्षण में विफल है क्योंकि उसके पद 1 की ओर जाते हैं।

  4. श्रेणी Σ (n = 0 से ∞) (2/3)ⁿ का योग ______ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    प्रथम पद 1 व अनुपात r = 2/3 वाली गुणोत्तर श्रेणी; चूँकि |r| < 1 है, यह 1/(1 − 2/3) = 3 पर अभिसरित होती है। सूचकांक n = 1 से आरंभ करने पर उत्तर 2 आता — a/(1 − r) लगाने से पहले निचली सीमा पढ़ें।

  5. श्रेणी Σ (n = 1 से ∞) (−1)ⁿ⁺¹/√n है

    1. निरपेक्षतः अभिसारी
    2. सप्रतिबंध अभिसारी
    3. +∞ की ओर अपसारी
    4. बिना अभिसरण के दोलनी
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — सप्रतिबंध अभिसारी

    1/√n घटकर शून्य की ओर जाता है, अतः लाइबनिट्ज़ परीक्षण अभिसरण देता है। निरपेक्ष मानों की श्रेणी Σ1/√n है, p = 1/2 ≤ 1 वाली p-श्रेणी, जो अपसरित होती है — अतः अभिसरण सप्रतिबंध है, निरपेक्ष नहीं। 'निरपेक्षतः अभिसारी' चुनना दूसरी जाँच छोड़ देना है।

  6. f(x, y) = x²y/(x⁴ + y²) के लिए (x, y) → (0, 0) पर f की सीमा

    1. 0 है, क्योंकि प्रत्येक रेखा y = mx से 0 मिलता है
    2. 1/2 है
    3. विद्यमान नहीं है
    4. 1 है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — विद्यमान नहीं है

    y = mx के अनुदिश फलन mx/(x² + m²) → 0 है, प्रत्येक m हेतु, और यही जाल है। परवलय y = x² के अनुदिश यह x⁴/(2x⁴) = 1/2 है। दो पथ भिन्न मान देते हैं, अतः सीमा विद्यमान नहीं; सभी सरल रेखाओं के अनुदिश सहमति पर्याप्त नहीं।

  7. किसी द्विचर आँकड़ा-समुच्चय हेतु y का x पर समाश्रयण गुणांक 0.8 व x का y पर 0.45 है। सहसंबंध गुणांक r ______ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.6

    r² = bᵧₓ·bₓᵧ = 0.8 × 0.45 = 0.36, अतः |r| = 0.6, और r धनात्मक है क्योंकि दोनों गुणांक धनात्मक हैं। दोनों गुणांकों का औसत (0.625) लेना लुभावनी गलती है; r उनका गुणोत्तर माध्य है, समांतर नहीं।

  8. किसी द्विचर बंटन की दो समाश्रयण रेखाएँ 3x + 2y = 26 व 6x + y = 31 हैं। x व y के बीच सहसंबंध गुणांक ______ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: -0.5

    3x + 2y = 26 को y की x पर लेने से bᵧₓ = −3/2; 6x + y = 31 को x की y पर लेने से bₓᵧ = −1/6। इनका गुणनफल 1/4 ≤ 1 है, अतः यही निर्धारण वैध है और r = −√(1/4) = −0.5, दोनों गुणांकों की भाँति ऋणात्मक। दूसरा निर्धारण 4 गुणनफल देता है, जो r² हेतु असंभव है। +0.5 बताना चिह्न भूलना है।

  9. सहसंबंध व रैखिक समाश्रयण के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. |r| दोनों समाश्रयण गुणांकों का गुणोत्तर माध्य है।
    2. यदि r = 0 हो, तो दोनों समाश्रयण रेखाएँ लंबवत हैं।
    3. दोनों समाश्रयण गुणांकों के चिह्न विपरीत हो सकते हैं।
    4. r = 0 का अर्थ है कि x व y सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — |r| दोनों समाश्रयण गुणांकों का गुणोत्तर माध्य है।; B — यदि r = 0 हो, तो दोनों समाश्रयण रेखाएँ लंबवत हैं।

    r² = bᵧₓbₓᵧ से |r| उनका गुणोत्तर माध्य बनता है, और r = 0 पर रेखाएँ y = ȳ व x = x̄ रह जाती हैं, जो लंबवत हैं। दोनों गुणांक r गुणा मानक विचलनों का धनात्मक अनुपात हैं, अतः उनका चिह्न सदा r वाला होता है। और r = 0 केवल रैखिक संबंध को नकारता है — सममित आँकड़ों पर y = x² का r = 0 है और निर्भरता पूर्ण है।

  10. किसी अवस्था की व्यापकता 1% है। उसके परीक्षण की संवेदनशीलता 95% व विशिष्टता 90% है। धनात्मक परीक्षण वाले व्यक्ति में वह अवस्था होने की प्रायिकता ______ है (तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करें)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.088

    P(+) = 0.95 × 0.01 + 0.10 × 0.99 = 0.1085, मिथ्या-धनात्मक दर 1 − विशिष्टता होने से। P(D | +) = 0.0095/0.1085 = 0.0876 ≈ 0.088। 0.95 उत्तर देना P(+ | D) को P(D | +) समझ लेना है, वही भूल जिसे रोकने हेतु बेज़ प्रमेय है।

  11. किसी क्लोन कॉलोनी द्वारा प्रोटीन व्यक्त करने की प्रायिकता θ का पूर्व Beta(2, 2) है। जाँची गई 10 कॉलोनियों में से 7 उसे व्यक्त करती हैं। θ का पश्च माध्य ______ है (दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करें)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.64

    द्विपद आँकड़ों के साथ Beta पूर्व संयुग्मी है: पश्च Beta(2 + 7, 2 + 3) = Beta(9, 5) है, जिसका माध्य 9/(9 + 5) = 9/14 ≈ 0.64 है। यह पूर्व माध्य 0.5 व प्रतिदर्श अनुपात 0.7 के बीच है; 0.7 बताना पूर्व को पूर्णतः अनदेखा करना है।

  12. किसी द्विचर आँकड़ा-समुच्चय की दोनों समाश्रयण रेखाएँ सदा इस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं

    1. माध्यों का बिंदु (x̄, ȳ)
    2. मूलबिंदु
    3. माध्यिकाओं का बिंदु
    4. (σₓ, σᵧ)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — माध्यों का बिंदु (x̄, ȳ)

    प्रत्येक न्यूनतम-वर्ग रेखा y − ȳ = bᵧₓ(x − x̄) या x − x̄ = bₓᵧ(y − ȳ) के रूप में लिखी जाती है, और दोनों x = x̄, y = ȳ पर संतुष्ट होती हैं। इसीलिए दी गई दो रेखा-समीकरणों को साथ हल करना माध्य ज्ञात करने का सबसे तेज़ मार्ग है; मूलबिंदु केवल केंद्रित आँकड़ों हेतु सही है।