योजना हेतु आँकड़ा विश्लेषण: सांख्यिकी, परिकल्पना परीक्षण, AHP व बहु-मानदंड विश्लेषण

यह अध्याय वास्तुकला एवं नियोजन (AR) पेपर के भाग B2, खंड B2.5 “आँकड़ा विश्लेषण, सुदूर संवेदन व भू-सूचना विज्ञान” के पहले आधे भाग का उत्तर देता है: “योजना हेतु आँकड़ों के प्रकार व स्रोत; वर्णनात्मक सांख्यिकी; प्रसामान्यता के परीक्षण; अनुमानात्मक सांख्यिकी: रैखिक व बहु समाश्रयण, परिकल्पना परीक्षण, त्रुटि परीक्षण, ANOVA आदि; निर्णय समस्या संरचना: विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया, बहु-मानदंड विश्लेषण आदि”। यह सिखाता है कि योजनाकार को किस प्रकार के आँकड़े मिलते हैं व वे कैसे मापे जाते हैं, आँकड़ा-समूह का सार व उसकी आकृति की जाँच कैसे करें, संबंध कैसे बैठाएँ व दावों का परीक्षण कैसे करें, तथा विकल्पों के बीच चयन को कैसे संरचित करें। संख्यात्मक प्रश्न माध्य, प्रसरण व मानक विचलन, समाश्रयण का ढाल, अंतःखंड, R² व पूर्वानुमान, t व F प्रतिदर्शज, ANOVA का F अनुपात, काई-वर्ग, AHP संगति अनुपात तथा भारित-योग अंक हैं।

1. योजना हेतु आँकड़ों के प्रकार व स्रोत

प्राथमिक आँकड़े हाथ में लिए प्रश्न हेतु स्वयं एकत्र किए जाते हैं: स्थानीय क्षेत्र योजना के लिए गृह सर्वेक्षण, वर्गीकृत यातायात गणना, क्षेत्र-अवलोकन, साक्षात्कार। ये प्रश्न के अनुकूल होते हैं पर समय व धन लेते हैं। द्वितीयक आँकड़े किसी अन्य ने किसी अन्य प्रयोजन से एकत्र किए होते हैं और पुनः प्रयुक्त होते हैं: जनगणना, प्रकाशित प्रतिवेदन, नगरपालिका अभिलेख। ये सस्ते व व्यापक होते हैं पर इनकी परिभाषाएँ निश्चित, ये पुराने और कभी-कभी अपूर्ण होते हैं। योजनाकार प्रायः द्वितीयक आँकड़ों से आरंभ करता है और रिक्तियाँ प्राथमिक सर्वेक्षण से भरता है।

योजना आँकड़ों के स्रोत
स्रोतक्या देता हैशक्तिसीमा
जनगणना (पूर्ण गणना, दशकीय)जनसंख्या, परिवार, आवास, सुविधाएँ, कामगारसार्वभौमिक आच्छादन, मानक परिभाषाएँदस वर्ष का अंतराल, सीमित विवरण
प्रतिदर्श सर्वेक्षणपरिवार, यात्रा, व्यय व मत संबंधी आँकड़ेप्रश्न के अनुरूपप्रतिचयन त्रुटि; सुदृढ़ प्रतिदर्श अभिकल्प आवश्यक
प्रशासनिक अभिलेखसंपत्ति-कर पंजिकाएँ, भवन अनुज्ञा, उपयोगिता संयोजनसतत, सेवा-वितरण का उप-उत्पादकेवल तंत्र के भीतर वालों को आच्छादित; अनौपचारिक क्षेत्र छूटता है
सुदूर संवेदन व GIS परतेंभू-आवरण, निर्मित विस्तार, प्रतिबिंबआवर्ती, वस्तुनिष्ठ, पूरे क्षेत्र को आच्छादितनिर्वचन व भू-सत्यापन आवश्यक
संवेदक, IoT व डिजिटल अवशेषयातायात गणना, वायु गुणवत्ता, मोबाइल व GPS आँकड़े, स्मार्ट कार्डवास्तविक-समय, समय में अति सूक्ष्मउपकरण-धारकों की ओर झुका; निजता संबंधी चिंता

मापन-मापनी तय करती है कि कौन-सी सांख्यिकी वैध है। नामित (nominal) आँकड़े बिना क्रम की श्रेणियाँ हैं (भू-उपयोग वर्ग, वार्ड का नाम): केवल गणना व बहुलक। क्रमसूचक (ordinal) आँकड़े क्रमित हैं पर अंतराल असमान (सड़क की दशा अच्छी/सामान्य/खराब, 1 से 5 संतुष्टि-अंक): माध्यिका व शतमक। अंतराल (interval) आँकड़ों में अंतराल समान पर शून्य स्वैच्छिक होता है (°C में तापमान, कैलेंडर वर्ष): माध्य व मानक विचलन, पर अनुपात निरर्थक। अनुपात (ratio) आँकड़ों में वास्तविक शून्य होता है (आय, क्षेत्रफल, दूरी, जनसंख्या): सब कुछ, अनुपात व विचरण गुणांक सहित।

⚠️ कोड संख्याएँ नहीं हैं
भू-उपयोग कोड 3 का अर्थ कोड 1 का “तीन गुना” नहीं है, और कोडों के स्तंभ का औसत निरर्थक है। इसी प्रकार 40 °C, 20 °C से दुगुना गर्म नहीं है, क्योंकि सेल्सियस मापनी का शून्य एक परिपाटी है। पहले सदा पूछें: नामित, क्रमसूचक, अंतराल या अनुपात?

अन्य उपयोगी विभाजन: अनुप्रस्थ-काट (cross-sectional) आँकड़े (एक समय पर अनेक इकाइयाँ), काल-श्रेणी (time-series) आँकड़े (एक इकाई समय के साथ) व पैनल आँकड़े (अनेक इकाइयाँ समय के साथ); असतत गणनाएँ बनाम सतत माप; तथा स्थानिक आँकड़े, जो स्थान साथ रखते हैं। गुणवत्ता का आकलन यथार्थता, वैधता, विश्वसनीयता, पूर्णता व तुलनीयता से होता है। प्रतिदर्श सर्वेक्षण में प्रतिचयन त्रुटि (संयोगवश, बड़े n से घटती है) व अप्रतिचयन त्रुटि (गलत प्रश्न, अनुत्तर, अभिलेखन भूलें, जिन्हें बड़ा प्रतिदर्श ठीक नहीं करता) होती हैं।

2. वर्णनात्मक सांख्यिकी

वर्णनात्मक सांख्यिकी आँकड़ा-समूह का सार बिना अधिक दावा किए देती है। माध्य Σx/n है, माध्यिका क्रमित आँकड़ों का मध्य मान (n सम हो तो दोनों मध्य मानों का औसत) और बहुलक सर्वाधिक बारंबार मान है। प्रसार परास, प्रसरण व मानक विचलन (SD) से मापा जाता है। समष्टि हेतु σ² = Σ(x − μ)²/N; प्रतिदर्श हेतु s² = Σ(x − x̄)²/(n − 1), भाजक n − 1 प्रतिदर्श के अभिनति को सुधारता है, जो समष्टि-माध्य की अपेक्षा अपने माध्य के अधिक निकट होता है। SD प्रसरण का वर्गमूल है और आँकड़ों की इकाई में होता है।

हल उदाहरण। परिवार-आकार 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8)। माध्य = 40/8 = 5; माध्यिका = (4 + 5)/2 = 4.5; बहुलक = 4। वर्गित विचलन: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, योग 32। समष्टि प्रसरण = 32/8 = 4, अतः σ = 2; प्रतिदर्श प्रसरण = 32/7 = 4.57, s = 2.14। विचरण गुणांक CV = SD/माध्य × 100 = 2/5 × 100 = 40 % (समष्टि SD)। क्रमित आँकड़ों को दो अर्धांशों 2, 4, 4, 4 व 5, 5, 7, 9 में बाँटने पर चतुर्थक Q1 = 4 व Q3 = 6 (अर्धांशों की माध्यिकाएँ) मिलते हैं, अतः अंतरचतुर्थक परास IQR = Q3 − Q1 = 2। चतुर्थक की परिपाटियाँ सॉफ़्टवेयर में भिन्न होती हैं, अतः प्रश्न को अपनी विधि बतानी चाहिए।

किस कार्य हेतु कौन-सा माप
मापउपयोगटिप्पणी
माध्यसममित अंतराल या अनुपात आँकड़ों का प्रारूपिक मानबहिर्वर्तियों व लंबी पूँछ की ओर खिंचता है
माध्यिकाआय व भूमि-मूल्य जैसे विषम आँकड़ों का प्रारूपिक मानचरम मानों से अप्रभावित; क्रमसूचक आँकड़ों पर भी चलता है
बहुलकसर्वाधिक सामान्य श्रेणी; नामित आँकड़ों का एकमात्र केंद्रअनुपस्थित या एकाधिक हो सकता है
CVभिन्न इकाइयों या आकारों वाले चरों के प्रसार की तुलनाइकाई-मुक्त; केवल अनुपात आँकड़े
IQRबहिर्वर्तियों को अनदेखा करने वाला प्रसारबॉक्स-आलेख का आधार

आकृति। दक्षिण-विषम (धनात्मक विषम) बंटन में लंबी पूँछ उच्च मानों की ओर फैलती है और माध्य > माध्यिका > बहुलक; वाम-विषम में क्रम उलट जाता है। पियर्सन का माप Sk = 3(माध्य − माध्यिका)/SD है, और मध्यम विषम आँकड़ों हेतु अनुभवजन्य संबंध बहुलक ≈ 3 × माध्यिका − 2 × माध्य लागू होता है। ककुदता (kurtosis) पूँछ की मोटाई बताती है; प्रसामान्य बंटन की ककुदता 3 (अतिरिक्त ककुदता 0) होती है। आय, भूखंड-आकार, भूमि-मूल्य व यात्रा-समय प्रायः दक्षिण-विषम होते हैं, अतः योजनाकार माध्यिका बताते हैं और विश्लेषण से पहले प्रायः लघुगणक लेते हैं।

⚠️ n या n − 1, और माध्य किस ओर खिंचता है
पूरी समष्टि हेतु N से और प्रतिदर्श हेतु n − 1 से भाग दें; ऊपर वही आँकड़े 4 व 4.57 देते हैं। और याद रखें कि माध्य पूँछ की ओर खिंचता है: आय बंटन में कुछ अति धनी परिवार माध्य को माध्यिका से ऊपर उठाते हैं, कभी उलटा नहीं।

3. प्रसामान्यता के परीक्षण

प्रसामान्य बंटन सममित व घंटाकार होता है, जिसमें माध्य = माध्यिका = बहुलक, विषमता 0 व ककुदता 3 होती है। लगभग 68 %, 95 % व 99.7 % मान माध्य के 1, 2 व 3 SD के भीतर होते हैं, और मान का मानकीकरण z = (x − μ)/σ से होता है। अनेक प्रक्रियाएँ (t-परीक्षण, ANOVA, समाश्रयण की विश्वास सीमाएँ) मानती हैं कि आँकड़े, या समाश्रयण के अवशेष, लगभग प्रसामान्य हैं, अतः योजनाकार पहले यही जाँचता है।

प्रसामान्यता जाँचने के उपाय
विधिविचारकैसे पढ़ें
आयतचित्र, बॉक्स-आलेखआकृति की घंटे से तुलनाएक सममित शिखर, कम बहिर्वर्ती
प्रसामान्य Q–Q आलेखप्रतिदर्श क्वांटाइलों को प्रसामान्य द्वारा दिए जाने वाले क्वांटाइलों के विरुद्ध आलेखित करेंसरल रेखा पर बिंदु = प्रसामान्य; चाप = विषमता; S-वक्र = भारी या हल्की पूँछें
विषमता व ककुदताप्रसामान्य में विषमता 0 व ककुदता 3; जार्क–बेरा परीक्षण दोनों को मिलाता है0 व 3 से बड़े विचलन अप्रसामान्यता दर्शाते हैं
शापिरो–विल्क परीक्षणआँकड़े प्रसामान्य हों तो W, 1 के निकट; छोटे व मध्यम प्रतिदर्शों हेतु शक्तिशालीp < α: प्रसामान्यता अस्वीकृत
कोल्मोगोरोव–स्मिरनोव परीक्षणप्रतिदर्शज D अनुभवजन्य CDF व प्रसामान्य CDF के बीच का सबसे बड़ा अंतर हैp < α: अस्वीकृत; माध्य व SD आँकड़ों से आँके हों तो लिलीफ़ोर्स संशोधन लें
⚠️ शून्य परिकल्पना यह है कि आँकड़े प्रसामान्य हैं
शापिरो–विल्क व कोल्मोगोरोव–स्मिरनोव में H0 है “आँकड़े प्रसामान्य बंटन से आए हैं”। छोटा p (α से नीचे) प्रसामान्यता अस्वीकृत करता है; बड़ा p केवल इतना बताता है कि उसके विरुद्ध प्रमाण नहीं है, उसका प्रमाण नहीं। अति बड़े प्रतिदर्श में तुच्छ विचलन भी छोटा p देते हैं, और अति छोटे प्रतिदर्श में परीक्षण दुर्बल होते हैं, अतः साथ में Q–Q आलेख अवश्य पढ़ें।

आँकड़े प्रसामान्य न हों तो तीन निकास हैं: उन्हें रूपांतरित करें (दक्षिण-विषमता हेतु लघुगणक, गणनाओं हेतु वर्गमूल), अप्राचलिक परीक्षण अपनाएँ (दो समूहों हेतु मान–ह्विटनी, अनेक हेतु क्रस्कल–वालिस, सहसंबंध हेतु स्पीयरमैन), या केंद्रीय सीमा प्रमेय पर निर्भर रहें, जो आँकड़ों की आकृति कुछ भी हो, बड़े n हेतु प्रतिदर्श-माध्य को लगभग प्रसामान्य बना देता है।

4. रैखिक व बहु समाश्रयण

सरल रैखिक समाश्रयण ŷ = a + bx को न्यूनतम वर्ग विधि से, Σ(y − ŷ)² न्यूनतम करते हुए, बैठाता है। ढाल b = Sxy/Sxx = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/Σ(x − x̄)² और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, अतः रेखा (x̄, ȳ) से गुज़रती है। कुल विचरण SST = SSR + SSE (कुल = व्याख्यात + अवशिष्ट) के रूप में बँटता है, और R² = SSR/SST = 1 − SSE/SST व्याख्यात विचरण का अंश है; सरल समाश्रयण में R² = r²। आकलन की मानक त्रुटि s = √(SSE/(n − 2)) है। ढाल के परीक्षण हेतु t = b/SE(b), जहाँ SE(b) = s/√Sxx व स्वातंत्र्य कोटि n − 2; F-परीक्षण F = MSR/MSE = (SSR/1)/(SSE/(n − 2)) लेता है, और सरल समाश्रयण में F = t²।

हल उदाहरण। x = वार्ड को सेवा देने वाले बस मार्गों की संख्या (1, 2, 3, 4, 5) व y = दैनिक सवारी हज़ारों में (2, 4, 5, 4, 5)। x̄ = 3, ȳ = 4; Sxy = 6, Sxx = 10, अतः b = 0.6 व a = 4 − 0.6 × 3 = 2.2, जिससे ŷ = 2.2 + 0.6x। SST = 6, SSR = b·Sxy = 3.6, SSE = 2.4, अतः R² = 3.6/6 = 0.6। MSE = 2.4/3 = 0.8, SE(b) = √(0.8/10) = 0.283, t = 0.6/0.283 = 2.12 व F = 3.6/0.8 = 4.5 = t²। x = 4 पर पूर्वानुमान 4.6 है।

बहु समाश्रयण ŷ = b0 + b1x1 + … + bkxk है। प्रत्येक गुणांक bj, अन्य चरों को स्थिर रखते हुए xj की एक इकाई पर y में अपेक्षित परिवर्तन है। समग्र F-परीक्षण (H0: सभी ढाल शून्य) F = (SSR/k)/(SSE/(n − k − 1)) लेता है; प्रत्येक गुणांक का अपना t-परीक्षण n − k − 1 स्वातंत्र्य कोटि से होता है। चर जोड़ने पर R² कभी घटता नहीं, अतः समायोजित R² = 1 − (1 − R²)(n − 1)/(n − k − 1) लें, जो व्यर्थ पूर्वानुमापकों को दंडित करता है। m स्तरों वाली श्रेणी m − 1 डमी चरों के रूप में प्रवेश करती है।

  • बहुसंरेखता: प्रबल सहसंबद्ध पूर्वानुमापक गुणांकों को अस्थिर व उनके चिह्नों को विचित्र बना देते हैं; विचरण स्फीति गुणक (VIF) जाँचें।
  • अवशेष की मान्यताएँ: रैखिक रूप, स्वतंत्र त्रुटियाँ, स्थिर प्रसरण (समविचरणता), लगभग प्रसामान्य अवशेष। स्थानिक आँकड़े प्रायः स्थानिक स्वसहसंबंध से स्वतंत्रता तोड़ देते हैं।
⚠️ बाह्य-गणन व कार्य-कारण
बैठाई गई रेखा केवल उस x-परास के भीतर विश्वसनीय है जिससे वह बैठाई गई; ऊपर x = 6 पर पूर्वानुमान आँकड़ों के बाहर है। उच्च R² साहचर्य दिखाता है, कारण नहीं, और यह सिद्ध नहीं करता कि मॉडल का रूप सही है।

5. परिकल्पना परीक्षण, त्रुटियाँ व विश्वास अंतराल

परीक्षण में शून्य परिकल्पना H0 (कोई प्रभाव नहीं, कोई अंतर नहीं, μ = μ0) व वैकल्पिक परिकल्पना H1 कही जाती है, सार्थकता स्तर α (सामान्यतः 0.05) तय होता है, परीक्षण-प्रतिदर्शज निकलता है, और उसकी तुलना क्रांतिक मान से होती है या उसे p-मान में बदला जाता है: H0 सत्य मानने पर प्रेक्षित आँकड़ों जितने या उनसे अधिक चरम आँकड़ों की प्रायिकता। यदि p ≤ α, तो H0 अस्वीकृत। एक-पुच्छीय परीक्षण केवल बताई दिशा में परिवर्तन देखता है; द्वि-पुच्छीय परीक्षण दोनों ओर देखता है और α को दोनों पुच्छों में बाँटता है।

दो त्रुटियाँ
निर्णयH0 वस्तुतः सत्यH0 वस्तुतः असत्य
H0 अस्वीकृतप्रथम प्रकार की त्रुटि, प्रायिकता αसही; प्रायिकता 1 − β परीक्षण की शक्ति है
H0 अस्वीकृत नहींसही; प्रायिकता 1 − αद्वितीय प्रकार की त्रुटि, प्रायिकता β

निश्चित प्रतिदर्श-आकार हेतु α घटाने से β बढ़ता है, अतः दोनों त्रुटियों में विनिमय होता है। बड़े प्रतिदर्श, बड़े वास्तविक प्रभाव व कम परिवर्तनशीलता से शक्ति बढ़ती है, अतः बड़ा n, α बढ़ाए बिना β घटाता है। योजना-चयन: मिथ्या चेतावनी महँगी हो (अनावश्यक उपरिगामी सेतु बनाना) तो प्रथम प्रकार से बचाव करें; वास्तविक संकट का छूटना महँगा हो (दुर्घटनाओं में सचमुच वृद्धि की उपेक्षा) तो द्वितीय प्रकार से बचाव करें।

एकल-प्रतिदर्श t-परीक्षण: t = (x̄ − μ0)/(s/√n), स्वातंत्र्य कोटि n − 1। उदाहरण: n = 36, x̄ = 52, s = 12, H0: μ = 50 से t = 2/(12/6) = 1.0, जो 2 के निकट सामान्य क्रांतिक मान से बहुत नीचे है, अतः H0 टिका रहता है। माध्य का विश्वास अंतराल x̄ ± t·s/√n है; बड़े-प्रतिदर्श मान t ≈ 1.96 को आसन्न मानकर 52 ± 1.96 × 2 = 48.08 से 55.92 (35 स्वातंत्र्य कोटि हेतु यथार्थ t, लगभग 2.03, इसे थोड़ा चौड़ा करता है)। 50 भीतर होने से द्वि-पुच्छीय 5 % परीक्षण उसे अस्वीकृत नहीं करता: अंतराल व परीक्षण सहमत हैं। द्वि-प्रतिदर्श t-परीक्षण दो समूहों के माध्यों की तुलना करता है; युग्मित t-परीक्षण उन्हीं स्थलों पर पहले व बाद की तुलना करता है।

⚠️ p-मान क्या नहीं है
p = 0.04 का अर्थ “H0 के सत्य होने की संभावना 4 % है” या “96 % निश्चित कि गलियारे ने यात्रा-समय बदला” नहीं है। यह केवल इतना कहता है कि H0 सत्य होने पर इतने चरम आँकड़े 4 % बार आएँगे। इसी प्रकार “सार्थक नहीं” का अर्थ “कोई प्रभाव नहीं” नहीं है: परीक्षण में शक्ति की कमी हो सकती है। और 95 % अंतराल का अर्थ है कि इस विधि से बने 95 % अंतराल सच्चे माध्य को पकड़ेंगे, यह नहीं कि इस अंतराल में 95 % संभावना है।

6. ANOVA व काई-वर्ग

एकदिश ANOVA कुल विचरण को बाँटकर परखता है कि k समूहों के माध्य सभी बराबर हैं (H0): SST = SSB + SSW, अर्थात् समूहों के बीच व समूहों के भीतर। कुल N प्रेक्षणों के साथ स्वातंत्र्य कोटि k − 1 व N − k होती हैं; MSB = SSB/(k − 1), MSW = SSW/(N − k) व F = MSB/MSW। बड़ा F बताता है कि समूह-माध्यों में अंतर उससे अधिक है जितना समूह के भीतर का संयोगिक बिखराव समझा सके। इसके स्थान पर अनेक युग्मवार t-परीक्षण चलाने से प्रथम प्रकार की त्रुटि फूल जाती है। मान्यताएँ हैं: स्वतंत्र प्रेक्षण, लगभग प्रसामान्य समूह व समान प्रसरण।

ANOVA सारणी: तीन क्षेत्रों में आवागमन-समय (मिनट), प्रत्येक में 3 परिवार: 4, 6, 8; 7, 9, 11; 10, 12, 14
स्रोतSSdfMSF
क्षेत्रों के बीच542276.75
क्षेत्रों के भीतर2464—
कुल788——

यहाँ क्षेत्र-माध्य 6, 9 व 12 तथा समग्र माध्य 9 हैं। SSB = 3[(6 − 9)² + 0 + (12 − 9)²] = 54; प्रत्येक क्षेत्र का SS = 4 + 0 + 4 = 8, अतः SSW = 24। सार्थक F केवल इतना कहता है कि कम से कम एक माध्य भिन्न है; टुकी जैसा पश्च-परीक्षण बताता है कि कौन-सा। द्विदिश ANOVA दूसरा कारक व पारस्परिक क्रिया पद जोड़ता है।

काई-वर्ग श्रेणियों की गणनाओं पर चलता है। प्रतिदर्शज χ² = Σ(O − E)²/E है। समंजन-उत्तमता (goodness of fit) परीक्षण हेतु df = श्रेणियाँ − 1 (आँके गए प्रत्येक प्राचल पर एक कम)। सारणी में स्वतंत्रता के परीक्षण हेतु E = (पंक्ति योग × स्तंभ योग)/कुल योग व df = (r − 1)(c − 1); प्रत्याशित गणनाएँ लगभग 5 या अधिक होनी चाहिए।

हल उदाहरण। 100 आवागमनकर्ताओं द्वारा प्रयुक्त साधन, आय के अनुसार। निम्न आय: 30 बस, 10 कार (पंक्ति योग 40)। उच्च आय: 20 बस, 40 कार (पंक्ति योग 60)। स्तंभ योग 50 व 50। प्रत्याशित: निम्न आय हेतु 20, 20 व उच्च आय हेतु 30, 30। χ² = 100/20 + 100/20 + 100/30 + 100/30 = 5 + 5 + 3.33 + 3.33 = 16.67, df = 1। 1 df हेतु 5 % क्रांतिक मान 3.84 है, अतः स्वतंत्रता अस्वीकृत: साधन-चयन आय पर निर्भर है।

⚠️ गणनाएँ, प्रतिशत नहीं
काई-वर्ग कच्ची गणनाओं से ही निकालना चाहिए। सूत्र में प्रतिशत डालने से प्रतिदर्शज बदल जाता है, क्योंकि प्रतिदर्श-आकार भी प्रमाण का भाग है। साथ ही ANOVA समूहों में संख्यात्मक चर के माध्यों की तुलना करता है, जबकि काई-वर्ग दो श्रेणीगत चरों को जोड़ता है: चर के प्रकार से चुनें।

7. निर्णय समस्या संरचना: AHP व बहु-मानदंड विश्लेषण

बहु-मानदंड विश्लेषण (MCA) अनेक परस्पर-विरोधी मानदंडों, जैसे लागत, पहुँच, पर्यावरणीय प्रभाव व जन-स्वीकार्यता, पर आँके गए विकल्पों में चयन में सहायक है। चरण हैं: लक्ष्य परिभाषित करें, विकल्प व मानदंड सूचीबद्ध करें, मानदंडों को भार दें, प्रत्येक विकल्प को प्रत्येक मानदंड पर अंक दें, समाहित करें, क्रम बनाएँ, और संवेदनशीलता विश्लेषण से क्रम को परखें। विधियाँ प्रतिपूरक (भारित योग, जहाँ एक मानदंड का उच्च अंक दूसरे के निम्न अंक की भरपाई कर सकता है) या अतिक्रमण (outranking) विधियाँ (ELECTRE, PROMETHEE) हैं, और TOPSIS आदर्श हल से निकटता के आधार पर क्रम देता है।

विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया (AHP, Saaty द्वारा प्रतिपादित) समस्या को पदानुक्रम में संरचित करती है: लक्ष्य, मानदंड, उप-मानदंड, विकल्प। प्रत्येक स्तर पर अवयवों की युग्मवार तुलना 1 से 9 मापनी पर होती है: 1 समान, 3 मध्यम, 5 प्रबल, 7 अति प्रबल, 9 चरम महत्त्व, और 2, 4, 6, 8 बीच के। परिणाम वर्ग आव्यूह A है जिसमें aii = 1 और व्युत्क्रम गुण aji = 1/aij। प्राथमिकता सदिश (भार) मुख्य आइगेन सदिश है, जिसे प्रत्येक स्तंभ को योग 1 पर प्रसामान्य कर प्रत्येक पंक्ति का औसत लेकर आसन्न किया जाता है।

हल उदाहरण। लागत बनाम पहुँच = 3, लागत बनाम पर्यावरण = 5, पहुँच बनाम पर्यावरण = 3। A = [[1, 3, 5], [1/3, 1, 3], [1/5, 1/3, 1]]। स्तंभ योग 1.533, 4.333, 9 हैं। प्रसामान्यीकृत आव्यूह की पंक्ति-औसत भार देते हैं: 0.633 (लागत), 0.260 (पहुँच), 0.106 (पर्यावरण)। A को भारों से गुणा कर उनसे भाग देने पर λmax = 3.039 मिलता है।

संगति। पूर्णतः संगत निर्णायक aik = aij × ajk का पालन करता है (यदि लागत पहुँच की 3 गुनी और पहुँच पर्यावरण की 2 गुनी है, तो लागत पर्यावरण की 6 गुनी होनी चाहिए)। तब λmax = n। सामान्यतः CI = (λmax − n)/(n − 1) व CR = CI/RI, जहाँ RI उसी कोटि का यादृच्छिक सूचकांक है: n = 3 हेतु 0.58, n = 4 हेतु 0.90, n = 5 हेतु 1.12। यहाँ CI = 0.039/2 = 0.019 व CR = 0.019/0.58 = 0.033। CR ≤ 0.10 स्वीकार्य है; इससे ऊपर निर्णयों पर पुनर्विचार करना चाहिए। CR निर्णयों की संगति परखता है, यह नहीं कि अंतिम क्रम सही है।

भारित-योग अंकन: मानदंड भार 0.5, 0.3, 0.2; अंक 100 में से
स्थललागत (0.5)पहुँच (0.3)पर्यावरण (0.2)कुल अंक
स्थल A80604066
स्थल B60907071
स्थल C70708072
ℹ️ भारित अध्यारोपण वही योग मानचित्रों पर है
GIS में भारित योग भारित अध्यारोपण बन जाता है: प्रत्येक मानदंड-परत को सर्वनिष्ठ मापनी पर पुनर्वर्गीकृत किया जाता है, उसके भार (प्रायः AHP से) से गुणा किया जाता है और कोशिका-दर-कोशिका जोड़ा जाता है। लाभ-मानदंडों में बड़े मान पर अधिक अंक और लागत-मानदंडों में उलटा, भारों का योग 1, और कठोर प्रतिबंध (जल-निकाय, संरक्षित भूमि) 0/1 परतों के रूप में आते हैं जो परिणाम को गुणा करती हैं। सारणी में स्थल C, 72 अंक से जीतता है यद्यपि स्थल A सबसे सस्ता है, क्योंकि विधि प्रतिपूरक है।

मुख्य बिंदु

  • प्राथमिक आँकड़े स्वयं एकत्र होते हैं; द्वितीयक पुनः प्रयुक्त होते हैं। मापनी (नामित, क्रमसूचक, अंतराल, अनुपात) तय करती है कि कौन-सी सांख्यिकी वैध है, और कोड व सेल्सियस पाठ्यांक अनुपात संख्याएँ नहीं हैं।
  • प्रसरण समष्टि हेतु N से व प्रतिदर्श हेतु n − 1 से भाग देता है; CV = SD/माध्य × 100। माध्य पूँछ की ओर खिंचता है, अतः दक्षिण-विषम योजना-आँकड़ों हेतु माध्यिका बताएँ।
  • शापिरो–विल्क व कोल्मोगोरोव–स्मिरनोव में H0 प्रसामान्यता है: p < α पर अस्वीकृत करें। बड़ा p प्रमाण नहीं है; साथ में Q–Q आलेख पढ़ें।
  • समाश्रयण: b = Sxy/Sxx, a = ȳ − b·x̄, R² = SSR/SST, t = b/SE(b), F = MSR/MSE (सरल में = t²)। बहु समाश्रयण में प्रत्येक गुणांक अन्य को स्थिर रखता है; समायोजित R² लें।
  • प्रथम प्रकार (सत्य H0 का अस्वीकार) की प्रायिकता α है; द्वितीय प्रकार की β; शक्ति 1 − β है। p, H0 सत्य होने पर इतने चरम आँकड़ों की संभावना है, H0 के सत्य होने की नहीं। ANOVA F = MSB/MSW; काई-वर्ग = Σ(O − E)²/E, df = (r − 1)(c − 1)।
  • AHP: 1 से 9 का व्युत्क्रमी युग्मवार आव्यूह, भार मुख्य आइगेन सदिश से, CI = (λmax − n)/(n − 1), CR = CI/RI, CR ≤ 0.10 स्वीकार्य। भारित-योग व अध्यारोपण विधियाँ प्रतिपूरक हैं: प्रसामान्य करें, भार दें, जोड़ें, क्रम दें।

अभ्यास प्रश्न (20)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. निम्नलिखित में से कौन-सा योजना-चर अनुपात मापनी पर मापा जाता है?

    1. किसी वार्ड का वायु तापमान °C में
    2. मासिक पारिवारिक आय रुपयों में
    3. प्रत्येक भूखंड को दिया गया भू-उपयोग वर्ग कोड
    4. निवासियों की संतुष्टि का 1 से 5 अंकन
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — मासिक पारिवारिक आय रुपयों में

    आय का वास्तविक शून्य है, अतः “दुगुनी आय” सार्थक है: अनुपात मापनी। °C में तापमान अंतराल मापनी है (उसका शून्य परिपाटी है), भू-उपयोग कोड नामित है, और 1 से 5 अंकन क्रमसूचक है क्योंकि अंकों के बीच अंतराल समान होने की गारंटी नहीं।

  2. एक नगरपालिका अपनी संपत्ति-कर निर्धारण पंजिका से भवन-भंडार की आयु व उपयोग का अध्ययन करती है। इन आँकड़ों का सर्वोत्तम वर्णन है

    1. प्रयोजन-निर्मित प्रश्नावली से एकत्रित प्राथमिक आँकड़े
    2. प्रशासनिक अभिलेखों से द्वितीयक आँकड़े
    3. सतत स्वचालित मापन से संवेदक आँकड़े
    4. पूर्ण राष्ट्रीय गणना से जनगणना आँकड़े
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — प्रशासनिक अभिलेखों से द्वितीयक आँकड़े

    पंजिका कर लगाने हेतु बनी थी, इस अध्ययन हेतु नहीं, अतः योजनाकार के लिए यह द्वितीयक आँकड़े हैं, विशेषतः सेवा-वितरण के उप-उत्पाद के रूप में एकत्रित प्रशासनिक आँकड़े। यह जनगणना आँकड़े नहीं है, और यह केवल पंजिका में दर्ज संपत्तियों को आच्छादित करती है, अतः अपंजीकृत भवन छूट जाते हैं।

  3. एक गृह सर्वेक्षण में माध्य आय ₹42,000 व माध्यिका आय ₹31,000 है। प्रारूपिक परिवार का बेहतर प्रतिनिधित्व कौन-सा माप करता है, और क्यों?

    1. माध्य, क्योंकि वह प्रत्येक प्रेक्षण प्रयुक्त करता है और चरम मानों से अप्रभावित है
    2. बहुलक, क्योंकि आय नामित चर है जिसका केंद्र उसकी सर्वाधिक सामान्य श्रेणी है
    3. माध्यिका, क्योंकि दक्षिण-विषम बंटन में कुछ अति उच्च आय माध्य को ऊपर खींचती हैं
    4. कोई भी, क्योंकि किसी भी आँकड़ा-समूह में माध्य व माध्यिका का अंतर केवल प्रतिचयन त्रुटि है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — माध्यिका, क्योंकि दक्षिण-विषम बंटन में कुछ अति उच्च आय माध्य को ऊपर खींचती हैं

    माध्य का माध्यिका से ऊपर होना दक्षिण (धनात्मक) विषमता दर्शाता है: कुछ धनी परिवार ऊपरी पूँछ को खींचकर माध्य को उसकी ओर ले जाते हैं। माध्यिका चरम मानों से अप्रभावित है और बेहतर “प्रारूपिक” मान है। माध्य कम सुदृढ़ माप है, अतः उसके चरम मानों से अप्रभावित होने का दावा गलत है।

  4. समाश्रयण अवशेषों के प्रसामान्य Q–Q आलेख (ऊर्ध्वाधर अक्ष पर प्रतिदर्श क्वांटाइल, क्षैतिज अक्ष पर प्रसामान्य क्वांटाइल) में बिंदु मध्य में सरल संदर्भ रेखा का अनुसरण करते हैं पर दोनों सिरों पर उससे हट जाते हैं, बायाँ सिरा रेखा से नीचे गिरता और दायाँ ऊपर उठता है। यह किन अवशेषों को दर्शाता है

    1. प्रसामान्य बंटन से भारी पूँछों वाले, अपेक्षा से अधिक चरम मानों के साथ
    2. पूर्णतः प्रसामान्य बंटन, क्योंकि मध्य बिंदु रेखा पर हैं
    3. प्रबल दक्षिण विषमता, लंबी पूँछ केवल उच्च ओर
    4. प्रसामान्य बंटन से हल्की पूँछों वाले, अपेक्षा से कम चरम मानों के साथ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रसामान्य बंटन से भारी पूँछों वाले, अपेक्षा से अधिक चरम मानों के साथ

    जब दोनों सिरे विपरीत दिशाओं में रेखा से दूर जाते हैं, तो प्रतिदर्श में प्रसामान्य की अपेक्षा अधिक चरम मान हैं: भारी पूँछें। एकपक्षीय वक्रता (चाप) विषमता दर्शाती, और विपरीत स्वरूप, बायाँ सिरा रेखा से ऊपर व दायाँ नीचे, हल्की पूँछें दर्शाता। केवल मध्य में अच्छी सहमति प्रसामान्यता स्थापित नहीं करती।

  5. शापिरो–विल्क परीक्षण 25 प्रेक्षित भूखंड-मूल्यों पर p = 0.003 देता है। α = 0.05 पर सही निष्कर्ष है

    1. भूखंड-मूल्य प्रसामान्य हैं, क्योंकि p-मान बहुत छोटा है
    2. प्रतिदर्श इतना छोटा है कि कोई निष्कर्ष नहीं निकल सकता
    3. परीक्षण अनिर्णायक है, क्योंकि केवल 0.5 से ऊपर का p ही निर्णय कर सकता है
    4. प्रसामान्यता अस्वीकृत है, अतः रूपांतरण या अप्राचलिक परीक्षण पर विचार करें
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — प्रसामान्यता अस्वीकृत है, अतः रूपांतरण या अप्राचलिक परीक्षण पर विचार करें

    शापिरो–विल्क की शून्य परिकल्पना है कि आँकड़े प्रसामान्य हैं। p = 0.003, 0.05 से नीचे है, अतः शून्य परिकल्पना अस्वीकृत है और मूल्य प्रसामान्य नहीं हैं; लघुगणक रूपांतरण या कोटि-आधारित परीक्षण सामान्य प्रतिक्रिया है। छोटा p कभी प्रसामान्यता का समर्थन नहीं करता; यही भ्रामक पठन है।

  6. मासिक किराये (₹) के भूतल-क्षेत्रफल (m²) व CBD से दूरी (km) पर बहु समाश्रयण में दूरी का गुणांक −250 है। सही व्याख्या यह है कि

    1. प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर अपेक्षित किराये को ₹250 घटाता है, भूतल-क्षेत्रफल को स्थिर रखते हुए
    2. दूरी किराये के विचरण का 250 प्रतिशत समझाती है
    3. किराये व दूरी के बीच सहसंबंध −250 है
    4. कच्चे आँकड़ों में प्रति किलोमीटर किराया ₹250 गिरता है, भूतल-क्षेत्रफल का कोई समायोजन किए बिना
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर अपेक्षित किराये को ₹250 घटाता है, भूतल-क्षेत्रफल को स्थिर रखते हुए

    आंशिक समाश्रयण गुणांक उस पूर्वानुमापक की प्रति इकाई y में अपेक्षित परिवर्तन है, अन्य सभी पूर्वानुमापक स्थिर रखते हुए। सहसंबंध −1 व +1 के बीच होता है, अतः −250 वह नहीं हो सकता, और विचरण का अंश 100 % से अधिक नहीं हो सकता। “समायोजन के बिना” वाला पठन केवल दूरी पर सरल समाश्रयण के ढाल का वर्णन है; यहाँ का गुणांक केवल भूतल-क्षेत्रफल स्थिर रखने पर परिभाषित है (अन्य-बातें-समान शर्त), अतः उसका कच्चे प्रभाव के बराबर होना आवश्यक नहीं।

  7. 12 प्रेक्षणों पर बैठाए गए सरल रैखिक समाश्रयण में ढाल का t प्रतिदर्शज 3.0 है। समाश्रयण का F प्रतिदर्शज, (1, 10) स्वातंत्र्य कोटि के साथ, है

    1. 1.73
    2. 3.0
    3. 6.0
    4. 9.0
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 9.0

    एक पूर्वानुमापक के साथ F प्रतिदर्शज ढाल के t प्रतिदर्शज के वर्ग के बराबर है: F = 3.0² = 9.0, और स्वातंत्र्य कोटि मेल खाती हैं (1 व n − 2 = 10)। वर्गमूल लेना (1.73) या 3.0 दोहराना सामान्य चूकें हैं; सरल समाश्रयण में F व t समान जानकारी रखते हैं।

  8. 36 यात्राओं के प्रतिदर्श का माध्य अवधि 52 मिनट व मानक विचलन 12 मिनट है। H0: μ = 50 मिनट हेतु एकल-प्रतिदर्श t प्रतिदर्शज है

    1. 0.17
    2. 0.33
    3. 1.0
    4. 6.0
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 1.0

    t = (x̄ − μ0)/(s/√n) = (52 − 50)/(12/6) = 2/2 = 1.0। √n छोड़ने पर 2/12 = 0.17; s की उपेक्षा कर केवल √n = 6 से भाग देने पर 0.33; और s/√n के स्थान पर s/n = 12/36 लेने पर 6.0 आता है। 1.0 का t, 2 के निकट क्रांतिक मान से काफ़ी नीचे है, अतः H0 अस्वीकृत नहीं होता।

  9. एक योजनाकार अधिक आँकड़े एकत्र किए बिना परीक्षण का सार्थकता स्तर 0.05 से 0.01 कर देता है। सर्वाधिक संभावित परिणाम हैं

    1. α घटाने पर प्रथम व द्वितीय दोनों प्रकार की त्रुटियों की प्रायिकताएँ साथ-साथ घटती हैं
    2. मिथ्या धनात्मक की संभावना कम, पर वास्तविक प्रभाव छूटने की संभावना β अधिक
    3. मिथ्या धनात्मक की संभावना अधिक, साथ ही वास्तविक प्रभाव पकड़ने की शक्ति भी अधिक
    4. β में कोई परिवर्तन नहीं, क्योंकि β केवल प्रतिदर्श-आकार से तय होता है और α पर निर्भर नहीं करता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — मिथ्या धनात्मक की संभावना कम, पर वास्तविक प्रभाव छूटने की संभावना β अधिक

    प्रथम प्रकार की प्रायिकता α के बराबर है, अतः वह 5 % से 1 % हो जाती है। उन्हीं आँकड़ों के साथ कठोर अस्वीकृति-देहली वास्तविक प्रभावों को पकड़ना कठिन बनाती है, अतः β बढ़ता है और शक्ति (1 − β) घटती है। केवल बड़ा प्रतिदर्श ही दोनों त्रुटियों को साथ घटा सकता है; β, α, प्रभाव-आकार, परिवर्तनशीलता व n पर निर्भर है।

  10. एक AHP अभ्यास में निर्णायक लागत को पहुँच से 3 गुना महत्त्वपूर्ण तथा पहुँच को पर्यावरणीय प्रभाव से 2 गुना महत्त्वपूर्ण मानता है। इन निर्णयों के पूर्णतः संगत होने हेतु लागत बनाम पर्यावरणीय प्रभाव की प्रविष्टि होनी चाहिए

    1. 5, दोनों निर्णयों का योग
    2. 1.5, दोनों निर्णयों का अनुपात
    3. 1/6, उनके गुणनफल का व्युत्क्रम
    4. 6, दोनों निर्णयों का गुणनफल
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 6, दोनों निर्णयों का गुणनफल

    संगति हेतु अनुपातों की संक्रामकता आवश्यक है: a(लागत, पर्यावरण) = a(लागत, पहुँच) × a(पहुँच, पर्यावरण) = 3 × 2 = 6। निर्णयों को जोड़ना (5) भ्रामक त्रुटि है और अनुपातों को अंतर समझता है। व्युत्क्रम 1/6 पर्यावरण बनाम लागत की प्रविष्टि होती, लागत बनाम पर्यावरण की नहीं।

  11. तीन स्थलों को लागत, पहुँच व पर्यावरण पर भार 0.4, 0.4 व 0.2 के साथ 100 में अंक दिए गए। स्थल P के अंक 90, 40, 60; स्थल Q के 60, 70, 70; स्थल R के 50, 80, 80 हैं। भारित-योग क्रम, श्रेष्ठ से आरंभ, है

    1. R, फिर Q, फिर P
    2. Q, फिर R, फिर P
    3. P, फिर Q, फिर R
    4. R, फिर P, फिर Q
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — R, फिर Q, फिर P

    P = 0.4 × 90 + 0.4 × 40 + 0.2 × 60 = 36 + 16 + 12 = 64; Q = 24 + 28 + 14 = 66; R = 20 + 32 + 16 = 68। अतः R > Q > P। P का लागत-अंक सर्वोत्तम है, इसलिए वह लुभाता है, पर उसका दुर्बल पहुँच-अंक कुल घटा देता है: विधि प्रतिपूरक है और प्रत्येक मानदंड अपने भार से गिना जाता है।

  12. मापन-मापनियों के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. माध्य अंतराल व अनुपात आँकड़ों हेतु सार्थक है
    2. अनुपात मापनी में वास्तविक शून्य होता है, अतः “दुगुना” जैसे कथन सार्थक हैं
    3. बहुलक नामित आँकड़ों, जैसे भू-उपयोग वर्ग, हेतु निकाला जा सकता है
    4. माध्यिका नामित आँकड़ों का उपयुक्त केंद्र है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — माध्य अंतराल व अनुपात आँकड़ों हेतु सार्थक है; B — अनुपात मापनी में वास्तविक शून्य होता है, अतः “दुगुना” जैसे कथन सार्थक हैं; C — बहुलक नामित आँकड़ों, जैसे भू-उपयोग वर्ग, हेतु निकाला जा सकता है

    अंतराल व अनुपात आँकड़े माध्य सहन करते हैं; केवल अनुपात आँकड़ों में वास्तविक शून्य होता है, जो अनुपातों को अर्थ देता है; और बहुलक को श्रेणी-गणनाओं से अधिक कुछ नहीं चाहिए, अतः वह नामित आँकड़ों पर चलता है। माध्यिका को क्रम चाहिए, जो नामित श्रेणियों में नहीं होता, अतः वह क्रमसूचक मापनी से ऊपर लागू होती है।

  13. प्रसामान्यता के परीक्षणों के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. कोल्मोगोरोव–स्मिरनोव प्रतिदर्शज अनुभवजन्य व सैद्धांतिक संचयी बंटन के बीच का सबसे बड़ा अंतर है
    2. शापिरो–विल्क परीक्षण में शून्य परिकल्पना है कि आँकड़े प्रसामान्य बंटन से आए हैं
    3. प्रसामान्यता परीक्षण में बड़ा p-मान सिद्ध करता है कि आँकड़े प्रसामान्य हैं
    4. प्रसामान्य बंटन में माध्य, माध्यिका व बहुलक संपाती होते हैं और विषमता शून्य होती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — कोल्मोगोरोव–स्मिरनोव प्रतिदर्शज अनुभवजन्य व सैद्धांतिक संचयी बंटन के बीच का सबसे बड़ा अंतर है; B — शापिरो–विल्क परीक्षण में शून्य परिकल्पना है कि आँकड़े प्रसामान्य बंटन से आए हैं; D — प्रसामान्य बंटन में माध्य, माध्यिका व बहुलक संपाती होते हैं और विषमता शून्य होती है

    K–S दोनों संचयी वक्रों के बीच अधिकतम दूरी मापता है, शापिरो–विल्क प्रसामान्यता को शून्य परिकल्पना लेता है, और प्रसामान्य वक्र सममित है, अतः माध्य, माध्यिका व बहुलक संपाती हैं और विषमता शून्य। बड़ा p-मान केवल प्रसामान्यता के विरुद्ध प्रमाण की कमी दर्शाता है, उसका प्रमाण कभी नहीं, विशेषतः छोटे प्रतिदर्शों में जहाँ परीक्षण दुर्बल होते हैं।

  14. परिकल्पना परीक्षण के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. प्रथम प्रकार की त्रुटि वस्तुतः सत्य शून्य परिकल्पना का अस्वीकार है
    2. परीक्षण की शक्ति 1 − β है, वास्तविक प्रभाव को पकड़ने की प्रायिकता
    3. यदि माध्य का 95 % विश्वास अंतराल परिकल्पित मान को छोड़ दे, तो α = 0.05 पर द्वि-पुच्छीय परीक्षण उसे अस्वीकृत करता है
    4. p-मान शून्य परिकल्पना के सत्य होने की प्रायिकता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रथम प्रकार की त्रुटि वस्तुतः सत्य शून्य परिकल्पना का अस्वीकार है; B — परीक्षण की शक्ति 1 − β है, वास्तविक प्रभाव को पकड़ने की प्रायिकता; C — यदि माध्य का 95 % विश्वास अंतराल परिकल्पित मान को छोड़ दे, तो α = 0.05 पर द्वि-पुच्छीय परीक्षण उसे अस्वीकृत करता है

    प्रथम प्रकार सत्य शून्य परिकल्पना का अस्वीकार है, शक्ति 1 − β है, और 95 % अंतराल व द्वि-पुच्छीय 5 % परीक्षण एक ही प्रमाण के दो दृश्य हैं, अतः मान का बाहर होना अस्वीकृति है। p-मान शून्य को सत्य मानकर निकलता है; यह शून्य के अधीन इतने चरम आँकड़ों की प्रायिकता है, स्वयं शून्य की प्रायिकता नहीं।

  15. AHP व भारित बहु-मानदंड विश्लेषण के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. 0.10 या उससे कम संगति अनुपात परंपरा से स्वीकार्य माना जाता है
    2. युग्मवार आव्यूह में aji = 1/aij होता है और विकर्ण प्रविष्टियाँ 1 होती हैं
    3. भारित योग प्रतिपूरक है: एक मानदंड का उच्च अंक दूसरे के निम्न अंक की भरपाई कर सकता है
    4. संगति अनुपात बताता है कि विकल्पों का अंतिम क्रम सही है या नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.10 या उससे कम संगति अनुपात परंपरा से स्वीकार्य माना जाता है; B — युग्मवार आव्यूह में aji = 1/aij होता है और विकर्ण प्रविष्टियाँ 1 होती हैं; C — भारित योग प्रतिपूरक है: एक मानदंड का उच्च अंक दूसरे के निम्न अंक की भरपाई कर सकता है

    CR ≤ 0.10 परंपरागत सीमा है, आव्यूह व्युत्क्रमी है और विकर्ण पर इकाइयाँ हैं, और भारित योग एक मानदंड की सबलता को दूसरे की दुर्बलता की भरपाई करने देता है। CR केवल युग्मवार निर्णयों की आंतरिक संगति मापता है; संगत निर्णय फिर भी गलत या अभिनत हो सकते हैं, अतः यह नहीं बताता कि क्रम सही है या नहीं।

  16. 8 आवासों के प्रतिदर्श में परिवार-आकार 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 व 9 हैं। प्रतिदर्श प्रसरण (भाजक n − 1), दो दशमलव स्थानों तक शुद्ध, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4.57

    माध्य = 40/8 = 5। वर्गित विचलन: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, योग = 32। प्रतिदर्श प्रसरण = 32/(8 − 1) = 32/7 = 4.57। जाँच: 8 से भाग देने पर समष्टि प्रसरण 4.00 आता, जो सामान्य चूक है।

  17. किसी वार्ड को सेवा देने वाले बस मार्गों की संख्या x के विरुद्ध सवारी y (हज़ार प्रतिदिन) x = 1, 2, 3, 4, 5 हेतु y = 2, 4, 5, 4, 5 देती है। न्यूनतम वर्ग रेखा से x = 6 पर पूर्वानुमानित सवारी, एक दशमलव स्थान तक शुद्ध, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5.8

    x̄ = 3, ȳ = 4। Sxy = (−2)(−2) + (−1)(0) + 0(1) + (1)(0) + (2)(1) = 6; Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10। b = 0.6, a = 4 − 0.6 × 3 = 2.2। x = 6 पर: ŷ = 2.2 + 0.6 × 6 = 5.8। यह x के बैठाए गए परास के बाहर है, अतः बाह्य-गणन है और सावधानी से लेना चाहिए।

  18. तीन क्षेत्रों के परिवारों के आवागमन-समय (मिनट) हैं: क्षेत्र 1: 4, 6, 8; क्षेत्र 2: 7, 9, 11; क्षेत्र 3: 10, 12, 14। क्षेत्र-माध्यों की तुलना करने वाले एकदिश ANOVA का F अनुपात, दो दशमलव स्थानों तक शुद्ध, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6.75

    क्षेत्र-माध्य 6, 9, 12; समग्र माध्य 9। SSB = 3[(6 − 9)² + 0 + (12 − 9)²] = 54, df = 2, MSB = 27। प्रत्येक क्षेत्र का SS = 4 + 0 + 4 = 8, अतः SSW = 24, df = 9 − 3 = 6, MSW = 4। F = 27/4 = 6.75। जाँच: SST = 78 = 54 + 24।

  19. 40 निम्न-आय आवागमनकर्ताओं में 30 बस व 10 कार प्रयोग करते हैं; 60 उच्च-आय आवागमनकर्ताओं में 20 बस व 40 कार प्रयोग करते हैं। आय-वर्ग व साधन के बीच स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण हेतु पियर्सन χ² प्रतिदर्शज (सांतत्य संशोधन के बिना), दो दशमलव स्थानों तक शुद्ध, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 16.67

    स्तंभ योग: बस 50, कार 50; कुल योग 100। प्रत्याशित: निम्न-आय बस = 40 × 50/100 = 20, निम्न-आय कार = 20; उच्च-आय बस = 60 × 50/100 = 30, उच्च-आय कार = 30। प्रत्येक कोष्ठक 10 से विचलित है, अतः χ² = 100/20 + 100/20 + 100/30 + 100/30 = 5 + 5 + 3.33 + 3.33 = 16.67, df = 1।

  20. 4 मानदंडों के युग्मवार तुलना आव्यूह का मुख्य आइगेन मान λmax = 4.31 है। n = 4 हेतु यादृच्छिक सूचकांक 0.90 है। संगति अनुपात, दो दशमलव स्थानों तक शुद्ध, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.11

    CI = (λmax − n)/(n − 1) = (4.31 − 4)/3 = 0.1033। CR = CI/RI = 0.1033/0.90 = 0.1148, जो 0.11 पूर्णांकित होता है। यह 0.10 सीमा से अधिक है, अतः निर्णय बहुत असंगत हैं और उन पर पुनर्विचार होना चाहिए।