वायुयान संरचनाएँ: पदार्थ सामर्थ्य, पतली-भित्ति काट व संरचनात्मक गतिकी

GATE वांतरिक्ष अभियांत्रिकी (AE) पेपर का खंड 4, संरचनाएँ, एक अध्याय में। यह पाठ्यक्रम के तीन मूल शीर्षकों का क्रम से अनुसरण करता है। पहले पदार्थ सामर्थ्य: प्रतिबल व विकृति तथा इस्पात व ऐलुमिनियम के प्रतिबल-विकृति वक्र, त्रि-विमीय हुक नियम, समतल प्रतिबल व समतल विकृति; स्थैतिकतः निर्धार्य व अनिर्धार्य छड़ों, कैंचियों (trusses), धरनों व शाफ़्टों में प्रतिबल व विक्षेप; प्रतिबल व विकृति रूपांतरण, मोर वृत्त, मुख्य प्रतिबल, संयुक्त भारण और अधिकतम-प्रतिबल, ट्रेस्का व वॉन मीज़ेस विफलता कसौटियाँ; विकृति ऊर्जा, कास्टिग्लियानो प्रमेय व ऑयलर व्याकुंचन (buckling)। फिर उड़ान-यान संरचनाएँ: सममित व असममित खुली व बंद पतली-भित्ति काटों का बंकन, अपरूपण व ऐंठन, तथा वायुयान पर आने वाले भार। फिर संरचनात्मक गतिकी: अवमंदित व अनवमंदित एक-स्वातंत्र्य-कोटि तंत्रों के मुक्त व प्रणोदित कंपन तथा अनवमंदित द्वि-स्वातंत्र्य-कोटि तंत्रों के मुक्त कंपन। अंत में द्वि-विमीय प्रत्यास्थता में साम्य व संगतता का विशेष विषय।

1. प्रतिबल, विकृति, पदार्थ वक्र व त्रि-विमा में हुक नियम

अभिलंब प्रतिबल σ किसी तल के लंबवत प्रति इकाई क्षेत्रफल बल है और अपरूपण प्रतिबल τ उसके अनुदिश प्रति इकाई क्षेत्रफल बल; अभिलंब विकृति ε प्रति इकाई लंबाई लंबाई-परिवर्तन है और अपरूपण विकृति γ रेडियन में समकोण का परिवर्तन। तनाव में मृदु इस्पात का प्रतिबल-विकृति वक्र आनुपातिक सीमा तक रैखिक है, फिर स्पष्ट ऊपरी व निचला पराभव बिंदु (yield point) व पराभव पठार दिखाता है, फिर चरम तनन सामर्थ्य तक विकृति-दृढ़ीकरण, फिर ग्रीवन (necking) व विभंग; इसका मापांक लगभग 200 GPa है। ऐलुमिनियम मिश्रधातुएँ कोई स्पष्ट पराभव बिंदु नहीं दिखातीं — वक्र धीरे-धीरे मुड़ता है — अतः पराभव सामर्थ्य के रूप में 0.2% विचलन प्रमाण-प्रतिबल (proof stress) प्रयोग होता है; मापांक लगभग 70 GPa है, इस्पात का एक-तिहाई, पर घनत्व (लगभग 2.7 बनाम 7.85 g/cm³) भी लगभग एक-तिहाई है, अतः विशिष्ट दृढ़ता E/ρ समान है और वांतरिक्ष मिश्रधातुओं की विशिष्ट सामर्थ्य उच्च है।

रैखिक, समदैशिक पदार्थ हेतु व्यापक (त्रि-विमीय) हुक नियम ε_x = [σ_x − ν(σ_y + σ_z)]/E व उसके दो साथी हैं, γ_xy = τ_xy/G इत्यादि के साथ; केवल दो स्थिरांक स्वतंत्र हैं, G = E/(2(1 + ν)) व आयतन मापांक K = E/(3(1 − 2ν))। दो द्वि-विमीय आदर्शीकरण निकलते हैं। समतल प्रतिबल (अपने तल में भारित पतली प्लेटें व त्वचाएँ) में σ_z = τ_xz = τ_yz = 0, पर ε_z = −ν(σ_x + σ_y)/E शून्य नहीं — प्लेट पतली होती है। समतल विकृति (लंबाई के अनुदिश अवरुद्ध लंबे पिंड) में ε_z = γ_xz = γ_yz = 0, पर σ_z = ν(σ_x + σ_y) शून्य नहीं। मुक्त तापीय विकृति αΔT अभिलंब विकृतियों में जुड़ती है; अवरुद्ध होने पर वह प्रतिबल αEΔT उत्पन्न करती है।

2. छड़ें, कैंचियाँ, धरनें व शाफ़्ट — निर्धार्य व अनिर्धार्य

संरचना स्थैतिकतः निर्धार्य है जब केवल साम्य से हर प्रतिक्रिया व आंतरिक बल मिल जाए; समतल पिन-जोड़ कैंची हेतु इसके लिए m + r = 2j (अवयव, प्रतिक्रियाएँ, जोड़) चाहिए, और हर अवयव द्वि-बल अवयव है जिसे जोड़ों या काटों की विधि से हल करते हैं। अक्षीय भारित छड़ δ = PL/(AE) से बढ़ती है। जब अज्ञात साम्य समीकरणों से अधिक हों तो संरचना अनिर्धार्य है, और अतिरिक्त समीकरण विरूपण की संगतता से आते हैं: दो दीवारों के बीच स्थिर व तापित छड़ σ = −αEΔT वहन करती है; दो पदार्थों की संयुक्त छड़ भार को उनकी अक्षीय दृढ़ताओं AE/L के अनुपात में बाँटती है।

धरन अनुप्रस्थ भार को अपरूपण बल V व बंकन आघूर्ण M से वहन करती है, जो dM/dx = V व dV/dx = −w से संबंधित हैं। बंकन सूत्र σ = My/I बंकन प्रतिबल देता है, अपरूपण सूत्र τ = VQ/(Ib) अनुप्रस्थ अपरूपण प्रतिबल (आयत हेतु माध्य का 1.5 गुना), और प्रत्यास्थ वक्र EI d²v/dx² = M विक्षेप। ऐंठन में वृत्ताकार शाफ़्ट में τ = Tr/J व ऐंठन कोण θ = TL/(GJ), ठोस शाफ़्ट हेतु J = πd⁴/32। अनिर्धार्य धरन — टेकयुक्त प्रास (propped cantilever), दोनों सिरे स्थिर धरन — को एक अतिरिक्त (redundant) हटाकर, उससे होने वाला विक्षेप निकालकर, और संगतता पुनर्स्थापित करके हल करते हैं: एकसमान भार w के अधीन टेकयुक्त प्रास में टेक 3wL/8 वहन करता है, wL⁴/(8EI) = RL³/(3EI) से।

बिना व्युत्पत्ति के जानने योग्य मानक धरन परिणाम
धरन व भारअधिकतम आघूर्णअधिकतम विक्षेप
प्रास, सिरे पर भार PPL (मूल पर)PL³/(3EI)
प्रास, एकसमान भार wwL²/2wL⁴/(8EI)
सरल आधारित, केंद्रीय भार PPL/4PL³/(48EI)
सरल आधारित, एकसमान भार wwL²/85wL⁴/(384EI)

3. प्रतिबल रूपांतरण, मोर वृत्त, संयुक्त भारण व विफलता कसौटियाँ

समतल प्रतिबल में θ से घूमे तल पर प्रतिबल σ_x′ = (σ_x + σ_y)/2 + ((σ_x − σ_y)/2) cos 2θ + τ_xy sin 2θ तथा τ_x′y′ = −((σ_x − σ_y)/2) sin 2θ + τ_xy cos 2θ हैं। मोर वृत्त इन्हें केंद्र C = (σ_x + σ_y)/2 व त्रिज्या R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²) के वृत्त के रूप में खींचता है: मुख्य प्रतिबल σ1,2 = C ± R हैं, tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y) वाले तलों पर जिन पर अपरूपण नहीं, और अधिकतम तल-अंतर्गत अपरूपण प्रतिबल R है, मुख्य तलों से 45° पर। विकृतियाँ τ के स्थान पर γ/2 लेकर इसी प्रकार रूपांतरित होती हैं, जिससे विकृति-मापी रोज़ेट (rosette) मुख्य विकृतियों में घटाए जाते हैं। संयुक्त भारण — बंकन व ऐंठन में शाफ़्ट, अक्षीय भार सहित दाबित नली — को क्रांतिक बिंदु पर प्रतिबलों का अध्यारोपण करके और फिर रूपांतरण करके सँभाला जाता है।

विफलता कसौटियाँ बहु-अक्षीय अवस्था की तुलना एक-अक्षीय पराभव सामर्थ्य σ_Y से करती हैं। अधिकतम मुख्य प्रतिबल (रैंकिन) कसौटी, σ1 = σ_Y, भंगुर पदार्थों हेतु उपयुक्त है। तन्य धातुओं हेतु ट्रेस्का (अधिकतम अपरूपण प्रतिबल) कहती है कि पराभव तब होता है जब max(|σ1 − σ2|, |σ2 − σ3|, |σ3 − σ1|) = σ_Y, और वॉन मीज़ेस (विरूपण ऊर्जा) जब ½[(σ1 − σ2)² + (σ2 − σ3)² + (σ3 − σ1)²] = σ_Y²; समतल प्रतिबल में वॉन मीज़ेस प्रतिबल σ_vm = √(σ1² − σ1σ2 + σ2²) = √(σ_x² − σ_xσ_y + σ_y² + 3τ_xy²) है। शुद्ध अपरूपण में ट्रेस्का τ = σ_Y/2 पर और वॉन मीज़ेस τ = σ_Y/√3 = 0.577σ_Y पर पराभव बताते हैं, अतः ट्रेस्का अधिक रूढ़िवादी है; उसका षट्भुज वॉन मीज़ेस दीर्घवृत्त के भीतर है और छह बिंदुओं पर उसे छूता है।

⚠️ समतल प्रतिबल में तीसरा मुख्य प्रतिबल शून्य है, और वह गिना जाता है
σ1 = 70 MPa व σ2 = −30 MPa के साथ तल-अंतर्गत अधिकतम अपरूपण 50 MPa है और ट्रेस्का |σ1 − σ2| = 100 MPa प्रयोग करती है। पर यदि दोनों तल-अंतर्गत मुख्य प्रतिबलों का चिह्न समान होता — मान लें 70 व 30 MPa — तो सबसे बड़ा अंतर σ1 − σ3 = 70 − 0 = 70 MPa होता, 40 MPa नहीं। σ3 = 0 भूलना, जब भी σ1 व σ2 समान चिह्न के हों, ट्रेस्का प्रतिबल को कम आँकता है।

4. विकृति ऊर्जा, कास्टिग्लियानो प्रमेय व ऑयलर व्याकुंचन

विकृति ऊर्जा प्रत्यास्थ विरूपण में संचित कार्य है, अभिलंब प्रतिबल हेतु U = ∫σ²/(2E) dV। सामान्य अवयवों हेतु: अक्षीय भार में U = P²L/(2AE), बंकन में ∫M²/(2EI) dx, और ऐंठन में T²L/(2GJ)। कास्टिग्लियानो का दूसरा प्रमेय कहता है कि रैखिक प्रत्यास्थ संरचना में किसी भार पर, उसकी दिशा में, विस्थापन δ_i = ∂U/∂P_i है (और घूर्णन ∂U/∂M_i); जहाँ विस्थापन चाहिए वहाँ काल्पनिक भार रखकर और फिर उसे शून्य करके इकाई-भार (dummy-load) विधि मिलती है। पहला प्रमेय विलोम है, P_i = ∂U/∂δ_i, U को विस्थापनों में लिखकर। अनिर्धार्य संरचना हेतु अतिरिक्त प्रतिक्रिया R विकृति ऊर्जा को न्यूनतम करती है, ∂U/∂R = 0 — न्यूनतम कार्य का सिद्धांत। सिरे पर भार वाले प्रास हेतु U = ∫(Px)²/(2EI) dx = P²L³/(6EI), और ∂U/∂P = PL³/(3EI) — तालिका का परिणाम पुनः प्राप्त।

अक्षीय संपीडन के अधीन पतला स्तंभ ऑयलर क्रांतिक भार P_cr = π²EI/L_e² तक सीधा रहता है, जिस पर मुड़ा हुआ साम्य संभव हो जाता है; वह न्यूनतम I वाले अक्ष के परितः व्याकुंचित होता है। प्रभावी लंबाई L_e सिरों की स्थितियों पर निर्भर है: पिन-पिन हेतु L, स्थिर-मुक्त हेतु 2L, स्थिर-स्थिर हेतु 0.5L और स्थिर-पिन हेतु लगभग 0.7L। प्रतिबल के रूप में σ_cr = π²E/(L_e/r)², जहाँ r = √(I/A) परिभ्रमण त्रिज्या है, अतः पतलापन अनुपात L_e/r तय करता है कि अवयव व्याकुंचन से विफल होगा या पराभव से। स्थिर-मुक्त स्तंभ पिन-पिन भार का केवल एक-चौथाई वहन करता है।

5. पतली-भित्ति काट — बंकन, अपरूपण प्रवाह, अपरूपण केंद्र व ऐंठन; वायुयान पर भार

वायुयान संरचनाएँ पतली-भित्ति कोश हैं — त्वचाएँ, स्पार, स्ट्रिंगर — और उनके विश्लेषण में अपरूपण प्रवाह q = τt (भित्ति की प्रति इकाई लंबाई बल) प्रयुक्त होता है। बंकन में, आघूर्ण के अक्ष के परितः सममित काट σ = M_x y/I_xx देती है। असममित काट (I_xy ≠ 0) भार के तल से बाहर मुड़ती है और उसका उदासीन अक्ष उस तल से झुका होता है; प्रत्यक्ष प्रतिबल σ_z = [(M_y I_xx − M_x I_xy)/(I_xx I_yy − I_xy²)]x + [(M_x I_yy − M_y I_xy)/(I_xx I_yy − I_xy²)]y है, जो I_xy = 0 पर सममित सूत्र बन जाता है। आदर्शीकृत काट में बूम (स्ट्रिंगर व स्पार-कैप अपनी प्रभावी त्वचा सहित) प्रत्यक्ष प्रतिबल वहन करते हैं और उनके बीच की त्वचा केवल स्थिर अपरूपण प्रवाह वहन करती है।

खुली काट में अपरूपण प्रवाह भित्ति-अवयव के साम्य से निकलता है: केवल अपरूपण S_y के अधीन I_xy = 0 वाली काट हेतु q(s) = −(S_y/I_xx)∫₀ˢ t y ds, मुक्त किनारे पर शून्य से आरंभ। उस अपरूपण प्रवाह का परिणामी अपरूपण केंद्र से गुज़रता है, वह बिंदु जिससे अपरूपण भार को गुज़रना चाहिए ताकि काट बिना ऐंठे मुड़े। यह किसी भी सममिति-अक्ष पर होता है; b फ्लैंज चौड़ाई, h जाल (web) ऊँचाई व एकसमान मोटाई वाले चैनल हेतु यह जाल की केंद्र-रेखा से e = 3b²/(h + 6b) पर है, फ्लैंजों से विपरीत ओर — काट के बाहर। बंद काट एक कटान पर अज्ञात स्थिर अपरूपण प्रवाह q0 जोड़ती है, जो आघूर्ण तुल्यता या शून्य ऐंठन की शर्त से मिलता है।

ऐंठन में बंद एक-कोष्ठ काट ब्रेड्ट-बाथो सूत्र T = 2Aq से दिया स्थिर अपरूपण प्रवाह वहन करती है, जहाँ A भित्ति की मध्य-रेखा से घिरा क्षेत्रफल है, अतः τ = T/(2At); उसकी ऐंठन-दर dθ/dz = (T/(4A²G))∮ds/t है, अर्थात् J = 4A²/∮(ds/t)। उसी पदार्थ की खुली काट ऐंठन में कहीं दुर्बल है: J = Σ(1/3)bt³ और τ_max = Tt/J। पतली नली को लंबाई के अनुदिश चीर देने से उसकी ऐंठन दृढ़ता कई कोटियों तक घट जाती है, इसीलिए पंख बंद बक्सों के रूप में बनते हैं। ऐसी संरचनाएँ जो भार वहन करती हैं वे हैं वायुगतिक भार (उत्थापन वितरण, भार गुणांक के माध्यम से युक्ति-चालन व झोंके), जड़त्व भार (प्रत्येक द्रव्यमान का n गुना), अवतरण व भूमि भार, प्रणोदन भार तथा केबिन दाबन, जिसके लिए पतले बेलन में परिधीय (hoop) प्रतिबल pr/t व अनुदैर्ध्य प्रतिबल pr/(2t) है। पंख के अनुदिश ये अपरूपण बल, बंकन आघूर्ण व बल-आघूर्ण के रूप में आते हैं, मूल पर सबसे अधिक; पंख में इंजन व ईंधन बंकन राहत देते हैं।

🎯 चैनल का अपरूपण केंद्र उसके बाहर क्यों है
चैनल के दोनों फ्लैंजों में अपरूपण प्रवाह विपरीत दिशाओं में चलता है और जाल के परितः एक बलयुग्म बनाता है। काट के अपरूपण प्रवाह के परिणामी का लगाए भार के आघूर्ण से अधिक कोई शुद्ध आघूर्ण न हो, इसके लिए भार को जाल के दूसरी ओर दूरी e पर कार्य करना होगा, जहाँ उसका आघूर्ण फ्लैंज बलयुग्म को संतुलित करे। चैनल को उसके केंद्रक से भारित करें तो वह मुड़ने के साथ ऐंठता भी है — स्पार व स्ट्रिंगर अभिकल्प हेतु वास्तविक चिंता।

6. संरचनात्मक गतिकी — SDOF व 2-DOF कंपन

एक-स्वातंत्र्य-कोटि तंत्र m ẍ + c ẋ + k x = F(t) की अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति ω_n = √(k/m) (f_n = ω_n/2π) है। अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c है, क्रांतिक अवमंदन c_c = 2√(km) = 2mω_n के साथ। ζ < 1 (अल्प-अवमंदित) हेतु मुक्त कंपन अवमंदित आवृत्ति ω_d = ω_n√(1 − ζ²) पर क्षयमान दोलन है; ζ = 1 (क्रांतिक अवमंदित) बिना दोलन सबसे तेज़ लौटता है; ζ > 1 (अति-अवमंदित) धीरे-धीरे लौटता है। क्रमागत शिखरों के बीच लघुगणकीय ह्रास δ = ln(x_n/xn+1) = 2πζ/√(1 − ζ²) ≈ 2πζ (हल्के अवमंदन हेतु) से अवमंदन मापा जाता है। आवर्ती प्रणोदन F0 sin ωt के अधीन स्थायी-अवस्था आयाम X = (F0/k)/√((1 − r²)² + (2ζr)²) है, r = ω/ω_n, जो बल से φ = tan⁻¹(2ζr/(1 − r²)) पिछड़ता है। अनुनाद r = 1 पर कला-पश्चता 90° और आवर्धन 1/(2ζ) है; शिखर स्वयं r = √(1 − 2ζ²) पर, थोड़ा नीचे है।

अनवमंदित द्वि-स्वातंत्र्य-कोटि तंत्र [M]{ẍ} + [K]{x} = 0 के हल {x} = {X} sin ωt तभी हैं जब det([K] − ω²[M]) = 0 — आवृत्ति समीकरण, ω² में द्विघात, जो दो प्राकृतिक आवृत्तियाँ देता है, प्रत्येक अपनी विधा-आकृति (अनुपात X1/X2) सहित। दो समान द्रव्यमानों m को एक-दूसरे से व दो दीवारों से तीन समान कमानियों k से जोड़ने पर [K] = [[2k, −k], [−k, 2k]]: पहली विधा (द्रव्यमान समकला में, X1/X2 = 1) ω1 = √(k/m) पर है, क्योंकि बीच की कमानी नहीं खिंचती, और दूसरी (विपरीत कला, X1/X2 = −1) ω2 = √(3k/m) पर। कोई भी मुक्त गति दोनों विधाओं का संयोजन है।

7. द्वि-विमीय प्रत्यास्थता में साम्य व संगतता

द्वि-विमीय प्रत्यास्थता समस्या में तीन अज्ञात प्रतिबल, तीन विकृतियाँ व दो विस्थापन होते हैं। अवयव का साम्य दो समीकरण देता है, ∂σ_x/∂x + ∂τ_xy/∂y + F_x = 0 तथा ∂τ_xy/∂x + ∂σ_y/∂y + F_y = 0। विकृतियाँ दो विस्थापनों से आती हैं (ε_x = ∂u/∂x, ε_y = ∂v/∂y, γ_xy = ∂u/∂y + ∂v/∂x), अतः वे स्वेच्छ नहीं हो सकतीं: संगतता समीकरण ∂²ε_x/∂y² + ∂²ε_y/∂x² = ∂²γ_xy/∂x∂y सुनिश्चित करता है कि एक सतत विस्थापन क्षेत्र हो, बिना अंतराल या अतिव्यापन के। पिंड बलों के बिना, σ_x = ∂²φ/∂y², σ_y = ∂²φ/∂x², τ_xy = −∂²φ/∂x∂y से परिभाषित ऐरी प्रतिबल फलन φ दोनों साम्य समीकरणों को सर्वसमिका रूप से संतुष्ट करता है, और हुक नियम सहित संगतता तब द्वि-प्रसंवादी (biharmonic) समीकरण ∇⁴φ = ∂⁴φ/∂x⁴ + 2∂⁴φ/∂x²∂y² + ∂⁴φ/∂y⁴ = 0 माँगती है। समस्या हल करने का अर्थ है ऐसा द्वि-प्रसंवादी φ खोजना जो सीमा कर्षणों को भी पूरा करे; तीन या कम घात के बहुपद ∇⁴φ = 0 स्वतः संतुष्ट करते हैं।

मुख्य बिंदु

  • इस्पात में स्पष्ट पराभव बिंदु व E ≈ 200 GPa; ऐलुमिनियम मिश्रधातुओं में 0.2% प्रमाण-प्रतिबल व E ≈ 70 GPa। G = E/(2(1 + ν))। समतल प्रतिबल: σ_z = 0, ε_z ≠ 0; समतल विकृति: ε_z = 0, σ_z = ν(σ_x + σ_y)।
  • मोर: केंद्र (σ_x + σ_y)/2, त्रिज्या √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)। शुद्ध अपरूपण में ट्रेस्का σ_Y/2 पर, वॉन मीज़ेस σ_Y/√3 पर पराभव; σ_vm = √(σ1² − σ1σ2 + σ2²)।
  • कास्टिग्लियानो: δ = ∂U/∂P; अतिरिक्तों हेतु न्यूनतम कार्य ∂U/∂R = 0। ऑयलर: P_cr = π²EI/L_e², पिन, स्थिर-मुक्त, स्थिर-स्थिर, स्थिर-पिन हेतु L_e = L, 2L, 0.5L, 0.7L।
  • पतली भित्ति: q = τt; खुली-काट अपरूपण प्रवाह मुक्त किनारे पर शून्य से आरंभ; चैनल अपरूपण केंद्र e = 3b²/(h + 6b) जाल के बाहर; बंद-कोष्ठ ऐंठन T = 2Aq, J = 4A²/∮ds/t, खुली काट के Σbt³/3 से कहीं दृढ़।
  • SDOF: ω_n = √(k/m), ζ = c/(2√(km)), δ = 2πζ/√(1 − ζ²), अनुनाद पर आवर्धन 1/(2ζ)। 2-DOF: det(K − ω²M) = 0; समान द्रव्यमान व तीन समान कमानियाँ √(k/m) व √(3k/m) देते हैं।
  • 2-D प्रत्यास्थता: दो साम्य समीकरण, एक संगतता समीकरण; ऐरी प्रतिबल फलन साम्य को सर्वसमिका रूप से संतुष्ट करता है और द्वि-प्रसंवादी होना चाहिए, ∇⁴φ = 0।

अभ्यास प्रश्न (19)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. मृदु इस्पात व ऐलुमिनियम मिश्रधातुओं के तनन प्रतिबल-विकृति व्यवहार के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. मृदु इस्पात स्पष्ट ऊपरी व निचले पराभव बिंदु दिखाता है
    2. ऐलुमिनियम मिश्रधातुओं हेतु पराभव सामर्थ्य प्रायः 0.2% विचलन विधि से परिभाषित होता है
    3. ऐलुमिनियम मिश्रधातुओं का प्रत्यास्थ मापांक इस्पात के लगभग एक-तिहाई है
    4. ऐलुमिनियम मिश्रधातुओं का प्रति इकाई घनत्व प्रत्यास्थ मापांक इस्पात से बहुत अधिक है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — मृदु इस्पात स्पष्ट ऊपरी व निचले पराभव बिंदु दिखाता है; B — ऐलुमिनियम मिश्रधातुओं हेतु पराभव सामर्थ्य प्रायः 0.2% विचलन विधि से परिभाषित होता है; C — ऐलुमिनियम मिश्रधातुओं का प्रत्यास्थ मापांक इस्पात के लगभग एक-तिहाई है

    मृदु इस्पात में पराभव-बिंदु परिघटना व पठार होता है; ऐलुमिनियम मिश्रधातुएँ धीरे-धीरे पराभवित होती हैं, अतः 0.2% प्रमाण-प्रतिबल प्रयुक्त होता है; E लगभग 70 बनाम 200 GPa है। पर घनत्व लगभग उसी अनुपात में हैं (2.7 बनाम 7.85 g/cm³), अतः E/ρ लगभग समान है — चौथा कथन असत्य है; ऐलुमिनियम विशिष्ट सामर्थ्य में आगे है, विशिष्ट दृढ़ता में नहीं।

  2. एक पदार्थ का यंग मापांक 200 GPa व पॉयसॉन अनुपात 0.3 है। उसका अपरूपण मापांक कितना है, GPa में (दो दशमलव स्थानों तक)?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 76.92

    G = E/(2(1 + ν)) = 200/(2 × 1.3) = 200/2.6 = 76.92 GPa। (1 − ν) लेने पर 142.9 GPa आता है, और E/(3(1 − 2ν)) = 166.7 GPa आयतन मापांक है, अपरूपण मापांक नहीं।

  3. xy-तल में समतल विकृति अवस्था वाले लंबे पिंड हेतु कौन-सा कथन सही है?

    1. σ_z = 0 तथा ε_z = 0
    2. σ_z = 0 पर ε_z ≠ 0
    3. ε_z = 0 पर सामान्यतः σ_z = ν(σ_x + σ_y)
    4. σ_z व ε_z दोनों शून्येतर और असंबद्ध
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — ε_z = 0 पर सामान्यतः σ_z = ν(σ_x + σ_y)

    समतल विकृति z के अनुदिश विरूपण रोकती है, अतः ε_z = [σ_z − ν(σ_x + σ_y)]/E = 0 हेतु σ_z = ν(σ_x + σ_y) चाहिए। दूसरा विकल्प समतल प्रतिबल है, पतली-प्लेट स्थिति जहाँ σ_z लुप्त होता है और प्लेट पतली होने को स्वतंत्र है।

  4. 2 m लंबी, 500 mm² अनुप्रस्थ क्षेत्रफल वाली इस्पात छड़ (E = 200 GPa) 50 kN अक्षीय तनन भार वहन करती है। उसका दीर्घीकरण कितना है, mm में?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1

    δ = PL/(AE) = 50 000 × 2/(500 × 10⁻⁶ × 200 × 10⁹) = 100 000/10⁸ = 1 × 10⁻³ m = 1 mm। E को Pa में रखते हुए क्षेत्रफल mm² में छोड़ने से उत्तर दस लाख गुना छोटा आता है।

  5. 1 m लंबा प्रास अपने मुक्त सिरे पर 1 kN भार वहन करता है; EI = 200 kN·m²। सिरे का विक्षेप कितना है, mm में (दो दशमलव स्थानों तक)?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.67

    δ = PL³/(3EI) = 1000 × 1³/(3 × 200 × 10³) = 1000/600 000 = 1.667 × 10⁻³ m = 1.67 mm। यही कास्टिग्लियानो से: U = P²L³/(6EI), ∂U/∂P = PL³/(3EI)। हर में 48 लेना सरल आधारित केंद्रीय-भार का सूत्र है।

  6. 4 m विस्तृति का टेकयुक्त प्रास (एक सिरा स्थिर, दूसरा सरल आधारित) अपनी पूरी लंबाई पर 8 kN/m का एकसमान वितरित भार वहन करता है। टेक पर प्रतिक्रिया कितनी है, kN में?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 12

    टेक हटाएँ: प्रास का सिरा wL⁴/(8EI) विक्षेपित होता है। टेक बल R को उसे RL³/(3EI) से वापस धकेलना होगा, अतः R = 3wL/8 = 3 × 8 × 4/8 = 12 kN, और दीवार पर 32 − 12 = 20 kN बचता है। आधा भार (16 kN) लेना धरन को दोनों सिरों पर सरल आधारित मानना है।

  7. समतल प्रतिबल में किसी बिंदु पर σ_x = 60 MPa, σ_y = −20 MPa तथा τ_xy = 30 MPa। अधिकतम मुख्य प्रतिबल कितना है, MPa में?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 70

    मोर वृत्त: केंद्र C = (60 − 20)/2 = 20 MPa, त्रिज्या R = √(40² + 30²) = 50 MPa, अतः σ1 = C + R = 70 MPa तथा σ2 = −30 MPa। त्रिज्या में आधे के स्थान पर पूरा अंतर (σ_x − σ_y = 80) लेने पर R ≈ 85.4 और σ1 ≈ 105 MPa आता है।

  8. उसी अवस्था (σ_x = 60 MPa, σ_y = −20 MPa, τ_xy = 30 MPa, समतल प्रतिबल) हेतु वॉन मीज़ेस तुल्य प्रतिबल कितना है, MPa में (एक दशमलव स्थान तक)?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 88.9

    σ1 = 70 व σ2 = −30 के साथ σ_vm = √(σ1² − σ1σ2 + σ2²) = √(4900 + 2100 + 900) = √7900 = 88.9 MPa। सीधे: √(σ_x² − σ_xσ_y + σ_y² + 3τ²) = √(3600 + 1200 + 400 + 2700) = √7900, वही। −σ1σ2 के स्थान पर +σ1σ2 लिखने पर √3700 = 60.8 MPa आता है। यहाँ ट्रेस्का तुल्य σ1 − σ2 = 100 MPa है।

  9. एक-अक्षीय पराभव सामर्थ्य σ_Y वाला तन्य पदार्थ शुद्ध अपरूपण में भारित है। ट्रेस्का व वॉन मीज़ेस कसौटियों द्वारा पराभव पर अनुमानित अपरूपण प्रतिबल क्रमशः हैं:

    1. σ_Y/√3 तथा σ_Y/2
    2. σ_Y/2 तथा σ_Y/√3
    3. σ_Y तथा σ_Y/2
    4. σ_Y/2 तथा σ_Y/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — σ_Y/2 तथा σ_Y/√3

    शुद्ध अपरूपण τ के मुख्य प्रतिबल +τ, −τ, 0 हैं। ट्रेस्का: σ1 − σ3 = 2τ = σ_Y, अतः τ = 0.5σ_Y। वॉन मीज़ेस: √(τ² + τ² + τ²) = √3·τ = σ_Y, अतः τ = 0.577σ_Y। दोनों में ट्रेस्का अधिक रूढ़िवादी है, और पहले विकल्प में ये उलटे हैं।

  10. 2 m लंबा स्तंभ (E = 200 GPa, न्यूनतम द्वितीय क्षेत्रफल आघूर्ण 8 × 10⁻⁷ m⁴) आधार पर स्थिर व शीर्ष पर मुक्त है। उसका ऑयलर व्याकुंचन भार कितना है, kN में (एक दशमलव स्थान तक)?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 98.7

    स्थिर-मुक्त से L_e = 2L = 4 m, अतः P_cr = π²EI/L_e² = 9.8696 × 200 × 10⁹ × 8 × 10⁻⁷/16 = 1.579 × 10⁶/16 = 98.7 kN। L_e = L (पिन-पिन) लेने पर 394.8 kN आता है, चार गुना अधिक।

  11. रैखिक प्रत्यास्थ संरचनाओं हेतु ऊर्जा विधियों के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. किसी भार के सापेक्ष विकृति ऊर्जा का आंशिक अवकलज उस भार पर उसकी दिशा में विस्थापन देता है
    2. अतिरिक्त प्रतिक्रिया R हेतु शर्त ∂U/∂R = 0 उसका मान देती है
    3. अक्षीय भार P में छड़ की विकृति ऊर्जा P²L/(2AE) है
    4. विकृति ऊर्जा लगाए भार में रैखिक है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — किसी भार के सापेक्ष विकृति ऊर्जा का आंशिक अवकलज उस भार पर उसकी दिशा में विस्थापन देता है; B — अतिरिक्त प्रतिक्रिया R हेतु शर्त ∂U/∂R = 0 उसका मान देती है; C — अक्षीय भार P में छड़ की विकृति ऊर्जा P²L/(2AE) है

    कास्टिग्लियानो का दूसरा प्रमेय δ_i = ∂U/∂P_i देता है; अडिग आधार पर विस्थापन शून्य है, अतः ∂U/∂R = 0 (न्यूनतम कार्य); और U = ½Pδ = P²L/(2AE)। विकृति ऊर्जा भार में द्विघाती है — भार दोगुना करने से U चौगुनी होती है — ठीक इसीलिए ऊर्जा पर अध्यारोपण लागू नहीं होता।

  12. एक पतली-भित्ति बंद एक-कोष्ठ नली 0.1 m² क्षेत्रफल (भित्ति मध्य-रेखा तक मापा) घेरती है और उसकी भित्ति की एकसमान मोटाई 2 mm है। वह 10 kN·m बल-आघूर्ण वहन करती है। भित्ति में अपरूपण प्रतिबल कितना है, MPa में?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 25

    ब्रेड्ट-बाथो: q = T/(2A) = 10 000/(2 × 0.1) = 50 000 N/m, और τ = q/t = 50 000/0.002 = 25 × 10⁶ Pa = 25 MPa। T = 2Aq में 2 भूलने पर 50 MPa आता है; घिरा क्षेत्रफल मायने रखता है, भित्ति का क्षेत्रफल नहीं।

  13. एकसमान मोटाई वाली पतली-भित्ति चैनल काट में 100 mm ऊँचाई का जाल व दो फ्लैंज हैं, प्रत्येक 50 mm चौड़ा (मध्य-रेखा आयाम)। उसका अपरूपण केंद्र जाल मध्य-रेखा से कितनी दूर है, mm में (दो दशमलव स्थानों तक)?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 18.75

    e = 3b²/(h + 6b) = 3 × 50²/(100 + 300) = 7500/400 = 18.75 mm, जाल के उस ओर जो फ्लैंजों से दूर है। सीधे: e = b²h²t/(4I), I = th³/12 + 2bt(h/2)² = t(83 333 + 250 000), जिससे 2.5 × 10⁷/(4 × 333 333) = 18.75 mm। केंद्रक दूसरी ओर, फ्लैंजों के भीतर है।

  14. एक पतली-भित्ति वृत्ताकार नली को उसकी पूरी लंबाई के अनुदिश चीर दिया जाता है, जिससे वह उसी भित्ति की बंद से खुली काट बन जाती है। उसकी ऐंठन दृढ़ता:

    1. अपरिवर्तित रहती है, क्योंकि पदार्थ वही है
    2. लगभग दो गुना घटती है
    3. अत्यधिक घटती है, 4A²/∮(ds/t) से Σbt³/3 तक
    4. बढ़ती है, क्योंकि ऐंठन-विकृति (warping) मुक्त हो जाती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — अत्यधिक घटती है, 4A²/∮(ds/t) से Σbt³/3 तक

    बंद: r त्रिज्या हेतु J = 4A²t/(2πr) = 2πr³t। खुली: J = (2πr)t³/3। अनुपात 3(r/t)² है, अतः r/t = 20 हेतु चिरी नली 1200 गुना कम दृढ़ है। बंद कोष्ठ बल-आघूर्ण को अपने चारों ओर घूमते अपरूपण प्रवाह से वहन करता है; खुला केवल अपनी मोटाई के आर-पार अपरूपण से।

  15. 10 kg द्रव्यमान 4000 N/m दृढ़ता की कमानी पर टिका है। अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति कितनी है, rad/s में?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 20

    ω_n = √(k/m) = √(4000/10) = √400 = 20 rad/s, अर्थात् f_n = 20/(2π) = 3.18 Hz। 3.18 बताना हर्ट्ज़ में उत्तर देना है जबकि प्रश्न rad/s माँगता है।

  16. श्यान अवमंदित SDOF तंत्र के मुक्त कंपन में हर आयाम शिखर पिछले का आधा है। अवमंदन अनुपात कितना है (तीन दशमलव स्थानों तक)?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.11

    δ = ln(x_n/xn+1) = ln 2 = 0.6931। δ = 2πζ/√(1 − ζ²) हल करने पर: ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6931/√(39.478 + 0.480) = 0.6931/6.321 = 0.1097 ≈ 0.110। हल्के-अवमंदन सन्निकटन ζ ≈ δ/(2π) से 0.1103 आता है, निकट; log10 2 = 0.301 लेने पर 0.048।

  17. 0.05 अवमंदन अनुपात वाला SDOF तंत्र ठीक उसकी अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति पर आवर्ती बल से चालित है। गतिक आवर्धन गुणांक (स्थायी आयाम भाग स्थैतिक विक्षेप) कितना है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 10

    r = 1 पर (1 − r²) पद लुप्त होता है, M = 1/(2ζr) = 1/(2 × 0.05) = 10 बचता है, प्रतिक्रिया बल से 90° पिछड़ती है। 20 उत्तर 1/ζ प्रयोग करता है; वास्तविक शिखर, r = √(1 − 2ζ²) पर, 10 से केवल थोड़ा ऊपर है।

  18. दो समान द्रव्यमान m तीन समान कमानियों k से एक रेखा में जुड़े हैं: दीवार–कमानी–द्रव्यमान–कमानी–द्रव्यमान–कमानी–दीवार। दूसरी प्राकृतिक आवृत्ति व पहली का अनुपात कितना है (तीन दशमलव स्थानों तक)?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.732

    det([[2k − mω², −k], [−k, 2k − mω²]]) = 0 से 2k − mω² = ±k, अतः ω1² = k/m (समकला, बीच की कमानी अखिंची) तथा ω2² = 3k/m (विपरीत कला)। अनुपात √3 = 1.732। 3 उत्तर देना ω के स्थान पर ω² की तुलना करना है।

  19. पिंड बलों रहित द्वि-विमीय प्रत्यास्थता में ऐरी प्रतिबल फलन φ, σ_x = ∂²φ/∂y², σ_y = ∂²φ/∂x², τ_xy = −∂²φ/∂x∂y से परिभाषित है। कौन-से कथन सही हैं?

    1. ऐसा कोई भी φ दोनों साम्य समीकरणों को सर्वसमिका रूप से संतुष्ट करता है
    2. संगतता φ से द्वि-प्रसंवादी समीकरण ∇⁴φ = 0 का पालन माँगती है
    3. x व y में तीन या कम घात का कोई भी बहुपद स्वीकार्य प्रतिबल फलन है
    4. संगतता समीकरण केवल तब आवश्यक है जब पिंड स्थैतिकतः निर्धार्य हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ऐसा कोई भी φ दोनों साम्य समीकरणों को सर्वसमिका रूप से संतुष्ट करता है; B — संगतता φ से द्वि-प्रसंवादी समीकरण ∇⁴φ = 0 का पालन माँगती है; C — x व y में तीन या कम घात का कोई भी बहुपद स्वीकार्य प्रतिबल फलन है

    परिभाषाएँ प्रतिस्थापित करने पर ∂σ_x/∂x + ∂τ_xy/∂y = φ_yyx − φ_xyy = 0 सर्वसमिका रूप से, और इसी प्रकार दूसरा समीकरण। हुक नियम सहित संगतता ∇⁴φ = 0 देती है, जिसे घन बहुपद के चतुर्थ अवकलज तुच्छ रूप से संतुष्ट करते हैं। संगतता ही सतत समस्या को हल-योग्य बनाती है, क्योंकि केवल साम्य प्रत्यास्थ पिंड में प्रतिबल कभी तय नहीं करता।