समुच्चय और वेन आरेख संक्रियाएँ

अभ्यास प्रश्न (16)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

1. 4 अवयवों वाले समुच्चय के कितने उपसमुच्चय होते हैं?

   1. 8
   2. 15
   3. 16
   4. 12
   उत्तर देखें

   उत्तर: C — 16

   हर अवयव या तो उपसमुच्चय में होता है या नहीं, इसलिए 4 अवयवों वाले समुच्चय के 2⁴ = 16 उपसमुच्चय हैं। 15 केवल उचित उपसमुच्चयों की संख्या है, जिनमें स्वयं समुच्चय शामिल नहीं।

2. किस समुच्चय में ठीक एक अवयव है?

   1. ∅
   2. {x : 23 और 29 के बीच की अभाज्य संख्या x}
   3. {x : 1 से छोटी प्राकृत संख्या x}
   4. {∅}
   उत्तर देखें

   उत्तर: D — {∅}

   {∅} में एक अवयव है, रिक्त समुच्चय। शेष तीनों में कोई अवयव नहीं: 23 और 29 के बीच कोई अभाज्य नहीं है और 1 से छोटी कोई प्राकृत संख्या नहीं, इसलिए वे रिक्त हैं।

3. A = {1, 2, 3} के लिए इन्हें परखिए। P: 2 ∈ A। Q: {2} ⊆ A। R: 2 ⊆ A। S: ∅ ⊆ A। कौन-से सही हैं?

   1. P, Q और S
   2. केवल P और Q
   3. P, Q, R और S
   4. केवल Q और R
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — P, Q और S

   P, Q और S सही हैं; R मान्य नहीं क्योंकि 2 अवयव है, समुच्चय नहीं, इसलिए उसके साथ ⊆ नहीं लिखा जा सकता। 'केवल P और Q' वाला विकल्प यह भूलता है कि ∅ हर समुच्चय का उपसमुच्चय है।

4. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन हर समुच्चय A के लिए सत्य नहीं है?

   1. ∅, A का उपसमुच्चय है
   2. A का कम से कम एक उचित उपसमुच्चय होता है
   3. A, A का उपसमुच्चय है
   4. A ∪ ∅ = A
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — A का कम से कम एक उचित उपसमुच्चय होता है

   रिक्त समुच्चय का कोई उचित उपसमुच्चय नहीं होता, इसलिए A = ∅ होने पर कथन विफल होता है। शेष तीन कथन रिक्त समुच्चय सहित हर समुच्चय के लिए सत्य हैं।

5. यदि A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} और B = {4, 5, 6, 7, 8} हो, तो A − B क्या है?

   1. {7, 8}
   2. {4, 5, 6}
   3. {1, 2, 3, 7, 8}
   4. {1, 2, 3}
   उत्तर देखें

   उत्तर: D — {1, 2, 3}

   A − B में A के वे अवयव आते हैं जो B में नहीं हैं, अर्थात 1, 2, 3। {7, 8} B − A है और {1, 2, 3, 7, 8} सममित अंतर है।

6. U = {1, 2, ..., 10}, A = {1, 2, 3, 4} और B = {3, 4, 5, 6} हैं। (A ∪ B)′ क्या है?

   1. {7, 8, 9, 10}
   2. {5, 6, 7, 8, 9, 10}
   3. {1, 2, 7, 8, 9, 10}
   4. {3, 4}
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — {7, 8, 9, 10}

   A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} है और U में उसका पूरक {7, 8, 9, 10} है। {5, ..., 10} केवल A′ है और {3, 4} सर्वनिष्ठ है, पूरक नहीं।

7. सही डी मॉर्गन नियम कौन-सा है?

   1. (A ∩ B)′ = A′ ∩ B′
   2. (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′
   3. (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
   4. (A ∪ B)′ = A′ − B′
   उत्तर देखें

   उत्तर: C — (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

   पट्टी तोड़ने पर संकेत पलटता है: सर्वनिष्ठ का पूरक पूरकों का संघ होता है। दोनों ओर वही संकेत रखना आम भूल है।

8. सार्वत्रिक समुच्चय U में समुच्चयों A और B के लिए कौन-सी अभिव्यक्ति A − B के बराबर है?

   1. A′ ∩ B
   2. A ∩ B′
   3. A ∪ B′
   4. (A ∩ B)′
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — A ∩ B′

   A − B, A का वह भाग है जो B के बाहर है, यानी A ∩ B′। A′ ∩ B दर्पण-प्रतिबिंब B − A है, जो A = B न होने पर भिन्न समुच्चय है।

9. 60 विद्यार्थियों की कक्षा में 35 क्रिकेट, 28 फुटबॉल और 10 दोनों खेलते हैं। कितने कोई खेल नहीं खेलते?

   1. 7
   2. 3
   3. 17
   4. 10
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — 7

   कम से कम एक खेल: 35 + 28 − 10 = 53, अतः कोई नहीं = 60 − 53 = 7। 17 = 60 − 43 से आता है, जो केवल ठीक एक खेल खेलने वालों को गलत ढंग से गिनता है।

10. 1 से 100 तक की संख्याओं में कितनी न 3 से और न 5 से विभाज्य हैं?

    1. 47
    2. 53
    3. 60
    4. 52
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 53

    3 के गुणज 33, 5 के 20, 15 के 6, अतः 33 + 20 − 6 = 47 संख्याएँ 3 या 5 से विभाज्य हैं और 100 − 47 = 53 किसी से नहीं। 47 संघ है, जो प्रश्न नहीं पूछता।

11. 40 के समूह में 30 को चाय और 25 को कॉफी पसंद है, और हर किसी को कम से कम एक पसंद है। दोनों पसंद करने वालों की न्यूनतम संख्या कितनी हो सकती है?

    1. 5
    2. 25
    3. 10
    4. 15
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 15

    संघ = 40 होने पर n(A ∩ B) = 30 + 25 − 40 = 15; इससे कम होने पर किसी को दोनों पसंद नहीं रहेंगे। 25 अधिकतम संभव उभयनिष्ठ है, न्यूनतम नहीं।

12. 50 व्यक्तियों में 20 केवल हिंदी, 15 केवल अंग्रेज़ी बोलते हैं और 5 कोई नहीं बोलते। दोनों भाषाएँ बोलने वाले कितने हैं?

    1. 10
    2. 15
    3. 5
    4. 30
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 10

    ठीक एक या कोई नहीं बोलने वाले 20 + 15 + 5 = 40 हैं, अतः 50 − 40 = 10 दोनों बोलते हैं। 15 केवल अंग्रेज़ी वाले समूह को उभयनिष्ठ समझ लेने से आता है।

13. 100 व्यक्तियों के सर्वेक्षण में n(A) = 50, n(B) = 40, n(C) = 30, n(A ∩ B) = 15, n(B ∩ C) = 10, n(A ∩ C) = 12 और n(A ∩ B ∩ C) = 5 है। कितने व्यक्ति A, B, C में से किसी में नहीं हैं?

    1. 7
    2. 12
    3. 17
    4. 22
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 12

    संघ 50 + 40 + 30 − 15 − 10 − 12 + 5 = 88 है, अतः 100 − 88 = 12। तीनों के उभयनिष्ठ को वापस न जोड़ने पर संघ 83 आता है और गलत उत्तर 17 मिलता है।

14. 100 व्यक्तियों में n(A) = 50, n(B) = 40, n(C) = 30, n(A ∩ B) = 15, n(B ∩ C) = 10, n(A ∩ C) = 12 और n(A ∩ B ∩ C) = 5 है (प्रत्येक जोड़ी की संख्या में तीनों में रहने वाले 5 शामिल हैं)। कितने ठीक दो समुच्चयों में हैं?

    1. 22
    2. 37
    3. 27
    4. 17
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 22

    ठीक दो = (15 − 5) + (10 − 5) + (12 − 5) = 10 + 5 + 7 = 22। 37 जोड़ीवार कुल का योग है, जो केंद्र के 5 को तीन बार गिनता है।

15. समुच्चय A में 3 और समुच्चय B में 5 अवयव हैं तथा A ∩ B में 2 अवयव हैं। दोनों में से ठीक एक में कितने अवयव हैं (A △ B)?

    1. 6
    2. 4
    3. 8
    4. 5
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4

    n(A △ B) = n(A) + n(B) − 2 × n(A ∩ B) = 3 + 5 − 4 = 4: A का एक और B के तीन अवयव उभयनिष्ठ भाग के बाहर हैं। 6 संघ n(A ∪ B) है, जिसमें उभयनिष्ठ एक बार गिना जाता है, हटाया नहीं जाता।

16. समुच्चय P में 5 अवयव हैं। उसके घात समुच्चय P(P) में कितने अवयव होते हैं?

    1. 25
    2. 10
    3. 31
    4. 32
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 32

    घात समुच्चय में 2⁵ = 32 अवयव होते हैं, जिनमें से प्रत्येक P का एक उपसमुच्चय है। 31 केवल उचित उपसमुच्चयों को गिनता है और 25 में 2 को 5 घात देने की जगह 5 का वर्ग ले लिया गया है।