मैट्रिक बीजगणित, निर्देशांक ज्यामिति तथा वाणिज्यिक गणित

यह अध्याय पुलिस भर्ती परीक्षाओं के संख्यात्मक प्रश्नपत्रों के कक्षा IX-X गणित के विषयों का उत्तर देता है: बहुपद व उनके शून्यक, दो चरों वाले रैखिक समीकरण, द्विघात समीकरण, समांतर श्रेढ़ी, निर्देशांक ज्यामिति, तथा शेयर, लाभांश व किस्तों का वाणिज्यिक पक्ष। प्रत्येक विषय सूत्र, एक हल किए गए संख्यात्मक उदाहरण और उस चूक के साथ सिखाया गया है जिससे अंक कटते हैं। सांख्यिकी अन्यत्र पढ़ाई गई है और यहाँ दोहराई नहीं गई। नीचे की हर संख्या पुनः गणित की गई है और प्रतिस्थापन से जाँची गई है।

बहुपद तथा उनके शून्यक

x के किसी बहुपद में x की केवल पूर्ण-संख्या घातें होती हैं, जैसे 3x² − 5x + 7; उसकी घात सबसे ऊँची घात है (1 रैखिक, 2 द्विघात, 3 त्रिघात)। x + 1/x या √x + 2 जैसे व्यंजक बहुपद नहीं हैं। p(x) का शून्यक वह संख्या k है जिसके लिए p(k) = 0; ज्यामितीय रूप से यह वह बिंदु है जहाँ आलेख x-अक्ष को काटता है, इसलिए द्विघात के अधिकतम 2 और त्रिघात के अधिकतम 3 शून्यक होते हैं।

शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध
बहुपदशून्यकों का योगशून्यकों का गुणनफल
ax² + bx + c−b/ac/a
ax³ + bx² + cx + d (त्रिघात)−b/a (युग्म-योग c/a)−d/a

हल किए गए उदाहरण। 2x² − 8x + 6 के शून्यकों का योग 8/2 = 4 और गुणनफल 6/2 = 3 है (शून्यक 1 और 3 हैं)। जिस द्विघात के शून्यकों का योग 4 और गुणनफल −5 हो, वह x² − 4x − 5 है। x³ − 6x² + 11x − 6 के शून्यक 1, 2, 3 हैं: योग 6 = −(−6)/1, युग्म-योग 2 + 3 + 6 = 11, गुणनफल 6। यदि α और β, x² − 7x + 12 के शून्यक हैं, तो α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 49 − 24 = 25।

शेषफल प्रमेय: p(x) को (x − a) से भाग देने पर शेषफल p(a) होता है। गुणनखंड प्रमेय: (x − a) गुणनखंड तभी है जब p(a) = 0। उदाहरण: x³ − 2x² + x − 5 को (x − 2) से भाग देने पर शेषफल p(2) = 8 − 8 + 2 − 5 = −3 बचता है। (x − 2) को x² + kx − 10 का गुणनखंड होने के लिए 4 + 2k − 10 = 0 चाहिए, अतः k = 3।

🧠 स्मरण-सूत्र
योग का चिह्न-परीक्षण: शून्यकों का योग x के गुणांक का ऋणात्मक भाग सर्वोच्च गुणांक है। शीघ्र जाँच: a = 1 हो तो गुणनफल c/a का चिह्न c का ही होता है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 दो सरल रेखाओं को निरूपित करता है। अनुपात तय करते हैं कि कितने हल हैं।

प्रतिबंधरेखाएँहल
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂प्रतिच्छेदीठीक एक (संगत)
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂समांतरकोई नहीं (असंगत)
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂संपातीअपरिमित रूप से अनेक

विधियाँ। प्रतिस्थापन (एक समीकरण से एक चर निकालना), विलोपन (किसी गुणांक को बराबर बनाकर जोड़ना या घटाना) और वज्र-गुणन: x = (b₁c₂ − b₂c₁) / (a₁b₂ − a₂b₁), y = (c₁a₂ − c₂a₁) / (a₁b₂ − a₂b₁), उस रूप के लिए जिसमें +c बाईं ओर है। उदाहरण: 2x + 3y = 12 और x − y = 1। दूसरे से x = y + 1, अतः 2y + 2 + 3y = 12, 5y = 10, y = 2, x = 3; जाँच: 6 + 6 = 12 और 3 − 2 = 1।

k ज्ञात करना। 2x + ky = 5 और 4x + 6y = 7 का कोई हल न होने के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ से 2/4 = k/6, अतः k = 3, और तब c₁/c₂ = 5/7 ≠ 1/2, इसलिए रेखाएँ सचमुच समांतर हैं। शाब्दिक प्रश्न। किसी दो-अंकीय संख्या के अंकों का योग 9 है और अंक उलटने पर संख्या 27 बढ़ जाती है। दहाई का अंक t और इकाई का अंक u लें: t + u = 9 और (10u + t) − (10t + u) = 27, जिससे u − t = 3, अतः u = 6, t = 3 और संख्या 36 है (उलटी 63 = 36 + 27)।

⚠️ परीक्षा जाल
गुणांकों के अनुपात बराबर होने भर से अपरिमित हल नहीं मिल जाते: स्थिरांकों की भी तुलना करनी होगी। a₁/a₂ = b₁/b₂ पर c₁/c₂ भिन्न हो तो रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं।

द्विघात समीकरण

मानक रूप ax² + bx + c = 0 है, जहाँ a ≠ 0। गुणनखंडन से या सूत्र x = (−b ± √D) / 2a से हल करें, जहाँ D = b² − 4ac विवेचक है। x² − 7x + 12 = 0 के गुणनखंड (x − 3)(x − 4) हैं, जिससे 3 और 4 मिलते हैं। 2x² − 5x + 3 = 0 में D = 25 − 24 = 1 और x = (5 ± 1)/4, अतः x = 3/2 या 1।

विवेचकमूलों की प्रकृतिउदाहरण
D > 0दो भिन्न वास्तविक मूलx² − 5x + 6: D = 1
D = 0दो समान वास्तविक मूल2x² − 4x + 2: D = 0
D < 0कोई वास्तविक मूल नहींx² + 4x + 5: D = −4

k ज्ञात करना। x² + kx + 9 = 0 के मूल समान होने के लिए D = k² − 36 = 0, अतः k = 6 या −6। शाब्दिक प्रश्न। एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 3 m अधिक है और क्षेत्रफल 70 m² है। चौड़ाई x लें तो x(x + 3) = 70, अतः x² + 3x − 70 = 0, जो (x + 10)(x − 7) = 0 में गुणनखंडित होता है। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x = 7 m, लंबाई 10 m, परिमाप 2(7 + 10) = 34 m। लंबाई, आयु या गणना के लिए ऋणात्मक मूल सदा छोड़ दें।

⚠️ परीक्षा जाल
132 गुणनफल वाले दो क्रमागत पूर्णांक 11 व 12 या −12 व −11 हैं; प्रश्न तय करता है कि ऋणात्मक मान्य हैं या नहीं। प्रश्न में धनात्मक न कहा हो तो केवल एक युग्म न बताएँ।

समांतर श्रेढ़ी

समांतर श्रेढ़ी (AP) में क्रमागत पदों का अंतर d स्थिर रहता है। n-वाँ पद aₙ = a + (n − 1)d है। पहले n पदों का योग Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = n/2 (a + l) है, जहाँ l अंतिम पद है। तीन संख्याएँ a, b, c समांतर श्रेढ़ी में तभी हैं जब 2b = a + c।

हल किए गए उदाहरण। 3, 7, 11, … के लिए: d = 4, a₁₀ = 3 + 9 × 4 = 39 और S₁₀ = 5 × (3 + 39) = 210। 5, 11, 17, … का कौन-सा पद 101 है? 5 + (n − 1) × 6 = 101 से n − 1 = 16, अतः n = 17। 12, 16, …, 100 में पदों की संख्या: (100 − 12)/4 + 1 = 23। 100 तक 7 के गुणज 7 से 98 तक हैं, 14 पद, योग 14/2 × (7 + 98) = 735।

दो प्रतिबंधों वाला प्रश्न। यदि तीसरा पद 12 और सातवाँ पद 24 है: a + 2d = 12 और a + 6d = 24, अतः 4d = 12, d = 3 और a = 6। तब S₁₀ = 5 × (2 × 6 + 9 × 3) = 5 × 39 = 195। उपयोगी योग: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2, अतः पहली 100 प्राकृत संख्याओं का योग 5050; पहली n विषम संख्याओं का योग n²।

⚠️ परीक्षा जाल
n-वें पद में (n − 1) सार्व अंतर लगते हैं, n नहीं। a + nd लिखना AP की सबसे आम भूल है।

निर्देशांक ज्यामिति

बिंदु (x, y) है: x, y-अक्ष से और y, x-अक्ष से चिह्न सहित दूरी है। चतुर्थांश I (+, +), II (−, +), III (−, −) और IV (+, −) हैं; x-अक्ष पर y = 0 और y-अक्ष पर x = 0। (x, y) की x-अक्ष से दूरी |y| है; x-अक्ष में उसका प्रतिबिंब (x, −y) है।

परिणामसूत्र
दूरी√[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
विभाजन सूत्र (m : n, अंतःविभाजन)x = (mx₂ + nx₁)/(m + n) तथा y = (my₂ + ny₁)/(m + n)
मध्य-बिंदु((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
त्रिभुज का क्षेत्रफल½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
केंद्रक((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)

हल किए गए उदाहरण। (−2, 3) से (4, −5) की दूरी = √(36 + 64) = 10। (1, 2) और (7, 8) को 1 : 2 में अंतःविभाजित करने वाला बिंदु ((1 × 7 + 2 × 1)/3, (1 × 8 + 2 × 2)/3) = (3, 4) है। (2, −3) और (8, 5) का मध्य-बिंदु (5, 1) है। त्रिभुज (1, 1), (5, 1), (1, 4) का क्षेत्रफल ½ |1(1 − 4) + 5(4 − 1) + 1(1 − 1)| = ½ × 12 = 6 वर्ग इकाई है (आधार 4, ऊँचाई 3)। (0, 0), (6, 0), (0, 9) का केंद्रक (2, 3) है।

संरेखता: तीन बिंदु एक रेखा पर तभी हैं जब त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो। (1, 2), (2, 4), (k, 6) के लिए: ½ |1(4 − 6) + 2(6 − 2) + k(2 − 4)| = ½ |6 − 2k| = 0, अतः k = 3। दो बिंदुओं से जाने वाली रेखा की प्रवणता (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) है; (1, 2) और (3, 8) से जाने वाली की प्रवणता 3 है।

⚠️ परीक्षा जाल
विभाजन सूत्र में अनुपात m : n आड़ा जुड़ता है: m दूसरे बिंदु के निर्देशांकों से और n पहले के निर्देशांकों से गुणा होता है। उलटा लिखने पर बिंदु गलत सिरे से उतनी ही दूरी पर मिलता है।

वाणिज्यिक गणित: शेयर, लाभांश तथा किस्तें

किसी कंपनी की पूँजी निश्चित अंकित मूल्य (FV, नामित मूल्य) के शेयरों में बँटी होती है। बाज़ार मूल्य (MV) वह भाव है जिस पर शेयर बिकता है: FV से ऊपर हो तो अधिमूल्य पर, FV से नीचे हो तो बट्टे पर, FV के बराबर हो तो सम (पार) मूल्य पर। लाभांश अंकित मूल्य के प्रतिशत के रूप में घोषित होता है, बाज़ार मूल्य के नहीं। आय = शेयरों की संख्या × FV × दर; प्रतिफल = प्रति शेयर लाभांश / MV × 100।

हल किए गए उदाहरण। FV ₹100 वाले 50 शेयर MV ₹120 पर 9% लाभांश के साथ खरीदे। निवेश = 50 × 120 = ₹6,000। प्रति शेयर लाभांश ₹9, अतः वार्षिक आय = 50 × 9 = ₹450 और प्रतिफल = 450/6000 × 100 = 7.5%। यदि ₹9,000, ₹90 पर उद्धृत (10% बट्टा) ₹100 वाले शेयरों में लगाए जाएँ, तो शेयर 9000/90 = 100 मिलते हैं; 8% लाभांश से तब 100 × 8 = ₹800 मिलते हैं।

किस्तें। किराया-क्रय योजना में क्रेता कुछ राशि अभी देता है और शेष किस्तों में; नकद मूल्य से अधिक राशि ब्याज है। नकद मूल्य ₹10,000, भुगतान ₹2,000 अग्रिम तथा ₹1,100 की 8 मासिक किस्तें: कुल भुगतान = 2000 + 8800 = ₹10,800, अतः ₹800 ब्याज लगा। चक्रवृद्धि ब्याज वाले ऋण की समान वार्षिक किस्तों के लिए, 10% वार्षिक पर ₹2,100 के ऋण की दो समान किस्तों के लिए x/1.1 + x/1.21 = 2100 से x = ₹1,210। जाँच: एक वर्ष बाद ऋण 2310; 1210 चुकाने पर 1100 बचा; दूसरे वर्ष बाद 1210; 1210 चुकाने पर ऋण समाप्त।

⚠️ परीक्षा जाल
लाभांश अंकित मूल्य पर होता है, प्रतिफल बाज़ार मूल्य पर। ₹120 में खरीदा 9% लाभांश वाला शेयर 9% प्रतिफल नहीं देता; FV ₹100 हो तो वह 9/120 × 100 = 7.5% देता है।

मुख्य बिंदु

  • बहुपद में केवल पूर्ण-संख्या घातें होती हैं। ax² + bx + c के शून्यकों का योग −b/a और गुणनफल c/a है; p(x) ÷ (x − a) का शेषफल p(a) है, और शेषफल शून्य हो तो वह गुणनखंड है।
  • रैखिक समीकरण-युग्म का एक, कोई नहीं, या अपरिमित हल होता है, क्रमशः a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, या a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, या तीनों अनुपात बराबर होने पर।
  • द्विघात के मूल: x = (−b ± √D)/2a, जहाँ D = b² − 4ac; D > 0 पर दो वास्तविक मूल, D = 0 पर समान, D < 0 पर कोई नहीं। लंबाई व आयु के लिए ऋणात्मक मूल छोड़ें।
  • AP: aₙ = a + (n − 1)d और Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]। पहली n प्राकृत संख्याओं का योग n(n + 1)/2; पहली n विषम संख्याओं का n²।
  • निर्देशांक: दूरी, विभाजन सूत्र (आड़ा m : n), मध्य-बिंदु, केंद्रक, और त्रिभुज का क्षेत्रफल (शून्य हो तो संरेख)।
  • शेयर: लाभांश अंकित मूल्य का प्रतिशत है; प्रतिफल लाभांश को बाज़ार मूल्य से भाग देने पर; किस्तों का ब्याज = कुल भुगतान − नकद मूल्य।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. निम्नलिखित में से कौन x में बहुपद नहीं है?

    1. 3x² − 5x + 7
    2. x + 1/x
    3. x³ + 4
    4. 7
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — x + 1/x

    बहुपद में x की केवल अऋणात्मक पूर्ण-संख्या घातें होती हैं। पद 1/x, x की घात −1 है, अतः x + 1/x बहुपद नहीं है। 7 जैसा अचर घात 0 का बहुपद है, जो भ्रामक गलत विकल्प है।

  2. x³ − 2x² + x − 5 को (x − 2) से भाग देने पर शेषफल है

    1. 3
    2. −5
    3. −3
    4. 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — −3

    शेषफल प्रमेय से शेषफल p(2) = 8 − 8 + 2 − 5 = −3 है। शेषफल शून्य होने पर (x − 2) गुणनखंड होता, जिसे p(2) = −3 नकारता है; −5 केवल p(0) है।

  3. यदि α और β, x² − 7x + 12 के शून्यक हैं, तो α² + β² का मान है

    1. 49
    2. 37
    3. 13
    4. 25
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 25

    योग 7 और गुणनफल 12 है, अतः α² + β² = 49 − 2 × 12 = 25 (शून्यक 3 और 4 हैं, और 9 + 16 = 25)। 49 तो (α + β)² है, जिसमें 2αβ घटाना छूट गया।

  4. k के किस मान के लिए युग्म 2x + ky = 5 और 4x + 6y = 7 का कोई हल नहीं है?

    1. 3
    2. 12
    3. 5/7
    4. 6
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 3

    कोई हल न होने के लिए रेखाएँ समांतर होनी चाहिए: 2/4 = k/6 से k = 3, और 5/7, 1/2 से भिन्न है, अतः रेखाएँ संपाती नहीं हैं। अन्य किसी k के लिए x और y के गुणांकों के अनुपात भिन्न हैं और ठीक एक हल है।

  5. किसी दो-अंकीय संख्या के अंकों का योग 9 है और अंक उलटने पर संख्या 27 बढ़ जाती है। मूल संख्या है

    1. 63
    2. 45
    3. 36
    4. 27
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 36

    दहाई अंक t और इकाई अंक u लेने पर t + u = 9 और (10u + t) − (10t + u) = 9(u − t) = 27, अतः u − t = 3, जिससे u = 6 और t = 3। संख्या 36 है और उसकी उलटी 63, 27 अधिक है। विकल्प 63 उलटी संख्या है, मूल नहीं।

  6. x² − 7x + 12 = 0 के मूल हैं

    1. −3 और −4
    2. 3 और 4
    3. 2 और 6
    4. 1 और 12
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 3 और 4

    गुणनखंडन से (x − 3)(x − 4) = 0, अतः मूल 3 और 4 हैं, जिनका योग 7 और गुणनफल 12 है। युग्म −3 और −4 का गुणनफल सही है पर योग (−7) गलत।

  7. इन कथनों को परखिए। P: x² + 4x + 5 = 0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है। Q: 2x² − 4x + 2 = 0 के दो समान वास्तविक मूल हैं। R: x² − 5x + 6 = 0 के मूल 2 और 3 हैं। S: x² + 1 = 0 के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। कौन-से सही हैं?

    1. केवल P, Q और S
    2. केवल Q, R और S
    3. केवल P, Q और R
    4. केवल P और R
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — केवल P, Q और R

    P का विवेचक 16 − 20 = −4 है, अतः कोई वास्तविक मूल नहीं; Q में 16 − 16 = 0, समान मूल; R का गुणनखंडन (x − 2)(x − 3) है। S में D = −4 है, अतः कोई वास्तविक मूल नहीं, इसलिए वह गलत है। केवल P और R वाला समुच्चय यह भूल जाता है कि Q भी सही है।

  8. k के किन मानों के लिए x² + kx + 9 = 0 के दो समान वास्तविक मूल हैं?

    1. केवल k = 6
    2. k = 3 या k = −3
    3. k = 36 या k = −36
    4. k = 6 या k = −6
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — k = 6 या k = −6

    समान मूलों के लिए D = k² − 4 × 1 × 9 = 0, अतः k² = 36 और k = ±6। केवल k = 6 उत्तर k² = 36 का ऋणात्मक मूल छोड़ देता है, और 36, k² का मान है, k का नहीं।

  9. एक आयताकार खेत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 3 m अधिक है और क्षेत्रफल 70 m² है। उसका परिमाप है

    1. 34 m
    2. 17 m
    3. 26 m
    4. 40 m
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 34 m

    चौड़ाई x लेने पर x(x + 3) = 70 से x² + 3x − 70 = (x + 10)(x − 7) = 0, अतः x = 7 और लंबाई 10। परिमाप 2 × (7 + 10) = 34 m है। 17 केवल आधा परिमाप, अर्थात लंबाई और चौड़ाई का योग है।

  10. समांतर श्रेढ़ी 3, 7, 11, 15, … का 10वाँ पद है

    1. 43
    2. 39
    3. 40
    4. 37
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 39

    यहाँ a = 3 और d = 4, अतः a₁₀ = 3 + 9 × 4 = 39। 43 ग्यारहवाँ पद है, जो n − 1 के स्थान पर n अंतर लेने से आता है।

  11. समांतर श्रेढ़ी 5, 11, 17, 23, … का कौन-सा पद 101 है?

    1. 16वाँ
    2. 18वाँ
    3. 17वाँ
    4. 15वाँ
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 17वाँ

    5 + (n − 1) × 6 = 101 से (n − 1) = 16, अतः n = 17। संख्या 16, n − 1 का मान है, जो सबसे आम भूल है, और 16वाँ पद 95 है, 101 नहीं।

  12. समांतर श्रेढ़ी 3, 7, 11, … के पहले 10 पदों का योग है

    1. 195
    2. 420
    3. 390
    4. 210
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 210

    S₁₀ = 10/2 × [2 × 3 + 9 × 4] = 5 × 42 = 210। समतुल्य रूप में 5 × (प्रथम + अंतिम) = 5 × (3 + 39)। 420 में n/2 का गुणक ½ छूट गया है।

  13. एक समांतर श्रेढ़ी का तीसरा पद 12 और सातवाँ पद 24 है। उसके पहले 10 पदों का योग है

    1. 210
    2. 195
    3. 180
    4. 165
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 195

    a + 2d = 12 और a + 6d = 24 से d = 3 और a = 6। तब S₁₀ = 5 × (2 × 6 + 9 × 3) = 195। भ्रामक 210 एक भिन्न श्रेढ़ी (3, 7, 11, …) का योग है, इसका नहीं।

  14. बिंदुओं (−2, 3) और (4, −5) के बीच की दूरी है

    1. 10 इकाई
    2. 14 इकाई
    3. 2 इकाई
    4. √28 इकाई
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 10 इकाई

    दूरी = √[(4 + 2)² + (−5 − 3)²] = √(36 + 64) = √100 = 10। 14 में अंतरों को वर्ग करके मूल लेने के स्थान पर जोड़ दिया गया है (6 + 8)।

  15. (1, 2) और (7, 8) को मिलाने वाले रेखाखंड को (पहले बिंदु से मापकर) 1 : 2 के अनुपात में अंतःविभाजित करने वाला बिंदु है

    1. (5, 6)
    2. (3, 4)
    3. (4, 5)
    4. (2, 3)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — (3, 4)

    x = (1 × 7 + 2 × 1)/3 = 3 और y = (1 × 8 + 2 × 2)/3 = 4, अतः बिंदु (3, 4) है, जो (1, 2) से एक-तिहाई दूरी पर है। बिंदु (5, 6) 2 : 1 का विभाजन है, जो अनुपात उलटा लेने से आता है।

  16. बिंदु (1, 2), (2, 4) और (k, 6) एक ही सरल रेखा पर हैं। k का मान है

    1. 2
    2. 4
    3. 3
    4. 6
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 3

    संरेख बिंदुओं का क्षेत्रफल शून्य होता है: ½ |1(4 − 6) + 2(6 − 2) + k(2 − 4)| = ½ |6 − 2k| = 0, अतः k = 3। समतुल्य रूप से (1, 2) से (2, 4) की प्रवणता 2 है, और (3, 6) वही प्रवणता रखता है।

  17. एक व्यक्ति ₹100 अंकित मूल्य वाले 50 शेयर ₹120 प्रति शेयर बाज़ार मूल्य पर खरीदता है, और कंपनी 9% लाभांश घोषित करती है। निवेश की गई राशि पर प्रतिशत प्रतिफल है

    1. 9%
    2. 10.8%
    3. 6%
    4. 7.5%
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 7.5%

    प्रति शेयर लाभांश ₹100 का 9% = ₹9; प्रतिफल = 9/120 × 100 = 7.5%, जो चुकाए गए ₹120 पर है। 9% अंकित मूल्य पर लाभांश दर है, बाज़ार मूल्य पर प्रतिफल नहीं; 10.8% में 9% को गलती से बाज़ार भाव पर लगाया गया है।

  18. ₹2,100 के ऋण को 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर दो समान वार्षिक किस्तों में चुकाना है, पहली किस्त ऋण के एक वर्ष बाद। प्रत्येक किस्त है

    1. ₹1,210
    2. ₹1,155
    3. ₹1,100
    4. ₹1,260
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ₹1,210

    किस्त x के लिए x/1.1 + x/1.21 = 2100, अतः x × 2.1/1.21 = 2100 और x = 1210। जाँच: 2100 बढ़कर 2310, 1210 घटाने पर 1100 बचा, जो बढ़कर 1210 होकर चुक जाता है। 1,155 संख्या 2310 का आधा है, जो शेष आधे पर लगने वाले ब्याज को अनदेखा करती है।