प्रायिकता सिद्धांत, केंद्रीय सीमा प्रमेय व वर्णनात्मक सांख्यिकी

इकाई 3 सिद्धांत से उन मात्रात्मक साधनों की ओर मुड़ती है जिनसे अर्थशास्त्री उसे परखते हैं। यह अध्याय प्रायिकता की संकल्पनाओं, प्रचलित बंटनों, आघूर्णों व केंद्रीय सीमा प्रमेय, फिर वर्णनात्मक सांख्यिकी — केंद्रीय प्रवृत्ति, परिक्षेपण, सहसंबंध व सूचकांकों को समेटता है; अगले दो अध्याय प्रतिचयन व अनुमान/प्रतिगमन, तथा पहचान समस्या से समय शृंखला विश्लेषण तक को समेटते हैं।

1. प्रायिकता सिद्धांत: संकल्पनाएँ, बंटन व आघूर्ण

कोल्मोगोरोव के अभिगृहीत घटनाओं पर एक प्रायिकता माप P परिभाषित करते: हर घटना A हेतु P(A) ≥ 0, संपूर्ण प्रतिदर्श समष्टि हेतु P = 1, व परस्पर अपवर्जी घटनाओं हेतु उनके संघ की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का योग है। किसी यादृच्छिक चर के बंटन को प्रायिकता द्रव्यमान फलन (विविक्त स्थिति) या प्रायिकता घनत्व फलन (सतत स्थिति), व संचयी बंटन फलन F(x) = P(X ≤ x) द्वारा वर्णित किया जाता है। मानक बंटनों में, द्विपद स्थिर सफलता-प्रायिकता वाले स्वतंत्र प्रयासों की एक स्थिर संख्या में सफलताओं की गिनती करता, प्वासों एक स्थिर अंतराल में दुर्लभ, स्वतंत्र घटनाओं को प्रतिरूपित करता, व प्रसामान्य वह घंटी-आकार, सममित बंटन है जो पूर्णतः केवल अपने माध्य व प्रसरण से चरितार्थ होता।

चार मानक आघूर्ण व प्रत्येक क्या मापता है
आघूर्णक्या मापता है
प्रथम (माध्य)बंटन का केंद्रीय स्थान।
द्वितीय केंद्रीय (प्रसरण)माध्य के इर्द-गिर्द परिक्षेपण/फैलाव।
तृतीय प्रसामान्यीकृत (विषमता)विषमता — प्रसामान्य जैसे सममित बंटन हेतु शून्य, लंबी दाईं पूँछ हेतु धनात्मक, लंबी बाईं पूँछ हेतु ऋणात्मक।
चतुर्थ प्रसामान्यीकृत (कुकुदता)शिखरता/पूँछ-मोटाई — प्रसामान्य बंटन की 3 की कुकुदता संदर्भ बिंदु है (अतिरिक्त कुकुदता = कुकुदता − 3)।

2. केंद्रीय सीमा प्रमेय

केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि, परिमित माध्य μ व परिमित प्रसरण σ² वाले स्वतंत्र व समरूप बंटित यादृच्छिक चरों के अनुक्रम हेतु, प्रसामान्यीकृत प्रतिदर्श माध्य, √n(X̄ − μ)/σ, नमूना-आकार n के बड़ा होने पर एक मानक प्रसामान्य यादृच्छिक चर की ओर बंटन में अभिसरित होता — अंतर्निहित समष्टि बंटन के आकार की परवाह किए बिना। यही ठीक कारण है कि प्रसामान्य बंटन व्यावहारिक सांख्यिकी में इतना व्यापक है: यहाँ तक कि एक बुरी तरह-व्यवहृत, तिरछे अंतर्निहित चर के प्रतिदर्श माध्य (व योग) भी एक बार प्रतिदर्श उचित रूप से बड़ा हो जाने पर लगभग प्रसामान्य बन जाते, जो शास्त्रीय परिकल्पना परीक्षण व अंतराल आकलन के अधिकांश भाग को अनुज्ञा देता है।

⚠️ CLT प्रतिदर्श माध्य के बंटन के बारे में है, समष्टि के बारे में नहीं
एक आम भ्रम यह सोचना है कि CLT कहता है कि अंतर्निहित समष्टि n बढ़ने पर प्रसामान्य बन जाती है — ऐसा नहीं, व समष्टि बंटन कभी नहीं बदलता। प्रमेय पूर्णतः माध्य (या समान रूप से निर्मित किसी योग) के प्रतिचयन बंटन के बारे में है: समष्टि चाहे कितनी भी तिरछी या विचित्र-आकार की हो, बारंबार प्रतिदर्शों में X̄ का बंटन n बढ़ने पर प्रसामान्यता की ओर पहुँचता है।

3. वर्णनात्मक सांख्यिकी: केंद्रीय प्रवृत्ति व परिक्षेपण

माध्य हर प्रेक्षण का उपयोग करता है पर चरम मूल्यों (बाह्यबिंदुओं) की ओर खिंचता है; माध्यिका (आँकड़ों के क्रमबद्ध होने पर मध्य मान) बाह्यबिंदुओं के प्रति दृढ़ है व तिरछे बंटनों, जैसे आय, हेतु स्वाभाविक केंद्र है, जहाँ कुछ बहुत उच्च आयें माध्य को उससे कहीं ऊपर खींच देतीं जो एक 'सामान्य' गृहस्थ कमाता; बहुलक बस सबसे बारंबार मान है व शुद्ध रूप से श्रेणीबद्ध (नामिक) आँकड़ों हेतु सार्थक केंद्रीय प्रवृत्ति का एकमात्र माप है। परिक्षेपण को परिसर (कच्चा, केवल दो चरम मानों के प्रति संवेदनशील), प्रसरण व उसका वर्गमूल मानक विचलन (माध्य से हर प्रेक्षण के वर्गित विचलन का उपयोग करता), व विचरण गुणांक (CV = मानक विचलन / माध्य, प्रतिशत के रूप में व्यक्त) से मापा जाता है — इनमें से केवल यही इकाई-रहित है व अतः भिन्न इकाइयों में या बहुत भिन्न मापक्रमों पर मापी गई दो शृंखलाओं की सापेक्ष परिवर्तनशीलता की तुलना हेतु सही चयन है।

🎯 विषमता के अधीन माध्य-माध्यिका-बहुलक क्रम
धनात्मक (दाईं) तिरछे बंटन हेतु, क्रम सामान्यतः माध्य > माध्यिका > बहुलक होता, क्योंकि कुछ बहुत बड़े मानों की लंबी दाईं पूँछ माध्य को सबसे अधिक ऊपर खींचती जबकि बहुलक (सबसे सामान्य मान) आँकड़ों के थोक के निकट रहता; ऋणात्मक तिरछा बंटन इसे उलटकर माध्य < माध्यिका < बहुलक बनाता है। यह क्रम एक बारंबार परखा जाने वाला, आसानी से सत्यापित त्वरित विषमता-दिशा जाँच है।

4. सहसंबंध व सूचकांक

पियर्सन सहसंबंध गुणांक r दो चरों के बीच रैखिक साहचर्य की सामर्थ्य व दिशा मापता है, −1 व +1 के बीच परिबद्ध; r का ±1 के निकट होना सशक्त रैखिक साहचर्य दर्शाता, r का 0 के निकट होना दुर्बल (या अ-रैखिक) रैखिक साहचर्य दर्शाता — निम्न r किसी सशक्त अ-रैखिक संबंध को नकारता नहीं, व सहसंबंध, चाहे कितना भी सशक्त हो, स्वयं कभी कार्य-कारण स्थापित नहीं करता। सूचकांक समय के साथ आधार-अवधि के सापेक्ष किसी चर (सामान्यतः कीमतें या मात्राएँ) में सापेक्ष परिवर्तन मापते: लास्पेयर कीमत सूचकांक आधार-वर्ष की मात्राओं को स्थिर भार के रूप में उपयोग करता, पाशे कीमत सूचकांक वर्तमान-वर्ष की मात्राओं को भार के रूप में उपयोग करता, व फ़िशर का आदर्श सूचकांक लास्पेयर व पाशे सूचकांकों के गुणोत्तर माध्य के रूप में परिभाषित है, विशेष रूप से समय-प्रतीपन परीक्षण व गुणक-प्रतीपन परीक्षण दोनों को संतुष्ट करने हेतु निर्मित जिन्हें कोई भी सूचकांक अकेले संतुष्ट नहीं करता।

🧠 लास्पेयर बनाम पाशे: कौन अधिक व कौन कम आँकता है
क्योंकि लास्पेयर मात्राओं को उनके आधार-वर्ष (प्रतिस्थापन-पूर्व) स्तरों पर स्थिर रखता, यह कीमतों के बढ़ने पर मुद्रास्फीति को अधिक आँकने की प्रवृत्ति रखता, क्योंकि यह अनदेखा करता कि उपभोक्ता उन वस्तुओं से दूर प्रतिस्थापित होते जिनकी सापेक्ष कीमत बढ़ी है; पाशे, वर्तमान-वर्ष की मात्राओं का उपयोग करते हुए जो पहले से इस प्रतिस्थापन को प्रतिबिंबित करतीं, उसी कारण इसे कम आँकने की प्रवृत्ति रखता। एक सामान्य NET प्रश्न दो वर्षों में विशिष्ट कीमत/मात्रा आँकड़े देता व संख्यात्मक लास्पेयर या पाशे मान माँगता, या पूछता कि वर्णित प्रतिस्थापन-प्रतिमान को देखते हुए दोनों में से कौन बड़ा है।

मुख्य बिंदु

  • कोल्मोगोरोव के अभिगृहीत एक वैध प्रायिकता माप परिभाषित करते; चार मानक आघूर्ण (माध्य, प्रसरण, विषमता, कुकुदता) क्रमशः स्थान, फैलाव, विषमता व पूँछ-मोटाई को समेटते हैं।
  • केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि प्रतिदर्श माध्य का अपना बंटन n बढ़ने पर प्रसामान्यता की ओर पहुँचता, समष्टि के आकार की परवाह किए बिना — यह समष्टि के स्वयं प्रसामान्य बनने के बारे में कुछ नहीं कहता।
  • माध्यिका बाह्यबिंदुओं के प्रति दृढ़ है व तिरछे आँकड़ों (जैसे आय) हेतु स्वाभाविक केंद्र है; धनात्मक विषमता के अधीन, माध्य > माध्यिका > बहुलक, ऋणात्मक विषमता के अधीन उलटा।
  • विचरण गुणांक परिसर/प्रसरण/मानक विचलन/CV में से एकमात्र इकाई-रहित परिक्षेपण माप है, जो इसे भिन्न-मापक्रम शृंखलाओं में परिवर्तनशीलता तुलना हेतु सही साधन बनाता है।
  • सहसंबंध केवल रैखिक साहचर्य मापता है व कभी कार्य-कारण स्थापित नहीं करता; लास्पेयर (आधार-वर्ष भार) मुद्रास्फीति को अधिक आँकने की प्रवृत्ति रखता व पाशे (वर्तमान-वर्ष भार) कम आँकने की, जबकि फ़िशर का आदर्श सूचकांक (इनका गुणोत्तर माध्य) दोनों सूचकांकों की समय-प्रतीपन व गुणक-प्रतीपन परीक्षणों में विफलता को सुधारता है।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. कोल्मोगोरोव के प्रायिकता अभिगृहीत संपूर्ण प्रतिदर्श समष्टि S हेतु क्या माँगते हैं?

    1. P(S) = 1
    2. P(S) = 0
    3. P(S) कोई भी धनात्मक संख्या हो सकती है
    4. P(S) अपरिभाषित है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P(S) = 1

    कोल्मोगोरोव के तीन अभिगृहीतों में से एक संपूर्ण (निश्चित) प्रतिदर्श समष्टि की प्रायिकता को ठीक 1 पर स्थिर करता, अ-ऋणात्मकता व असंयुक्त घटनाओं पर गणनीय योज्यता के साथ।

  2. किसी बंटन का तृतीय प्रसामान्यीकृत आघूर्ण क्या मापता है?

    1. विषमता — बंटन की असममिति
    2. माध्य के इर्द-गिर्द परिक्षेपण
    3. बंटन का केंद्रीय स्थान
    4. शिखरता/पूँछ-मोटाई
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — विषमता — बंटन की असममिति

    प्रथम आघूर्ण माध्य (स्थान) है, द्वितीय केंद्रीय आघूर्ण प्रसरण (फैलाव) है, तृतीय प्रसामान्यीकृत आघूर्ण विषमता (असममिति) है, व चतुर्थ कुकुदता (पूँछ-मोटाई/शिखरता) है — एक मानक NET आघूर्ण-पहचान प्रश्न।

  3. केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि, प्रतिदर्श-आकार n के बड़ा होने पर, प्रतिदर्श माध्य का प्रतिचयन बंटन प्रसामान्यता की ओर पहुँचता है:

    1. अंतर्निहित समष्टि बंटन के आकार की परवाह किए बिना
    2. केवल यदि समष्टि पहले से प्रसामान्य हो
    3. केवल विविक्त यादृच्छिक चरों हेतु
    4. केवल जब समष्टि प्रसरण अनंत हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अंतर्निहित समष्टि बंटन के आकार की परवाह किए बिना

    प्रमेय की शक्ति ठीक यही है कि यह परिमित माध्य व प्रसरण वाले iid यादृच्छिक चरों हेतु लागू होता, चाहे अंतर्निहित (समष्टि) बंटन का आकार कुछ भी हो — प्रसामान्य हो या न हो।

  4. धनात्मक (दाईं) तिरछे आय बंटन हेतु, केंद्रीय प्रवृत्ति मापों का सामान्य क्रम क्या है?

    1. माध्य > माध्यिका > बहुलक
    2. बहुलक > माध्यिका > माध्य
    3. माध्य = माध्यिका = बहुलक सदैव
    4. माध्यिका > माध्य > बहुलक
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — माध्य > माध्यिका > बहुलक

    लंबी दाईं पूँछ (कुछ बहुत उच्च आयें) माध्य को सबसे अधिक ऊपर खींचती जबकि बहुलक सामान्य मानों के थोक के निकट रहता व माध्यिका बीच में बैठती — धनात्मक विषमता हेतु माध्य > माध्यिका > बहुलक देते हुए।

  5. दो शृंखलाओं में परिवर्तनशीलता की तुलना करते समय विचरण गुणांक को मानक विचलन से ऊपर क्यों वरीयता दी जाती है?

    1. यह इकाई-रहित है, मानक विचलन के विपरीत जो मूल इकाइयाँ रखता है
    2. यह माध्य को पूर्णतः अनदेखा करता है
    3. यह सदैव मानक विचलन से छोटा होता है
    4. यह कभी 1 से अधिक नहीं हो सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यह इकाई-रहित है, मानक विचलन के विपरीत जो मूल इकाइयाँ रखता है

    CV = SD/माध्य एक अनुपात है व अतः इकाई-रहित, अतः यह भिन्न इकाइयों में या बहुत भिन्न मापक्रमों पर मापी गई शृंखलाओं में सापेक्ष परिवर्तनशीलता की सार्थक तुलना कर सकता है — कुछ जो अकेला SD नहीं कर सकता।

  6. दो चरों के बीच शून्य के निकट पियर्सन सहसंबंध गुणांक क्या अंतर्निहित करता है?

    1. दुर्बल रैखिक साहचर्य — एक सशक्त अ-रैखिक संबंध नकारा नहीं जाता
    2. चरों के बीच किसी भी प्रकार का संबंध अस्तित्व में नहीं
    3. एक चर दूसरे का कारण है
    4. चर समान इकाइयों में मापे गए हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दुर्बल रैखिक साहचर्य — एक सशक्त अ-रैखिक संबंध नकारा नहीं जाता

    पियर्सन का r केवल रैखिक साहचर्य पकड़ता है; दो चरों का एक सशक्त (जैसे द्विघातीय) अ-रैखिक संबंध हो सकता जबकि r शून्य के निकट हो, अतः निम्न r स्वयं कभी निर्भरता को नकारता नहीं।

  7. फ़िशर का आदर्श कीमत सूचकांक किस प्रकार निर्मित होता है?

    1. लास्पेयर व पाशे सूचकांकों का गुणोत्तर माध्य
    2. केवल आधार-वर्ष कीमतों का समांतर माध्य
    3. लास्पेयर सूचकांक को दो से भाग देकर
    4. पाशे सूचकांक को CPI से गुणा करके
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — लास्पेयर व पाशे सूचकांकों का गुणोत्तर माध्य

    फ़िशर का आदर्श सूचकांक ठीक √(लास्पेयर × पाशे) के रूप में परिभाषित है, व यही विशिष्ट निर्माण इसे समय-प्रतीपन व गुणक-प्रतीपन दोनों परीक्षणों को संतुष्ट करने देता है जिन्हें अकेले न लास्पेयर न पाशे संतुष्ट करता।

  8. लास्पेयर कीमत सूचकांक के बारे में पाशे कीमत सूचकांक के सापेक्ष निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?

    1. लास्पेयर आधार-वर्ष मात्राओं को स्थिर भार के रूप में उपयोग करता है
    2. लास्पेयर मुद्रास्फीति को अधिक आँकने की प्रवृत्ति रखता क्योंकि यह उपभोक्ता प्रतिस्थापन को अनदेखा करता है
    3. पाशे वर्तमान-वर्ष मात्राओं को भार के रूप में उपयोग करता है
    4. लास्पेयर व पाशे सदैव ठीक समान संख्यात्मक मान देते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — लास्पेयर आधार-वर्ष मात्राओं को स्थिर भार के रूप में उपयोग करता है; B — लास्पेयर मुद्रास्फीति को अधिक आँकने की प्रवृत्ति रखता क्योंकि यह उपभोक्ता प्रतिस्थापन को अनदेखा करता है; C — पाशे वर्तमान-वर्ष मात्राओं को भार के रूप में उपयोग करता है

    पहली तीन मानक लास्पेयर/पाशे निर्माण व पूर्वाग्रह को सही ढंग से वर्णित करती हैं; दोनों सूचकांक सामान्यतः भिन्न मान देते हैं ठीक इसलिए क्योंकि वे भिन्न (आधार-वर्ष बनाम वर्तमान-वर्ष) मात्रा भार उपयोग करते, यही कारण है कि फ़िशर का आदर्श सूचकांक उन्हें औसत करता है।

  9. केंद्रीय प्रवृत्ति के उस माप का नाम बताइए जो बाह्यबिंदुओं के प्रति दृढ़ है व आय जैसे तिरछे बंटन हेतु स्वाभाविक केंद्र है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: median

    माध्यिका (आँकड़ों के क्रमबद्ध होने पर मध्य मान) इससे अप्रभावित है कि पूँछ के मान कितने चरम हैं, माध्य के विपरीत, यही ठीक कारण है कि यह आय या संपत्ति जैसे तिरछे आँकड़ों हेतु वरीयता प्राप्त माप है।