अस्पष्ट समुच्चय व अस्पष्ट तर्कशास्त्र

अस्पष्ट समुच्चय एक बड़ा, तकनीकी रूप से वास्तविक प्रकरण है जो GATE CS में कहीं नामित नहीं, व नीचे की संक्रियाएँ ठीक वैसे ही महत्व रखती हैं जैसे कही गई हैं — गलत अस्पष्ट संघ/सर्वनिष्ठ सूत्र वह चुपचाप, सरलता से होने योग्य त्रुटि है जिससे बचने हेतु यह अध्याय लिखा गया है।

अस्पष्टता की अवधारणा व सदस्यता फलन

शास्त्रीय (कड़ा) समुच्चय हर अवयव को ठीक 0 (समुच्चय में नहीं) या 1 (समुच्चय में) की सदस्यता देता है — तीक्ष्ण, सर्व-या-कुछ-नहीं सीमा। अस्पष्ट समुच्चय A इसके बजाय हर अवयव x को सदस्यता-कोटि μ_A(x) ∈ [0, 1] सौंपता है, एक सतत मान जो दर्शाता है कि x A का सदस्य किस कोटि तक है — 'लंबा' कोई कड़ी ऊँचाई-सीमा नहीं बल्कि अस्पष्ट समुच्चय है जहाँ 150 सेमी ऊँचाई का μ = 0.1 हो सकता है, 175 सेमी का μ = 0.6, व 195 सेमी का μ = 0.95। यह प्रायिकता जैसी वस्तु नहीं है: 0.7 प्रायिकता का अर्थ है किसी कड़े, निश्चित परिणाम की 70% संभावना (या तो वर्षा होती है या नहीं); 0.7 सदस्यता-कोटि का अर्थ है कि अवयव वास्तव में, निश्चित रूप से, आंशिक रूप से उस श्रेणी का है जिसकी स्वयं कोई तीक्ष्ण सीमा नहीं है — यहाँ अधिक सूचना से हल होने वाली कोई 'यादृच्छिकता' नहीं है।

  • फ़ज़िफ़िकेशन किसी कड़े निवेश (सटीक संवेदक-पठन, उदा० तापमान = 32°C) को प्रासंगिक भाषिक शब्दों के आर-पार अस्पष्ट सदस्यता-कोटियों में बदलता है (उदा० μ_warm(32) = 0.4, μ_hot(32) = 0.6) — अस्पष्ट नियंत्रण तंत्र का प्रवेश-बिंदु।
  • डिफ़ज़िफ़िकेशन तंत्र के तर्कण के अस्पष्ट निर्गम को वापस एकल कड़े, कार्रवाई-योग्य मान में बदलता है — केंद्रक (गुरुत्व-केंद्र) विधि मानक है: कड़ा निर्गम निर्गम अस्पष्ट समुच्चय के मानों का भारित औसत है, उनकी सदस्यता-कोटियों से भारित, जो अस्पष्ट नियंत्रक को अंततः संभावनाओं के प्रसार के बजाय एक ठोस आदेश (उदा० 'पंखे को 62% गति पर सेट करें') जारी करने देता है।

अस्पष्ट समुच्चयों पर संक्रियाएँ

ज़ादेह अस्पष्ट-समुच्चय संक्रियाएँ, शास्त्रीय समुच्चय-सिद्धांत का विस्तार
शास्त्रीय संक्रियाअस्पष्ट सूत्र
संघ (A ∪ B)μA∪B(x) = max(μ_A(x), μ_B(x))
सर्वनिष्ठ (A ∩ B)μA∩B(x) = min(μ_A(x), μ_B(x))
पूरक (Aᶜ)μAᶜ(x) = 1 − μ_A(x)
⚠️ अस्पष्ट समुच्चय बहिष्कृत-मध्य नियम को उल्लेखनीय रूप से उल्लंघन करते हैं
शास्त्रीय समुच्चय-सिद्धांत में, A ∪ Aᶜ = सार्वभौम समुच्चय (सब कुछ या तो A में है या A में नहीं — कोई अपवाद नहीं) व A ∩ Aᶜ = ∅ (कुछ भी दोनों नहीं हो सकता)। किसी अस्पष्ट समुच्चय पर विचार करें जहाँ किसी x हेतु μ_A(x) = 0.6। तब μAᶜ(x) = 1 − 0.6 = 0.4। संघ: max(0.6, 0.4) = 0.6, 1 नहीं — अतः यहाँ A ∪ Aᶜ ≠ सार्वभौम समुच्चय। सर्वनिष्ठ: min(0.6, 0.4) = 0.4, 0 नहीं — अतः A ∩ Aᶜ ≠ ∅ भी नहीं। यह बग नहीं है; यह आंशिक सदस्यता का गणितीय रूप से सही, अपेक्षित परिणाम है, व वही मानक तथ्य है जिसे परीक्षक यह जाँचने हेतु परखते हैं कि अभ्यर्थी ने वस्तुतः संक्रियाएँ गणित कीं या केवल मान लिया कि शास्त्रीय नियम अभी भी लागू हैं।

भाषिक चर, अस्पष्ट संबंध व अस्पष्ट अनुमान

भाषिक चर (उदा० 'तापमान') संख्याओं के बजाय भाषिक मान ('ठंडा', 'गुनगुना', 'गर्म') लेता है, प्रत्येक अंतर्निहित संख्यात्मक डोमेन पर अपने ही अस्पष्ट समुच्चय के रूप में परिभाषित — यही वह है जो अस्पष्ट नियम को प्राकृतिक, मानव-पठनीय रूप में लिखने देता है ('यदि तापमान गर्म हो तो पंखे की गति अधिक हो') जबकि नीचे गणितीय रूप से यथार्थ बना रहता है, क्योंकि हर भाषिक शब्द का ठोस सदस्यता-फलन होता है। अस्पष्ट संबंध अस्पष्ट समुच्चय को युग्मों (या टपल) तक विस्तारित करता है: μ_R(x, y) ∈ [0, 1] उस कोटि को व्यक्त करता है जिस तक x व y संबंधित हैं, ठीक वैसे ही कड़े संबंध को सामान्यीकृत करते हुए जैसे अस्पष्ट समुच्चय कड़े समुच्चय को करता है। अस्पष्ट नियम मानक IF-THEN रूप लेते हैं, अस्पष्ट पूर्ववर्ती व परिणामी सहित, व अस्पष्ट अनुमान (उदा० मामदानी विधि) दिए कड़े निवेश हेतु सभी लागू नियमों का मूल्यांकन करता है, उनके अस्पष्ट निर्गम संयोजित करता है, व संयुक्त परिणाम को एक कड़ी क्रिया में डिफ़ज़िफ़ाई करता है — अस्पष्ट नियंत्रण तंत्र के वास्तविक प्रचालन का हर चरण, साथ बँधा।

अस्पष्ट नियंत्रण तंत्र व अस्पष्ट नियम-आधारित तंत्र

अस्पष्ट नियंत्रण तंत्र पहले से प्रस्तुत पूरा चक्र चलाता है, प्रति नियंत्रण-चरण: कड़े संवेदक-निवेशों को फ़ज़िफ़ाई करें, अस्पष्ट नियम-आधार का मूल्यांकन करें (हर मेल खाता नियम किसी कोटि तक दागता है, कड़े विशेषज्ञ तंत्र के विपरीत जहाँ नियम या तो दागता है या नहीं), दागे नियमों के निर्गम संयोजित करें, व संयुक्त निर्गम को एक कड़े चालक-आदेश में डिफ़ज़िफ़ाई करें। सादे कड़े (बूलियन) नियंत्रक पर इसका व्यावहारिक लाभ अंतर्निहित रूप से कोटि-युक्त निवेशों व निर्गमों को सहजता से सँभालना है — एक ठीक सीमा-तापमान पर या तो 'पंखा चालू' या 'पंखा बंद' रहने वाला कड़ा थर्मोस्टैट ठीक उस सीमा पर हिचकोले लेता है, जबकि अस्पष्ट नियंत्रक की सतत रूप से बदलती पंखा-गति स्वाभाविक रूप से उस झटकाहट से बचती है, क्योंकि मंडराने योग्य कोई एकल तीक्ष्ण स्विच-बिंदु नहीं है।

मुख्य बिंदु

  • अस्पष्ट समुच्चय [0,1] में सतत सदस्यता-कोटि सौंपता है, प्रायिकता से पृथक — कोई यादृच्छिकता हल नहीं हो रही, अवयव वास्तव में आंशिक रूप से सदस्य है।
  • ज़ादेह का अस्पष्ट संघ max है, सर्वनिष्ठ min, पूरक 1 घटा सदस्यता — व अस्पष्ट समुच्चय उल्लेखनीय रूप से A∪Aᶜ = सार्वभौम समुच्चय व A∩Aᶜ = ∅ का उल्लंघन करते हैं।
  • फ़ज़िफ़िकेशन कड़े निवेश को सदस्यता-कोटियों में बदलती है; डिफ़ज़िफ़िकेशन (उदा० केंद्रक विधि) अस्पष्ट निर्गम को वापस एक कड़े मान में बदलती है।
  • भाषिक चर के मान स्वयं अस्पष्ट समुच्चय हैं, प्राकृतिक-भाषा नियमों को गणितीय रूप से यथार्थ बनाए रखते हुए; अस्पष्ट संबंध कड़े संबंध को कोटि-सहित युग्मों तक सामान्यीकृत करता है।
  • अस्पष्ट नियंत्रक का सतत रूप से बदलता निर्गम उस सीमा-दोलन ('झटकाहट') से बचता है जो कड़ा चालू/बंद नियंत्रक अपनी ठीक सीमा पर भुगतता है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. किसी अवयव हेतु अस्पष्ट समुच्चय की 0.7 सदस्यता-कोटि का सर्वोत्तम निर्वचन है:

    1. अवयव वास्तव में, आंशिक रूप से उस श्रेणी का उस कोटि तक सदस्य है — किसी कड़े परिणाम की 70% संभावना नहीं
    2. अवयव के सदस्य होने की 70% प्रायिकता व न होने की 30% प्रायिकता है
    3. अवयव निश्चित रूप से बिल्कुल सदस्य नहीं है
    4. संख्या का बिल्कुल कोई अर्थ नहीं है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अवयव वास्तव में, आंशिक रूप से उस श्रेणी का उस कोटि तक सदस्य है — किसी कड़े परिणाम की 70% संभावना नहीं

    अस्पष्ट सदस्यता प्रायिकता नहीं है — अतिरिक्त सूचना से हल होने वाली कोई यादृच्छिकता नहीं है; अवयव वास्तव में, निश्चित रूप से बिना तीक्ष्ण सीमा वाली श्रेणी में आंशिक सदस्यता रखता है।

  2. μ_A(x) = 0.6 दिए, मानक ज़ादेह संक्रियाओं का प्रयोग करते हुए μA∩Aᶜ(x) क्या है?

    1. 0.4
    2. 0
    3. 1
    4. 0.6
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.4

    μAᶜ(x) = 1 − 0.6 = 0.4; सर्वनिष्ठ min(μ_A, μ_Aᶜ) = min(0.6, 0.4) = 0.4 है — 0 नहीं जैसा शास्त्रीय समुच्चय-सिद्धांत देता, जो ठीक वही मानक प्रदर्शन है कि अस्पष्ट समुच्चय A ∩ Aᶜ = ∅ का उल्लंघन करते हैं।

  3. ज़ादेह का अनुसरण करती मानक अस्पष्ट संघ संक्रिया μA∪B(x) को इस प्रकार गणित करती है:

    1. max(μ_A(x), μ_B(x))
    2. μ_A(x) + μ_B(x)
    3. min(μ_A(x), μ_B(x))
    4. μ_A(x) × μ_B(x)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — max(μ_A(x), μ_B(x))

    ज़ादेह का संघ दोनों सदस्यता-कोटियों में अधिकतम लेता है, 'A में या B में' का अस्पष्ट सामान्यीकरण; सर्वनिष्ठ इसके बजाय न्यूनतम लेती है, 'A में तथा B में' का सामान्यीकरण।

  4. केंद्रक विधि से डिफ़ज़िफ़िकेशन अस्पष्ट निर्गम को कड़े मान में इस प्रकार बदलती है:

    1. निर्गम-मानों का उनकी सदस्यता-कोटियों से भारित औसत गणित करके
    2. सदस्यता की परवाह किए बिना सबसे बड़ा संभव निर्गम-मान चुनकर
    3. अस्पष्ट निर्गम को पूर्णतः नज़रअंदाज़ करके
    4. सदा शून्य लौटाकर
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — निर्गम-मानों का उनकी सदस्यता-कोटियों से भारित औसत गणित करके

    केंद्रक (गुरुत्व-केंद्र) विधि निर्गम अस्पष्ट समुच्चय के आर-पार भारित औसत गणित करती है, जो अस्पष्ट नियंत्रक को संभव मानों के प्रसार के बजाय एक ठोस, कार्रवाई-योग्य आदेश जारी करने देती है।

  5. 'तापमान' जैसे भाषिक चर के 'ठंडा', 'गुनगुना' व 'गर्म' मान रखने का अर्थ है:

    1. प्रत्येक मान स्वयं अंतर्निहित संख्यात्मक डोमेन पर परिभाषित अस्पष्ट समुच्चय है
    2. तापमान अब बिल्कुल संख्यात्मक रूप से मापा नहीं जा सकता
    3. किसी भी समय तीन में से केवल एक मान की ही अशून्य सदस्यता हो सकती है
    4. यह अस्पष्ट समुच्चयों से असंबद्ध है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक मान स्वयं अंतर्निहित संख्यात्मक डोमेन पर परिभाषित अस्पष्ट समुच्चय है

    हर भाषिक मान का संख्यात्मक डोमेन पर अपना ठोस सदस्यता-फलन होता है, व एकल संख्यात्मक तापमान एक साथ एक से अधिक मान में अशून्य सदस्यता रख सकता है (उदा० आंशिक गुनगुना, आंशिक गर्म) — यही वह है जो प्राकृतिक-भाषा नियमों को गणितीय रूप से यथार्थ बनाए रखता है।

  6. कड़े चालू/बंद नियंत्रक से भिन्न, अस्पष्ट नियंत्रण तंत्र के विषय में निम्नलिखित में कौन सत्य हैं? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

    1. उसी निवेश हेतु कई नियम भिन्न कोटियों तक दाग सकते हैं
    2. इसका निर्गम एक सीमा पर तीक्ष्ण रूप से स्विच होने के बजाय सतत रूप से बदल सकता है
    3. इसे कभी डिफ़ज़िफ़िकेशन चरण की आवश्यकता नहीं
    4. यह कड़े सीमा-आधारित नियंत्रक द्वारा अपने ठीक स्विचिंग-बिंदु पर भुगते जाने वाले दोलन से बच सकता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उसी निवेश हेतु कई नियम भिन्न कोटियों तक दाग सकते हैं; B — इसका निर्गम एक सीमा पर तीक्ष्ण रूप से स्विच होने के बजाय सतत रूप से बदल सकता है; D — यह कड़े सीमा-आधारित नियंत्रक द्वारा अपने ठीक स्विचिंग-बिंदु पर भुगते जाने वाले दोलन से बच सकता है

    अस्पष्ट नियंत्रक को अंतिम कड़ा आदेश उत्पन्न करने हेतु डिफ़ज़िफ़िकेशन वस्तुतः चाहिए; इसके अन्य सूचीबद्ध गुण (आंशिक नियम-दागन, सतत निर्गम, सीमा-झटकाहट से बचाव) कड़े चालू/बंद नियंत्रक पर वास्तविक लाभ हैं।

  7. μ_A(x) = 0.3 व μ_B(x) = 0.8 दिए, मानक ज़ादेह अस्पष्ट संघ का प्रयोग करते हुए μA∪B(x) गणित करें।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.8

    अस्पष्ट संघ अधिकतम लेता है: max(0.3, 0.8) = 0.8।

  8. कड़े संवेदक-पठन को प्रासंगिक भाषिक शब्दों के आर-पार अस्पष्ट सदस्यता-कोटियों में बदलने की प्रक्रिया कहलाती है:

    1. फ़ज़िफ़िकेशन
    2. डिफ़ज़िफ़िकेशन
    3. बैकट्रैकिंग
    4. न्यूनन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — फ़ज़िफ़िकेशन

    फ़ज़िफ़िकेशन अस्पष्ट नियंत्रण तंत्र के चक्र का प्रवेश-बिंदु है, कड़े निवेश को सदस्यता-कोटियों में बदलते हुए; डिफ़ज़िफ़िकेशन विपरीत, अंतिम चरण है, अस्पष्ट निर्गम को वापस एक कड़े मान में बदलते हुए।