गणितीय आगमन, विविक्त प्रायिकता व बेज़ प्रमेय

इकाई 1 गणना, गणितीय आगमन व विविक्त प्रायिकता को एक ही शीर्षक में रखती है, और मंच का उधार लिया GATE संचय-शास्त्र अध्याय (net2-cs का अपना टिप्पण उधार की व्याख्या करता है) उसी पाठ्यक्रम-पंक्ति का गणना वाला आधा पहले ही ढक चुका है — क्रमचय, संचय, कोष्ठिका-सिद्धांत व समावेशन-अपवर्जन। यह अध्याय उसी पाठ्यक्रम-पंक्ति का शेष भाग है: गणितीय आगमन से प्रमाण, प्रायिकता के अभिगृहीत, प्रतिबंधित प्रायिकता, व बेज़ प्रमेय, जिसे NET एक सूत्र के रूप में लागू करने और एक संकल्पना (आधार-दर भ्रांति) के रूप में सही समझने, दोनों रूपों में पूछता है।

गणितीय आगमन — दो चरण, व वे कहाँ विफल होते हैं

यह दिखाने के लिए कि कथन P(n) प्रत्येक n ≥ n₀ हेतु सत्य है, (दुर्बल) आगमन-प्रमाण की दो बाध्यताएँ हैं। आधार स्थिति सीधे P(n₀) की पुष्टि करती है। आगमनात्मक चरण किसी स्वेच्छ k ≥ n₀ हेतु P(k) — आगमन-मान्यता — को मानकर उससे P(k+1) व्युत्पन्न करता है। दोनों चरण आवश्यक हैं और अकेला कोई प्रमाण नहीं: पूर्णतः सही आगमनात्मक चरण के साथ असत्य आधार-स्थिति किसी वास्तविक n के विषय में कुछ सिद्ध नहीं करती, और बिना वैध आगमनात्मक चरण के सत्य आधार-स्थिति केवल P(n₀) ही स्थापित करती है। सबल आगमन P(k+1) व्युत्पन्न करने हेतु P(n₀), P(n₀+1), …, P(k) सभी को मानता है — केवल P(k) नहीं; यह तार्किक रूप से अधिक प्रबल नहीं है कि वह क्या सिद्ध कर सकता है, पर प्रायः वही एकमात्र रूप है जो व्युत्पत्ति को संभव बनाता है, उदाहरणतः जब P(k+1) वास्तव में P(k) के बजाय P(k−3) पर निर्भर करे (जैसे एक से अधिक पद वाले पुनरावृत्ति संबंध में, या यह प्रमाण कि 1 से बड़ी प्रत्येक पूर्णांक का कोई अभाज्य गुणनखंड है)।

एक हल किया आगमन: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
चरणक्या दिखाया गया
आधार, n = 1बायाँ पक्ष = 1, दायाँ पक्ष = 1(2)/2 = 1। बराबर।
मान्यतामान लें किसी k ≥ 1 हेतु 1 + ... + k = k(k+1)/2।
चरण, n = k+11+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2, जो n = k+1 पर सूत्र ही है।
⚠️ अनुपस्थित आधार-स्थिति ही मानक नकली आगमन है
यह चुटीला प्रमाण कि सभी घोड़े एक ही रंग के हैं n = 1 की ईमानदार जाँच छोड़ देता है (जो आगमनात्मक चरण वह देता है उसे वास्तव में दो घोड़ों के अतिव्यापन की आवश्यकता है, जो एक घोड़े से दो तक पुल नहीं बना पाता) — त्रुटि सदा दो बाध्यताओं में से एक में होती है, किसी तीसरे छिपे चरण में कभी नहीं। किसी प्रस्तुत आगमन को पढ़ते समय जाँचें कि आधार-स्थिति दावे के लिए बताई गई सबसे छोटी n पर जाँची गई है, और आगमनात्मक चरण चुपचाप कुछ ऐसा नहीं मान रहा जो केवल बड़े k हेतु सत्य हो।

प्रायिकता के अभिगृहीत व प्रतिबंधित प्रायिकता

  • कोल्मोगोरोव के अभिगृहीत: प्रतिदर्श समष्टि S हेतु, प्रत्येक घटना A हेतु P(A) ≥ 0; P(S) = 1; तथा परस्पर अपवर्जी A, B हेतु P(A ∪ B) = P(A) + P(B)। शेष सब — P(∅) = 0, P(Aᶜ) = 1 − P(A), अतिव्यापी हो सकने वाली घटनाओं हेतु P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) — इन तीनों से निकलता है।
  • प्रतिबंधित प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), केवल तब परिभाषित जब P(B) > 0 — A की प्रायिकता जबकि B के घटित होने का पहले से ज्ञान हो, प्रतिदर्श समष्टि को B तक सीमित करते हुए।
  • स्वतंत्रता: A व B ठीक तब स्वतंत्र हैं जब P(A ∩ B) = P(A)·P(B), समतुल्यतः P(A|B) = P(A) — B के घटित होने का ज्ञान A की संभावना पर कुछ प्रभाव नहीं डालता। स्वतंत्रता की जाँच करनी होती है, घटनाओं के असंबद्ध लगने से मान नहीं ली जाती।
🎯 कुल प्रायिकता का नियम प्रतिदर्श समष्टि को विभाजित करता है
यदि B₁, …, Bₙ, S को विभाजित करें (परस्पर अपवर्जी, संपूर्ण, प्रत्येक धनात्मक प्रायिकता सहित), तो P(A) = Σᵢ P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ)। यही वह सर्वसमिका है जिससे बेज़ प्रमेय का हर बनता है, और यह मानक उपकरण है जब P(A) की प्रत्यक्ष गणना कठिन हो पर कुछ स्वच्छ स्थितियों में से प्रत्येक पर प्रतिबंधित P(A) सरल हो — उदाहरणतः तीन मशीनों में से किसी एक से निकाली गई त्रुटिपूर्ण वस्तु, जहाँ प्रत्येक की त्रुटि-दर व कुल उत्पादन में हिस्सा ज्ञात हो।

बेज़ प्रमेय, व वह आधार-दर भ्रांति जिसे यह सुधारता है

बेज़ प्रमेय एक प्रतिबंध को उलट देता है: P(Bᵢ|A) = [P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ)] / [Σⱼ P(A|Bⱼ)·P(Bⱼ)]। शब्दों में, यह प्रमाण A प्रेक्षित होने पर पूर्व-विश्वास P(Bᵢ) को पश्च P(Bᵢ|A) में अद्यतन करता है, इस भार से कि Bᵢ, A की कितनी अच्छी भविष्यवाणी करता है (संभाव्यता P(A|Bᵢ)) बनाम अन्य प्रत्येक परिकल्पना उसकी कितनी अच्छी भविष्यवाणी करती है। सबसे सामान्यतः गलत सेट होने वाला NET/GATE-शैली प्रश्न एक चिकित्सा परीक्षण है: 1% प्रसार (पूर्व) वाला रोग, 99% संवेदनशीलता (सच्चा धनात्मक-दर) व 95% विशिष्टता (सच्चा ऋणात्मक-दर, अतः 5% झूठा धनात्मक-दर) वाला परीक्षण। जो व्यक्ति धनात्मक परीक्षित हो उसके वास्तव में रोगी होने की प्रायिकता 99% नहीं है — P(रोग)=0.01, P(+|रोग)=0.99, P(+|रोग नहीं)=0.05, P(रोग नहीं)=0.99 के साथ बेज़ लगाने पर P(रोग|+) = (0.99×0.01)/(0.99×0.01 + 0.05×0.99) ≈ 0.167, लगभग 17% मिलता है। परीक्षण सटीक है, पर रोग विरल है, अतः विशाल स्वस्थ जनसंख्या से झूठे धनात्मक छोटी रोगी जनसंख्या से सच्चे धनात्मक से अधिक हो जाते हैं — यही आधार-दर भ्रांति है, और पूर्व P(Bᵢ) को नज़रअंदाज़ करना ठीक इसी को उत्पन्न करता है।

🧠 दबाव में सूत्र के बजाय 2x2 गणना-सारणी बनाएँ
10,000 लोग लें। 1% को रोग है: 100 रोगी, 9,900 स्वस्थ। 100 रोगियों में से 99% धनात्मक परीक्षित: 99 सच्चे धनात्मक। 9,900 स्वस्थों में से 5% धनात्मक परीक्षित: 495 झूठे धनात्मक। कुल धनात्मक = 99 + 495 = 594, जिनमें से 99 वास्तव में रोगी: 99/594 ≈ 0.167 — वही उत्तर, सूत्र के बजाय गिनकर पहुँचा, और समय के दबाव में गलत करना कहीं कठिन।

यादृच्छिक चर, प्रत्याशा व सामान्य बंटन

  • प्रत्याशा E[X] = Σₓ x·P(X = x) एक विविक्त यादृच्छिक चर हेतु; यह रैखिक है — E[X + Y] = E[X] + E[Y] — सदा, चाहे X व Y स्वतंत्र हों या न हों, जो सीधे लागू करने योग्य तथ्य है, पुनः व्युत्पन्न करने योग्य नहीं।
  • द्विपद B(n, p): n स्वतंत्र प्रयासों में सफलताओं की संख्या, प्रत्येक की सफलता-प्रायिकता p। माध्य np, प्रसरण np(1−p)। मानक GATE/NET-शैली स्थापन n सिक्का-उछाल या चैनल के n बिट है।
  • बर्नूली द्विपद की n = 1 वाली एकल-प्रयास विशेष स्थिति है। पॉइसों द्विपद का सन्निकटन है जब n बड़ा व p छोटा हो और np मध्यम बना रहे (स्थिर अंतराल पर विरल घटनाएँ); इसका माध्य इसके प्रसरण के बराबर है, दोनों λ।
  • एकसमान, विविक्त {1, …, n} पर: प्रत्येक परिणाम समान संभाव्य, माध्य (n+1)/2 — अभिनत पासे या यादृच्छिक सरणी-सूचकांक का मानक प्रतिरूप।

मुख्य बिंदु

  • आगमन को सही आधार-स्थिति व सही आगमनात्मक चरण दोनों चाहिए; अकेला कोई भी कुछ सिद्ध नहीं करता। सबल आगमन ठीक पूर्ववर्ती स्थिति के बजाय हर पूर्व स्थिति मान सकता है।
  • कोल्मोगोरोव के तीन अभिगृहीत हर अन्य प्रायिकता-सर्वसमिका उत्पन्न करते हैं। प्रतिबंधित प्रायिकता P(A|B) = P(A∩B)/P(B) प्रतिदर्श समष्टि को B तक सीमित करती है।
  • बेज़ प्रमेय P(A|B) को पूर्व से भारित कर P(B|A) में उलट देता है। निम्न पूर्व को नज़रअंदाज़ करना (आधार-दर भ्रांति) सबसे सामान्य बेज़-त्रुटि है — इससे बचने हेतु 2x2 गणना-सारणी बनाएँ।
  • प्रत्याशा सदा रैखिक है, स्वतंत्रता हो या न हो: E[X+Y] = E[X] + E[Y]।
  • द्विपद, बर्नूली (इसकी n=1 स्थिति) व पॉइसों (इसकी बड़ी-n, छोटी-p, मध्यम-np सीमा) वे तीन विविक्त बंटन हैं जिन्हें NET सर्वाधिक परखता है, प्रत्येक का अपना माध्य/प्रसरण सूत्र।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. n ≥ 1 हेतु P(n) पर गणितीय आगमन द्वारा प्रमाण अपूर्ण है यदि वह:

    1. P(1) की पुष्टि करता है पर स्वेच्छ k हेतु P(k) → P(k+1) कभी सिद्ध नहीं करता
    2. दुर्बल आगमन के बजाय सबल आगमन का प्रयोग करता है
    3. आधार-स्थिति कहने से पहले आगमनात्मक चरण सिद्ध करता है
    4. सामान्य k के बजाय किसी विशिष्ट k हेतु मान्यता कहता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P(1) की पुष्टि करता है पर स्वेच्छ k हेतु P(k) → P(k+1) कभी सिद्ध नहीं करता

    प्रमाण को आधार-स्थिति तथा सामान्य रूप से परिमाणित आगमनात्मक चरण दोनों चाहिए; केवल आधार-स्थिति की, या स्वेच्छ k के बजाय किसी विशिष्ट दृष्टांत की पुष्टि, निहितार्थों की शृंखला को अस्थापित छोड़ देती है।

  2. सबल आगमन दुर्बल (सामान्य) आगमन से किस प्रकार भिन्न है:

    1. यह P(k+1) व्युत्पन्न करने हेतु केवल k पर नहीं, आधार-स्थिति से k तक सभी मानों पर P के सत्य होने की मान्यता रखता है
    2. इसे किसी आधार-स्थिति की आवश्यकता नहीं
    3. यह ऐसे कथन सिद्ध कर सकता है जो वस्तुतः असत्य हैं
    4. यह केवल 10 से कम पूर्णांकों संबंधी कथनों हेतु काम करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यह P(k+1) व्युत्पन्न करने हेतु केवल k पर नहीं, आधार-स्थिति से k तक सभी मानों पर P के सत्य होने की मान्यता रखता है

    सबल आगमन की मान्यता P(n₀) ∧ P(n₀+1) ∧ ... ∧ P(k) है, जो तब चाहिए जब k+1 तक का चरण वास्तव में k के अतिरिक्त किसी पूर्व स्थिति पर निर्भर करे।

  3. घटनाएँ A व B स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि:

    1. P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
    2. A व B परस्पर अपवर्जी हैं
    3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
    4. P(A) = P(B)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P(A ∩ B) = P(A)·P(B)

    स्वतंत्रता P(A∩B) = P(A)P(B) है। परस्पर अपवर्जिता भिन्न (व धनात्मक-प्रायिकता घटनाओं हेतु विपरीत) शर्त है — धनात्मक प्रायिकता वाली दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ कभी स्वतंत्र नहीं होतीं, क्योंकि एक के घटित होने पर दूसरी की प्रायिकता शून्य हो जाती है।

  4. किसी रोग का प्रसार 1% है। परीक्षण 99% संवेदनशील व 95% विशिष्ट है। कोई यादृच्छिक व्यक्ति धनात्मक परीक्षित होता है। उसके वास्तव में रोगी होने की प्रायिकता किसके निकटतम है:

    1. 17%
    2. 99%
    3. 95%
    4. 50%
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 17%

    प्रति 10,000 व्यक्ति: 100 रोगी (99 सच्चे धनात्मक), 9,900 स्वस्थ (5% झूठी-धनात्मक दर पर 495 झूठे धनात्मक)। कुल 594 धनात्मकों में से 99 वास्तव में रोगी: 99/594 ≈ 17%। 99% का आँकड़ा परीक्षण की संवेदनशीलता P(+|रोग) है — न कि पूछी गई मात्रा P(रोग|+); दोनों को भ्रमित करना ही ठीक आधार-दर भ्रांति है।

  5. कुल प्रायिकता के नियम हेतु प्रतिबंधक घटनाओं B₁, ..., Bₙ का होना आवश्यक है:

    1. परस्पर अपवर्जी व संपूर्ण (प्रतिदर्श समष्टि का विभाजन)
    2. एक-दूसरे से स्वतंत्र
    3. समान संभाव्य
    4. प्रत्येक की प्रायिकता 0.5 से अधिक
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — परस्पर अपवर्जी व संपूर्ण (प्रतिदर्श समष्टि का विभाजन)

    P(A) = Σ P(A|Bᵢ)P(Bᵢ) ठीक इसलिए वैध है कि Bᵢ, S को विभाजित करते हैं — प्रत्येक परिणाम ठीक एक Bᵢ में पड़ता है, अतः उन पर योग न कुछ दोहरा गिनता है न कुछ छोड़ता है।

  6. किन्हीं भी दो यादृच्छिक चरों X व Y (आवश्यक नहीं कि स्वतंत्र हों) हेतु, E[X + Y] बराबर है:

    1. E[X] + E[Y], सदा
    2. E[X] + E[Y], केवल यदि X व Y स्वतंत्र हों
    3. E[X]·E[Y]
    4. संयुक्त बंटन जाने बिना यह निर्धारित नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — E[X] + E[Y], सदा

    प्रत्याशा की रैखिकता बिना शर्त सत्य है — इसे किसी स्वतंत्रता-मान्यता की आवश्यकता नहीं, जबकि प्रसरण या E[XY] हेतु गुणनफल-नियम को इसकी आवश्यकता होती है।

  7. पॉइसों बंटन सामान्यतः द्विपद बंटन के सन्निकटन के रूप में प्रयुक्त होता है जब:

    1. n बड़ा हो, p छोटा हो, व np मध्यम बना रहे
    2. n छोटा हो व p 0.5 के निकट हो
    3. प्रयास एक-दूसरे पर निर्भर हों
    4. प्रसरण माध्य से बड़े अंतर से अधिक हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — n बड़ा हो, p छोटा हो, व np मध्यम बना रहे

    पॉइसों सीमा अनेक प्रयासों पर विरल घटनाओं पर लागू होती है — बड़ा n, छोटा p, तथा λ = np स्थिर व मध्यम रखा गया। इस सीमा में द्विपद का माध्य व प्रसरण दोनों λ पर अभिसरित होते हैं, जो पॉइसों के अपने गुण से मेल खाता है कि माध्य प्रसरण के बराबर होता है।

  8. निम्नलिखित में कौन कोल्मोगोरोव के तीन अभिगृहीतों से सीधे निकलते हैं? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

    1. P(∅) = 0
    2. P(Aᶜ) = 1 − P(A)
    3. किसी भी घटना A हेतु P(A) सदा ठीक 0.5 होती है
    4. किन्हीं A, B हेतु P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P(∅) = 0; B — P(Aᶜ) = 1 − P(A); D — किन्हीं A, B हेतु P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

    P(∅)=0 व P(Aᶜ)=1−P(A), A व Aᶜ (जो S को विभाजित करते हैं) पर योज्यता लगाने से निकलते हैं, और सामान्य संघ-सूत्र A∩B में अतिव्यापन पर दोहरी गणना सुधारता है। कोई अभिगृहीत प्रत्येक घटना की प्रायिकता 0.5 पर नियत नहीं करता।

  9. एक अभिनत सिक्का 4 बार उछाला जाता है। द्विपद बंटन का प्रयोग करते हुए, शीर्ष की प्रत्याशित संख्या _____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    द्विपद(n, p) हेतु, माध्य = np। यहाँ n = 4, p = 0.5, अतः माध्य = 4 × 0.5 = 2।