संख्यात्मक क्षमता: प्रतिशत, अनुपात व औसत

वस्तुनिष्ठ पत्र परीक्षा में "सामान्य मानसिक क्षमता" शामिल है — सरल गणित व तर्क, जिसे कई अभ्यर्थी छोड़ देते हैं और आसान अंक गँवा देते हैं। अच्छी बात: गणित कभी कक्षा-10 के स्तर से आगे नहीं जाता, और कुछ ही तकनीकें अधिकांश प्रश्न एक मिनट से कम में हल कर देती हैं। यह अध्याय संख्या-आधारित भाग को कवर करता है।

प्रतिशत — मास्टर चाबी

"प्रतिशत" का अर्थ है प्रति सौ। अतः 25% = 25/100 = 1/4। तेज़ हल करने वाले प्रतिशत को भिन्न में बदलते हैं: 50% = 1/2, 25% = 1/4, 20% = 1/5, 12.5% = 1/8, 33⅓% = 1/3। N का x% निकालने हेतु गुणा करें: N का x% = (x × N) / 100।

भिन्न–प्रतिशत तालिका (इसे कंठस्थ करें!)
भिन्न	प्रतिशत
1/2	50%
1/3	33⅓%
1/4	25%
1/5	20%
1/8	12.5%
1/10	10%

⚠️ परीक्षा जाल

क्रमिक परिवर्तन सीधे जुड़ते नहीं हैं। 10% और 10% की दो छूटें 20% नहीं होतीं: ₹100 → ₹90 → ₹81, अर्थात् कुल 19%। a% व b% के दो क्रमिक परिवर्तनों का सूत्र: शुद्ध = a + b + (a×b)/100 (कमी के लिए ऋण चिह्न लगाएँ)।

🧠 याद रखने की ट्रिक

उल्टी युक्ति: y का x% = x का y%। अतः 50 का 8% कठिन लगता है, पर 8 का 50% = 4 — वही उत्तर, तुरंत।

अनुपात, समानुपात व औसत

अनुपात: किसी राशि को a : b के अनुपात में बाँटने पर भाग होते हैं कुल का a/(a+b) व b/(a+b)। उदाहरण: 64 को 3 : 5 में बाँटें → 8-8 के 8 बराबर भाग → 24 व 40।
औसत = योग ÷ संख्या। उदाहरण: 12, 18, 24, 30, 36 का औसत = 120 ÷ 5 = 24। उपयोगी उल्टा रूप: योग = औसत × संख्या।
समान अंतराल वाली संख्याएँ: औसत बस बीच का मान होता है (या बीच के दो मानों का औसत)। ऊपर के उदाहरण में बीच की संख्या 24 है — जोड़ने की आवश्यकता ही नहीं!

💡 ऐसे समझें

औसत को "बराबर बाँटने वाली" संख्या समझें: यदि 5 मित्र अपना सारा धन मिलाकर बराबर बाँट लें, तो हर एक को औसत मिलता है। इससे तुरंत समझ आता है कि एक बहुत धनी मित्र (विचलित मान) औसत को ऊपर क्यों खींच देता है।

सीधा व व्युत्क्रम समानुपात, तथा शृंखला नियम

दो राशियाँ सीधे समानुपात में होती हैं जब वे साथ-साथ बढ़ें-घटें, अपना अनुपात स्थिर रखते हुए (जैसे लागत व मात्रा: अधिक वस्तुओं की लागत आनुपातिक रूप से अधिक होती है)। वे व्युत्क्रम समानुपात में होती हैं जब एक बढ़े तो दूसरी घटे, अपना गुणनफल स्थिर रखते हुए (जैसे निश्चित दूरी हेतु चाल व समय, या निश्चित काम हेतु श्रमिकों की संख्या व दिन)।

सीधे समानुपात का उदाहरण: यदि 6 कॉपियों की कीमत ₹90 है, तो 10 कॉपियों की कीमत — अनुपात बनाएँ 6/90 = 10/x → x = 90 × 10/6 = ₹150।
व्युत्क्रम समानुपात का उदाहरण: यदि 8 श्रमिक कोई काम 15 दिन में पूरा करते हैं, तो 12 श्रमिक कितने दिन लेंगे? गुणनफल स्थिर रहता है: 8 × 15 = 12 × x → x = 120/12 = 10 दिन (अधिक श्रमिक, कम दिन — तर्कसंगत है)।
शृंखला नियम (यौगिक समानुपात) एक साथ तीन या अधिक परिवर्तनशील राशियों वाली समस्याओं को हल करता है। क्लासिक उदाहरण: यदि 6 पुरुष प्रतिदिन 8 घंटे काम करके एक दीवार 10 दिन में बना सकते हैं, तो प्रतिदिन 6 घंटे काम करके 8 दिन में बनाने हेतु कितने पुरुष चाहिए? इसे इस तरह सेट करें कि हर नया अनुपात स्थिति अनुसार सीधा या व्युत्क्रम हो: पुरुष, दिनों व प्रति-दिन घंटों के व्युत्क्रमानुपाती हैं (अधिक घंटे या अधिक दिन कम पुरुष चाहते हैं)। अतः: पुरुष₂ = पुरुष₁ × (घंटे₁/घंटे₂) × (दिन₁/दिन₂) = 6 × (8/6) × (10/8) = 10 पुरुष।

⚠️ परीक्षा जाल

शृंखला नियम की सबसे आम गलती है हर अनुपात को बिना यह जाँचे "नया/पुराना" लिख देना कि उस विशेष जोड़ी के लिए संबंध सीधा है या व्युत्क्रम। हमेशा पूछें: "यदि यह राशि बढ़े, तो उत्तर बढ़ना चाहिए या घटना?" — इससे पता चलता है कि भिन्न को पलटना है या नहीं।

चाल–समय व कार्य — दो सूत्र, सब हल

चाल = दूरी ÷ समय। उदाहरण: 4 घंटे में 240 किमी → 240 ÷ 4 = 60 किमी/घंटा। रूपांतरण: किमी/घंटा → मी/से हेतु 5/18 से गुणा; मी/से → किमी/घंटा हेतु 18/5 से गुणा।
साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100। उदाहरण: ₹5,000 पर 8% से 3 वर्ष → (5000 × 8 × 3)/100 = ₹1,200।
कार्य: यदि A कोई काम 10 दिन में और B 15 दिन में करे, तो एक दिन में वे करते हैं 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 → साथ मिलकर 6 दिन में पूरा।

🎯 यह क्यों ज़रूरी है

मानसिक-क्षमता के प्रश्न पूरे पेपर में सबसे अंक-अनुकूल होते हैं: न भूलने वाले तथ्य, न बदलते करेंट अफेयर्स — बस वही दर्जन भर पैटर्न, हर वर्ष। प्रतिदिन पंद्रह मिनट का अभ्यास इस खंड को पक्के अंकों में बदल देता है।

मुख्य बिंदु

N का x% = (x × N)/100; भिन्न तालिका याद करें (25% = 1/4, 20% = 1/5, 12.5% = 1/8)। y का x% = x का y%।
क्रमिक परिवर्तन: शुद्ध = a + b + ab/100। दो 10% छूटें = 19%, 20% नहीं।
कुल T पर अनुपात a : b → भाग aT/(a+b) व bT/(a+b)। 64 को 3 : 5 में → 24 व 40।
औसत = योग ÷ संख्या; समान अंतराल की संख्याओं में औसत = बीच का मान।
चाल = दूरी ÷ समय (किमी/घंटा ↔ मी/से हेतु 5/18); साधारण ब्याज = मूलधन×दर×समय/100।
कार्य: प्रतिदिन के भिन्न जोड़ें — A(10 दिन) + B(15 दिन) → 1/10 + 1/15 = 1/6 → साथ में 6 दिन।
सीधा समानुपात: अनुपात स्थिर रहता है (लागत व मात्रा)। व्युत्क्रम समानुपात: गुणनफल स्थिर रहता है (चाल व समय; श्रमिक व दिन, निश्चित काम हेतु)। शृंखला नियम (यौगिक समानुपात): हर नई राशि को विशिष्ट संबंध के आधार पर सीधा या व्युत्क्रम जोड़ें, रटकर नहीं।

अभ्यास प्रश्न (11)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

480 का 25% क्या है?
1. 100
2. 110
3. 120
4. 140
उत्तर देखें
उत्तर: C — 120
25% = 1/4, अतः गणना 480 ÷ 4 = 120 है — 0.25 से गुणा के बजाय एक भाग। प्रतिशत-से-भिन्न युग्म सीखना (25% = 1/4, 12.5% = 1/8, 33⅓% = 1/3) अधिकांश प्रतिशत प्रश्नों को एक चरण में बदल देता है।
₹64 को दो व्यक्तियों में 3 : 5 के अनुपात में बाँटें। बड़ा भाग है:
1. ₹24
2. ₹32
3. ₹40
4. ₹48
उत्तर देखें
उत्तर: C — ₹40
3 + 5 = 8 भाग; प्रत्येक भाग = 64/8 = 8। बड़ा भाग = 5 × 8 = ₹40।
12, 18, 24, 30 व 36 का औसत है:
1. 22
2. 24
3. 26
4. 28
उत्तर देखें
उत्तर: B — 24
ये समान अंतराल (6) पर हैं, अतः औसत बीच का मान है: 24। (जाँच: योग 120 ÷ 5 = 24।)
एक रेलगाड़ी 4 घंटे में 240 किमी तय करती है। उसकी चाल है:
1. 50 किमी/घंटा
2. 55 किमी/घंटा
3. 60 किमी/घंटा
4. 65 किमी/घंटा
उत्तर देखें
उत्तर: C — 60 किमी/घंटा
चाल = दूरी ÷ समय = 240 ÷ 4 = 60 किमी/घंटा।
₹5,000 पर 8% वार्षिक दर से 3 वर्ष का साधारण ब्याज है:
1. ₹1,000
2. ₹1,200
3. ₹1,250
4. ₹1,500
उत्तर देखें
उत्तर: B — ₹1,200
साधारण ब्याज = मूलधन×दर×समय/100 = (5000 × 8 × 3)/100 = ₹1,200।
कोई संख्या 20% बढ़ने पर 240 हो जाती है। मूल संख्या है:
1. 192
2. 200
3. 210
4. 220
उत्तर देखें
उत्तर: B — 200
यदि मूल संख्या x है, तो 1.2x = 240 → x = 200। (जाल: 240 − 240 का 20% = 192 गलत है, क्योंकि 20% मूल संख्या पर लिया गया था, 240 पर नहीं।)
10% व 10% की दो क्रमिक छूटें किस एकल छूट के बराबर हैं?
1. 20%
2. 19%
3. 18%
4. 21%
उत्तर देखें
उत्तर: B — 19%
₹100 → ₹90 → ₹81, अतः कुल छूट ₹19 = 19%। सूत्र: −10 − 10 + (10×10)/100 = −19%।
A कोई काम 10 दिन में और B 15 दिन में कर सकता है। साथ मिलकर वे उसे पूरा करेंगे:
1. 5 दिन
2. 6 दिन
3. 7.5 दिन
4. 12.5 दिन
उत्तर देखें
उत्तर: B — 6 दिन
प्रतिदिन: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = काम का 1/6 → साथ में 6 दिन।
यदि 8 श्रमिक कोई काम 15 दिन में पूरा कर सकते हैं, तो 12 श्रमिक उसी काम को कितने दिन में पूरा करेंगे?
1. 8 दिन
2. 10 दिन
3. 20 दिन
4. 22.5 दिन
उत्तर देखें
उत्तर: B — 10 दिन
श्रमिक व दिन व्युत्क्रमानुपाती हैं (गुणनफल स्थिर): 8 × 15 = 12 × x → x = 120/12 = 10 दिन। अधिक श्रमिक = कम दिन।
यदि 6 कॉपियों की कीमत ₹90 है, तो 10 कॉपियों की कीमत क्या होगी (सीधे समानुपात मानते हुए)?
1. ₹120
2. ₹135
3. ₹150
4. ₹160
उत्तर देखें
उत्तर: C — ₹150
लागत व मात्रा सीधे समानुपाती हैं: 6/90 = 10/x → x = 90 × 10/6 = ₹150।
यदि 6 पुरुष प्रतिदिन 8 घंटे काम करके एक दीवार 10 दिन में बना सकते हैं, तो प्रतिदिन 6 घंटे काम करके 8 दिन में बनाने हेतु कितने पुरुष चाहिए?
1. 8
2. 9
3. 10
4. 12
उत्तर देखें
उत्तर: C — 10
शृंखला नियम से: पुरुष₂ = 6 × (8/6) × (10/8) = 10 पुरुष। चूँकि प्रतिदिन कम घंटे व कम दिन दोनों अधिक पुरुष माँगते हैं (व्युत्क्रम संबंध), उत्तर मूल 6 से अधिक है।