X-किरणें — सतत स्पेक्ट्रम, अभिलाक्षणिक रेखाएँ व मोज़ले नियम

तेज़ इलेक्ट्रॉनों को किसी धातु पर दागिए और दो बिल्कुल भिन्न बातें होती हैं, और निकलने वाला X-किरण स्पेक्ट्रम दोनों दिखाता है। अधिकांश इलेक्ट्रॉन जिन नाभिकों के पास से गुज़रते हैं उनसे धीरे-धीरे मंद होते हैं, और प्रत्येक मंदन इलेक्ट्रॉन की पूरी गतिज ऊर्जा तक किसी भी ऊर्जा का फ़ोटॉन फेंकता है — एक चिकना उभार जिसकी लघु-तरंगदैर्घ्य कोर तीखी है। कुछ इलेक्ट्रॉन लक्ष्य-परमाणु के किसी आंतरिक कोश से इलेक्ट्रॉन निकाल देते हैं, और वह रिक्ति बाहरी इलेक्ट्रॉन भरता है जो एक निश्चित ऊर्जा का फ़ोटॉन उत्सर्जित करता है — तीखी रेखाएँ जो तत्व की पहचान कराती हैं। कोर केवल त्वरक वोल्टता से तय होती है; रेखाएँ केवल लक्ष्य से। इन दो तथ्यों को अलग रखना इस विषय के अधिकांश प्रश्नों का उत्तर है, और मोज़ले नियम दूसरे को प्रोटॉन गिनने की विधि बना देता है।

X-किरणों का उत्पादन व सतत स्पेक्ट्रम

कूलिज नलिका में गर्म तंतु इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है, दसियों किलोवोल्ट का विभवांतर V उन्हें निर्वातित नलिका के पार त्वरित करता है, और वे भारी धातु के लक्ष्य से टकराते हैं। प्रत्येक इलेक्ट्रॉन गतिज ऊर्जा eV के साथ पहुँचता है। लक्ष्य-नाभिकों के क्षेत्र में मंदन (ब्रेम्सस्ट्रालुंग, "ब्रेकिंग विकिरण") ऐसे फ़ोटॉन देता है जिनकी ऊर्जा eV तक कुछ भी हो सकती है, अतः स्पेक्ट्रम सतत है। सबसे ऊर्जावान संभव फ़ोटॉन पूरी ऊर्जा ले लेता है, जो अंतक तरंगदैर्घ्य तय करता है: λ_min = hc/(eV), या hc = 1240 eV nm से λ_min (nm) = 1240/V (वोल्ट)।

🎯 कौन-सा नियंत्रक क्या बदलता है
त्वरक वोल्टता इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा तय करती है, अतः λ_min (λ_min ∝ 1/V) और किरण-पुंज की कठोरता तय करती है। तंतु-धारा प्रति सेकंड पहुँचने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या तय करती है, अतः पूरे स्पेक्ट्रम की तीव्रता बदलती है, उसकी तरंगदैर्घ्यों में कुछ नहीं। लक्ष्य-पदार्थ अभिलाक्षणिक रेखाएँ तय करता है। जो प्रश्न इनमें से एक बदलकर किसी दूसरे का प्रभाव प्रस्तुत करे, वही मानक जाल है।

अभिलाक्षणिक रेखाएँ

यदि आपतित इलेक्ट्रॉन लक्ष्य-परमाणु का K-कोश (n = 1) इलेक्ट्रॉन निकाल दे, तो ऊपरी कोश का इलेक्ट्रॉन रिक्ति में गिरता है और ऊर्जा-अंतर के बराबर फ़ोटॉन उत्सर्जित करता है। L → K से Kα रेखा, M → K से Kβ रेखा; L कोश की रिक्तियों से L श्रेणी। चूँकि M, K से L की अपेक्षा अधिक दूर है, अतः Kβ की ऊर्जा Kα से अधिक और तरंगदैर्घ्य कम है। ये रेखाएँ तभी दिखती हैं जब eV, K-कोश की बंधन-ऊर्जा से अधिक हो, पर दिखने के बाद V और बढ़ाने पर इनकी तरंगदैर्घ्य नहीं खिसकतीं — ये परमाणु की हैं।

सतत बनाम अभिलाक्षणिक X-किरणें
लक्षणसतत स्पेक्ट्रमअभिलाक्षणिक रेखाएँ
उद्गमनाभिकों के पास इलेक्ट्रॉनों का मंदनआंतरिक-कोश रिक्तियों में इलेक्ट्रॉन संक्रमण
किससे तयत्वरक वोल्टता (λ_min = hc/eV)लक्ष्य का परमाणु क्रमांक
V बढ़ाएँλ_min कम तरंगदैर्घ्य की ओर खिसकती हैतरंगदैर्घ्य अपरिवर्तित (रेखाएँ चमकीली हो सकती हैं)
तंतु-धारा बढ़ाएँअधिक तीव्र, वही λ_minअधिक तीव्र, वही तरंगदैर्घ्य

मोज़ले नियम — X-किरणों से प्रोटॉन गिनना

मोज़ले ने तत्व-दर-तत्व Kα आवृत्ति मापी और पाया √ν = a(Z − b): आवृत्ति का वर्गमूल परमाणु क्रमांक Z का रैखिक फलन है। Kα हेतु परिरक्षण-स्थिरांक b ≈ 1 है — बचा हुआ एक K इलेक्ट्रॉन भीतर गिरते L इलेक्ट्रॉन से नाभिकीय आवेश की एक इकाई ढँक लेता है — और बोर-प्रकार का आकलन ν(Kα) ≈ (3/4) R c (Z − 1)², या ऊर्जा लगभग 13.6 × (3/4)(Z − 1)² eV देता है। तांबे, Z = 29, हेतु यह 13.6 × 0.75 × 784 ≈ 8.0 keV है, मापे गए मान के निकट।

📖 यह क्यों महत्वपूर्ण था
मोज़ले से पहले तत्व परमाणु द्रव्यमान से क्रमित थे, और कुछ युग्म (कोबाल्ट व निकेल, आर्गन व पोटैशियम) असहज बैठते थे। उनकी सरल रेखा ने दिखाया कि वास्तविक क्रम-निर्धारक राशि नाभिकीय आवेश Z है, और रेखा के रिक्त स्थानों ने अभी न खोजे गए तत्वों की भविष्यवाणी की। आधुनिक आवर्त नियम — गुणधर्म परमाणु क्रमांक के आवर्ती फलन हैं — इसी माप पर टिका है।
⚠️ तत्वों के बीच अनुपात
Kα ऊर्जा (Z − 1)² के अनुसार बदलती है, Z² के नहीं, अतः उसकी तरंगदैर्घ्य 1/(Z − 1)² के अनुसार। Z = 11 और Z = 21 हेतु तरंगदैर्घ्य-अनुपात (20/10)² = 4 है, जबकि Z² लेने से (21/11)² ≈ 3.6 आता है। "− 1" हल्के तत्वों हेतु सबसे अधिक मायने रखता है।

मुख्य बिंदु

  • सतत स्पेक्ट्रम मंद होते इलेक्ट्रॉनों से आता है और λ_min = hc/(eV) = 1240/V nm पर तीखा समाप्त होता है, जो केवल त्वरक वोल्टता से तय है।
  • अभिलाक्षणिक रेखाएँ आंतरिक-कोश रिक्तियों से आती हैं और लक्ष्य से तय होती हैं; V बढ़ाने से वे नहीं खिसकतीं।
  • Kβ (M → K) की ऊर्जा Kα (L → K) से अधिक और तरंगदैर्घ्य कम है।
  • तंतु-धारा केवल तीव्रता बदलती है; वोल्टता λ_min बदलती है; लक्ष्य रेखाएँ बदलता है।
  • मोज़ले: √ν = a(Z − b), Kα हेतु b ≈ 1, अतः E(Kα) ≈ 10.2 (Z − 1)² eV और तरंगदैर्घ्य 1/(Z − 1)² के अनुसार।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. कूलिज नलिका के सतत X-किरण स्पेक्ट्रम की अंतक (न्यूनतम) तरंगदैर्घ्य किस पर निर्भर है:

    1. केवल लक्ष्य-पदार्थ
    2. केवल त्वरक वोल्टता
    3. केवल तंतु-धारा
    4. लक्ष्य-पदार्थ और तंतु-धारा दोनों
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — केवल त्वरक वोल्टता

    सबसे कम तरंगदैर्घ्य वाला फ़ोटॉन इलेक्ट्रॉन की पूरी गतिज ऊर्जा eV ले लेता है, अतः λ_min = hc/(eV) केवल त्वरक वोल्टता पर निर्भर है। लक्ष्य अभिलाक्षणिक रेखाएँ तय करता है, और तंतु-धारा पहुँचने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या, अतः तीव्रता — दोनों में से कोई अंतक को नहीं खिसकाता।

  2. 20 kV से त्वरित इलेक्ट्रॉन एक लक्ष्य से टकराते हैं। hc = 1240 eV nm लेकर, उत्पन्न X-किरणों की अंतक तरंगदैर्घ्य है:

    1. 62 pm
    2. 6.2 pm
    3. 620 pm
    4. 62 nm
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 62 pm

    λ_min = 1240/20 000 nm = 0.062 nm = 62 pm। अन्य विकल्प वही अंक हैं जिनमें दस की घात फिसल गई — 62 nm पराबैंगनी होता, 20 keV फ़ोटॉनों हेतु बहुत लंबा, यह उपयोगी जाँच है।

  3. एक X-किरण नलिका की त्वरक वोल्टता दोगुनी की जाती है जबकि लक्ष्य अपरिवर्तित है। तब:

    1. λ_min दोगुनी और Kα तरंगदैर्घ्य आधी हो जाती है
    2. λ_min और Kα तरंगदैर्घ्य दोनों आधी हो जाती हैं
    3. λ_min आधी होती है और Kα तरंगदैर्घ्य अपरिवर्तित रहती है
    4. कोई नहीं बदलती; केवल तीव्रता बढ़ती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — λ_min आधी होती है और Kα तरंगदैर्घ्य अपरिवर्तित रहती है

    λ_min ∝ 1/V, अतः V दोगुना करने पर वह आधी होती है। Kα रेखा लक्ष्य-परमाणु के भीतर का ऊर्जा-अंतर है और इस पर निर्भर नहीं कि परमाणु पर कितनी ज़ोर से प्रहार हुआ, अतः उसकी तरंगदैर्घ्य वहीं रहती है। दोनों को आधा करना अभिलाक्षणिक रेखा को स्पेक्ट्रम की कोर मान लेना है।

  4. मोज़ले नियम के अनुसार, परमाणु क्रमांक Z के विरुद्ध किसे आलेखित करने पर सरल रेखा मिलती है:

    1. Kα रेखा की आवृत्ति ν
    2. Kα रेखा की तरंगदैर्घ्य λ
    3. Kα आवृत्ति का वर्गमूल, √ν
    4. Kα आवृत्ति का लघुगणक
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — Kα आवृत्ति का वर्गमूल, √ν

    मोज़ले नियम √ν = a(Z − b) है, आवृत्ति के वर्गमूल हेतु Z में रैखिक। ν स्वयं (Z − 1)² के अनुसार बढ़ती है, एक परवलय, और λ, 1/(Z − 1)² के अनुसार घटती है। ν को Z के विरुद्ध आलेखित करना सामान्य चूक है।

  5. Kα रेखा हेतु परिरक्षण-स्थिरांक 1 के साथ मोज़ले नियम लेकर, Z = 11 वाले तत्व की Kα तरंगदैर्घ्य और Z = 21 वाले तत्व की Kα तरंगदैर्घ्य का अनुपात है:

    1. 4
    2. 2
    3. 1/4
    4. (21/11)²
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 4

    λ ∝ 1/(Z − 1)², अतः λ(11)/λ(21) = (21 − 1)²/(11 − 1)² = 400/100 = 4: हल्के तत्व की तरंगदैर्घ्य लंबी है। 1/4 अनुपात उलट देता है, 2 वर्ग भूल जाता है, और (21/11)² परिरक्षण-स्थिरांक छोड़ देता है।

  6. E(Kα) ≈ 13.6 × (3/4)(Z − 1)² eV से आकलन करने पर, तांबे (Z = 29) के Kα फ़ोटॉन की ऊर्जा लगभग है:

    1. 10.7 keV
    2. 8.6 keV
    3. 0.8 keV
    4. 8.0 keV
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 8.0 keV

    13.6 × 0.75 × 28² = 13.6 × 0.75 × 784 ≈ 7997 eV ≈ 8.0 keV। Z² = 841 लेने से लगभग 8.6 keV आता है, और 3/4 छोड़ने (संक्रमण को अनंत से n = 1 मानने) से लगभग 10.7 keV।

  7. एक ही लक्ष्य हेतु Kβ रेखा की Kα रेखा से तुलना कैसी है?

    1. Kβ की फ़ोटॉन ऊर्जा अधिक और तरंगदैर्घ्य कम है
    2. Kβ की फ़ोटॉन ऊर्जा कम और तरंगदैर्घ्य अधिक है
    3. उनकी ऊर्जा समान पर तीव्रता भिन्न है
    4. Kβ, L → K संक्रमण से उत्पन्न होती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Kβ की फ़ोटॉन ऊर्जा अधिक और तरंगदैर्घ्य कम है

    Kβ, M → K संक्रमण है और Kα, L → K। M कोश L से ऊपर है, अतः K तक का पतन बड़ा है: Kβ अधिक ऊर्जा और कम तरंगदैर्घ्य वहन करती है। L → K तो Kα है, उसे Kβ का स्रोत कहना दोनों रेखाओं को मिला देना है; श्रेणी के भीतर ग्रीक-अक्षर क्रम बढ़ती ऊर्जा का अनुसरण करता है।

  8. एक X-किरण नलिका की तंतु-धारा बढ़ाई जाती है जबकि त्वरक वोल्टता स्थिर रखी जाती है। X-किरण स्पेक्ट्रम पर प्रभाव है:

    1. λ_min घटती है, जबकि अभिलाक्षणिक रेखाएँ जहाँ थीं वहीं रहती हैं
    2. अभिलाक्षणिक रेखाएँ कम तरंगदैर्घ्य की ओर खिसकती हैं, λ_min अपरिवर्तित
    3. हर तरंगदैर्घ्य पर तीव्रता बढ़ती है, λ_min व रेखाएँ अपरिवर्तित
    4. सतत भाग लुप्त हो जाता है और स्पेक्ट्रम पूर्णतः अभिलाक्षणिक रह जाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — हर तरंगदैर्घ्य पर तीव्रता बढ़ती है, λ_min व रेखाएँ अपरिवर्तित

    अधिक तंतु-धारा का अर्थ प्रति सेकंड अधिक इलेक्ट्रॉन है, प्रत्येक की वही ऊर्जा eV। अतः हर तरंगदैर्घ्य पर अधिक फ़ोटॉन बनते हैं, पर λ_min = hc/(eV) और अभिलाक्षणिक तरंगदैर्घ्य अपरिवर्तित रहती हैं। λ_min के घटने की अपेक्षा इलेक्ट्रॉनों की संख्या को उनकी ऊर्जा से भ्रमित करना है, वही भेद जो प्रकाश-विद्युत प्रभाव में तीव्रता बनाम आवृत्ति का है।