एकाभ व समूह

इस प्रकरण का लगभग प्रत्येक प्रश्न "क्या यह समूह है?" है, और उसका उत्तर चार शर्तों को नियत क्रम में चलकर — संवृतता, साहचर्यता, तत्समक, प्रतिलोम — और पहली विफलता पर रुककर मिलता है। उस क्रम में करना महत्व रखता है, क्योंकि संवृतता जाँचने में सबसे सस्ती है और परीक्षक द्वारा सर्वाधिक तोड़ी जाती है: ठीक दिखता समुच्चय केवल इसलिए विफल हो सकता है कि संक्रिया दो सदस्यों को उससे बाहर ले जाती है। अभिगृहीतों के ऊपर के नाम स्पष्ट रखने योग्य हैं, क्योंकि प्रश्न "एकाभ" कहेगा जब उसका अर्थ समूह से कमज़ोर कुछ हो: अर्धसमूह में संवृतता व साहचर्यता है, एकाभ तत्समक जोड़ता है, और समूह प्रत्येक अवयव हेतु प्रतिलोम। क्रम-विनिमेयता जोड़ें और समूह आबेली हो जाता है। दो परिणाम तब शेष अधिकांश का उत्तर दे देते हैं। लाग्रांज प्रमेय: उपसमूह की कोटि समूह की कोटि को भाग देती है, और प्रत्येक अवयव की कोटि भी — अतः कोटि 12 के समूह में किसी अवयव की कोटि 5 नहीं हो सकती, और 5 को विकल्प देने वाला प्रश्न ठीक यही परखता है। और मानक उदाहरणों हेतु: (ℤₙ, +) सदा समूह है, चक्रीय, n के सहअभाज्य किसी भी अवयव से जनित, अतः उसके φ(n) जनक हैं — ℤ₁₂ हेतु चार, ℤ₁₀ हेतु चार, ℤ₇ हेतु छह। गुणन अधिक नखरैल स्थिति है: (ℤₙ \ {0}, ×) समूह केवल तब है जब n अभाज्य हो, क्योंकि अन्यथा n के उचित भाजक का प्रतिलोम नहीं होता — ℤ₆ में कोई भी 2 से गुणा होकर 1 नहीं देता। वही एक भेद इस बुलेट पर पूछे जाने वाले प्रश्नों का बड़ा भाग है, और वह याद करने योग्य किसी बात के बजाय सीधे परिभाषा से आता है।

चार अभिगृहीत, उस क्रम में जिसमें जाँचने योग्य हैं

संरचनाएँ व प्रत्येक की आवश्यकता
संरचनाआवश्यकएक हल किया उदाहरण
अर्धसमूहसंवृतता, साहचर्यतायोग के अंतर्गत धन पूर्णांक — कोई तत्समक नहीं, क्योंकि 0 समुच्चय में नहीं है।
एकाभ+ एक तत्समक अवयव0 सहित प्राकृत संख्याएँ योग के अंतर्गत — 0 तत्समक है, पर 3 का प्रतिलोम नहीं।
समूह+ प्रत्येक अवयव हेतु प्रतिलोमयोग के अंतर्गत पूर्णांक; किसी भी n हेतु (ℤₙ, +)।
आबेली समूह+ क्रम-विनिमेयताऊपर के सभी उदाहरण। आव्यूह गुणन मानक अनाबेली स्थिति है।
🧠 पहले संवृतता जाँचें — वह सबसे सस्ती व सर्वाधिक टूटने वाली है
साहचर्यता प्रायः सामान्य अंकगणित से विरासत में मिलती है और विरले ही वह वस्तु होती है जिसे परीक्षक तोड़ता है। संवृतता निरंतर टूटती है, और चुपचाप टूटती है: "योग के अंतर्गत विषम पूर्णांकों का समुच्चय" विफल है क्योंकि 3 + 5 = 8, और समुच्चय में कुछ भी संदिग्ध नहीं दिखता जब तक आप आज़माएँ नहीं। दो सदस्य व एक संक्रिया इसे तय कर देते हैं, अतः कुछ और जाँचने से पहले जो दो सर्वाधिक अटपटे सदस्य मिलें उन्हें आज़माएँ। दूसरी सस्ती विफलता संक्रिया के बजाय समुच्चय की सीमा से उत्पन्न अनुपस्थित तत्समक है — योग के अंतर्गत धन पूर्णांक साहचर्य व संवृत हैं और फिर भी एकाभ नहीं, क्योंकि 0 बाहर रखा गया।

लाग्रांज, कोटियाँ व चक्रीय समूह

  • उपसमूह की कोटि समूह की कोटि को भाग देती है। कोटि 12 के समूह में संभव उपसमूह-कोटियाँ केवल 1, 2, 3, 4, 6 व 12 हैं — 12 के भाजक। कोटि 5 का उपसमूह देने वाला विकल्प किसी रचना के बिना हटाया जा सकता है।
  • अवयव की कोटि भी समूह की कोटि को भाग देती है, क्योंकि अवयव ठीक उसी कोटि का चक्रीय उपसमूह जनित करता है। (ℤ₁₂, +) में अवयव 3 की कोटि 4 है, क्योंकि 3 + 3 + 3 + 3 = 12 ≡ 0 और कोई छोटा गुणज लुप्त नहीं होता; अवयव 8 की कोटि 3 है।
  • (ℤₙ, +) चक्रीय है, और उसके जनक n के सहअभाज्य अवयव हैं — अतः उनकी संख्या φ(n) है। ℤ₁₂ के φ(12) = 4 जनक हैं (1, 5, 7, 11); ℤ₁₀ के φ(10) = 4; ℤ₇ अभाज्य कोटि का होने से उसके φ(7) = 6, अर्थात् 0 को छोड़कर प्रत्येक अवयव।
  • अभाज्य कोटि का समूह चक्रीय होता है और उसका कोई उचित अतुच्छ उपसमूह नहीं होता, सीधे लाग्रांज से: अभाज्य p के एकमात्र भाजक 1 व p हैं। इसीलिए कोटि 5, 7 या 11 के समूहों के प्रश्नों के उत्तर छोटे होते हैं।
⚠️ मॉड्यूलो n गुणन केवल अभाज्य n हेतु समूह है
(ℤₙ, +) प्रत्येक n हेतु समूह है। (ℤₙ \ {0}, ×) समूह केवल तब है जब n अभाज्य हो। ℤ₅ में प्रत्येक अशून्य अवयव का गुणन-प्रतिलोम है — 2 × 3 = 6 ≡ 1, 4 × 4 = 16 ≡ 1 — अतः वह कोटि 4 का समूह है। ℤ₆ में अवयव 2 का कोई नहीं: 2 × 1, 2 × 2, …, 2 × 5 से 2, 4, 0, 2, 4 मिलते हैं और 1 कभी नहीं, क्योंकि 2, 6 के साथ गुणनखंड साझा करता है। सामान्य नियम यह है कि अवयव मॉड्यूलो n व्युत्क्रमणीय ठीक तब है जब वह n का सहअभाज्य हो, इसीलिए व्युत्क्रमणीय अवयवों की संख्या सदा φ(n) होती है और वे n जो भी हो उसी आकार का समूह बनाते हैं। "गुणन के अंतर्गत ℤₙ" कहने वाला प्रश्न लगभग सदा यही परखता है कि आपने पहले n की अभाज्यता जाँची या नहीं।

मुख्य बिंदु

  • अभिगृहीत क्रम में जाँचें — संवृतता, साहचर्यता, तत्समक, प्रतिलोम — और पहली विफलता पर रुकें। संवृतता सबसे सस्ती व सर्वाधिक टूटने वाली है।
  • अर्धसमूह = संवृतता + साहचर्यता; एकाभ तत्समक जोड़ता है; समूह प्रतिलोम; आबेली क्रम-विनिमेयता। "एकाभ" कहने वाले प्रश्न का अर्थ समूह से कमज़ोर कुछ है।
  • लाग्रांज: प्रत्येक उपसमूह व प्रत्येक अवयव की कोटि समूह की कोटि को भाग देती है। कोटि 12 के समूह में किसी अवयव की कोटि 5 नहीं होती।
  • (ℤₙ, +) चक्रीय है और उसके φ(n) जनक हैं — n के सहअभाज्य अवयव। ℤ₁₂ के चार हैं: 1, 5, 7 व 11।
  • (ℤₙ \ {0}, ×) समूह केवल तब है जब n अभाज्य हो। ℤ₆ में अवयव 2 का प्रतिलोम नहीं, क्योंकि वह 6 के साथ गुणनखंड साझा करता है।
  • अवयव मॉड्यूलो n व्युत्क्रमणीय ठीक तब है जब वह n का सहअभाज्य हो, अतः व्युत्क्रमणीय अवयवों की संख्या सदा φ(n) होती है और वे उसी आकार का समूह बनाते हैं।
  • अभाज्य कोटि का समूह चक्रीय है और उसका कोई उचित अतुच्छ उपसमूह नहीं, सीधे लाग्रांज से।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. चक्रीय समूह (ℤ₁₂, +) के जनकों की संख्या है:

    1. 1
    2. 4
    3. 6
    4. 12
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4

    अवयव k, (ℤₙ, +) को ठीक तब जनित करता है जब gcd(k, n) = 1, अतः जनकों की संख्या φ(n) है। यहाँ φ(12) = 12 × (1 − 1/2) × (1 − 1/3) = 4, और वे 1, 5, 7 व 11 हैं। विकल्प A वह है जो यह मानने से मिलता है कि चक्रीय समूह का एक जनक होता है, जो केवल ℤ₁ व ℤ₂ हेतु सत्य है; विकल्प D प्रत्येक अवयव गिनता है, और 0 कुछ भी जनित नहीं करता। विकल्प C, φ(7) है, जो पड़ोसी प्रश्न का आम उत्तर है — अभाज्य p हेतु φ(p) = p − 1, अतः ℤ₇ के छह जनक हैं और प्रत्येक अशून्य अवयव जनक है। बारह अवयव आज़माने के बजाय टोशेंट निकालें: 4 एक पंक्ति में आता है और परिगणना बारह लेती है।

  2. मॉड्यूलो 6 गुणन के अंतर्गत ℤ₆ के अशून्य अवयवों का समुच्चय है:

    1. समूह
    2. समूह नहीं, क्योंकि वह संवृत नहीं है
    3. समूह नहीं, क्योंकि 2 का प्रतिलोम नहीं है
    4. समूह नहीं, क्योंकि मॉड्यूलो 6 गुणन साहचर्य नहीं है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — समूह नहीं, क्योंकि 2 का प्रतिलोम नहीं है

    समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} समूह नहीं है, और कारण महत्व रखता है क्योंकि चार में तीन विकल्प कारण देते हैं। संवृतता भी विफल है — 2 × 3 = 6 ≡ 0, जो समुच्चय के बाहर है — परंतु विकल्प-सूची जिस कारण को परख रही है वह अनुपस्थित प्रतिलोम है: 2 × 1, 2 × 2, 2 × 3, 2 × 4, 2 × 5 से 2, 4, 0, 2, 4 मिलते हैं और 1 कभी नहीं, अतः 2 का प्रतिलोम नहीं है। विकल्प B असत्य नहीं है, जो इसे पठन का प्रश्न बना देता है: दो सत्य कारण उपलब्ध होने पर परीक्षक प्रायः गहरे को नामित करता है, और व्युत्क्रमणीयता वही अभिगृहीत है जो भाज्य स्थिति को अभाज्य से अलग करता है। विकल्प D सर्वथा गलत है — मॉड्यूलो n गुणन सदा साहचर्य है, पूर्णांकों से विरासत में। ℤ₅ में वही रचना समूह है, क्योंकि 5 अभाज्य है।

  3. कोटि 12 के समूह में निम्नलिखित में कौन उपसमूह की कोटि नहीं हो सकती?

    1. 2
    2. 3
    3. 5
    4. 6
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 5

    लाग्रांज से उपसमूह की कोटि को समूह की कोटि को भाग देना ही पड़ता है। 12 के भाजक 1, 2, 3, 4, 6 व 12 हैं, अतः 5 असंभव है — किसी रचना की आवश्यकता नहीं, और यह जानने की भी नहीं कि कोटि 12 का कौन समूह अभिप्रेत है। परीक्षा में प्रमेय का मूल्य यही है: वह केवल अंकगणित से विकल्प हटा देता है। ध्यान दें लाग्रांज क्या वचन नहीं देता, और वही पड़ोसी प्रश्न है: समूह-कोटि का भाजक प्रत्येक समूह में उपसमूह-कोटि के रूप में वस्तुतः आना आवश्यक नहीं। कोटि 12 हेतु वह संयोगवश आता है, पर लाग्रांज का विलोम सामान्यतः असत्य है, और यह पूछने वाला प्रश्न कि दी गई कोटि का उपसमूह विद्यमान होना चाहिए या नहीं, इससे भिन्न व कठिन प्रश्न है।

  4. 0 सहित प्राकृत संख्याओं का समुच्चय, योग के अंतर्गत, है:

    1. समूह
    2. एकाभ पर समूह नहीं
    3. अर्धसमूह पर एकाभ नहीं
    4. अर्धसमूह भी नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — एकाभ पर समूह नहीं

    अभिगृहीत चलें। संवृतता: दो प्राकृत संख्याओं का योग प्राकृत है। साहचर्यता: पूर्णांकों से विरासत में। तत्समक: 0 उपस्थित है और a + 0 = a। अतः वह एकाभ है। प्रतिलोम: 3 को −3 चाहिए, जो प्राकृत संख्या नहीं — अतः वह समूह नहीं, और उत्तर B है। विकल्प C धन पूर्णांकों हेतु उत्तर है, जो 0 को बाहर रखते हैं और इसलिए जिनका तत्समक नहीं: समुच्चय में एक-अवयव का अंतर उत्तर बदल देता है, और प्रश्न इसी भेद पर रखा गया है। विकल्प A वह है जो अभ्यर्थी तीन अभिगृहीत जाँचकर रुकने पर देता है, और ठीक इसीलिए जाँच का क्रम प्रतिलोम पर समाप्त होना चाहिए, वहाँ से आरंभ नहीं।

  5. योग के अंतर्गत विषम पूर्णांकों का समुच्चय है:

    1. आबेली समूह
    2. एकाभ
    3. संक्रिया के अंतर्गत संवृत नहीं, अतः अर्धसमूह भी नहीं
    4. समूह पर आबेली नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — संक्रिया के अंतर्गत संवृत नहीं, अतः अर्धसमूह भी नहीं

    संवृतता पहले प्रयास में विफल हो जाती है: 3 + 5 = 8, जो सम है और समुच्चय के बाहर। अतः वह अर्धसमूह भी नहीं है, और शेष तीन अभिगृहीत जाँचने की आवश्यकता कभी नहीं पड़ती। इसीलिए संवृतता पहले जाँचने योग्य है — "विषम पूर्णांकों" में कुछ भी संदिग्ध नहीं दिखता, और साहचर्यता व तत्समक से आरंभ करने वाला अभ्यर्थी तीन सही काम कर लेगा और तब पता चलेगा कि संरचना ही विद्यमान नहीं। विकल्प D सैद्धांतिक रूप से भी हटाया जा सकता है: योग जहाँ भी परिभाषित हो क्रम-विनिमेय है, अतः सामान्य योग के अंतर्गत किसी भी समुच्चय हेतु "समूह पर आबेली नहीं" असंभव है, समुच्चय जो भी हो।

  6. प्रत्येक परिमित समूह G हेतु निम्नलिखित में कौन कथन सत्य हैं? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

    1. G के प्रत्येक अवयव की कोटि |G| को भाग देती है
    2. G आबेली है
    3. यदि |G| अभाज्य हो तो G चक्रीय है
    4. G का तत्समक अवयव अद्वितीय है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — G के प्रत्येक अवयव की कोटि |G| को भाग देती है; C — यदि |G| अभाज्य हो तो G चक्रीय है; D — G का तत्समक अवयव अद्वितीय है

    चार में तीन प्रत्येक परिमित समूह हेतु सत्य हैं। A, अवयव द्वारा जनित चक्रीय उपसमूह पर लाग्रांज है। C उसी से निकलता है: यदि |G| अभाज्य p हो, तो अतत्समक अवयव की कोटि p को भाग देती है और 1 से बड़ी है, अतः ठीक p, अतः वह पूरा समूह जनित करता है। D किसी भी समूह में सत्य है, परिमित हो या न हो — यदि e व f दोनों तत्समक हों तो e = e·f = f। केवल B विफल है, और वह उपलब्ध सबसे छोटे प्रत्युदाहरण पर विफल होता है: तीन अक्षरों पर सममित समूह की कोटि 6 है और वह क्रम-विनिमेय नहीं। क्रम-विनिमेयता मान लेना इस प्रकरण का सर्वाधिक आम अनुचित चरण है, इसीलिए "आबेली" अभिगृहीत-सूची में समूह की परिभाषा का भाग न होकर अतिरिक्त शर्त के रूप में आता है।

  7. समूह (ℤ₁₂, +) में अवयव 3 की कोटि _____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4

    अवयव की कोटि वह सबसे छोटा धन k है जिसके लिए k·3 ≡ 0 (mod 12) हो। जोड़ते हुए: 3, 6, 9, 12 ≡ 0 — अतः k = 4। समतुल्य रूप से, (ℤₙ, +) में a की कोटि n / gcd(a, n) = 12 / gcd(3, 12) = 12 / 3 = 4 है, और यही सूत्र साथ रखने योग्य है क्योंकि वह पूरे परिवार का उत्तर एक साथ देता है: अवयव 8 की कोटि 12 / gcd(8, 12) = 12 / 4 = 3, और अवयव 5 की कोटि 12 / 1 = 12, जो उसे जनक बनाती है। ध्यान दें 4, 12 को भाग देता है, जैसा लाग्रांज माँगता है — यहाँ किसी भी उत्तर पर शीघ्र जाँच, क्योंकि समूह-कोटि को भाग न देने वाली कोटि, अंकगणित जो भी कहे, गलत होगी।

  8. ℤ₁₀ के उन अवयवों की संख्या जिनका मॉड्यूलो 10 गुणन-प्रतिलोम है, _____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4

    अवयव मॉड्यूलो n व्युत्क्रमणीय ठीक तब है जब वह n का सहअभाज्य हो, अतः गिनती φ(10) = 10 × (1 − 1/2) × (1 − 1/5) = 4 है — अवयव 1, 3, 7 व 9। एक जाँचें: 3 × 7 = 21 ≡ 1 (mod 10), तथा 9 × 9 = 81 ≡ 1। अन्य छह 10 के साथ गुणनखंड साझा करते हैं और उनका प्रतिलोम नहीं: 2 × k सदा सम है, अतः वह 1 तक कभी नहीं पहुँचता, और 5 × k सदा 0 या 5। वे चार अवयव मॉड्यूलो 10 गुणन के अंतर्गत कोटि 4 का समूह बनाते हैं, और साथ ले जाने योग्य सामान्य तथ्य यही है — मॉड्यूलो n व्युत्क्रमणीय अवयव सदा समूह बनाते हैं, आकार φ(n) का, चाहे n अभाज्य हो या न हो; अभाज्यता केवल उस समूह को सभी अशून्य अवयव बनाती है।