डेटा को समझना (Understanding Data)

रजिस्टर में अंक, मौसम-सेंसर की रीडिंग, फ़ोन की तस्वीरें — यह सब डेटा है, और लगभग हर प्रोग्राम उसमें से कुछ को एकत्र करने, सहेजने या संसाधित करने के लिए ही होता है। यह अध्याय देखता है कि डेटा क्या है और किन रूपों में होता है, कैसे एकत्र किया जाता है, कहाँ सहेजा जाता है, और संसाधन उसे किसमें बदलता है। फिर यह संख्याओं के समूह का सारांश देने वाले कुछ सांख्यिकीय मापों को लेता है: तीन जो उसके केंद्र का वर्णन करते हैं — माध्य, माध्यिका और बहुलक — और दो जो बताते हैं कि वह कितना फैला है — परिसर और मानक विचलन। पेपर इन्हें छोटी गणनाओं के रूप में पूछता है, अतः हर माप को उदाहरणों पर हल करके देखें।

डेटा और उसके प्रकार

डेटा कच्चे तथ्यों — संख्याएँ, पाठ, चित्र, ध्वनियाँ — का संग्रह है, जो अपने-आप में कम अर्थ रख सकते हैं। जब डेटा को इस प्रकार व्यवस्थित और संसाधित किया जाए कि वह किसी प्रश्न का उत्तर दे, तो वह सूचना (information) बन जाता है: हर विद्यार्थी के अंकों की सूची डेटा है; उससे निकाला गया कक्षा-औसत और टॉपर का नाम सूचना है। डेटा संगठनों को निर्णय लेने में सहायता करता है, किसी दुकान के यह तय करने से कि क्या फिर मँगाना है, लेकर सरकार के जनगणना-आँकड़ों से स्कूलों की योजना बनाने तक।

संरचित और असंरचित डेटा
प्रकारक्या हैउदाहरण
संरचितनिश्चित प्रारूप में, सामान्यतः पंक्तियों व स्तंभों में, व्यवस्थित, अतः खोजना व विश्लेषण आसानअंक-रजिस्टर, रेल समय-सारणी, बैंक विवरण, डेटाबेस की तालिका
असंरचितकोई पूर्वनिर्धारित पंक्ति-स्तंभ प्रारूप नहींतस्वीरें, ऑडियो व वीडियो रिकॉर्डिंग, ई-मेल, सोशल मीडिया पोस्ट, स्कैन किए पत्र

डेटा का संग्रह, भंडारण और संसाधन

  • डेटा संग्रह का अर्थ है उन स्रोतों की पहचान जो किसी प्रश्न के लिए आवश्यक डेटा दे सकें, और उसे एकत्र करना — फ़ॉर्म और सर्वेक्षण, सेंसर और उपकरण, किसी सिस्टम द्वारा दर्ज लेन-देन, या संगठनों व सरकारी पोर्टलों द्वारा पहले से प्रकाशित डेटा के माध्यम से।
  • डेटा भंडारण एकत्र डेटा को बाद के उपयोग के लिए रखता है, फ़ाइलों के रूप में या डेटाबेस में, हार्ड डिस्क ड्राइव, सॉलिड स्टेट ड्राइव, CD व DVD, पेन ड्राइव और मेमोरी कार्ड जैसे उपकरणों पर, या क्लाउड के दूरस्थ सर्वरों पर।
  • डेटा संसाधन डेटा को इनपुट → संसाधन → आउटपुट के चक्र से सूचना में बदलता है: डेटा दर्ज होता है, फिर वर्गीकृत, क्रमित, परिकलित या सारांशित होता है, और परिणाम प्रस्तुत किए जाते हैं — परीक्षा बोर्ड का उत्तर-पुस्तिकाओं के अंकों को परिणाम में बदलना ऐसा ही एक चक्र है।

केंद्रीय प्रवृत्ति के माप: माध्य, माध्यिका, बहुलक

केंद्रीय प्रवृत्ति का माप एक ऐसा मान है जो डेटा-समूह के केंद्र को दर्शाता है। माध्य (mean) (अंकगणितीय औसत) मानों का योग उनकी संख्या से भाग देकर मिलता है। माध्यिका (median) डेटा को क्रम में लगाने के बाद बीच का मान है; मानों की संख्या सम हो तो यह दो बीच वाले मानों का औसत है। बहुलक (mode) वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है। 4, 8, 6, 5, 3, 8, 9 लें: 7 मानों का योग 43 है, अतः माध्य लगभग 6.14; क्रम में डेटा 3, 4, 5, 6, 8, 8, 9 है और माध्यिका चौथा मान, 6, है; 8 दो बार और बाक़ी हर मान एक बार आता है, अतः बहुलक 8 है।

⚠️ माध्यिका से पहले क्रम में लगाएँ
12, 7, 3, 9 की माध्यिका 7 और 3 का औसत नहीं है, जो लिखे रूप में संयोग से बीच में बैठे हैं। क्रम में डेटा 3, 7, 9, 12 है, और माध्यिका (7 + 9) / 2 = 8 है।
🎯 माध्यिका कभी-कभी क्यों बेहतर है
माध्य हर मान का उपयोग करता है, अतः एक चरम मान उसे खींच लेता है। 10, 12, 14, 16, 98 का माध्य 30 है — पाँच में से चार मानों से बड़ा — जबकि माध्यिका 14 पर रहती है। जब डेटा में कोई बाहरी मान (outlier) हो, जैसे किसी छोटे दफ़्तर में एक बहुत ऊँचा वेतन, तो माध्यिका सामान्य मान का बेहतर वर्णन करती है।

परिवर्तनशीलता के माप: परिसर और मानक विचलन

दो कक्षाओं का माध्य समान और अंक बहुत भिन्न हो सकते हैं — एक में सब औसत के पास, दूसरी में बहुत ऊँचे और बहुत नीचे अंकों में बँटे। परिवर्तनशीलता (प्रसार) का माप इसी फैलाव का वर्णन करता है। परिसर (range) सबसे सरल है: सबसे बड़ा मान घटा सबसे छोटा। 15, 22, 9, 30, 18 के लिए यह 30 − 9 = 21 है। यह केवल दो मान प्रयोग करता है, अतः एक ही बाहरी मान इसे पूरी तरह बदल देता है।

मानक विचलन (standard deviation) (σ) हर मान का उपयोग करता है। माध्य x̄ निकालें; उसे हर मान से घटाकर विचलन पाएँ; हर विचलन का वर्ग करें; वर्गों का माध्य लें; और वर्गमूल लें: σ = √( Σ(x − x̄)² / n )। 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 के लिए माध्य 40 / 8 = 5 है; विचलन −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 हैं; उनके वर्गों का योग 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32 है; 32 / 8 = 4; और σ = √4 = 2। छोटा मानक विचलन बताता है कि मान माध्य के पास जमा हैं; बड़ा बताता है कि वे दूर-दूर तक फैले हैं।

🧠 डेटा खिसकाने का प्रभाव
हर मान में एक ही संख्या जोड़ें तो माध्य, माध्यिका और बहुलक सब उतने ही बढ़ जाते हैं, पर परिसर और मानक विचलन बिल्कुल नहीं बदलते — हर मान साथ-साथ खिसका है, अतः फैलाव वही है। यदि सभी मान बराबर हों, तो मानक विचलन 0 होता है।

मुख्य बिंदु

  • डेटा कच्चे तथ्य हैं; किसी प्रश्न का उत्तर देने हेतु संसाधित होकर वह सूचना बनता है।
  • संरचित डेटा पंक्तियों व स्तंभों में होता है; चित्र, ऑडियो, वीडियो और ई-मेल असंरचित हैं।
  • संसाधन इनपुट → संसाधन → आउटपुट का अनुसरण करता है; डेटा डिस्क, ड्राइव या क्लाउड पर फ़ाइलों या डेटाबेस में सहेजा जाता है।
  • माध्य औसत है, माध्यिका क्रम में लगाने के बाद बीच का मान (संख्या सम हो तो दो बीच वालों का औसत), बहुलक सबसे बार-बार आने वाला मान।
  • बाहरी मान माध्य को माध्यिका से कहीं अधिक खींचता है।
  • परिसर = सबसे बड़ा − सबसे छोटा; मानक विचलन = √(Σ(x − x̄)² / n); हर मान में स्थिरांक जोड़ने से दोनों में से कोई नहीं बदलता।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. डेटा 4, 8, 6, 5, 3, 8, 9 के लिए माध्यिका और बहुलक क्या हैं?

    1. माध्यिका 6, बहुलक 8
    2. माध्यिका 5, बहुलक 8
    3. माध्यिका 6, बहुलक 9
    4. माध्यिका 8, बहुलक 6
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — माध्यिका 6, बहुलक 8

    क्रम में सात मान 3, 4, 5, 6, 8, 8, 9 हैं, अतः माध्यिका चौथा मान, 6, है; 8 दो बार और बाक़ी हर मान एक बार आता है, अतः बहुलक 8 है। माध्यिका 5 लिखे रूप में, क्रम में लगाने से पहले, डेटा का बीच है। बहुलक 9 सबसे बार-बार आने वाले के बजाय सबसे बड़ा मान चुनता है, और माध्यिका 8 के साथ बहुलक 6 दोनों मापों को आपस में बदल देता है।

  2. σ = √(Σ(x − x̄)² / n) मानते हुए 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 का मानक विचलन क्या है?

    1. 4
    2. 5
    3. 7
    4. 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 2

    माध्य 40 / 8 = 5 है; विचलनों के वर्ग 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 और 16 हैं, जिनका योग 32 है; 8 से भाग देने पर 4, और उसका वर्गमूल 2। 4 उत्तर देना एक चरण पहले रुक जाना है, जो वर्गमूल के बजाय विचलन-वर्गों का माध्य देता है। 5 स्वयं माध्य है, और 7 परिसर है, 9 − 2, फैलाव का एक अलग माप।

  3. मानों 12, 7, 3, 9 की माध्यिका क्या है?

    1. 5
    2. 7.75
    3. 8
    4. 9
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 8

    क्रम में मान 3, 7, 9, 12 हैं; संख्या सम होने पर माध्यिका दो बीच वाले मानों का औसत है, (7 + 9) / 2 = 8। पाँच 7 और 3 का औसत है, जो क्रम में लगाने से पहले बीच का जोड़ा है। 7.75 माध्य है, 31 / 4, और 9 औसत लेने के बजाय बीच के जोड़े में से केवल एक चुनता है।

  4. निम्नलिखित में से कौन असंरचित डेटा का उदाहरण है?

    1. विद्यार्थियों के अनुक्रमांक और अंकों की तालिका
    2. कक्षा व्याख्यानों की वीडियो रिकॉर्डिंग
    3. ट्रेनों और समयों वाली रेलवे समय-सारणी
    4. तिथि, राशि और शेष के स्तंभों वाला बैंक विवरण
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — कक्षा व्याख्यानों की वीडियो रिकॉर्डिंग

    वीडियो में कोई पूर्वनिर्धारित पंक्तियाँ और स्तंभ नहीं होते जिन्हें कोई प्रोग्राम सीधे खोज सके, यही उसे असंरचित बनाता है। अंक-तालिका, समय-सारणी और बैंक विवरण सभी निश्चित क्षेत्रों में व्यवस्थित हैं — संरचित डेटा की परिभाषित विशेषता — भले ही वे एक-दूसरे से बहुत भिन्न दिखें।

  5. डेटा 10, 12, 14, 16, 98 में एक चरम मान है। कौन-सा कथन सही है?

    1. माध्य (30) अधिकांश मानों से बहुत ऊपर खिंच जाता है, जबकि माध्यिका (14) नहीं
    2. माध्यिका (14) 98 की ओर खिंच जाती है, जबकि माध्य अप्रभावित रहता है
    3. यहाँ माध्य और माध्यिका दोनों 30 के बराबर हैं
    4. बाहरी मान होने पर कोई भी माप परिकलित नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — माध्य (30) अधिकांश मानों से बहुत ऊपर खिंच जाता है, जबकि माध्यिका (14) नहीं

    योग 150 है, अतः माध्य 30 है, पाँच में से चार मानों से बड़ा, क्योंकि हर मान — 98 सहित — औसत में शामिल होता है। माध्यिका क्रम में लगाने के बाद बीच का मान, 14, है और 98 की जगह 20 होने पर भी वही रहती। माध्यिका के खिंचने और माध्य के न खिंचने का दावा दोनों मापों की संवेदनशीलता उलट देता है, और बाहरी मान कभी किसी के परिकलन को नहीं रोकता।

  6. डेटा 15, 22, 9, 30, 18 का परिसर क्या है?

    1. 15
    2. 18.8
    3. 3
    4. 21
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 21

    परिसर सबसे बड़ा मान घटा सबसे छोटा है: 30 − 9 = 21। 15 लिखे रूप में पहले और अंतिम मान का अंतर है, जो यह अनदेखा करता है कि चरम मान वास्तव में कहाँ हैं। 18.8 माध्य है, 94 / 5, फैलाव नहीं केंद्र का माप, और 3 इस डेटा का कोई माप नहीं है।

  7. अभिकथन (A): किसी डेटा-समूह के हर मान में 5 जोड़ने पर उसका मानक विचलन नहीं बदलता। कारण (R): हर मान में एक ही स्थिरांक जोड़ने से डेटा का माध्य अपरिवर्तित रहता है।

    1. A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
    2. A और R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है
    3. A सत्य है, पर R असत्य है
    4. A असत्य है, पर R सत्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — A सत्य है, पर R असत्य है

    हर मान में 5 जोड़ने से माध्य भी 5 बढ़ जाता है, अतः हर विचलन x − x̄ ठीक वही रहता है और मानक विचलन अपरिवर्तित: A सत्य है। R असत्य है — माध्य बदलता है, 5 से। ठीक इसलिए कि माध्य डेटा के साथ खिसकता है, विचलन वही रहते हैं, अतः जो विद्यार्थी माध्य को स्थिर मानता है उसका निष्कर्ष सही पर कारण ग़लत है।

  8. निम्नलिखित में से कौन केंद्रीय प्रवृत्ति के बजाय परिवर्तनशीलता (फैलाव) का माप है?

    1. माध्य
    2. माध्यिका
    3. मानक विचलन
    4. बहुलक
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — मानक विचलन

    मानक विचलन मापता है कि मान माध्य से कितनी दूर हैं, जो फैलाव का वर्णन है; परिसर पाठ्यक्रम का दूसरा फैलाव-माप है। माध्य, माध्यिका और बहुलक प्रत्येक डेटा के केंद्र को दर्शाने वाला एक मान देते हैं — दो कक्षाओं के तीनों समान हो सकते हैं और फिर भी उनके अंकों का फैलाव पूरी तरह भिन्न हो सकता है।