CMAT स्तर पर गणना व प्रायिकता

CMAT का संख्यात्मक तकनीक व आँकड़ा विश्लेषण खंड +4 व −1 पर 20 प्रश्नों का है, और उनमें एक-दो गणना व प्रायिकता से आते हैं। वही अनुपात सबसे पहले जानने योग्य है, क्योंकि वही तय करता है कि यह भाग कितनी तैयारी का पात्र है: इतनी कि स्वच्छ प्रश्न एक मिनट से कम में हल हो, इतनी नहीं कि प्रतिबंधित क्रमचयों पर एक महीना उचित ठहरे। अच्छी बात यह है कि CMAT इस भाग को स्वच्छ रखता है — क्रमगुणित, एक क्रमचय या संचय, एक सीधी प्रायिकता, कभी-कभी दोहराए अक्षरों वाला क्रम। न उच्चस्तरीय प्रतिबंधित प्रायिकता, न बेज़, न दो घटनाओं से आगे का समावेशन-अपवर्जन। इस अध्याय का लगभग प्रत्येक प्रश्न एक पूर्व-प्रश्न से तय होता है — क्रम महत्व रखता है? — और एक आदत से: जब प्रश्न "कम से कम" कहे तो पूरक निकालना।

बीस में दो प्रश्न, और उससे क्या मिलता है

खंड 20 प्रश्न देता है और प्रश्नपत्र 100 के लिए 180 मिनट, अतः प्रति प्रश्न लगभग 108 सेकंड मिलते हैं — CAT के मानकों से उदार, और यही कारण है कि CMAT के गणना-प्रश्न पेचीदा के बजाय पठनीय होते हैं। +4 व −1 पर, जो प्रश्न आप एक मिनट में तय कर सकें वह दो-विकल्पीय अनुमान पर प्रयास योग्य और चार-विकल्पीय अनुमान पर छोड़ने योग्य है: चार विकल्पों में अंधा अनुमान (1/4 × 4) − (3/4 × 1) = +0.25 देता है, बस थोड़ा धनात्मक, जबकि पहले दो विकल्प हटा देने पर वह (1/2 × 4) − (1/2 × 1) = +1.5 हो जाता है। गणना-प्रश्न असामान्य रूप से आधे-हल होने योग्य होते हैं, और इसीलिए वे उन बीस मिनटों की तैयारी के पात्र हैं जो यह अध्याय माँगता है, उससे अधिक के नहीं।

🎯 वह एक प्रश्न जो हर दूसरे से पहले आता है
क्रम महत्व रखता है? A और B के बीच का हाथ मिलाना B और A के बीच वाला ही है, अतः हाथ मिलाना संचय है। उन्हीं दो व्यक्तियों में से चुने गए अध्यक्ष व सचिव दो भिन्न परिणाम हैं, अतः पद क्रमचय हैं। कुछ भी लिखने से पहले यह पूछिए, क्योंकि CMAT के गणना-प्रश्न का प्रत्येक ग़लत विकल्प उसी प्रश्न का दूसरी पढ़त वाला उत्तर होता है — जहाँ nPr चाहिए था वहाँ nCr, या जहाँ nCr चाहिए था वहाँ nPr।

गणना: पाँच सूत्र और प्रत्येक कब लागू है

इस भाग की प्रत्येक बात गणना के मूल सिद्धांत से उतरती है: यदि एक चुनाव m प्रकार से और दूसरा, स्वतंत्र रूप से, n प्रकार से किया जा सके, तो युग्म m × n प्रकार से बनाया जा सकता है। क्रमचय व संचय वही सिद्धांत हैं, हिसाब पहले से किया हुआ। nPr = n!/(n−r)! क्रमित चयन गिनता है; nCr = n!/(r!(n−r)!) अक्रमित, और हर में वह r! ठीक उतने ही क्रम हैं जिन्हें आप उपेक्षित करना चुन रहे हैं। यह भी अंकित रहे कि 0! = 1 तथा nC0 = nCn = 1, और वही मान "कम से कम" वाली गणना को सही उत्तर तक लाते हैं।

वे पाँच गणना-स्थितियाँ जो CMAT वस्तुतः रखता है
स्थितिसूत्रहल उदाहरण
n भिन्न वस्तुएँ पंक्ति में क्रमित करनाn!शेल्फ़ पर पाँच पुस्तकें: 5! = 120।
n वस्तुएँ क्रमित करना जहाँ कुछ दोहराई गई होंn! में प्रत्येक पुनरावृत्ति-संख्या का क्रमगुणित से भागLEVEL में दो L व दो E: 5!/(2!·2!) = 30।
n वस्तुएँ वृत्त में क्रमित करना(n−1)!मेज़ के चारों ओर छह अतिथि: 5! = 120, क्योंकि घुमाव वही बैठक है।
n में से r चुनना, क्रम अप्रासंगिकnCr8 में से 3 की समिति: 8C3 = 56।
n में से r चुनकर भिन्न पद देनाnPr8 में से अध्यक्ष व सचिव: 8P2 = 56 भी — इन संख्याओं पर संयोग, और यही कारण है कि पहचानने के बजाय निकालना चाहिए।
🧠 "कम से कम" का अर्थ है पूरक निकालिए
5 पुरुष व 4 स्त्रियों में से 4 की समिति जिसमें कम से कम दो स्त्रियाँ हों, सीधे तीन स्थितियों में गिनी जा सकती है — 2स्त्री2पुरुष, 3स्त्री1पुरुष, 4स्त्री — जो 6×10 + 4×5 + 1 = 81 देती हैं। उसे सब में से बुरी स्थितियाँ घटाकर भी गिना जा सकता है: 9C4 = 126, में से बिना स्त्री वाली (5C4 = 5) व ठीक एक स्त्री वाली (4×10 = 40) घटाइए, जो 126 − 45 = 81 है। जो सूची छोटी हो वही लीजिए, और जब प्रश्न "कम से कम एक" कहे, तो पूरक एक ही पद होता है और सदैव छोटा।

प्रायिकता: एक परिभाषा और दो नियम

समसंभाव्य परिणामों के लिए P(घटना) = अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम, और लगभग सारा कार्य उन दोनों संख्याओं को ठीक गिनना है — इसीलिए यह खंड गणना के बाद आता है। फिर दो नियम। योग, "या" के लिए: P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B), जहाँ घटाया गया अंश अतिव्यापन है और वह शून्य केवल तब होता है जब दोनों घटनाएँ साथ हो ही न सकें। गुणन, स्वतंत्र घटनाओं के "और" के लिए: P(A और B) = P(A) × P(B)। और पूरक, P(A नहीं) = 1 − P(A), जो प्रत्येक "कम से कम एक" वाले प्रश्न को एक-पंक्ति गणना बना देता है।

  • दो पासों के 36 परिणाम होते हैं, 12 नहीं। योग 8 उनमें पाँच में आता है — (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) — अतः P = 5/36। क्रमित युग्म ही प्रतिदर्श समष्टि है, इसीलिए (2,6) व (6,2) अलग गिने जाते हैं।
  • ताश की गड्डी में 52 पत्ते: 13-13 के 4 रंग, 26 लाल व 26 काले, 12 चित्र-पत्ते, प्रत्येक मान के 4। P(बादशाह या पान) = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 4/13, और घटाया गया पत्ता पान का बादशाह है।
  • परस्पर अपवर्जी और स्वतंत्र एक बात नहीं हैं। जो दो घटनाएँ साथ हो ही न सकें वे अपवर्जी हैं, अतः उनका अतिव्यापन शून्य है; स्वतंत्रता का अर्थ है एक के घटित होने से दूसरी की प्रायिकता न बदले। अपवर्जी घटनाएँ कभी स्वतंत्र नहीं होतीं, जब तक एक असंभव न हो।
  • प्रतिस्थापन सहित निकालने पर प्रायिकताएँ स्थिर रहती हैं; प्रतिस्थापन रहित पर नहीं। CMAT का प्रश्न सदैव बताता है कि कौन-सा, और खोजने योग्य वाक्यांश है "एक के बाद एक, प्रतिस्थापन रहित"।
⚠️ अतिव्यापी प्रायिकताएँ जोड़ देना
P(बादशाह) + P(पान) = 17/52 वही ग़लत उत्तर है जो इस प्रश्न के लगभग प्रत्येक रूप में आता है, और वह ठीक एक पत्ते से ग़लत है। जोड़ने से पहले पूछिए कि दोनों घटनाएँ एक साथ हो सकती हैं या नहीं; यदि हो सकती हैं, अतिव्यापन घटाइए। वही अनुशासन दूसरे चिरपरिचित को भी पकड़ता है: एक पासे पर P(सम) + P(3 से बड़ा) 1/2 + 1/2 नहीं है, क्योंकि 4 व 6 दोनों में हैं।

मुख्य बिंदु

  • CMAT के संख्यात्मक खंड के बीस में यह एक-दो प्रश्न है, प्रति प्रश्न लगभग 108 सेकंड पर। इसे इतना तैयार कीजिए कि स्वच्छ प्रश्न एक मिनट में हल हो, उससे आगे नहीं — खंड का शेष भाग आपके अधिक समय का पात्र है।
  • कुछ भी लिखने से पहले पूछिए "क्रम महत्व रखता है?" हाथ मिलाना व समितियाँ संचय हैं (nCr); पद, श्रेणियाँ व सीट संख्याएँ क्रमचय हैं (nPr)। प्रत्येक ग़लत विकल्प उसी प्रश्न की दूसरी पढ़त है।
  • पुनरावृत्तियाँ भाग देती हैं: LEVEL में 5!/(2!·2!) = 30। वृत्त में एक घटता है: मेज़ के चारों ओर छह के लिए 5! = 120। और "कम से कम" पूरक गिनने का संकेत है — 1 − P(कोई नहीं) एक पद है जहाँ सीधी गिनती तीन।
  • दो पासे 36 क्रमित परिणाम देते हैं; गड्डी 52 पत्ते, प्रति रंग 13। "या" के लिए अतिव्यापन घटाइए: P(बादशाह या पान) = 4/13, 17/52 नहीं।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक बैठक में दस व्यक्ति प्रत्येक अन्य व्यक्ति से ठीक एक बार हाथ मिलाते हैं। कुल कितने हाथ मिलाए गए?

    1. 90
    2. 45
    3. 100
    4. 20
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 45

    हाथ मिलाना अक्रमित युग्म है, क्योंकि A का B से हाथ मिलाना वही घटना है जो B का A से, अतः यह 10C2 = (10 × 9)/2 = 45 है। 90 वाला विकल्प 10P2 है, अर्थात् क्रमित गिनती, और वह ठीक दुगुना है — क्रम का प्रश्न ग़लत उत्तर पाने पर वही होता है, और इसीलिए वह विकल्प पहले रखा गया है। 100, 10 × 10 है, जो प्रत्येक व्यक्ति का स्वयं से हाथ मिलाना भी गिन लेता है। और 20, 2 × 10 है, बिना किसी गणना-मॉडल का अनुमान।

  2. LEVEL शब्द के अक्षरों को कितने भिन्न प्रकार से क्रमित किया जा सकता है?

    1. 120
    2. 30
    3. 60
    4. 20
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 30

    LEVEL में पाँच अक्षर हैं जिनमें L दो बार व E दो बार आता है, अतः गिनती 5!/(2! × 2!) = 120/4 = 30 है। प्रत्येक पुनरावृत्ति-संख्या के क्रमगुणित से भाग देना उन क्रमों को हटा देता है जो केवल समान अक्षर बदलते हैं और इसलिए भिन्न नहीं हैं। 120, 5! है और वह पाँच भिन्न अक्षरों का उत्तर है, और यही सर्वाधिक सामान्य त्रुटि है — दोहराए अक्षरों को भिन्न मान लेना। 60 दोनों पुनरावृत्तियों में से केवल एक से भाग देता है, 2!×2! के बजाय 2!, और वही निकट-चूक उन अभ्यर्थियों को पकड़ती है जो दो L देख लेते हैं और दो E नहीं। 20 यहाँ किसी सही चरण से नहीं बनता।

  3. छह अतिथियों को एक गोल मेज़ के चारों ओर बैठाना है। यह कितने प्रकार से किया जा सकता है?

    1. 720
    2. 120
    3. 360
    4. 30
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 120

    n व्यक्तियों के वृत्तीय क्रम (n−1)! होते हैं, अतः छह अतिथियों के लिए 5! = 120। कमी इसलिए होती है कि पूरी मेज़ का घुमाव वही बैठक देता है — केवल सापेक्ष क्रम महत्व रखता है, और एक अतिथि की सीट को संदर्भ के रूप में स्थिर करना उन छह घुमावों को हटा देता है जो अन्यथा अलग गिने जाते। 720, 6! है और वह सीधी पंक्ति का उत्तर है; वही मानक त्रुटि है और इसीलिए यह सूत्र अकेले नहीं, अपने कारण सहित स्मरण रखने योग्य है। 360, 6!/2 है और वह तभी सही होता जब परावर्तन भी समान माने जाते, जो भिन्न प्रश्न है — मेज़ नहीं, माला। 30 किसी चरण से नहीं बनता।

  4. दो निष्पक्ष पासे साथ फेंके जाते हैं। दिखाई गई संख्याओं का योग 8 होने की प्रायिकता क्या है?

    1. 1/6
    2. 5/36
    3. 1/9
    4. 1/12
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 5/36

    प्रतिदर्श समष्टि 6 × 6 = 36 क्रमित युग्म है। योग 8 देने वाले युग्म हैं (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) व (6,2) — पाँच, अतः प्रायिकता 5/36। (2,6) व (6,2) को अलग गिनना आवश्यक है, और उन्हें एक परिणाम मान लेना ही 1/12 बनाता है: 36 पर तीन अक्रमित युग्म। 1/9 वाला विकल्प 4/36 है और वह (4,4) छूट जाने से आता है, वही युग्म जिसे छोड़ना सरल है क्योंकि उसका दर्पण-रूप नहीं है। और 1/6 एक पासे पर एक फलक की प्रायिकता है, जिसका किसी योग से कोई संबंध नहीं।

  5. अच्छी तरह मिलाई गई 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। उसके बादशाह या पान होने की प्रायिकता क्या है?

    1. 17/52
    2. 4/13
    3. 1/4
    4. 13/52
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4/13

    4 बादशाह और 13 पान हैं, और एक पत्ता दोनों है — पान का बादशाह — अतः अनुकूल गिनती 4 + 13 − 1 = 16, और 16/52 = 4/13। घटाना ही योग-नियम का कार्य है: दोनों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं, अतः प्रायिकताएँ जोड़ने पर साझा पत्ता दो बार गिना जाता है। 17/52 ठीक वही त्रुटि है और वही सर्वाधिक चुना जाता है, क्योंकि 4 + 13 पूरा उत्तर लगता है। 1/4, 13/52 है, अर्थात् केवल पान की प्रायिकता, और 13/52 वही मान बिना लघुकरण — दोनों बादशाहों को पूर्णतः छोड़ देते हैं, और "या" को केवल बड़े समुच्चय का नाम पढ़ लेने पर वही होता है।

  6. एक निष्पक्ष सिक्का तीन बार उछाला जाता है। कम से कम एक चित आने की प्रायिकता क्या है?

    1. 3/8
    2. 7/8
    3. 1/2
    4. 1/8
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 7/8

    पूरक लीजिए। विफल होने का एक ही ढंग है तीन पट, जिसकी प्रायिकता (1/2)³ = 1/8 है, अतः P(कम से कम एक चित) = 1 − 1/8 = 7/8। सीधी गिनती का अर्थ होता ठीक एक, ठीक दो व ठीक तीन चित की स्थितियाँ जोड़ना — 3/8 + 3/8 + 1/8 — जो तीन गुने कार्य से वही उत्तर देता है, और 3/8 वाला विकल्प वही है जो अभ्यर्थी उनमें से केवल पहली स्थिति निकालकर बता देता है। 1/8 स्वयं पूरक है, जो इसलिए उत्तर के रूप में रखा गया है कि जिसने घटाना तय किया और फिर छोड़ दिया वह पकड़ा जाए। और 1/2 एक उछाल की प्रायिकता है।

  7. 8 अभ्यर्थियों में से एक अध्यक्ष व एक सचिव चुने जाने हैं, और कोई दोनों पद नहीं रख सकता। यह कितने प्रकार से किया जा सकता है?

    1. 28
    2. 56
    3. 64
    4. 16
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 56

    दोनों पद भिन्न हैं, अतः क्रम महत्व रखता है: अध्यक्ष चुनने के 8 प्रकार और उसके बाद सचिव के 7, जो 8 × 7 = 56 देते हैं, अर्थात् 8P2। 28 वाला विकल्प 8C2 है, अक्रमित गिनती, और वह भिन्न प्रश्न का उत्तर है — दो सदस्यों की समिति, जहाँ यह बताना निरर्थक होता कि अध्यक्ष कौन है। 64, 8 × 8 है और वही व्यक्ति दोनों पद रखने देता है, जिसकी प्रश्न अनुमति नहीं देता। 16, 2 × 8 है और उसके पीछे कोई मॉडल नहीं। यह भी अंकित रहे कि 8C3 भी 56 है; वह संयोग स्मरण दिलाता है कि परिचित संख्या पहचानने के बजाय गिनती निकालनी चाहिए।

  8. 5 पुरुषों व 4 स्त्रियों में से 4 सदस्यों की समिति बनानी है, जिसमें कम से कम दो स्त्रियाँ हों। वह कितने प्रकार से बनाई जा सकती है?

    1. 126
    2. 81
    3. 60
    4. 45
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 81

    स्त्रियों की संख्या से विभाजित कीजिए: दो स्त्री व दो पुरुष 4C2 × 5C2 = 6 × 10 = 60; तीन स्त्री व एक पुरुष 4C3 × 5C1 = 4 × 5 = 20; चार स्त्री 4C4 = 1। कुल 60 + 20 + 1 = 81। पूरक मार्ग भी सहमत है: सभी समितियाँ 9C4 = 126, में से बिना स्त्री 5C4 = 5 तथा ठीक एक स्त्री 4C1 × 5C3 = 4 × 10 = 40, अतः 126 − 45 = 81। 126 वाला विकल्प अप्रतिबंधित गिनती है, शर्त की उपेक्षा करते हुए। 60 केवल पहली स्थिति है और वही सर्वाधिक बार होने वाली त्रुटि है, क्योंकि "कम से कम दो" को "ठीक दो" पढ़ लिया जाता है। और 45 बाहर की गई समितियों की गिनती है — वही मात्रा जो घटाई जाती है, उत्तर के रूप में रखी हुई।